ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ) Είναι γνωστό ότι µια περιττή συνάρτηση έχει κέντρο συµµετρίας το Ο(0,0) Αυτό δεν αποκλείει να υπάρχουν και άλλα ΚΣ Πχ Η (x) = x είναι µια ευθεία που εκτός από το Ο(0,0) έχει ως ΚΣ κάθε σηµείο της, δηλ έχει άπειρα ΚΣ Η (x) = ηµx έχει επίσης άπειρα ΚΣ όπως θα αποδείξουµε στη συνέχεια Εδώ θα ρούµε τα ΚΣ των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων Σε όλη την έκταση του άρθρου θα υποθέτουµε ότι το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης περιέχει τουλάχιστον δύο στοιχεία Έστω : A R µια συνάρτηση και Κ(λ,µ) ένα ΚΣ της c Το συµµετρικό ενός σηµείου M(x 0, y 0) της c ως προς το Κ είναι το σηµείο M (λ x 0,µ y 0) Για να είναι M c, πρέπει και αρκεί: i) λ x0 A ii) (λ x 0) = µ y0 ή το ίδιο (x 0) + (λ x 0) = µ Έχουµε λοιπόν την εξής Πρόταση Έστω η συνάρτηση : A R Για να είναι το σηµείο Κ(λ,µ) ΚΣ της c πρέπει και αρκεί: i) λ x A για κάθε x A ii) (x) + (λ x) = µ για κάθε x A Σελ

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 Έστω τώρα ότι η έχει τις παραπάνω ιδιότητες και είναι παραγωγίσιµη Παραγωγίζοντας την σχέση (x) + (λ x) = µ ως προς x ρίσκουµε (x) (λ x) = 0 Έχουµε λοιπόν την εξής Πρόταση Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και η c έχει ΚΣ το σηµείο Κ(λ,µ), τότε (x) = (λ x) για κάθε x Α Αντίστροφα Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και ισχύει (x) = (λ x) για κάθε x A, τότε η c έχει ΚΣ το σηµείο Κ(λ,µ), όπου µ η σταθερή τιµή της συνάρτησης (x) = (x) + (λ x) Άµεση συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι η Πρόταση Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και η είναι -, τότε η c δεν έχει ΚΣ Άµεσο συµπέρασµα είναι της παραπάνω πρότασης είναι και η επόµενη Πρόταση 4 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη και η είναι γνήσια µονότονη, τότε η δεν έχει ΚΣ Εποµένως οι συναρτήσεις που είναι κυρτές ή κοίλες σε ολόκληρο το πεδίο ορισµού τους, δεν έχουν ΚΣ Πρόταση 5 Αν η συνάρτηση : A R είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και είναι (x) > 0 για κάθε x A, τότε η c δεν έχει ΚΣ Θα χρησιµοποιήσουµε τώρα τις παραπάνω προτάσεις για να ρούµε τα ΚΣ διαφόρων συναρτήσεων ή να αποδείξουµε ότι δεν έχουν ΚΣ Παραδείγµατα Να ρεθούν τα ΚΣ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ) (x) = αx + Πεδίο ορισµού: Α=R Σελ

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω ότι το σηµείο Κ(λ,µ) είναι ΚΣ της c Θα ισχύει τότε: (x) + (λ x) = µ για κάθε x R αλ+ = µ Η τελευταία ισχύει για κάθε x R, αρκεί να επιλέξουµε µ = αλ+ Το σηµείο λοιπόν (λ,µ) = (λ,αλ+ ) που είναι το οποιοδήποτε σηµείο της c είναι ΚΣ της ) (x) = αx + x + γ, α 0 Πεδίο ορισµού Α=R Έστω ότι το σηµείο Κ(λ,µ) είναι ΚΣ της c Θα πρέπει (x) + (λ x) = µ για κάθε x R αx + x + γ + α(λ x) + (λ x) + γ = µ για κάθε x R αx αλx + αλ + λ + γ µ = 0 για κάθε x R Η τελευταία όµως δεν µπορεί να ισχύει για κάθε x R αφού α 0 Άρα η c δεν έχει ΚΣ Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η Πρόταση 6 Αν η συνάρτηση είναι πολυωνυµική άρτιου αθµού, τότε η c δεν έχει ΚΣ ν ν Αν η (x) = ανx + αν x + + αx+ α0 µε αν 0 και ν = άρτιος έχει ΚΣ το σηµείο Κ(λ,µ), θα ισχύει: (x) + (λ x) = µ για κάθε x R α x + α x + + α x+ α + ν ν ν ν 0 α (λ x) + α (λ x) + + α (λ x) + α = µ () ν ν ν ν 0 επειδή ο ν είναι άρτιος, ο συντελεστής του είναι το +, εποµένως το συντελεστής του ισχύει για κάθε x R Εποµένως η c δεν έχει ΚΣ ν x στο ανάπτυγµα ν x στην () είναι ο = ν ν (λ x) (x λ) αν 0 και η () δεν ) (x) = x + x Εδώ το πεδίο ορισµού της είναι το A = R {} Αν Κ(λ,µ) είναι ένα ΚΣ της c, θα πρέπει λ x A, άρα λ x x λ Εποµένως πρέπει λ = λ = Ώστε το µόνο πιθανό ΚΣ είναι το σηµείο Κ(,µ) Πρέπει τώρα να ισχύει: (x) + (λ x) = µ για κάθε x Α (x) + ( x) = µ για κάθε x Α Σελ

