ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα του μαθήματος βρίσκεται στη διεύθυνση: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ-MM400 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ενώ σελίδα του μαθήματος υπάρχει και στην πλατφόρμα e-class του Πανεπιστημίου στη διεύθυνση. MM400 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Συγγράμματα, Βιβλιογραφία. Ως συγγράμματα του μαθήματος έχουν προταθεί τα βιβλία 1. Εφαρμοσμένες Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις του Richard Haberman [Haberman, Richard 2014] (Κύριο Σύγραμμα). 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά Τραχανάς 2004. 3. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις των Δάσιου και Κυριάκη Δάσιος 1994. Σε κάθε περίπτωση όμως, οδηγό για το μάθημα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αμφιθέατρο. Στην ιστοσελίδα του μαθήματος, στην ενότητα Εκπαιδευτικό Υλικό για το μάθημα: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ και συγκεκριμένα στην υποενότητα Σημειώσεις υπάρχουν αναρτημένες σημειώσεις του μαθήματος. Το μάθημα έχει βοηθηθεί σε σημαντικότατο βαθμό στην ανάπτυξη του θέματος από τα βιβλία α) [An Introduction to Differential Equations] των Pinchover Y. and Rubinstein J. Pinchover, Y. & Rubinstein, J. 2005, β) [Partial Differential Equations, An Introduction] του Strauss W.A. Strauss, Walter A. 2008, γ) [Fourier Analysis and its Applications] του Folland G.B. Folland, Gerald B. 1992, δ) [Partial Differential Equations, Sources and Solutions] του Snider A.D. Snider, Arthur David 1999 2

3 Ύλη του Μαθήματος Οδηγό για τις απαιτήσεις του μαθήματος αποτελούν και οι σημειώσεις του διδάσκοντα οι οποίες καλύπτουν όλη την ύλη. Αυτές, όπως αναφέρθηκε και στην προηγουμένως, βρίσκονται στην ιστοσελίδα του μαθήματος, στην ενότητα Εκπαιδευτικό Υλικό για το μάθημα: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ και συγκεκριμένα στην υποενότητα Σημειώσεις. Πιο αναλυτικά όμως για την ύλη του μαθήματος ισχύουν τα εξής 1η Ενότητα: Εισαγωγικές Έννοιες. Εισαγωγή, Ορισμός ΜΔΕ, Κατηγοριοποίηση. Καλά τοποθετημένα προβλήματα. Γραμμικοί Τελεστές. Ενότητες: Δεν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες, Σας παραπέμπω στις Σημειώσεις. 2η Ενότητα: Προέλευση ΜΔΕ. Εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής, Νόμοι διατήρησης, Καταστατικές Εξισώσεις. ΜΔΕ Διάδοσης Θερμότητας σε μία διάσταση και στο χώρο. ΜΔΕ Διάδοσης Κύματος: Ταλαντούμενη Χορδή, Ταλαντούμενη Μεμβράνη ΜΔΕ Ισορροπίας: Εξίσωση Laplace. Ενότητες: 1.1, 1.2, 1.4, 4.1, 4.2, 4.5 3η Ενότητα: Συμπληρωματικές Συνθήκες. Εξάρτηση γενικής λύσης ΜΔΕ από αυθαίρετες συναρτήσεις. Αρχικές Συνθήκες (ΑΣ), Συνοριακές Συνθήκες (ΣΣ). Προβλήματα Αρχικών Τιμών (ΠΑΤ), Προβλήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ), Προβλήματα Αρχικών- Συνοριακών Τιμών (ΠΑ-ΣΤ). Φυσική Ερμηνεία Συνοριακών Συνθηκών. Ενότητες: 1.3, 4.3

