Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια τω Προόδω και της Εκθετικής και Λογαριθμικής Συάρτησης για έλεγχο τω γώσεω και εμπέδωση της ύ- λης. Προσέξτε στο τέλος κάθε άρθρου τα προβλήματα που παραθέτοται και δείτε τη εφαρμογή τω παραπάω εοιώ στη καθημεριή ζωή. Πρόοδοι Λυμέες Ασκήσεις. α) Το άθροισμα τω πρώτω όρω α- ριθμητικής προόδου α με ιοστό όρο α = + είαι: i) 6 ii) 6 iii) 6 iv) 64 v) 6 Nα επιλέξετε τη σωστή απάτηση. β) Να βρεθού οι τιμές του πραγματικού αριθμού ώστε οι αριθμοί: συ, συ π, ημ α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. γ) Δίεται η γεωμετρική πρόοδος,,,, 6. Δείξτε ότι οι διαφορές μεταξύ δύο διαδοχικώ όρω σχηματίζου μια έα γεωμετρική πρόοδο. Να εξετάσετε α η προηγούμεη ιδιότητα ισχύει γεικά. α) Σωστή απάτηση είαι η (iii) γιατί έχουμε: α 7, ω α α οπότε S 7 4 4 6 β) Θα πρέπει α ισχύει: συ συ ημ συ συ συ συ κπ, κ οι ζητούμεοι α- π ριθμοί. γ) Οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της γεωμετρικής προόδου που δόθηκε σχηματίζου τη ακολουθία: 4,,,,... που προφαώς είαι γεωμετρική πρόοδος με ο όρο α = 4 και λόγο το λ =. Γεικά α έχουμε τη γεωμετρική πρόοδο: α, α λ, α λ, α λ,... με πρώτο όρο α και λόγο λ τότε οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της σχηματίζου τη ακολουθία: α λ α, α λ α λ, α λ α λ,... ή α λ, α λ λ, α λ λ,... που προφαώς είαι γεωμετρική πρόοδος με ο όρο α (λ ) και λόγο λ.. Δίεται η εξίσωση: 7 + = α) Να βρεθού οι ακέραιες ρίζες της. β) Να βρεθεί το άθροισμα S όλω τω ριζώ της εξίσωσης. γ) α βρεθεί η αριθμητική πρόοδος της ο- ποίας ο πρώτος όρος είαι ο α = S και το άθροισμα τω όρω της που βρίσκο- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./
ται μεταξύ του 8 ου όρου και του ου όρου (από το 9 ο όρο μέχρι και το ο όρο της) ισούται με 48. δ) Να βρεθεί ο όρος α 96 της παραπάω προόδου. ε) Να υπολογιστεί το άθροισμα τω 4 πρώτω όρω της παραπάω προόδου. α) Έχουμε τη εξίσωση: 7 + = () Oι πιθαές ακέραιες ρίζες της () είαι,, 7 εύκολα διαπιστώουμε με το σχήμα Horner ότι από αυτές ρίζα είαι μόο το. β) Λόγω του (α) η () γράφεται: 4 7 () ή 4 7 () Από τη () η γωστή ρίζα από το α) ερώτημα εώ για τη () είαι: Δ = 44 > οπότε αυτή θα έχει δύο ρίζες, με άθροισμα: β 4 4. α Έτσι: α = το άθροισμα τω ριζώ της ε- ξίσωσης () θα είαι: S= + + = 4 + =. γ) Λόγω του (β) ερωτήματος είαι: S = οπότε α = ο πρώτος όρος της ζητούμεης αριθμητικής προόδου. Έτσι α ω η διαφορά της προόδου και Σ = 48 (4) το άθροισμα τω όρω