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 x + ( x) + x + 7 x 4x 4 Είναι: (x) + ( x) = + = + = = x x x x x Άρα µ = Εποµένως το σηµείο Κ(λ,µ) = Κ(, ) είναι το µοναδικό ΚΣ της c 4 = µ 4) x (x) = (x )(x )(x 4) Το πεδίο ορισµού της είναι το A = R {,, 4} Αν Κ(λ,µ) είναι ένα ΚΣ της c, θα πρέπει λ x A για κάθε x Α λ x x λ Άρα λ x x λ λ x 4 x λ 4 λ 4 = λ 5/ = Επειδή λ 4 < λ < λ, θα πρέπει λ = λ = λ = 4 λ = 5/ Επειδή οι σχέσεις δεν συναληθεύουν, δεν υπάρχει ΚΣ 5) (x) = x x + x x + Είναι x x + 0 για κάθε x R, άρα A= R Έστω Κ(λ,µ) ένα ΚΣ της c Πρέπει (x) + (λ x) = µ για κάθε x R x x + (λ x) (λ x) + x x + (λ x) (λ x) + + = µ για κάθε x R () Με απαλοιφή των παρονοµαστών προκύπτει ισότητα δύο πολυωνύµων 4 ου αθµού Εξισώνοντας τους συντελεστές των ιδίων δυνάµεων του x ρίσκουµε τα λ, µ Μπορούµε να αποφύγουµε τις πολλές πράξεις ως εξής: Η () ισχύει για κάθε x R Άρα: Για x= 0 : Για x= : 8λ 4λ + 4λ 4λ + (λ ) (λ ) + (λ ) (λ ) + + = µ + = µ Λύνουµε το σύστηµα των () και () () () 8λ 4λ + (λ ) (λ ) + 4λ 4λ + (λ ) (λ ) + + = + Σελ 4

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μετά τις πράξεις καταλήγουµε: Μια ρίζα της (4) είναι η λ= Με το σχήµα Horner ρίσκουµε ότι η (4) 4 4λ λ + 7λ λ + = 0 (4) (λ )(4λ 8λ + 9λ ) = 0 (5) Το πολυώνυµο 4λ 8λ + 9λ έχει ρίζα το και διαιρώντας πάλι µε το σχήµα Horner η (5) (λ )(λ )(λ λ + ) = 0 Το τριώνυµο λ λ + δεν έχει ρίζες Εποµένως οι ρίζες της (4) είναι οι λ= και λ= Για λ= η () µ = Για λ= η () µ = Έτσι, πιθανά ΚΣ της c είναι τα Κ (, ) και Κ (, ) Βέαια οι λύσεις αυτές προέκυψαν από τις συγκεκριµένες τιµές x= 0 και x= και δεν είναι σίγουρο ότι οι λύσεις θα είναι οι ίδιες για κάθε x R Για τον λόγο αυτόν χρειάζεται επαλήθευση x x + ( x) ( x) + Για λ= και µ = η () γίνεται: + = 4 x x + ( x) ( x) + x x + x 6x + 6 x x + x x + + = 4 που ισχύει προφανώς για κάθε x R Άρα το πιθανό ΚΣ Κ (, ) είναι πράγµατι ΚΣ της c x x + ( x) ( x) + Για λ= και µ = η () γίνεται: + = που x x + ( x) ( x) + πρέπει να επαληθεύεται για κάθε x R 6 Όµως για x= δίνει + = που είναι άτοπο 5 Άρα το πιθανό ΚΣ Κ (, ) δεν είναι τελικά ΚΣ της c Έτσι η c έχει µοναδικό ΚΣ το σηµείο Κ (, ) Τα επόµενα παραδείγµατα λύνονται µε την οήθεια των παραγώγων, δηλ µε την οήθεια των προτάσεων,, 4, και 5 6) (x) = αx + x + γ, α 0 Είναι Α=Rκαι (x) = αx + Αν Κ(λ,µ) είναι ένα ΚΣ της c θα πρέπει: (x) = (λ x) για κάθε x R αx + = α(λ x) + αx αλ = 0 Για να ισχύει η τελευταία για κάθε x R πρέπει α = 0, άτοπο Άρα η c δεν έχει ΚΣ Σελ 5

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 7) (x) = αx + x + γx + δ, α 0 Είναι Α=R και (x) = αx + x + γ Αν Κ(λ,µ) είναι ένα ΚΣ της c θα πρέπει: (x) = (λ x) για κάθε x R αx + x + γ = α(λ x) + (λ x) + γ (αλ + )x αλ λ = 0 αλ + = 0 () αλ + λ = 0 () Από την () προκύπτει λ = που επαληθεύει και την () α Για λ = είναι α µ = (x) + (λ x) = αx + x + γx + δ + α(λ x) + (λ x) + γ(λ x) + δ = Άρα γ µ = δ + α 7α Άρα η c έχει µοναδικό ΚΣ το σηµείο 8) (x) = ηµx γ 4 δ + α 7α γ Κ(λ,µ) = (,δ + ) α α 7α Είναι A=R, (x) = συνx Αν Κ(λ,µ) είναι ένα ΚΣ της c, θα πρέπει: (x) = (λ x) για κάθε x R x κπ λ x () ή συνx = συν(λ x) για κάθε x R = + x = κπ λ + x () Η () αληθεύει µόνον όταν x= κπ+ λ, ενώ η () αληθεύει για κάθε x R, αρκεί λ= κπ Για λ= κπ είναι µ = (x) + (λ x) = µ = (x) + (κπ x) = ηµx ηµx = 0 Έτσι η c έχει άπειρα ΚΣ της µορφής (κπ,0),κ Z 9) (x) = e x x A=R, (x) = e Αν Κ(λ,µ) είναι ένα ΚΣ της c θα πρέπει: (x) = (λ x) για κάθε x R x λ x = e x = λ x e Η τελευταία ισχύει µόνον για x = λ, άρα η c δεν έχει ΚΣ Αλλιώς, η είναι -, άρα η c δεν έχει ΚΣ Σελ 6