4 Κ 1. ΜΔΕ: Α - Ύ Μ 2018 4η Ενότητα: ΜΔΕ Πρώτης Τάξης. Γενική Μορφή, Σχεδόν Γραμμικές και Γραμμικές ΜΔΕ Πρώτης Τάξης. Μέθοδος των Χαρακτηριστικών, Γεωμετρική Ερμηνεία, Χαρακτηριστικές Εξισώσεις. Συνθήκη Καθετότητας, Χαρακτηριστικές. Ενότητες: 12.2 Είναι όμως προτιμότερη η παρουσίαση του θέματος στις Σημειώσεις. 5η Ενότητα: Ταξινόμηση Γραμμικών ΜΔΕ Δεύτερης Τάξεως. Κύριο Μέρος, Κανονική Μορφή. Υπερβολικές ΜΔΕ, Παραβολικές ΜΔΕ, Ελλειπτικές ΜΔΕ. Κανονική Μορφή και Συμπληρωματικές Συνθήκες, Καλά Τοποθετημένα Προβλήματα. Ενότητες: Δεν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες, Σας παραπέμπω στις Σημειώσεις. 6η Ενότητα: Προβλήματα Αρχικών Τιμών (ΠΑΤ). Το ΠΑΤ της Κυματικής Εξίσωσης. Η Ομογενής Κυματική Εξίσωση, Ερμηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής, Ενέργεια. Η Μη-Ομογενής Κυματική Εξίσωση. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης Διάχυσης. Η Ομογενής Εξίσωση Διάχυσης, Ενέργεια. Ενότητες: 12.3 Είναι όμως προτιμότερη η παρουσίαση του θέματος στις Σημειώσεις, 11.3.8 Είναι όμως προτιμότερη η παρουσίαση του θέματος στις Σημειώσεις 7η Ενότητα: Προβλήματα Αρχικών-Συνοριακών Τιμών και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών-Μέθοδος Χωρισμού Μεταβλητών (ΜΧΜ). ΠΑ-ΣΤ της Εξίσωσης Διάδοσης Θερμότητας-ΣΣ Dirichlet-ΣΣ Newmann-Περιοδικές ΣΣ, Αρχή του Μεγίστου. ΠΑ-ΣΤ της Κυματικής Εξίσωσης-ΣΣ Dirichlet-ΣΣ Newmann-Περιοδικές ΣΣ. ΠΣΤ, Η Εξίσωση Laplace. ΜΧΜ-Προβλήματα Ιδιοτιμών-Γενική Συμπεριφορά.

5 Ενότητες: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.1, 4.4 Ειδικά για την κυματική εξίσωση είναι προτιμότερη η παρουσίαση του θέματος στις Σημειώσεις. 8η Ενότητα: Σειρές Fourier. Η Σειρά Fourier μίας Περιοδικής Συνάρτησης, Περιττές και Άρτιες Συναρτήσεις. Θεωρήματα Σύγκλισης, Παράγωγος και Ολοκλήρωμα Σειράς Fourier Σειρές Fourier σε Διαστήματα, Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων και οι Σειρές Fourier, Θεώρημα Σύγκλισης, Σχεδίαση Σειρών Fourier. Συνέχεια Σειρών Fourier σε Διαστήματα, Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Σειρών Fourier σε Διαστήματα, Το φαινόμενο Gibbs Μέθοδος Χωρισμού Μεταβλητών και Γενικευμένες Σειρές Fourier Ορθογωνιότητα Ιδιοσυναρτήσεων και ΣΣ. Σύγκλιση Γενικευμένων Σειρών Fourier. Ενότητες: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 όμως οι ενότητες αυτές δεν καλύπτουν την Ενότητα 6.5 των Σημειώσεων. 