x, οπότε για x 0 η g παρουσιάζει

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 9 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 33 A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Α3 Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α4 α) Σ, β) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Ισχύει g, με Έστω η συνάρτηση 4 Έχουμε g g g για κάθε, οπότε για η g παρουσιάζει ελάχιστο Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘFrmat, (αφού η g είναι παραγωγίσιμη στο ), επομένως g Αλλά g 4 g 4 4 Για έχουμε, 4 i) Είναι Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: H συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, Παρουσιάζει ελάχιστο στο (, () ) Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, τότε ( ) (), lim ( ),, με () και lim ( ) lim ( )

2 Αφού Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, με ( ) (), lim ( ), lim ( ) lim lim ( )( ) Οπότε το σύνολο τιμών της ( ), για κάθε είναι : τότε και το «=» ισχύει μόνο για, έχουμε ( ) ( ) () Επειδή ( ), ( ), η εξίσωση () έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο και μία στο Επιπλέον η συνάρτηση εξίσωση () έχει ακριβώς πραγματικές ρίζες είναι γνησίως μονότονη στα, Άρα η ii) Είναι ( ) lim lim lim Άρα η ευθεία lim ( ) lim lim y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο iii) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση 3 έχει μοναδική λύση στο Θεωρούμε τη συνάρτηση g 3 στο διάστημα,3 και εφαρμόζουμε το θbolzano H g είναι συνεχής σαν πολυωνυμική με g και g επειδή,,, οπότε g g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Επιπλέον g σημαίνει ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο,3,3 3 και () (3) 4 ( ) ( ), άρα που,3, οπότε η ρίζα είναι μοναδική ΘΕΜΑ Γ H σχέση ( ) ( ), d θέτοντας ( ) d c, γίνεται () c Τότε ( ) ( ) ( ) c d c d c d c d c c( ) c c c c c ( c) c Άρα (),

3 Η συνάρτηση g()= ()+= είναι παραγωγίσιμη στο με g (),, οπότε η συνάρτηση g άρα αντιστρέφεται είναι γνησίως αύξουσα στο Α=R, επομένως θα είναι και -, Το σύνολο τιμών της θα είναι g( A) lim ( ), lim ( ), limg( ) lim ( ) και limg( ) lim ( ) ( ), αφού Αυτό σημαίνει ότι η g έχει πεδίο ορισμού το g( A), Πρόσημο της g : Είναι g ( ) g() g: ύ g ( ) g( g ( )) g() g - + g ( ) 3 Είναι ( ) ( ) E g d d g( y) dy γιατί g () Θέτουμε g ( ) y g( y) και Για έ g( y) g() g( y) y Για έ g( y) g() g( y) y Οπότε y y ( ) ( ) ( ) ( ) E g d yg y dy y dy y dy ydy y y y y y 3 y( ) dy y dy h() h() h() h() h() 4 Έχουμε ( ) d d h() h() () h() h() h() Θεωρούμε τη συνάρτηση G()= h() -h(), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, με h ( ) G( ) h( ) h( ) και G()=G() από την () Οπότε θα ισχύει το ΘRoll, που σημαίνει ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, έτσι ώστε h( ) h( ) G( ) h( ) h( ) h( ) h( ) αφού 3

4 h( ) h( ) h h() ( ), το οποίο ισχύει γιατί από την υπόθεση έχουμε, για κάθε ΘΕΜΑ Δ ( ) Τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln υπάρχει c ln ( ), Η συνάρτηση, ώστε ( ) ln c και για είναι παραγωγίσιμη στο, με, μας δίνει ln ln ( ), ά Είναι ln ( ) ln ln ln ln H μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: c, οπότε έχομε Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο Επίσης έχουμε: είναι γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, (), ln ln ln ln ln ( ), ά ln ( ) ln ln 3,, 4

5 H κυρτότητα και τα σημεία καμπής φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: () - + () 3 Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η συνάρτηση, και παρουσιάζει σημείο καμπής στο είναι κοίλη στο, 3, ( ),, κυρτή στο 3 Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι ( ) ά που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, Αν τώρα έχουμε και εφαρμόζοντας ΘΜΤ στα,, βρίσκουμε ότι υπάρχουν και, ( ) ( ) να ισχύουν: ( ) ( ) ( ) και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αλλά : ύ, έτσι ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ά 4 i) Αφού η συνάρτηση G μία παράγουσα της g στο,, όπου ( ) g( ), θα ισχύει ln ln ( ) ( ) G g Θεωρούμε τη συνάρτηση H( ) G( ) G( ) ln,, η οποία είναι παραγωγίσιμη με: 5

6 ln ln H ( ) G ( ) G ( ) ln ln ln ln Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει c, ώστε H() G() G() ln c, οπότε H() c και για H( ) G( ) G( ) ln G( ) G( ) ln,, μας δίνει ii) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε, G( ) G( ) ln, οπότε G( ) d G( ) ln d G( ) d ln d () Αν u d du u u έ u έ u ό u G ( ) G( ) d G( u) du d u και ln d ( ) ln d ln d ( ) Άρα η () γίνεται G( ) G( ) G( ) G( ) d d d G( ) d d ln iii) Είναι G( ) G( ) g( ) ln Έστω t() ln, η οποία είναι παραγωγίσιμη με t () ά Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση t αύξουσα στο, είναι γνησίως 6

7 Επίσης ΘBolzano στο, Για t() t( ) ln Οπότε t() t( ) Επομένως ισχύει το, Θα υπάρχει μοναδικό (αφού t ώστε t( ) G( ) t: ύ t( ) t( ) t( ) G( ) t: ύ Για t( ) t( ) t( ) G( ) H μονοτονία της G φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: είναι γνησίως αύξουσα) Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η συνάρτηση G είναι γνησίως φθίνουσα στο,, γνησίως αύξουσα στο,,g( ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο 7