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 0) (x) = e x Είναι A=R, x = xe για κάθε x R (x) x x x = + = + > για κάθε x R (x) e 4x e ( 4x )e 0 Σύµφωνα µε την πρόταση 5, η c δεν έχει ΚΣ Πρόταση 7 Έστω η συνάρτηση : A R Αν το (0, 0) είναι ΚΣ της c, τότε η c, όπου α) (x) = (x) + α έχει ΚΣ το (0,α) ) (x) = (x α) έχει ΚΣ το (α,0) γ) (x) = (x α) + έχει ΚΣ το (α,) Αντίστροφα Αν η c έχει ΚΣ το (α,), τότε η c όπου (x) = (x + α) έχει ΚΣ το (0,0) Επειδή το (0,0) είναι ΚΣ της c, για κάθε x Α ισχύουν: i) x A και ii) ( x) = (x) () α) Η c είναι κατακόρυφη µετατόπιση της c κατά α µονάδες, εποµένως και το ΚΣ της c µετατοπίζεται κατακόρυφα κατά α µονάδες, άρα είναι το (0,α) Αναλυτική απόδειξη Πεδίο ορισµού της είναι πάλι το Α, εποµένως η συνθήκη (i) ισχύει Ακόµη: ( x) + (x) = ( x) + α + (x) + α = (x) + α + (x) + α = α Σύµφωνα λοιπόν µε την Πρόταση, το (0,α) είναι ΚΣ της c ) Η c είναι οριζόντια µετατόπιση της c κατά α µονάδες, άρα και το ΚΣ της c µετατοπίζεται κατά α µονάδες οριζόντια, εποµένως είναι το (α,0) Αναλυτική απόδειξη Το πεδίο ορισµού Α της αποτελείται από εκείνα τα x για τα οποία ισχύει x α Α, άρα x α = κ Α, δηλαδή Α = {x = κ + α / κ Α} Για να αποδείξουµε ότι η c έχει ΚΣ το (α,0), πρέπει να αποδείξουµε ότι: για κάθε x A ισχύουν: ) α x A και ) (x) + (α x) = 0 Σελ 7

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 Πράγµατι, x A x = κ + α / κ Α, άρα α x = α (κ + α) = κ + α Α, αφού κ Α, λόγω της () Επίσης: () (x) + (α x) = (x α) + (α x α) = (x α) + (α x) = (x α) (x α) = 0 Άρα το (α,0) είναι ΚΣ της c γ) Η c είναι µετατόπιση της c κατά α µονάδες οριζόντια και κατά µονάδες κατακόρυφα Άρα το ΚΣ της c µετατοπίζεται µε τον ίδιο τρόπο Αναλυτική απόδειξη Το πεδίο ορισµού της αποτελείται από εκείνα τα x για τα οποία: x α = κ Α, άρα x = κ + α / κ Α () Επίσης: (x) + (α x) = (x α) + + (α x) + = Σύµφωνα λοιπόν µε την πρόταση, το (α,) είναι ΚΣ της c Αντίστροφα Αν Α είναι το πεδίο ορισµού της, πρέπει να αποδείξουµε ότι για κάθε x Α ισχύουν: α ) x A και α ) ( x) + (x) = 0 Πράγµατι, x A x = κ α / κ Α x = α κ = (α κ) α = κ α Α αφού α κ Α, δηλαδή ισχύει η (α ) Ισχύει: (x) + (α x) = και θέτοντας όπου x το x+ α : (x + α) + (α x) = () () Άρα ( x) + (x) = (α x) + (x + α) = 0 Άρα το (0,0) είναι ΚΣ της c Πόρισµα Έστω η συνάρτηση: : A R Αν Κ(λ,µ) είναι ΚΣ της c, τότε η c έχει ΚΣ α) το (λ,µ + α) αν (x) = (x) + α ) το (λ + α,µ) αν (x) = (x α) γ) το (λ+ α,µ + ) αν (x) = (x α) + Θέτουµε h(x) = (x + λ) µ (x + λ) = h(x) + µ (x) = h(x λ) + µ Επειδή η c έχει ΚΣ το (λ,µ) η c h (αντίστροφο πρότασης 7) έχει ΚΣ το (0,0), άρα Σελ 8

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) η (x) = (x) + α = h(x λ) + µ + α έχει ΚΣ το (λ,µ + α) ) η (x) = (x α) = h(x λ α) + µ έχει ΚΣ το (λ + α,µ) γ) η (x) = (x α) + = h(x λ α) + µ + έχει ΚΣ το (λ + α,µ + ) Γεωµετρικά, η c όπου (x) = (x α) + προκύπτει µε µετατόπιση της c κατά α µονάδες οριζόντια και κατά µονάδες κατακόρυφα, οπότε και το ΚΣ της c µετατοπίζεται µε τον ίδιο τρόπο Άρα το νέο ΚΣ είναι το (λ + α,µ + ) Πρόταση 8 Έστω οι συναρτήσεις: : A R και γ : A R µε Α Α c και c έχουν κοινό ΚΣ το (λ,µ) Τότε α) Η ch όπου h(x) = ρ(x), ρ R * έχει ΚΣ το (λ,ρµ) Ειδικά για ρ = η h(x) = (x) έχει ΚΣ το (λ, µ) ) Η c h όπου h(x) = (x) + (x) έχει ΚΣ το (λ, µ) γ) Η c h όπου h(x) = (x) (x) έχει ΚΣ το (λ,0) Επειδή η c έχει ΚΣ το (λ,µ), για κάθε x Α θα είναι: λ x A και (x) + (λ x) = µ, άρα α) Η h έχει το ίδιο πεδίο ορισµού A µε την Είναι: h(x) + h(λ x) = ρ (x) + ρ (λ x) = ρ[ (x) + (λ x)] = ρµ εποµένως το (λ,ρµ) είναι ΚΣ της c h και έστω ότι οι ) Το πεδίο ορισµού της h είναι το A = A A και για κάθε x A ισχύει λ x A Ακόµη: h(x) + h(λ x) = (x) + (x) + (λ x) + (λ x) = µ + µ = 4µ, άρα το (λ, µ) είναι ΚΣ της c h γ) Το πεδίο ορισµού της h είναι πάλι το Α και ισχύει: h(x) + h(λ x) = (x) (x) + (λ x) (λ x) = (x) + (λ x) [(x) + (λ x)] = µ µ = 0, άρα το (λ, 0) είναι ΚΣ της c h Πόρισµα Έστω οι συναρτήσεις : A R και : A R µε A A και έστω ότι οι c και c έχουν κοινό ΚΣ το (0,0) Τότε οι συναρτήσεις h,h,h µε Σελ 9

