ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

. Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής R, όπου και y είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής { a... b}, { c y y... y d} = = < < < = = = < < < =. N y M Ας ορίσουµε ένα δίκτυο γραµµών =, y= yk ( =,..., N, k =,..., M ) παράλληλων προς τους άξονες y y και αντιστοίχως που διαµερίζουν την ορθογώνια περιοχή R σε N M το πλήθος ορθογώνια Ω k, (ξένα µεταξύ τους ανά δύο) εµβαδού Ek, = + - yk+ - yk = ddyk, =,..., N, k =,..., M. f( y ) k k Αν και { k} M = sup f(, y):(, y) Ω k,, { k} m = if f( y, ):( y, ) Ω, k,, τότε ορίζουµε 7

και N M Lf = sup ( m, k E, k) : οποιαδηποτε διαµεριση της R = k= N M U f = if ( M, k E, k) : οποιαδηποτε διαµεριση της R. = k= Αποδεικνύεται ότι οι αριθµοί U f και L f πάντα υπάρχουν και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα arbou της f στο R. ίνουµε τώρα τον ακόλουθο Ορισµός 4. Έστω f : R είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή R όπως παραπάνω. Εστω U f και L f είναι το ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα arbou της f στο R. Αν ισχύει L = U = λ f f τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riema στην ορθογώνια περιοχή R και γράφουµε f (, y ) ddy= λ. R Ισοδύναµα λέµε ότι υπάρχει το διπλό ολοκλήρωµα της f στο R. Πολλές φορές χρησιµοποιείται και ο ακόλουθος ορισµός (που είναι ισοδύναµος µε τον ορισµό ): Έστω f : R είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία ορθογώνια περιοχή R, είναι µια οποιαδήποτε διαµέριση της R σε στοιχειώδη ορθογώνια Ω,k και,y είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο του ορθογωνίου Ω,k. Εστω k ( ) ( y y ) δ k, + k+ k = + και { δ k, N k M } = ma : =,...,, =,..., είναι το µέγιστο πλάτος της διαµέρισης. Αν υπάρχει το όριο N- M- = k= ( ( k),k) lim f,y E =λ ανεξάρτητα της επιλογής των σηµείων (,y ) και της επιλογής της k 8

διαµέρισης, τότε λέµε ότι υπάρχει το διπλό ολοκλήρωµα της f στην ορθογώνια περιοχή R και γράφουµε R f,y ddy= λ. Θεώρηµα 4. Έστω f : R είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή R. Αν η f είναι συνεχής στο R εκτός ενδεχοµένως από ένα υποσύνολο Π R αµελητέου εµβαδού (δηλαδή το Π είναι µια τµηµατικά λεία καµπύλη ή ένωση πεπερασµένου πλήθους τµηµατικά λείων καµπύλων, ή ένωση αριθµήσιµου πλήθους σηµείων), τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Riema για συναρτήσεις δύο µεταβλητών επεκτείνεται και σε µη ορθογώνιες περιοχές ως εξής: Εστω f : είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σ ένα κλειστό και φραγµένο χωρίο µε σύνορο να είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού. Αφού το Τ είναι φραγµένο υπάρχει µία κλειστή ορθογώνια περιοχή R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το Τ. Ορίζουµε την επέκταση της f στο R ως εξής: f ( y, ), ( y, ) gy (, ) =. (), (, y) R\ Αν η g είναι ολοκληρώσιµη στο R, τότε ορίζουµε f (, y) ddy = g(, y) ddy. R Σηµείωση. Αποδεικνύεται ότι η τιµή του διπλού ολοκληρώµατος gyddy (, ) είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της ορθογώνιας R περιοχής R. Ετσι µπορούµε να δώσουµε τον ακόλουθο Ορισµός 4. Θα λέµε ότι µια φραγµένη συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη πάνω σ ένα κλειστό και φραγµένο χωρίο µε σύνορο αµελητέου εµβαδού αν η επέκταση αυτής g όπως στην () είναι ολοκληρώσιµη κατά Riema πάνω σε µια (άρα λόγω της παραπάνω σηµείωσης και σε κάθε) ορθογώνια περιοχή R που καλύπτει το Τ. 9

Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Εστω f, g: είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο Τ µε το σύνορό του να είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού. Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη τις κάτωθι ιδιότητες: Η συνάρτηση k f λ g ( k, λ ) και ισχύει + είναι ολοκληρώσιµη επί του Τ ( ) k f +λ g,y ddy = k f,y ddy + λ g,y ddy. f Οι συναρτήσεις f g, και f είναι ολοκληρώσιµες επί του g πεδίου ορισµού τους. Επίσης αν η f είναι ολοκληρώσιµη επί του Τ και αν η g: f είναι συνεχής στο f() τότε η g f είναι ολοκληρώσιµη επί του Τ. Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη επί του Τ και ισχύει Αν f ( y, ) gy (, ) f, y ddy f, y ddy. (,y) τότε ισχύει f, y ddy g, y ddy. Αν = και = (ή γενικότερα αν το είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού), τότε + f, y ddy = f, y ddy f, y ddy. Αν, τότε έχουµε + f,y ddy = f,y ddy f,y ddy f,y ddy. f,y ddy =. Αν Τ είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού τότε

Αν m f(, y) M, τότε (, ), m E f y ddy M E όπου E ( ) είναι το εµβαδόν του χωρίου Τ. Θεώρηµα 4. (Μέσης Τιµής) Εστω f, g: είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο Τ µε σύνορο αµελητέου εµβαδού και έστω ότι η g είναι µη αρνητική συνάρτηση επί του Τ. ότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός µ: if f µ sup f έτσι ώστε ( f g)(, y) ddy= µ g(, y) ddy. Επιπλέον αν η f είναι συνεχής επί του Τ * συνεκτικό, τότε υπάρχει P έτσι ώστε παραπάνω γράφεται ως * ( f g)(, y) ddy= f ( P ) g(, y) ddy.. Υπολογισµός διπλού ολοκληρώµατος Α. Πάνω σε ορθογώνια περιοχή και το Τ είναι και * µ = f ( P ) κι έτσι η Για τον υπολογισµό του διπλού ολοκληρώµατος πάνω σε ορθογώνια περιοχή ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 4. (Fubii) Εστω f : R είναι µια συνεχής συνάρτηση πάνω στην ορθογώνια περιοχή Τότε οι µερικές συναρτήσεις { } R =,y :a b, c y d. d b g = f( ydy, ) και hy = f( yd, ) c είναι συνεχείς στα διαστήµατα [a,b] και [c,d] αντιστοίχως και ισχύει a

ή ισοδύναµα: R a c b f, y ddy = g()d = h(y)dy, = ( ) f, y ddy = d b b d R c f, y d dy f, y dy d a a. c Απόδειξη. Αν η f είναι συνεχής επί της ορθογώνιας περιοχής R είναι εύκολο να δείξουµε ότι οι συναρτήσεις g = f( ydy, ) και b hy = f( yd, ) είναι συνεχείς στα διαστήµατα [a,b] και [c,d] a αντιστοίχως. Εστω (, y ) = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής R ξ + και έστω [ ),, =,..., N. Τότε d c d συνεπώς d M = = k= gξ f ξ ydy f ξ ydy k + ( ) (, ) (, ) a yk y ( ξ ) m y y g M y y, k, k+ k k, k+ k όπου m k, και M k, όπως ορίσθηκαν στην αρχή του Κεφαλαίου. Από τον ορισµό του ολοκληρώµατος Riema έχουµε: Εφόσον b N gd = lim g( ξ)( ) a +. N = N M N N M ( )( ) ( ξ )( ) ( )( ) m y y g M y y k, + k+ k + k, + k+ k = k= = = k= και εφόσον N M N M, k( + )( k+ k) =, k( + )( k+ k) = lim m y y lim m y y f(, y) ddy NM, NM, = k= = k= (αφού η f είναι ολοκληρώσιµη), προκύπτει ότι R

Τελικά λοιπόν N g( ξ)( + ) f ( y) ddy. lim =, N R = R f, y ddy = g()d. b a Με όµοιο τρόπο δείχνουµε ότι d f, y ddy = h(y)dy R. c Παρατήρηση. Το Θεώρηµα 4. µας λέει ότι τα διπλά ολοκληρώµατα πάνω σε ορθογώνιες περιοχές µπορούν να υπολογισθούν ως διαδοχικά ολοκληρώµατα. Αυτό σηµαίνει ότι ένα διπλό ολοκλήρωµα µπορεί να υπολογισθεί ολοκληρώνοντας ως προς µία µεταβλητή κάθε φορά (κρατώντας την άλλη ως σταθερή) και χρησιµοποιώντας όλες τις τεχνικές ολοκλήρωσης που είναι γνωστές για συναρτήσεις µιας µεταβλητής. Β. Πάνω σε µη ορθογώνια περιοχή Ορισµός 4. Εστω Τ είναι κλειστό και φραγµένο υποσύνολο του το σύνορο του οποίου έχει αµελητέο εµβαδόν. Τότε το χωρίο Τ καλείται κανονικό ως προς y εάν (α) το εσωτερικό του Τ είναι ένα µη κενό συνεκτικό σύνολο και (β) κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των y η οποία διέρχεται ΕΝΤΟΣ του χωρίου Τ, έχει µόνον δυο κοινά σηµεία µε το σύνορο του Τ. Με όµοιο τρόπο ορίζουµε το Τ να είναι κανονικό ως προς. Aν το Τ είναι κανονικό και ως προς και ως προς y θα λέµε απλά ότι το Τ είναι κανονικό σύνολο. Θεώρηµα 4.4 Έστω f : είναι µια συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο Τ µε σύνορο αµελητέου εµβαδού. (i) Αν το Τ είναι κανονικό ως προς y χωρίο της µορφής { } =,y :a b, f y f, όπου οι f, f είναι συνεχείς πραγµατικές συναρτήσεις στο [a,b],