της, μεταξύ του 8 ου και του ου όρου τότε: 8 Σ S S8 α ω α 7ω... 4 468ω Η (4) 4 468ω 48 468ω 44 ω δ) Επίσης: α96 α 96ω 96 88 4 ε) Ακόμη: S4 α (4 )ω... 6... Α ο ιοστος όρος της ακολουθίας α είαι: α και η ακολουθία β είαι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο β = και διαφορά ω = τότε: α) Να βρεθεί ο ιοστός όρος της ακολουθίας β. β) Να υπολογιστεί το άθροισμα τω πρώτω όρω της ακολουθίας β γ) Να δειχθεί ότι η ακολουθία γ = α β με είαι γεωμετρική πρόοδος και α βρεθεί, ο πρώτος όρος και ο λόγος της προόδου. δ) Να υπολογιστεί το άθροισμα τω πρώτω όρω της ακολουθίας γ. ε) Να υπολογιστεί το άθροισμα τω πρώτω όρω της ακολουθίας α. α) Για τη ακολουθία β που είαι αριθμητική πρόοδος με β = και ω = έχουμε: β β ω β) Είαι: S β + ω = +9 =4 γ) Έχουμε τη ακολουθία α με τύπο: α Έτσι γ α β οπότε: γ γ σταθερός για κάθε οπότε η γ είαι γεωμετρική πρόοδος με: γ και λ = δ) Α S το ζητούμεο άθροισμα τότε: λ S γ λ 4. ε) Επειδή: γ = α β ή α = β + γ για κάθε οπότε το ζητούμεο άθροισμα είαι: β S S S 44..47 δ 4. Το έο Ολυμπιακό στάδιο της Αθήας. Ε όψει τω Ολυμπιακώ αγώω του 4 γίεται επέκταση στις κερκίδες του Ολυμπιακού σταδίου μας. Το έο στάδιο θα έχει σειρές καθισμάτω. Η πρώτη σειρά θα έχει 8 καθίσματα και η τελευταία 4.6 εώ ο αριθμός τω καθισμάτω θα αυξάεται εξίσου από σειρά σε σειρά. Υπολογίστε τη έα χωρητικότητα του σταδίου δηλαδή το σύολο τω καθισμάτω του σταδίου, καθώς και τη αύξηση τω καθισμάτω από σειρά σε σειρά. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./
Οι αριθμοί που δίου το αριθμό τω καθισμάτω κάθε σειράς, αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου (α ) με α = 8, α = 46, =. Α ω ο αριθμός τω καθισμάτω που αυξάεται από σειρά σε σειρά θα ισχύει: α α ω δηλαδή α α ω 46 8 ω ω Το σύολο τω καθισμάτω του σταδίου δίεται από το άθροισμα τω πρώτω όρω τη παραπάω αριθμητικής προόδου. Σ 8 4.6 8.84 Έτσι:. Ο σύλλογος τω καθηγητώ. Τα μέλη του συλλόγου τω καθηγητώ εός κολλεγίου της Θεσσαλοίκης είαι πολύ ευγεικοί: κάθε πρωί αταλλάσσου όλοι φιλική χειραψία μεταξύ τους. α) Πόσες χειραψίες αταλλάσσοται μεταξύ //6/7/n καθηγητώ. β) Πόσα μέλη έχει ο σύλλογος τω καθηγητώ α κάθε πρωί αταλλάσσοται /9/7/77/n χειραψίες. α) Α ο πρώτος καθηγητής αταλλάσσει χειραψίες (α = ), ο επόμεος θα αταλλάσσει καιούργιες χειραψίες δηλαδή α = α + ( ) =, ο επόμεος α = α + ( ) = κ.ο.