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 h (x) = ρ (x), ρ R *, h (x) = (x) + (x) και h (x) = (x) (x) έχουν ΚΣ το (0,0) Με την οήθεια των παραπάνω προτάσεων 7 και 8 µπορούµε να κατασκευάσουµε άπειρες συναρτήσεις που να έχουν ΚΣ γνωστά εκ των προτέρων µε τη οήθεια συναρτήσεων που έχουν γνωστά ΚΣ Έτσι πχ επειδή οι περιττές συναρτήσεις έχουν ως ΚΣ το (0,0), µπορούµε να κατασκευάσουµε νέες συναρτήσεις όπως δείχνουµε στα επόµενα παραδείγµατα Κατασκευή συναρτήσεων µε δοσµένο ΚΣ ) Η α) η ) η γ) η δ) η (x) (x) = x είναι περιττή, άρα έχει ΚΣ το (0,0) Εποµένως: = x έχει επίσης ΚΣ το (0,0) (x) (x) x = + = + έχει ΚΣ το (0,) (x) (x ) (x ) = = έχει ΚΣ το (,0) 4(x) (x) x x x = + = + + έχει ΚΣ το (,) ) Με την οήθεια των (x) = x και (x) = ηµx, x R που έχουν κοινό ΚΣ το (0,0) µπορούµε να κατασκευάσουµε τις α) h (x) = (x) + (x) = x+ ηµx που έχει ΚΣ επίσης το (0,0) π π π ) h (x) = h (x + ) + = (x + ) + ηµ(x + ) + = x+ συνx+ π+ που έχει π ΚΣ το σηµείο (, ) Μπορούµε αντίστροφα να ρούµε τα ΚΣ µιας συνάρτησης αν την φέρουµε στην µορφή (x) = (x α) + όπου περιττή συνάρτηση, δηλ η έχει ΚΣ το (0,0), οπότε η έχει ΚΣ το (α,) x + Πχ για την συνάρτηση (x) = (άσκ ) µπορούµε να γράψουµε: x x + 5 (x) = = ή (x) = (x ) + όπου η περιττή συνάρτηση µε x x 5 (x) = x Εποµένως η c έχει ΚΣ το σηµείο (, ) όπως ρήκαµε και προηγουµένως Πρόταση 9 Σελ 0

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω η συνάρτηση : A R και έστω ότι η c έχει δύο διαφορετικά ΚΣ Κ (λ,µ ), Κ (λ,µ ) Τότε: α) Τα δύο ΚΣ δεν µπορούν να ρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη, δηλ λ λ ) Το πεδίο ορισµού της δεν είναι φραγµένο ούτε άνω ούτε κάτω, δηλαδή για κάθε Μ,m R, υπάρχουν x, x R µε x > M και x< m α) Έστω λ= λ και µ µ (x) + (λ λ λ x) = µ = Για κάθε x Α ισχύουν: µ = µ (x) + (λ x) = µ Άρα λ λ άτοπο ) Έστω λοιπόν λ λ, πχ λ< λ Ονοµάζουµε δ = λ λ Έστω ακόµη x0 A Επειδή το (λ,µ ) είναι ΚΣ της c θα ισχύει λ x0 A Επειδή το (λ,µ ) είναι επίσης ΚΣ της c θα ισχύει λ (λ x 0) A, δηλ δ+ x0 A Θα αποδείξουµε επαγωγικά ότι για κάθε ν N * ισχύει νδ+ x0 A Για ν= η πρόταση ισχύει όπως αποδείξαµε Έστω ότι η πρόταση ισχύει για ν= κ, δηλ κδ + x 0 A Θα αποδείξουµε ότι η πρόταση ισχύει και για ν= κ+, δηλ (κ + )δ + x Α 0 Πράγµατι: κδ + x0 A λ (κδ + x 0 ) = λ κδ x 0 A λ (λ κδ x 0 ) = (λ λ ) + κδ+ x0 = (κ + )δ + x0 A ηλαδή η πρόταση ισχύει και για ν= κ+, άρα ισχύει για κάθε ν N * Αποδείξαµε δηλ ότι νδ+ x0 A για κάθε ν N * Έστω τώρα ότι το Α είναι φραγµένο άνω Μ x0 Τότε Μ R : νδ + x0 M για κάθε ν N* ν, άτοπο, αφού για κάθε δ πραγµατικό αριθµό υπάρχει φυσικός αριθµός µεγαλύτερός του Έτσι το Α δεν είναι άνω φραγµένο Για να αποδείξουµε ότι το Α δεν είναι φραγµένο κάτω, ξεκινούµε από το x0 A λ x 0 A λ (λ x 0 ) A δ+ x0 A Όπως και πριν, µε την µέθοδο της τέλειας επαγωγής καταλήγουµε ότι για κάθε ν N * ισχύει νδ+ x0 A που παρόµοια οδηγεί σε άτοπο Έτσι το Α δεν είναι ούτε κάτω φραγµένο Σελ

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει η εξής Πρόταση 0 α) Μια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το διάστηµα (α,) για να έχει περισσότερα του ενός ΚΣ θα πρέπει α = και = + ) Μια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [α,] δεν µπορεί να έχει περισσότερα του ενός ΚΣ γ) Μια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού την ένωση {α, } {α, } {α ν, ν} όπου µε το σύµολο {α,} εννοούµε οποιοδήποτε διάστηµα µε άκρα τα α και (ανοιχτό, κλειστό, ηµιανοιχτό) και α< < α< < < αν< ν για να έχει περισσότερα του ενός ΚΣ πρέπει α = και ν = + Έτσι πχ: α) η (x) = ηµx µε x [ π,π] δεν µπορεί να έχει περισσότερα του ενός ΚΣ ) η (x) = x x µε πεδίο ορισµού το A = [0, ] δεν µπορεί να έχει περισσότερα του ενός ΚΣ γ) η = µε x (0, + ) δεν µπορεί να έχει περισσότερα του ενός ΚΣ x x h(x) e e Πρόταση Αν µια συνάρτηση : A R έχει ΚΣ το (λ,µ) και λ A τότε (λ,µ) c Ειδικότερα, αν µια πολυωνυµική συνάρτηση : R R έχει ΚΣ, τότε το ΚΣ ανήκει στην c (υπενθυµίζουµε ότι η πολυωνυµική συνάρτηση πρέπει να είναι περιττού αθµού για να έχει ΚΣ) Επειδή το (λ,µ) είναι ΚΣ της c θα είναι (x) + (λ x) = µ για κάθε x Α Θέτοντας όπου x= λ ρίσκουµε (λ) + (λ) = µ (λ) = µ που σηµαίνει ότι το ΚΣ ανήκει στην c Πρόταση Μια πολυωνυµική συνάρτηση : R R αθµού ν έχει το πολύ ένα ΚΣ Θα κάνουµε την απόδειξη µόνο για πολυωνυµική συνάρτηση περιττού αθµού, αφού οι πολυωνυµικές συναρτήσεις αρτίου αθµού δεν έχουν ΚΣ ν ν Έστω λοιπόν (x) = α x + α x + + α x+ α όπου ν µια πολυωνυµική ν ν 0 συνάρτηση και Κ (λ,µ ), Κ (λ,µ ) δύο ΚΣ της c Θα ισχύουν (x) + (λ x) = µ () και Σελ