9η Ενότητα: Μη Ομογενή Προβλήματα-Μέθοδος Αναπτύγματος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Ομογενείς ΜΔΕ, Μη Ομογενείς ΣΣ. Μη Ομογενείς ΜΔΕ, Ομογενοποίηση ΣΣ. Μέθοδος Αναπτύγματος σε Ιδιοσυναρτήσεις και Γενίκευση με Τύπο του Green. Ενότητες: 8.1, 8.2, 8.3, 8.4 10η Ενότητα: Θεωρία Sturm-Liouville (SL). ΜΧΜ και η Εξίσωση Helmholtz σε Δύο και Τρεις Διαστάσεις-Γενική Μορφή Προβλημάτων Ιδιοτιμών. Ορισμός Προβλήματος SL, Κανονικά Προβλήματα-Ανώμαλα Προβλήματα-Περιοδικά Προβλήματα (SL), Γενικότητα Μορφής (SL). Μελέτη Προβλήματος (SL)-Εισαγωγικές Έννοιες, Ιδιότητες: Συμμετρία-Ορθογωνιότητα-Πραγματικές Ιδιοτιμές- Πραγματικές Ιδιοσυναρτήσεις-Πολλαπλότητα Ιδιοτιμών-Άπειρη Ακολουθία Ιδιοτιμών-Ανάπτυγμα σε Ιδιοσυναρτήσεις, Πληρότητα και Σύγκλιση Αναπτύγματος-Σημεία Μηδενισμού Ιδιοσυναρτήσεων- Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Μεγάλων Ιδιοτιμών Ο Λόγος του Rayleigh, Υπολογισμός Ιδιοτιμών, Ελαχιστοποίηση Λόγου του Rayleigh Μη Ομογενή Προβλήματα και Γενίκευση με Τύπο του Green.

6 Κ 1. ΜΔΕ: Α - Ύ Μ 2018 Ενότητες: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10 11η Ενότητα: Γενικά Προβλήματα Ιδιοτιμών-Εξισώσεις Helmoholtz, Laplace, και Poisson. Γενικά Προβλήματα Ιδιοτιμών-Εξισώσεις [Helmoholtz], [Laplace], και [Poisson]. Ελλειπτικά Προβλήματα, Εξίσωση [Helmholtz]. Ιδιότητες Προβλήματος [Helmholtz]. Παραδείγματα: Ταλαντούμενη Ορθογώνια Μεμβράνη, Επίλυση με Επιλογή Ομογενούς Διευθύνσεως, Επίλυση Εξίσωσης [Laplace] σε Τρισδιάστατο Ορθογώνιο Κουτί. Το Θεώρημα των Εναλλακτικών του Helmholtz. Η Εξίσωση [Poisson], Επίλυση σε Ορθογώνιο σε Δύο Διαστάσεις. Ενότητες: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6 (και εδώ αναφερθείτε μόνο στις ενότητες που αντιστοιχούν στα δύο παραπάνω ζητήματα.) 12η Ενότητα: Ορισμός Προβλημάτων ΣΣ Εξισώσεων Laplace και Poisson. Για την Εξεταστική του Ιουνίου 2018 από τη συγκεκριμένη ενότητα ζητείται μόνο μία γενική γνώση του είδους των προβλημάτων ΣΣ που παρουσιάζονται στις χειρόγραφες σημειώσεις αλλά σημαντική είναι η ενότητα: Ορισμοί: Εξωτερικά Προβλήματα και Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Λύσεων, [Dirichlet, Neumann, Robin] και Μικτά Εξωτερικά Προβλήματα. ΣΣ [Neumann] και Συνθήκες Συμβιβαστότητας. Ενότητες: 2.5.4 μόνο τη συνθήκη επιλυσιμότητας, κατά τα άλλα Δεν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες και σας παραπέμπω στις Σημειώσεις. 13η Ενότητα: Η Εξίσωση Laplace Σε Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεταγμένων: Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεταγμένων: Καμπύλες Συντεταγμένων-Μοναδιαία Διανύσματα-Στοιχειώδες Μήκος-Μετρική. Στοιχειώδες Μήκος Πάνω σε Συντεταγμένες Καμπύλες, Στοιχειώδη Εμβαδά, Στοιχειώδης Όγκος. Ορθογώνια Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεταγμένων: Πολικές-Κυλινδρικές-Σφαιρικές Συντεταγμένες, Μορφή [Laplace] σε Ορθογώνια Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεταγμένων. Παράδειγμα: Η Εξίσωση Laplace σε Σφαιρικές Συντεταγμένες. Αναλλοίωτο της Laplace κάτω από Μετασχηματισμούς Συντεταγμένων στο Επίπεδο και στο Χώρο: Μετατοπίσεις και Στροφές.