κ. Άρα έχουμε αριθμητική πρόοδο με α = και ω =. Σ α ω 6 6 Σ, Σ 6, Άρα: 66 776 Σ6 8, Σ79 8 n n Σ n... β) Επιλύουμε τις εξισώσεις: + = + 7 + 7 6 (η λύση = 7 απορρίπτεται) 9 86 86 4 (η λύση = 4 απορρίπτεται) Στη γεική περίπτωση: n 6. Μία γρήγορη δυσφήμηση «Θα θελα α μη το πω, αλλά η Μαρία από το Β τμήμα έκαε χρήση αρκωτικώ ουσιώ» ψιθύρισε καυχησιάρικα έας συμμαθητής του ε- τελώς αθώου κοριτσιού σ έα φίλο του στη αρχή του σχολείου στις 8 το πρωί. Αυτό δε θα ήτα σηματικό αλλά η υποτιθέμεη είδηση διαδόθηκε το επόμεο εικοσάλεπτο σε άλλους δύο συμμαθητές τους. Αυτοί οι δύο το είπα, στο επόμεο εικοσάλεπτο σε άλλους δύο. Με το ίδιο ρυθμό διαδιδότα η αβάσιμη είδηση σε όλο και περισσότερους μαθητές τα επόμεα εικοσάλεπτα. α) Σχηματίστε μια ακολουθία που α δίει το αριθμό τω μαθητώ που εημερώθηκε μέχρι το τέλος του ου, ου,... ου, εικοσάλεπτου. β) Επίσης μια ακολουθία που α δίει το α- ριθμό τω μαθητώ που εημερώθηκα κατά τη διάρκεια του ου, ου,... ου εικοσάλεπτου. γ) Πόσοι μαθητές γωρίζου μετά τη πάροδο,, εικοσαλέπτω; δ) Πόσοι μαθητές γωρίζου μετά τη πάροδο,, ωρώ; ε) Κάτω από αυτές τις συθήκες, τι ώρα θα έχει αμαυρωθεί η φήμη της Μαρίας σε όλους τους μαθητές του σχολείου; Θεωρούμε τη ακολουθία (α ) που δίει αριθμό τω μαθητώ που εημερώοται κάθε εικοσάλεπτο από το πρώτο που το μαθε απ το αρχικό δυσφημιστή. Η ακολουθία αυτή είαι γεωμετρική πρόοδος με α = και λ =, θετικός ακέραιος. Άρα: α α λ, θετικός ακέραιος. α) Έστω (β ) η ακολουθία που δίει το συολικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./
αριθμό μαθητώ που γωρίζου τα έα κάθε εικοσάλεπτο που περάει. Έτσι: β = + Σ, όπου Σ το άθροισμα τω όρω της προόδου α και ο αριθμός τω πρώτω δύο δυσφημιστώ. λ Έτσι: β α λ θετικός ακέραιος. β) Έστω (γ ) η ακολουθία που δίει το σύολο τω μαθητώ που εημερώοται στη διάρκεια κάθε εικοσάλεπτου. Τότε: γ α α λ, θετικός ακέραιος γ) β = + = = 4, β = + = 8, β = + = 4 = 6 δ) η ώρα: β = 4 = 6 η ώρα: β 6 = 7 = 64 η ώρα: β 9 = = 4 Σημείωση: κάθε ώρα έχει εικοσάλεπτα. δ) β 9 8 (δηλ. σε 8 εικοσάλεπτα) Άρα: Η φήμη της Μαρίας θα αμαυρωθεί στις.4 ακριβώς! 7. Από έα Κιέζικο βιβλίο: 9 βιβλία Αριθμητικής Τεχικής που είαι γωστό από το ο μ.χ. αιώα και θεωρείται το αρχαιότερο διδακτικό βιβλίο αριθμητικής, διαβάζουμε τη ά- σκηση: Έα κορίτσι, που ξέρει α υφαίει πολύ καλά, κάει κάθε μέρα το διπλάσιο από τη προηγούμεη. Μετά από μέρες έχει φτιάξει fee (πόδια). Πόσο ύφαε κάθε μέρα; Το ύφασμα που υφαίει κάθε μέρα δίεται από τους όρους μιας γ.