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (x) + (λ x) = µ () ν ν Η () α x + α x + + α x+ α + ν ν 0 α (λ x) + α (λ x) + + α (λ x) + α = µ ν ν ν ν 0 ν x στην τελευταία ισότητα είναι: Ο συντελεστής του ν αν νλαν + αν = αν νλαν ( αν από τον όρο αν x, νλαν από τον ν ν όρο α ν (λ x) και αν από τον όρο α ν (λ x) ) Άρα πρέπει α ν νλα = ν 0 α ν νλα = ν 0 () Από την () µε όµοιο τρόπο ρίσκουµε α ν νλ α = ν 0 (4) Από τις () και (4) προκύπτει λ= λ, οπότε και µ = µ, άρα το ΚΣ όταν υπάρχει είναι µοναδικό Σηµείωση Για την πολυωνυµική συνάρτηση (x) = αx + του ου αθµού όπως αποδείξαµε υπάρχουν άπειρα ΚΣ Πρόταση α+ α+ Αν µια συνάρτηση : (α,) R έχει ΚΣ το (λ,µ) τότε λ= και µ = ( ) Το ίδιο ισχύει αν :[α,] R, ενώ αν το πεδίο ορισµού της είναι το [α,) ή το (α,], η c δεν έχει ΚΣ Το σύνολο τιµών της συνάρτησης (x) = λ x είναι το (λ, λ α) Πρέπει το σύνολο αυτό να ταυτίζεται µε το πεδίο ορισµού της, δηλ πρέπει α+ λ = α και λ α = από τις οποίες προκύπτει λ= α+ α+ Από την σχέση (x) + (λ x) = µ θέτοντας όπου λ= και x= α+ ρίσκουµε µ = ( ) Όµοια γίνεται και η απόδειξη όταν το πεδίο ορισµού της είναι το [α,] Όταν x [α,), τότε το σύνολο τιµών της είναι το (λ, λ α] που δεν µπορεί να ταυτίζεται µε το [α,] Άρα στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει ΚΣ Το ίδιο ισχύει και όταν το πεδίο ορισµού της είναι το (α,] Από την πρόταση αυτή προκύπτει και η εξής Πρόταση 4 Αν η :[α,] R έχει ΚΣ τότε α+ (α) + () = ( ) () Σελ

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 Επειδή η c έχει ΚΣ, αυτό θα είναι το Άρα για κάθε x Για x = α παίρνουµε: α+ α+ (, ( )) α + (x) + (α + x) = ( ) α+ (α) + () = ( ) [α,] θα ισχύει: Παρατήρηση Το αντίστροφο της πρότασης αυτής δεν ισχύει Αν δηλ ισχύει η (), αυτό δεν σηµαίνει ότι η έχει ΚΣ Πχ για την συνάρτηση :[0, ] R µε (x) = x(x ) (x ) ισχύει η (), όµως το σηµείο (,0) δεν είναι ΚΣ της c αφού η σχέση (x) + ( x) = 0 δεν ισχύει πχ για x= Οι προτάσεις και 4 µαζί µε την παρατήρηση µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να διαπιστώσουµε αν µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το διάστηµα (α,) ή το [α,] έχει ή δεν έχει ΚΣ Πχ Για την συνάρτηση : (,) R µε (x) = x x το µόνο πιθανό ΚΣ είναι το (, ()) = (,6) το οποίο όµως τελικά δεν είναι ΚΣ αφού η σχέση (x) + (4 x) = δεν ισχύει γι x= Αντίθετα η συνάρτηση : (,) R µε (x) = (x ) έχει ΚΣ το (, ()) = (, 0) αφού η σχέση (x) + (4 x) = 0 ισχύει για κάθε x (,) Σελ 4

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Στα προηγούµενα δόθηκαν προτάσεις σχετικές µε τα ΚΣ µιας συνάρτησης Τώρα θα δώσουµε προτάσεις που αφορούν του άξονες συµµετρίας µιας συνάρτησης Είναι εκπληκτικό το πώς συνδέονται οι άξονες συµµετρίας µε τα κέντρα συµµετρίας µέσω των παραγώγων και των ολοκληρωµάτων Ορισµός Μία ευθεία (ε) λέγεται άξονας συµµετρίας (συντοµογρ ΑΣ) ενός σχήµατος (Σ) αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς την (ε) ταυτίζεται µε το (Σ) Ένα σχήµα µπορεί να έχει από 0 ως και άπειρους ΑΣ Πχ Η συνάρτηση συνέχεια Η συνάρτηση (x) (x) = x δεν έχει κανέναν ΑΣ όπως θα δείξουµε στη = x έχει µοναδικό ΑΣ τον y y Η (x) = x που παριστάνει ευθεία, έχει ως ΑΣ κάθε ευθεία κάθετη προς αυτήν Ο κύκλος x + y = έχει ως ΑΣ κάθε διάµετρό του Εδώ θα ρούµε µόνο τους κατακόρυφους ΑΣ των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και η λέξη «κατακόρυφος» θα παραλείπεται Αντί του όρου «η c έχει ΑΣ» θα λέµε πιο σύντοµα «η έχει ΑΣ» Έστω τώρα : A R µια συνάρτηση και (ε) : x Το συµµετρικό ενός σηµείου M(x 0, y 0) της c ως προς τον άξονα (ε) είναι το σηµείο M (λ x 0, y 0) Για να είναι M c πρέπει να αρκεί: λ x0 A (λ x 0) y0 = ή το ίδιο (λ x 0) = (x 0 ) Έχουµε λοιπόν την εξής = λ ένας κατακόρυφος ΑΣ της Σελ 5

