Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΡΙΟΔΟΤΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Έστω, єδ με <. Θα δείξουμε ότι f( l ) < f( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εομένως, υάρχει ξє (, ) τέτοιο, ώστε f( )-f( ) f'(ξ)= - Οότε έχουμε f( ) - f( ) = f (ξ)( - ) Εειδή f (ξ) > και - >, έχουμε f( ) - f( ) >, οότε f( l ) < f( ). α. Ψευδής Α β. Η συνάρτησηf() =. Η f είναι συνεχής στο ο = αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη σ αυτό, αφού lim f ( ) f () lim lim f ( ) f () lim (μορεί να χρησιμοοιηθεί και άλλο αντιαράδειγμα) Α Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και ειλέον lim f ( ) f ( a) και lim f ( ) f ( ) a Α α/ Λ β/ Σ γ/ Λ δ/ Σ ε/ Σ
Β ΘΕΜΑ Β Για να ορίζεται η f g ρέει και αρκεί D και g( ) D και και () και (,) άρα D fg (,) οότε (f g)() f(g()) f( ) ln( ) g f Β Έστω h() ln ( ), (,) h'() ( )' για κάθε (,) ( ) ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο, οότε είναι και ''-'' και συνεώς αντιστρέψιμη. Το σύνολο τιμών είναι h((,)) ( lim h(), lim h()) (, ) R αφού lim h() lim ln( ) και lim h() lim ln( ) h() y y ln( ) ( ) y με (,), y R y y y y y y οότε h ( ), R
Β H φ είναι αραγωγίσιμη στο R με φ ()..., R άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν εμφανίζει ακρότατα στο R. ( ) φ είναι αραγωγίσιμη στο R με φ ()... ( ) / φ () ( η ισότητα ισχύει μόνο για χ ) Ομοίως φ () Η φ είναι κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) και έχει σημείο καμής το Α(, ) lim φ() lim άρα στο - έχει οριζόντια ασύμτωτη τον άξονα : y= Β ( ) lim φ() lim lim DHL άρα στο + έχει οριζόντια ασύμτωτη την ε: y=
Γ 8 ΘΕΜΑ Γ Η τυχαία εφατομένη (ε) της C f έχει εξίσωση (ε): y f( ) f ( )( ) y ημ συν ( ) Αφού διέρχεται αό το (, ) τότε ημ συν ( ) ( ) συν ημ εωρούμε την συνάρτηση h() ( ) συν ημ,, ροφανείς ρίζες της h() είναι οι και ενώ h () συν ( ) ημ συν ( ) ημ,, / h () ( ) ημ h () + h () (, ) και h () (,) h() h(), h( ) και h() -/ Εειδή η h και συνεχής στο Δ, τότε η χ μοναδική ρίζα στο Δ Εειδή η h και συνεχής στο Δ, τότε η χ μονα δική ρίζα στο Δ Άρα η εξίσωση h() έχει δύο ακριβώς ρίζες στο, οότε ροκύτουν δύο ακριβώς εφατόμενες (ε ) : y και (ε ) : y ος τρόος εωρούμε την συνάρτηση h() ( ) συν ημ,, ροφανείς ρίζες της h() είναι οι και Έστω ότι υάρχει και τρίτη ρίζα (,) με h( ) τα διαστήματα, και, εφαρμόζεται το Θ.Roll οότε υάρχουν ξ (, ) και ξ (,) τέτοια ώστε h (ξ ) h (ξ ) το οοίο είναι άτοο αφού η εξίσωση h () έχει μοναδική ρίζα την χ στο διάστημα (,). Άρα η εξίσωση h() έχει δύο ακριβώς ρίζες στο,
Γ f ()= συν και f () ημ >, (,) ενώ f συνεχής στα και. Άρα η f είναι κυρτή στο [,] οότε η C είναι άντα άνω αό τις εφατόμενες της (ε ) και (ε ), f με εξαίρεση τα σημεία εαφής. δηλ. f() f() και f() f() f() d f() d ημ d συν τ.μ. Ε τ.μ. ώ ( ή Ε ( ημ+) d ( ημ ) d συν συν...) Ε 8 Γ Γ Εειδή f() > f() για κάθε [,) τότε lim f() f() και lim f() οότε lim f() ος τρόος έτουμε u και έχουμε ότι u καθώς f() οότε lim lim ( ημ ) f() ημ lim ( u ημ( u)) lim ( u ημu) (+ ) u u ημ( u) u u ημu αφού lim(u ημu) και u ημu > για κάθε u (,) u f() Για κάθε [,] [,] έχουμε f() > > f() f() f() οότε και d > ( ) d d > ln d > ος τρόος ημ Για κάθε [,] [,] έχουμε ημ οότε και ημ f() f() d ( ) d d ln d ( )
Δ Δ ΘΕΜΑ Δ f είναι συνεχής στα διαστήματα [,) και (,] ως ράξεις συνεχών συναρτήσεων ενώ lim f() lim f() f(), οότε είναι συνεχής στο [,] ν (,) τότε f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ν (,) τότε f () ( ημ) ημ συν (ημ συν) f () ημ συν ημ συν εφ αφού συν οότε αφού < < ημ f() f() f() f() ( ) ( ) lim lim ενώ lim lim lim lim ( ) άρα δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Συνεώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα και. ια είναι f () < ια είναι f () (ημ+συν) f () μοναδική ρίζα στο (,) και εειδή η f είναι συνεχής θα διατηρεί σταθερό ρόσημο σε κάθε ένα αό τα (, ) και (,]. ειδή f ( ) και f () τότε έχουμε τον αρακάτω ίνακα f () f() - / + Η f αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο το f( ), f γνησίως φθίνουσα στο [,] f γνησίως αύξουσα στο [, ] f γνησίως φθίνουσα στο [,] τοικό ελάχιστο στο το f(), τοικό μέγιστο στο το f( ) και τοικό ελάχιστο στο το f(). Eειδή η f είναι συνεχής στο [,] τότε η f έχει ολικό ελάχιστο το και ολικό μέγιστο το ενώ το σύνολο τιμών είναι το f(a), αφού < < < < ου ισχύει γιατί
Δ f() d ημ d σχύει ημ (ημ ) Για κάθε [,] είναι ημ άρα ημ d οότε έχουμε ( ημ) d d ημ d I I I ημ d ημ συν d ημ συν άρα Ι Ι οότε Ε Δ 8 f() ( ) 8 f() ( ) 8 ( ) 8 f() f() ( ) f() ( ) f( ) f() f( ) ( ) Προφανής ρίζα το χ ου είναι και μοναδική αφού f() f( ) και ( ) για κάθε χ Νίκος Μανάρας Δημήτρης Μαρούτης Γιώργος Χριστοδουλίδης