π. με πρώτο όρο α το ύφασμα που υφαίει τη πρώτη μέρα και λόγο λ =. Θα ισχύει: α α λ α όπου θετικός ακέραιος. λ Έτσι, Σ α λ Άρα α α α πόδια. Άρα: η μέρα: α πόδια η μέρα: α πόδια η μέρα: α πόδια 4 η 4 μέρα: α4 πόδια η 8 μέρα: α πόδια 8. Σε παλιά Γερμαικά βιβλία συατάμε το παρακάτω πρόβλημα: Έας καβαλάρης θέλει α πεταλώσει το άλογό του. Κάθε πέταλο πρέπει α στερεωθεί με 6 καρφιά. Ο πεταλωτής έχει το εξής παράλογο για πολλούς αλλά πραγματικό τιμοκατάλογο: ο καρφί: λεπτά, ο καρφί: λεπτά, ο καρφί: 4 λεπτά, 4 ο καρφί: 8 λεπτά κ.λ.π. α) Πόσο κοστίζει συολικά το πετάλωμα του αλόγου; β) Α ο καβαλάρης έχει ακριβώς μαζί του. Με πόσα καρφιά μπορεί α στερεώσει κάθε πέταλο από τα 4; Η αξία κάθε καρφιού δίεται από τους όρους μιας ακολουθίας που είαι γ.π. με α = και λ =. Άρα: α = α λ δηλαδή α =, θετικός ακέραιος. α) Προφαώς ο καβαλάρης χρειάζεται 4 καρφιά 4 λ Άρα: Σ4 α άρα 4 4 Σ4 6.777. ή 67.77. λεπτά Προφαώς το ποσό αυτό είαι απαγορευτικό για το καβαλάρη! β) Πρέπει: Σ < ή Σ < λεπτά δηλαδή λ α <.Άρα < < λ Όμως: = 496 < Δηλαδή ο καβαλάρης μπορεί α αγοράσει καρφιά, οπότε θα στερεώσει κάθε πέταλο με καρφιά (... και θα πάρει και ρέστα!) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./4
Εκθετική και Λογαριθμική Συάρτηση. Στις παρακάτω ερωτήσεις α επιλεγεί η σωστή απάτηση. α) Η συάρτηση f() = ln( + 6) έχει πεδίο ορισμού το: i) (, ) ii) [,] iii), iv), v),, β) Η συάρτηση f() = log διέρχεται από το σημείο: i) Α(, ) ii) Β(4, 8) iii) (4, 8) iv) ( 4, 8) v) (8, 4) γ) Η παράσταση Α = log είαι ίση με: i) ii) iii) iv) v) log δ) Η παράσταση Β = log log είαι ίση με: i) log ii) log iii) log iv) log v) log ε) Η παράσταση Γ ln ln είαι ίση με: i) iv) ln ii) 8 ln v) ln 8 ln iii) ln στ)η παράσταση Δ = log είαι ίση με: i) ii) iii) iv) v) ζ) Η παράσταση E log log6 εί- 4 αι ίση με: i) log ii) iii) iv) v) log log η) Η παράσταση με: log 8 log Z είαι ίση i) ii) iii) 8 iv) 4 v) θ) Η παράσταση 7 H 7 log 7 4 log είαι ίση με: i) ii) iii) 7 iv) v) log Απατήσεις α) v, β) ii, γ) v, δ) iii, ε) iv, στ) i, ζ) ii, η) ii, θ) ii.. α) Να βρεθού οι, ψ ότα: + ψ = 4 και ψ + = β) Να λυθεί η εξίσωση: ln( ω + ) = ωln γ) Να εξεταστεί α οι, ψ, ω αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου της οποίας α βρεθεί η διαφορά και ο εικοστός όρος. δ) Να λυθεί η αίσωση: log log ψ z ψ ω z με άγωστο το z και τιμές για τους, ψ, ω αυτές που βρέθηκα στα ερωτήματα (α), (β). α) Έχουμε: + ψ = 4 () και ψ ψ () Η () 4 4 () Θέτουμε = ω (4) οπότε η () γίεται: ω 4 + ω 4 = ω ή ω =. Άρα: (αδύατη) ή από τη (): ψ =. 4 και β) Έχουμε τη εξίσωση: ln( ω + ) = ωln με ω γιατί ω + >, για κάθε ω. Έτσι η εξίσωση γράφεται: ω ω ω ω ln ln ω ω () Θέτουμε: ω = u (). Οπότε η () γίεται: u u u = ή u = 4. ω ω Άρα: αδύατη ή ω. γ) Λόγω τω (α), (β) είαι =, ψ =, ω = που προφαώς αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α = και ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./