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 Πρόταση Έστω η συνάρτηση : A R Για να είναι η ευθεία x = λ ΑΣ της πρέπει και αρκεί για κάθε x A να ισχύουν: λ x A και (λ x) = (x) Το συµπέρασµα της πρότασης µπορεί να διατυπωθεί µε συµµετρικό τρόπο ως εξής: Για κάθε x Α πρέπει και αρκεί: λ x A, λ + x A (λ + x) = (λ x) Ειδική περίπτωση είναι η λ= 0 για την οποία η πρόταση γίνεται: Έστω η συνάρτηση : A R Για να είναι η ευθεία y y ΑΣ της πρέπει και αρκεί για κάθε x Α να ισχύουν: x A και ( x) = (x) Άµεση συνέπεια της πρότασης αυτής είναι η επόµενη Πρόταση Έστω : A R Αν η είναι, τότε η δεν έχει κατακόρυφο ΑΣ Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι άµεση συνέπεια της σχέσης (λ x) = (x) για κάθε x Α Σύµφωνα µε αυτήν την πρόταση, µια γν µονότονη συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφο ΑΣ Πρόταση Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και η έχει ΑΣ την ευθεία x = λ, τότε (x) + (λ x) = 0 για κάθε x Α Επειδή η ευθεία x= λ είναι ΑΣ της, θα ισχύει: (x) = (λ x) Παραγωγίζοντας τα δύο µέλη: (x) = (λ x) ή (x) + (λ x) = 0 Από την τελευταία προκύπτει το εξής Η πρόταση µπορεί να πάρει την ισοδύναµη µορφή: Σελ 6

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και η έχει ΑΣ την ευθεία x = λ, τότε για κάθε x µε λ ± x A ισχύει (λ x) + (λ + x) = 0 Πρόταση 4 Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και η έχει ΑΣ την ευθεία x λ λ,0 που ρίσκεται στον ΑΣ της =, τότε η έχει ΚΣ το σηµείο ( ), τότε η έχει ΚΣ το ( ) Ειδικότερα, αν η έχει ΑΣ τον y y 0,0 Επειδή η ευθεία x= λ είναι ΑΣ της, σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση θα είναι : (x) + (λ x) = 0 και σύµφωνα µε την πρόταση των ΚΣ, το σηµείο ( λ,0 ) είναι ΚΣ της Πρόταση 5 Αν η συνάρτηση : A R είναι παραγωγίσιµη και η έχει ΚΣ το ( ) τότε η έχει ΑΣ την ευθεία x = λ που διέρχεται από το ΚΣ της 0,α, α R, τότε η έχει ΑΣ τον y y Ειδικότερα, αν η έχει ΚΣ το ( ) Επειδή το ( λ,µ ) είναι ΚΣ της, σύµφωνα µε την πρόταση των ΚΣ θα είναι: (x) + (λ x) = µ για κάθε x Α και παραγωγίζοντας τα δύο µέλη: (x) (λ x) = 0 ή (x) = (λ x) για κάθε x Α Άρα η ευθεία x= λ είναι ΑΣ της K λ,µ, Πρόταση 6 Αν η συνάρτηση : A R έχει ΑΣ την ευθεία x = λ και η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε η έχει ΑΣ την ευθεία x = λ Επειδή η x= λ είναι ΑΣ της, θα είναι: (x) = (λ x) (x) = (λ x) (x) = (λ x) Άρα η έχει ΑΣ την ευθεία x= λ Παρατήρηση Η πρόταση αυτή είναι πολύ χρήσιµη επειδή ανάγει την εύρεση των ΑΣ της στην εύρεση των ΑΣ της που πολλές φορές είναι απλούστερη, όπως συµαίνει πχ στις πολυωνυµικές συναρτήσεις Πρόταση 7 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα και έχει ΚΣ το ( 0,0 ), τότε η συνάρτηση F(x) x = (t)dt, x 0, έχει ΑΣ την ευθεία x= 0, δηλ τον άξονα Σελ 7

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 y y Επειδή η έχει ΚΣ το ( 0,0 ) θα είναι: ( x) = (x) για κάθε x () Αρκεί νδο F( x) = F(x) για κάθε x Πράγµατι, x t= u x () x x F( x) = (t)dt = ( u)du= (u)du = (t)dx = F(x) 0 0 0 0 Πρόταση 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα και έχει ΑΣ τον y y, τότε η συνάρτηση F(x) x = (t)dt, x 0 έχει ΚΣ το ( ) 0,0 Επειδή η έχει άξονα συµµετρίας τον y y, για κάθε x θα είναι: ( x) = (x) () Θα δείξουµε ότι F( x) = F(x) για κάθε x Πράγµατι: x t= u x () x x F( x) = (t)dt = ( u)du= (u)du = (t)dt = F(x) Από την πρόταση αυτή προκύπτει το εξής Πόρισµα 0 0 0 0 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα και έχει ΑΣ τον y y, τότε η συνάρτηση G(x) x = (t)dt, α, x α ( ) έχει ΚΣ το α 0, (t)dt 0 Πράγµατι: 0 x α ή G(x) = (t)dt + (t)dt = F(x) (t)dt G(x) = F(x) + c όπου α 0 0 α c = 0 (t)dt Σύµφωνα µε την πρόταση που µόλις αποδείξαµε, η συνάρτηση F(x) = 0 x (t)dt έχει ΚΣ το (0,0) και σύµφωνα µε την πρόταση 7 των ΚΣ, η G έχει ΚΣ το α ( 0, c) = 0, (t)dt 0 Πρόταση 9 Έστω οι συναρτήσεις : A R, και : A R µε Α Α οι και έχουν τον ίδιο ΑΣ x= λ Όσες από τις παρακάτω συναρτήσεις ορίζονται, έχουν τον ίδιο ΑΣ, x και έστω ότι = λ h = α, α R * h = + α, α R h6 = + h = 7 Σελ 8

