ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντεοποίηση, Ανάυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Βασίης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τη: 2271035468
ΟΥΡΑ Μ / Μ / k M/M/2 με διαφορετικό ρυθμό εξυπηρέτησης Υποθέτουμε ότι οι δύο εξυπηρετητές είναι διαφορετικοί. Ο ένας είναι πιο γρήγορος και εξυπηρετεί με ρυθμό μ 1 και ο άος πιο αργός και εξυπηρετεί με ρυθμό μ 2, όπου μ 1 >μ 2. Η κατάσταση του συστήματος αναπαρίσταται από ένα ζεύγος (n 1, n 2 ) n 1 : ο αριθμός των πεατών στην ουρά και στην εξυπηρέτηση για τον πιο γρήγορο εξυπηρετητή n 2 : ο αριθμός των πεατών στην ουρά και στην εξυπηρέτηση για τον πιο αργό εξυπηρετητή Αν και οι δύο εξυπηρετητές είναι κενοί, τότε ο πρώτος πεάτης που φτάνει στο σύστημα εξυπηρετείται από τον πιο γρήγορο εξυπηρετητή
ΟΥΡΑ Μ / Μ / k M/M/2 με διαφορετικό ρυθμό εξυπηρέτησης
ΟΥΡΑ Μ / Μ / k M/M/2 με διαφορετικό ρυθμό εξυπηρέτησης 3 n+1
Παρααγή Κάθε πεάτης που φτάνει στο σύστημα και το βρίσκει κενό, επιέγει έναν από τους εξυπηρετητές με πιθανότητες p και q αντίστοιχα Φυσικά p, q 0 και p + q = 1 ΟΥΡΑ Μ / Μ / k με ετερογενείς εξυπηρετητές 0 p (1,1) μ 1 μ 2 μ 2 2 3 μ 1 4... Για να υπάρχει οριακή κατανομή πρέπει μ 1 +μ 2 μ 1 +μ 2 < μ 1 + μ 2 q (1,2)
ΟΥΡΑ Μ / Μ / k / k ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ένα σύστημα με 4 εξυπηρετητές, σε καθέναν από τους οποίους ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 4 επτά και οι αφίξεις γίνονται σύμφωνα με την διαδικασία Poisson με ρυθμό μια κάθε 2 επτά. Ποιο είναι το ποσοστό των πεατών που φτάνουν στο σύστημα αά δεν εξυπηρετούνται? ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα Μ/Μ/5/5 σύστημα στο οποίο ο ρυθμός αφίξεων πεατών είναι 10 ανά επτό και ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 0,5 επτά. (i) Να υποογιστεί η πιθανότητα ένας πεάτης να μην εξυπηρετηθεί (ii) Πόσοι ακόμα εξυπηρετητές χρειάζονται για να μειωθεί η παραπάνω πιθανότητα κάτω από 10%.
ΟΥΡΑ Μ / Μ / k / k ΑΣΚΗΣΗ 2 Ένα κατάστημα νοικιάζει μηχανήματα τριβής πατωμάτων και διαθέτει 4 τέτοια μηχανήματα. Οι πεάτες φτάνουν στο κατάστημα για να νοικιάσουν τα μηχανήματα με ρυθμό ένας πεάτης κάθε 2 ημέρες. Ο χρόνος ενοικίασης ανά πεάτη ακοουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 2 ημέρες. Απέναντι από το κατάστημα υπάρχει ένα άο ανταγωνιστικό, το οποίο νοικιάζει και αυτό τα ίδια μηχανήματα. Αν ένας πεάτης δεν βρει το μηχάνημα, τότε πάει στο ανταγωνιστικό κατάστημα. (i) (ii) Να βρεθεί το ποσοστό των πεατών που πάνε στο ανταγωνιστικό κατάστημα Ποιος είναι ο μέσος αριθμός μηχανημάτων που νοικιάζονται; (iii) Ποια είναι η αύξηση της πιθανότητας «να πάει ένας πεάτης στο ανταγωνιστικό κατάστημα όταν ένα μηχάνημα υποστεί βάβη και δεν επισκευαστεί ή δεν αντικατασταθεί»;
ΟΥΡΑ Μ / Μ / k / k ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια εταιρεία διαθέτει 5 αυτοκίνητα για τις ανάγκες της. Ο χρόνος συνεχούς ειτουργίας κάθε αυτοκινήτου έχει την εκθετική κατανομή με παράμετρο και μόις αυτό πάθει βάβη πηγαίνει στο συνεργείο. Εκεί υπάρχουν δύο μηχανικοί κάθε ένας από τους οποίους ασχοείται με ένα αυτοκίνητο την φορά και το επισκευάζει σε χρόνο που ακοουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο μ. Να βρεθεί, αν υπάρχει, η οριακή κατανομή του αριθμού των αυτοκινήτων στο συνεργείο
ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / k / k ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω k = 4 μηχανές ενός εργοστασίου και 1 επισκευαστής. Όες οι πιθανές καταστάσεις του συστήματος δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Με βάβη στο σύστημα εξυπηρέτησης- n Σε ειτουργία στην πηγή k Μήκος Ουράς Συνεργείο 0 4 0 Αδρανές 1 3 0 Ενεργό 2 2 1 Ενεργό 3 1 2 Ενεργό 4 0 3 Ενεργό 4 3 2 0 1 2 3 4 μ μ μ μ
ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / k / k Άσκηση 1: Σε μια βιοτεχνία η οποία ειτουργεί 24 ώρες για 5 ημέρες, υπάρχει 1 τεχνικός ο οποίος είναι υπεύθυνος για την επιδιόρθωση 4 μηχανών. Κάθε μηχανή ειτουργεί κατά μέσο όρο 60 ώρες πριν χρειαστεί επαναρύθμιση ή επισκευή οπότε και μπαίνει στο συνεργείο σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson. Ο τεχνικός χρειάζεται κατά μέσο όρο 15 ώρες για κάθε επισκευή. Ο χρόνος επισκευής ακοουθεί την εκθετική κατανομή. Να βρεθούν τα μέτρα απόδοσης του συστήματος.
ΟΥΡΑ Μ / Μ / c / k / k ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Ένα εργοστάσιο διαθέτει 4 μηχανές που δουεύουν συνεχώς η μία ανεξάρτητα της άης. Ο χρόνος ειτουργίας της κάθε μηχανής ακοουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 30 ώρες. Όταν κάποια μηχανή χαάσει πάει στο συνεργείο επισκευής στο οποίο υπάρχουν 2 μηχανικοί με την ίδια εμπειρία και ικανότητα. Ο χρόνος που χρειάζεται κάθε μηχανικός για να επισκευάσει μια μηχανή ακοουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 3 ώρες. i. Δώστε το διάγραμμα καταστάσεων για το σύστημα και υποογίστε την στάσιμη κατανομή πιθανότητας ii. Αν τα χαμένα έσοδα ανά ώρα για κάθε μηχανή που δεν ειτουργεί είναι 100 και το ωριαίο κόστος για κάθε μηχανικό είναι 10, να βρείτε το μέσο συνοικό κόστος ειτουργίας του συστήματος.
ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / 1 με επαναπροσπάθειες (retrials) Πρόκειται για μια παρααγή της Μ/Μ/1/1 ουράς, μόνο που κάθε πεάτης που φτάνει στο σύστημα και βρίσκει τον 1 εξυπηρετητή κατειημμένο και κατά συνέπεια πρέπει να φύγει από το σύστημα αφού η χωρητικότητα του είναι 1, δεν εγκαταείπει την προσπάθεια του αά επανέρχεται στο σύστημα μετά από χρόνο που ακοουθεί εκθετική κατανομή παραμέτρου ν. Αν και πάι βρει τον εξυπηρετητή κατειημμένο, ξαναπροσπαθεί μετά από εκθετικά κατανεμημένο χρόνο παραμέτρου ν κ.ο.κ. Για να μεετήσουμε το συγκεκριμένο σύστημα πρέπει να γνωρίζουμε όχι μόνο τον αριθμό των πεατών στο σύστημα Ν(t), αά και τον αριθμό των πεατών που βρίσκονται σε τροχιά επαναπροσπάθειας R(t) Επομένως κάθε κατάσταση του συστήματος θα χαρακτηρίζεται από 2 στοιχεία (Ν(t), R(t))
ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / 1 με επαναπροσπάθειες (retrials) Οι καταστάσεις οιπόν του συστήματος θα είναι: Κατάσταση Επόμενη κατάσταση Χρόνος (0,0) (1,0) Exp() (1,0) (1,1) Exp() (0,0) Exp(μ) (0,1) (1,1) Exp() ΓΕΝΙΚΑ (1,0) Exp(ν) (0,n) n 1 (1,n) Exp() (1,n-1) Exp(nν) (1,n) n 1 (1,n+1) Exp() (0,n) Exp(μ)
ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 / 1 με επαναπροσπάθειες (retrials) Και το διάγραμμα καταστάσεων θα είναι: 0,0 0,1 0,2 ν 2ν μ μ μ 3ν 0,3 μ 1,0 1,1 1,2 1,3