διαφορά ω =. α α ω 9 9 Έτσι δ) Έχουμε τη αίσωση: log logψ z ψ ω z log log z z Πρέπει: z z + > που ισχύει για κάθε z γιατί η διακρίουσα του τριωύμου είαι αρητική. Επίσης πρέπει: log z z z z z z που ισχύει για κάθε z για το ίδιο λόγο (Δ < ). log z z Έτσι η () z z z z z.. Α. α) Α ισχύει ln(συ) = τότε ο ι- σούται με: κπ i) κπ, κ ii),κ iii) κπ,κ κπ iv),κ v) κπ,κ Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. β) Έστω α, β, γ, θ θετικοί πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του και διάφοροι μεταξύ τους αά δύο. i) Οι λογάριθμοι log α θ, log β θ, log γ θ α μετασχηματιστού σε λογάριθμους με βάση το. logα θ logαθ logβθ ii) Α ισχύει: log θ log θ log θ γ β γ τότε α δείξετε ότι οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Β. α) Τι θα παρατηρούσατε για τις γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f () = 7 και f, 7 β) Δίοται οι αριθμοί α = log, β = logψ, ψ γ = log4, δ log, ε log, ζ log με, ψ >. Α οι α, β, γ ψ καθώς και οι δ, ε, ζ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. α βρεθού οι, ψ. Α) α) Σωστή απάτηση είαι η (iii). logθ β) i) Είαι: logα θ, logα logθ logθ logβθ, log γθ logβ log γ logα θ logαθ logβθ ii) Επίσης: log θ log θ log θ γ β γ α β γ log θ log θ log θ log θ log θ log θ γ α β log θlog θ log θlog θ α β α γ log θlog θ log θlog θ γ α γ β log θlog θ log θlog θ α β β γ α γ i log θlog θ logθ logθ logθ logθ log α logβ logβ log γ logθ logθ logα log γ + = log α logβ logβ logγ log α logγ log γ logα logβ logαγ logβ αγ β oπότε οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Β) α) Για είαι: f 7 f 7 οπότε οι γραφικές παραστάσεις τω f, f είαι συμμετρικές ως προς το άξοα ψ ψ. β) Έχουμε, ψ >. Εφόσο οι α, β, γ καθώς και οι δ, ε, ζ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου θα ισχύει: β α γ log ψ log log 4 και ψ log =log +log ε δ ζ ψ log ψ log 4 ψ 4 ψ log log ψ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./6