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ h h4 h5 v =, v Z * = v =, v N * h8 h 9 h0 = = = uο όπου u τυχαία συνάρτηση Αποδεικνύουµε την πρόταση µόνο για τις h, h 8, h 0 Όµοιες είναι οι αποδείξεις και για τις υπόλοιπες h (x) = (x) + α Η h έχει το ίδιο πεδίο ορισµού A µε την, άρα για κάθε x Α λ x A Επίσης: h (λ x) = (λ x) + α = (x) + α = h (x) άρα η h έχει ΑΣ την ευθεία x= λ h 8(x) = (x) (x) Η h 8 έχει πεδίο ορισµού το A A Για κάθε x A A x A και x A, άρα λ x A και λ x A, άρα λ x A A Επίσης: h 8(λ x) = (λ x) (λ x) = (x) (x) = h 8(x) Άρα η x= λ είναι ΑΣ της h 8 ( ) h 0(x) = u (x) Πεδίο ορισµού της h 0 είναι το B = {x A και (x) A}, όπου Α το πεδίο ορισµού της u θα αποδ ότι για κάθε x B ισχύουν: λ x B και h 0 (λ x) = h 0(x) Πράγµατι, αφού η ευθεία x= λ είναι ΑΣ της και x A λ x A και (λ x) = (x) (λ x) A, άρα λ x B h (λ x) = u (λ x) = u (x) = h (x) Ακόµη, ( ) ( ) Άρα η ευθεία x 0 0 = λ είναι ΑΣ της h 0 Παρατήρηση Η πρόταση αυτή (για την h 0 ) είναι πολύ χρήσιµη, αφού από απλές συναρτήσεις µε γνωστούς ΑΣ µπορούµε να κατασκευάσουµε σύνθετες µε τους ίδιους ΑΣ Πρόταση 0 Αν : A R, και η έχει ΑΣ την x= λ, τότε η µε α) (x) = (x α) έχει ΑΣ την x= λ+ α ) (x) = (x α) + έχει ΑΣ την x= λ+ α Σελ 9

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 α) Το πεδίο ορισµού Α της αποτελείται από εκείνα τα x για τα οποία ισχύει x α Α, άρα x α = κ Α, δηλαδή Α = {x = κ + α / κ Α} Επειδή η x= λ είναι ΑΣ της, για κάθε x Α λ x A, άρα και για το κ Αισχύει λ κ = κ Α Για να αποδείξουµε ότι η ευθεία x= λ+ α είναι ΑΣ της αρκεί να αποδείξουµε ότι για κάθε x A ισχύουν (λ + α) x A και (λ + α x) = (x) Πράγµατι, (λ + α) x = (λ + α) (κ + α) = (λ κ) + α = κ + α Α και (λ + α x) = (λ + α x α) = ( λ (x α) ) = (x α) = (x) Άρα η έχει ΑΣ την x= λ+ α ) Επειδή η h(x) = (x α) έχει ΑΣ την x= λ+ α, σύµφωνα µε την πρόταση 8, η (x) = h(x) + = (x α) + έχει ΑΣ την ευθεία x= λ+ α Παρατήρηση Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αν η έχει ΑΣ την x= α, η (x) = (x α) έχει άξονα συµµετρίας την x= 0, δηλ τον άξονα y y Πρόταση Αν η συνάρτηση : A R έχει ΑΣ την ευθεία (ε) : x= α και ΚΣ το K(λ,µ) (ε), δηλ λ α, τότε το A δεν είναι φραγµένο ούτε άνω ούτε κάτω Επειδή η ευθεία x= α είναι ΑΣ της, για κάθε x Α α x A Επίσης, επειδή το (λ,µ) είναι ΚΣ της : για κάθε x Α λ x A Η απόδειξη από εδώ και µετά είναι όµοια µε την απόδειξη της πρότασης 9 των ΚΣ Πρόταση Έστω η συνάρτηση : A R και έστω ότι η A έχει δύο ΑΣ (ε ) : x= α και (ε ) : x= Τότε το A δεν είναι φραγµένο ούτε άνω ούτε κάτω Η απόδειξη είναι όµοια µε αυτήν της πρότασης 9 των ΚΣ Πρόταση Έστω : R R µια πολυωνυµική συνάρτηση περιττού αθµού Τότε η δεν έχει ΑΣ ν ν Έστω (x) = ανx + αν x + + αx+ α0 µε αν 0 και ν= περιττός Έστω ότι η έχει ΑΣ την ευθεία x= λ Τότε η µε (x) = (x+ λ) = ν ν ( ) ( ) ( ) = α x+ λ + α x+ λ + + α x+ λ + α έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία ν ν 0 Σελ 0