7 Ενότητες: Δεν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες, Σας παραπέμπω στις Σημειώσεις. 14η Ενότητα: Η Εξίσωση Laplace Σε Πολικές Συντεταγμένες. Η Laplace σε Κυκλικό Δίσκο-Εσωτερικό Πρόβλημα, Τύπος του Poisson, Ιδιότητα Μέσης Τιμής. Η Laplace σε Κυκλικό Δίσκο-Εξωτερικό Πρόβλημα, Τύπος του Poisson. Η Laplace σε Δακτύλιο. Η Laplace σε Σφηνοειδή Περιοχή Γενικεύσεις: Τύπος του Poisson σε Σφαίρα, Μοναδικότητα Λύσεως, Αρχή του Μεγίστου. Ενότητες: 2.5.2, 2.5.4, Είναι όμως προτιμότερη η παρουσίαση του θέματος στις Σημειώσεις Σχετικά με τις Ενότητες Συγγραμμάτων που Αντιστοιχούν στην Ύλη. Κανένα από τα συγγράμματα δεν καλύπτει πλήρως την ύλη του μαθήματος. Μεγαλύτερη συνάφεια υπάρχει σαφώς με το προτεινόμενο σύγγραμμα Haberman, Richard 2014. Είναι πολύ πιθανόν ότι κάποιες ενότητες του συγγράμματος μπορεί να καλύπτουν και περισσότερες από μία ενότητες του μαθήματος. Τονίζεται για άλλη μία φορά ότι οδηγός για το μάθημα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αμφιθέατρο. Αυτό, διότι ο τρόπος παρουσίασης και ανάπτυξης των ενοτήτων είναι πολύ πιθανόν να είναι διαφοροποιημένος, σε αρκετές περιπτώσεις, σε σχέση με τον αντίστοιχο του συγγράμματος. Απορίες: Απορίες και ερωτήσεις μπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση: [anzoupas@uth.gr]. ή στην ιστοσελίδα του μαθήματος στην πλατφόρμα e-class του Πανεπιστημίου, στη διεύθυνση: MM400 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Παρατηρήσεις-Σχόλια Αναγνωστών: Σχόλια και παρατηρήσεις είναι όχι μόνο ευπρόσδεκτα αλλά θεωρούνται και αναγκαία. Χωρίς σχόλια και αλληλεπίδραση με τους αναγνώστες οποιαδήποτε είδους βελτίωση είναι πρακτικά αδύνατη. Τυχόν σχόλια μπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση: anzoupas@uth.gr

Βιβλιογραφία Folland, Gerald B. (1992). Fourier Analysis and its Applications. Belmont, California: Wadsworth. Haberman, Richard (2014). ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Με Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών. Αθήνα: Εκδόσεις Φούντας. Pinchover, Y. & Rubinstein, J. (2005). An Introduction to Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. Snider, Arthur David (1999). Partial Differential Equations, Sources and Solutions. NJ: Prentice Hall. Strauss, Walter A. (2008). Partial Differential Equations, An Introduction. 2nd. Hoboken, NJ: Wiley. Δάσιος Γεώργιος, Κ. Κυριάκη Κ (1994). Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Αθήνα: Δάσιος. Τραχανάς, Στέφανος (2004). Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις: Σειρές Fourier και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών. Κρήτη: Π.Ε.Κ. 8