ψ 4 ψ οπότε ψ ψ, (ψ ) 4. α) Να λυθεί η εξίσωση: συ συ στο διάστημα [, π] β) Να λυθεί η εξίσωση: στο διάστημα [, π) γ) Να λυθεί η εξίσωση: συ e e e συ συ ln ln e 7e 6 α) Έχουμε τη εξίσωση: συ συ συ συ συ συ Θέτουμε: συ = ψ () οπότε η () γίεται ψ ψ ψ = ή ψ =. συ π Άρα: συ = άρα ή συ συ άρα =. (υπ όψι [,π] ). β) Έχουμε τη εξίσωση: συ e συ συ συ συ συ e e e e συ συ συ συ συ συ συ συ συ συ συ συ συ ή ή συ οπότε : συ ή συ π 4π ή ή π ή οι λύσεις εφόσο,π γ) Έχουμε τη εξίσωση: ln ln ln ln e 7e 6 e 7e 6 ln Πρέπει >, θέτουμε e ψ οπότε η () γράφεται: ψ 7ψ 6 ψ ψ 6ψ 6 ψ ψ 6 ψ ψψ ψ 6ψ ψ ψ ψ 6 ψ ψ ή ή ψ ή () ψ ψ 6 ψ ln ln Άρα: e αδύατη ή e αδύατη ή ln e η ζητούμεη λύση.. Σε μια περιοχή της ευρωπαϊκής έωσης λόγω τω μέτρω που πάρθηκα ο πληθυσμός τω αγροτώ μειώεται σύμφωα με το όμο της εκθετικής μεταβολής. Α ο αρχικός πληθυσμός ήτα 8 χιλιάδες αγρότες και σε δύο χρόια έμειε ο μισός τότε α βρεθού: α) Η συάρτηση που δίει το πληθυσμό κάθε χροική στιγμή. β) Ποιος θα είαι ο πληθυσμός τω αγροτώ ύστερα από τέσσερα χρόια; γ) Πόσος χρόος θα έχει περάσει ότα ο αγροτικός πληθυσμός της περιοχής θα έχει μειωθεί στους χίλιους αγρότες; α) Εφόσο η μείωση του αγροτικού πληθυσμού ακολουθεί το όμο της εκθετικής μεταβολής e c όπου > (σε θα είαι: χρόια) και c. Έχουμε = 8 χιλιάδες ο αρχικός πληθυσμός και () = 4 χιλιάδες. Έτσι από τη () για = παίρουμε: c c c c e 4 8e e e οπότε: 8 ζητούμεη συάρτηση. β) Λόγω του (α) έχουμε: με > (σε χρόια) η 4 8 8 4 Δηλαδή ύστερα από τέσσερα χρόια ο πληθυσμός τω αγροτώ της περιοχής θα έχει μειωθεί 4 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./7
στις χιλιάδες. γ) Α () = ( αγρότες) τότε λόγω του (α) είαι: 8 8 6 Άρα κάτι τέτοιο θα έχει γίει ύστερα από 6 χρόια. 6. Μία ποσότητα ραδιεεργού υλικού θάβεται και με τη πάροδο του χρόου μειώεται ακολουθώτας το όμο της εκθετικής μεταβολής. α) Α γωρίζουμε ότι μετά από δύο χρόια έχει απομείει το της αρχικής ποσότητας α γραφεί ο τύπος της εκθετικής μεταβολής. β) Α μετά από τέσσερα χρόια η ποσότητα που έχει απομείει είαι κιλό α βρεθεί η αρχική ποσότητα που θάφτηκε. γ) Μετά από πόσα χρόια η ποσότητα που θα έχει απομείει θα είαι 8 κιλά; α) Εφόσο η μείωση της ραδιεεργού ποσότητας είαι: ακολουθεί το όμο της εκθετικής μεταβολής θα e c όπου > (σε χρό- ια) και c. Όμως οπότε από τη () για = παίρουμε: c c e e c c e e οπότε: ο ζητούμεος τύπος β) Είαι (4) = οπότε από το τύπο 4 για = 4 παίρουμε: 4 9 κιλά η ζητούμεη αρχική ποσότητα. γ) Λόγω τω (α), (β) έχουμε: οπότε α 9 θα είαι: 8 9 4 8 6 6 6 Δηλαδή ύστερα από χρόια θα έχει απομείει το κιλά της αρχικής ποσότητας. 