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ x= 0, εποµένως η είναι άρτια Όµως η είναι πολυωνυµική συνάρτηση ν ου αθµού µε συντελεστή του ν ν δηλ είναι της µορφής (x) = α x + x + + x+ και επειδή η είναι άρτια, θα ισχύει ( x) = (x) ν ν 0 ν ν ν ν ν ν 0 ν ν 0 ν x το α x + x x + = α x + x + + x + για κάθε x R Άρα ν ν ν α = α α = 0, άτοπο, άρα η δεν µπορεί να έχει κατακόρυφο ΑΣ Πρόταση 4 Έστω : R R µια πολυωνυµική συνάρτηση άρτιου αθµού Τότε η δεν µπορεί να έχει δύο κατακόρυφους ΑΣ η ν ν Έστω (x) = ανx + αν x + + αx+ α0 και έστω ότι η έχει δύο κατακόρυφους ΑΣ, τις ευθείες x= α και x = µε α Τότε (α x) = (x) για κάθε x R και ( x) = (x) για κάθε x R Εποµένως (α x) = ( x) για κάθε x R ή α (α x) + α (α x) + + α (α x) + α = ν ν ν ν 0 α ( x) + α ( x) + + α ( x) + α για κάθε x R () ν ν ν ν 0 ν x στο ο µέλος της () είναι ίσος µε αν ν α αν ν ν α ν α από τον όρο α ν (α x) = α ν (x α) και ο αν Ο συντελεστής του [ο ν ν ν α (α x) = α (x α) ] ν ν ν x στο ο µέλος της () είναι ίσος µε αν ν αν Ο συντελεστής Πρέπει λοιπόν: αν ν α αν = αν ν αν α =, άτοπο Άρα η δεν µπορεί να έχει δύο κατακόρυφους ΑΣ η Επειδή οι x α ν, από τον όρο = α και x= είναι ΑΣ της, σύµφωνα µε την πρόταση 6, οι, (4), (6) (ν ),, θα έχουν επίσης ως ΑΣ τις ευθείες αυτές (ν ) Όµως η είναι τριώνυµο ου αθµού και όπως δείχνουµε στο παράδειγµα 4 που ακολουθεί, δεν µπορεί να έχει δύο κατακόρυφους ΑΣ Άρα η έχει το πολύ έναν κατακόρυφο ΑΣ Οι παραπάνω προτάσεις µας επιτρέπουν να ρίσκουµε τους κατακόρυφους ΑΣ µιας συνάρτησης, αλλά και να κατασκευάζουµε συναρτήσεις µε συγκεκριµένους ΑΣ όπως δείχνουµε στα παραδείγµατα που ακολουθούν Παραδείγµατα Να ρεθούν οι κατακόρυφοι ΑΣ των συναρτήσεων ) (x) = x + x Σελ

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 Επειδή η είναι πολυωνυµική περιττού αθµού, δεν έχει ΑΣ ) (x) = x+ συνx Πεδίο ορισµού: A=R Επειδή (x) = ηµx > 0 για κάθε x R, η είναι γν αύξουσα, άρα δεν έχει ΑΣ ) x + (x) = x Α Πεδίο ορισµού: A = R {} Θα αποδ ότι η είναι x + x + Έστω x, x A µε (x ) = (x ) = x x ( x + )( x ) = ( x + )( x ) (µετά τις πράξεις) x x Η ως δεν έχει ΑΣ = Β Αν υπάρχει κατακόρυφη ευθεία x= λ που είναι ΑΣ θα πρέπει για κάθε x Α, δηλ για κάθε x, το λ x A, δηλ λ x x λ Άρα θα πρέπει λ = λ = Ώστε η µόνη ευθεία που είναι πιθανόν να είναι ΑΣ της είναι η x= Θα πρέπει τότε: (x) = (4 x) για κάθε x Α ( ) ( ) x + 4 x + x + x = = x + = x x 4 x x x άτοπο Άρα η δεν έχει ΑΣ 4) (x) = αx + x+ γ, α 0 Πεδίο ορισµού: A=R Ψάχνουµε λ R : (λ x) = (x) για κάθε x R ( ) ( ) ( + αλ) x ( + αλ) λ = 0 α λ x + λ x + γ = αx + x + γ (µετά τις πράξεις) για κάθε x Α, Για να ισχύει η τελευταία για κάθε x R, πρέπει και αρκεί: + αλ = 0 λ = α Εποµένως η ευθεία x = λ = είναι ο µοναδικός ΑΣ της (x) = αx + x+ γ α Σελ

Γ Ιωσηφίδης: ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5) (x) = ηµx Πεδίο ορισµού: A=R Ζητούµε λ R : (x) = (λ x) για κάθε x R ηµx = ηµ(λ x) για κάθε x R x = κπ + ( λ x ), κ Z () x = κπ + π ( λ x ), κ Z () Η () δεν ισχύει για κάθε x R π Η () λ = κπ +, κ Z π δηλ η () ισχύει για κάθε x R, αρκεί λ= κπ+, κ Z π Εποµένως η έχει άπειρους ΑΣ, τις ευθείες x= κπ+, κ Z 6) 4 (x) = x 4x + x x + Πεδίο ορισµού: A=R Αν η έχει ΑΣ την ευθεία x= λ, τότε και η θα έχει επίσης ως ΑΣ την x= λ Όµως (x) = 4x x + 4x και (x) = x 4x + 4 Σύµφωνα µε το παράδειγµα 4, η έχει ΑΣ την ευθεία x = = α Αν λοιπόν η έχει ΑΣ αυτός θα είναι η ευθεία x= Τότε όµως θα πρέπει ( x) = (x) για κάθε x R Για x= 0 : () = (0) που δεν ισχύει Άρα η δεν έχει ΑΣ Κατασκευή συναρτήσεων µε δοσµένο ΑΣ 7) Κατασκευή συνάρτησης µε ΑΣ την x= λ Έστω : R R τυχαία συνάρτηση Για τη συνάρτηση (x) = (x) + (λ x) ισχύει: (λ x) = (λ x) + (x) = (x), άρα η έχει ΑΣ την ευθεία x= λ Πχ α) Η συνάρτηση = + έχει ΑΣ την x= x 4 x (x) e e Σελ

ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχη, 4, 5 ) Η συνάρτηση (x) = ηµx+ συνx 8) α) Επειδή η ( ) π = ηµx + ηµ x έχει ΑΣ την ευθεία π x= 4 (x) = x+ ως άρτια έχει ΑΣ την ευθεία x= 0, η σύνθεση (x) = ln x + της µε την h(x) = ln x, έχει ως ΑΣ επίσης την ευθεία x= 0 π ) Επειδή η (x) = ηµx έχει ΑΣ όλες τις ευθείες x= κπ+, κ Z, η σύνθεσή της µε την h(x) = x x +, δηλ η (x) = ηµ x ηµx + έχει ως ΑΣ όλες τις παραπάνω ευθείες 9) Για την είναι (x) = (x) = x ( ) ( x ) x x x + x, άρα Άρα η έχει ΑΣ την ευθεία x= 0) Επειδή η (x) x έχει ΚΣ το (,0 ), εποµένως η = + ( x ) ( ) ( x) x ( x) = = (x) = ως περιττή έχει ΚΣ το ( ) έχει ΑΣ την ευθεία x= 0,0, η (x) = (x ) = θα x (x) = άρα και η (x) + = ( x ) Σελ 4