8 7. Η ατμοσφαιρική πίεση μειώεται όσο αυξά- α) εται η απόσταση από το φλοιό της γης. Η σχέση μεταξύ πίεσης και ύψους περιγράφεται h προσεγγιστικά από το λεγόμεο βαρομετρικό τύπο ύψους:,88 όπου Ρ η h πίεση στο φλοιό και h το ύψος σε km) α) Α Ρ = mmhg τότε πόση είαι η πίεση σε ύψος:, 7,,,,, 7, μέτρω; β) Τι πίεση επικρατεί στη κορυφή τω παρακάτω βουώ: Όλυμπος (ύψος 87 μ.) Λευκό όρος (487 μ.) Κιλιμάτζαρο (89 μ.) Έβερεστ (8848 μ.) από τη επιφάεια της θάλασσας α η πίεση είαι 99 mmhg στη επιφάεια της θάλασσας. γ) Δώστε τη πίεση στη κορυφή τω παραπάω βουώ ως ποσοστό της πίεσης στη επιφάεια της θάλασσας. δ) Σε μια ειδυλλιακή πόλη σε ύψος 6 μ. από τη θάλασσα μια ωραία μέρα καλοκαιριού μετρήθηκε η πίεση και βρέθηκε 98 mmhg. Σε ποια τιμή πίεση στη ε- πιφάεια της θάλασσας ατιστοιχεί;,,88 9, 7 9 mmhg,7 7,88 9,8 9 mmhg... ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./8
,88 8, 8 mmhg β) Έστω το βάθος της θάλασσας και Ρ η πίεση στη επιφάειά της. Τότε: 99,88 99,88,88 Ρ : η πίεση στο φλοιό της γης) Α h το ύψος τω βουώ από τη επιφάεια της θάλασσας τότε: Ρ h,88 (όπου Ρ η ζητούμεη πίεση) Άρα: 99,88,88,88 99,88 h h h Έτσι για το Όλυμπο έχουμε:,97 99,88 68, 9 68 mmhg για το Λευκό όρος: 4,87 99,88 8, 8 mmhg για το Κιλιμάτζαρο:,89 99,88 468, 468 mmhg και για το Έβερεστ: 8,848 99,88, 7 mmhg h,88 h γ),88,88 Για τα προηγούμεα βουά ατίστοιχα έχουμε:,97,88 68,87%, 4,87,88 4,9%,,89,88 47,6%, 8,848,88,6% h,6 δ),88,88 96,7% Άρα: 98 96,7% mmhg 8. Για α προστεθεί ο άθρωπος από τη ι- διαίτερα επικίδυη ακτιοβολία γ χρησιμοποιούται τοιχώματα από πυκό μόλυβδο. Η έταση μιας τέτοιας, ακτιοβολίας ότα εισέρχεται στο μόλυβδο ακολουθεί μια εκθετική μείωση. Σε βάθος, cm η έταση έχει μειωθεί στο μισό της αρχικής. α) Ποια συάρτηση περιγράφει τη μείωση της έτασης της ακτιοβολίας, σε πυκό μόλυβδο; β) Σε τι ποσοστό της αρχικής έχει μειωθεί η έτασης της ακτιοβολίας σε βάθος cm / 8 cm / 4 cm / 9 cm/ μέσα σε πυκό μόλυβδο; γ) Συγκρίετε τα αποτελέσματα αυτά με αυτά που ια προκύψου α ατί για πυκό μόλυβδο προστατευθούμε από γ ακτιοβολία επίσης με ερό, αλουμίιο ή πάγο όπου η έταση υποδιπλασιάζεται σε, 9,, 8 cm ατίστοιχα! β) α) Η συάρτηση είαι της μορφής: c e με c <, η αρχική ακτιοβολία, >. Όμως: c, c e e ή 4 - - Άρα: = =, > 8 8,9,9%,4% 8 8, 4, 4% γ) Η συάρτηση φυσικά αλλάζει και γίεται για το c ερό: e οπότε c c e e c c e e ή Άρα (), > και (),769 7% 8 εώ (8)=,6 6% Να γίου ως άσκηση τα ποσοστά του αλουμιίου και του πάγο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λστ τ./9