τότε: ( ) b f f, y ddy = f, y dy d. a f (ii) Aν το Τ είναι κανονικό ως προς χωρίο της µορφής { } =,y :c y d,g y g y, όπου οι g, g είναι συνεχείς πραγµατικές συναρτήσεις στο [c,d], τότε: d g( y) f, y ddy = f, y d dy ( ). c g y (iii) Aν το Τ είναι κανονικό χωρίο και µπορεί να εκφρασθεί είτε µέσω της µορφής (i) είτε µέσω της µορφής (ii), τότε ( ) = b f d g y a f c g y f,y ddy = f,y dy d f,y d dy. Απόδειξη. Προφανώς ισχύει (από τον Ορισµό 4.) ότι b d f, y ddy = g, y ddy = g, y dyd, R a c όπου g είναι η επέκταση της f. Στη συνέχεια εργαζόµαστε όπως στην απόδειξη του Θεωρήµατος 4.. Σηµείωση. Το δυσκολότερο µέρος υπολογισµού ενός διπλού ολοκληρώµατος πάνω σε µία φραγµένη µη ορθογώνια περιοχή είναι η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης. Η µεθοδολογία προκύπτει από το Θεώρηµα 4.4: Αν το χωρίο µας δεν είναι κανονικό ούτε ως προς ούτε ως προς y προσπαθούµε να το εκφράσουµε ως ένωση κανονικών χωρίων (είτε ως προς είτε ως προς y) ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Στη συνέχεια δουλεύουµε σε κάθε κανονικό χωρίο ξεχωριστά. Έστω Τ είναι χωρίο κανονικό ως προς y. ότε: Παίρνουµε τυχαία ευθεία L παράλληλη µε τον άξονα y y (ή κάθετη στον άξονα ) ΕΝΤΟΣ τoυ χωρίου Τ µε φορά προς τη διεύθυνση αύξησης των y. 4

Ολοκληρώνουµε την f ως προς y από την τιµή y=f () όπου η ευθεία L εισέρχεται στo χωρίο Τ ως την τιµή y= f () όπου η ευθεία L εξέρχεται από το χωρίο Τ. Τα όρια του προκύπτουν από την προβολή του χωρίου στον άξονα. Με παρόµοιο τρόπο δουλεύουµε για την περίπτωση που το χωρίο Τ είναι κανονικό ως προς. Eφαρµογές του διπλού ολοκληρώµατος (α) Ογκος στερεού. Εστω f : είναι µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο Τ µε σύνορο αµελητέου εµβαδού. Αν f(,y) (,y) Τ τότε V f(, y) ddy =, όπου V είναι ο όγκος του στερεού που φράσσεται από την επιφάνεια z = f(,y), το επίπεδο Oy και από την κυλινδρική επιφάνεια που έχει οδηγό το σύνορο και γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα z z. Αν f(,y) g(,y) (,y) Τ τότε, V = ( f(, y) g(, y)) ddy όπου V είναι ο όγκος του στερεού που φράσσεται από τις επιφάνειες z=g(,y) και h=f(,y) και από την κυλινδρική επιφάνεια µε οδηγό το σύνορο και γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα z z. (β) Εµβαδόν χωρίου. Εστω Ω είναι ένα κλειστό και φραγµένο χωρίο. Αν η συνάρτηση f ( y, ) = είναι ολοκληρώσιµη επί του Ω, τότε το εµβαδό του Ω υπάρχει και δίνεται από τον τύπο: E Ω ddy =. Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι υπάρχουν και σύνολα που δεν έχουν εµβαδόν. Για παράδειγµα αν ορίσουµε τη συνάρτηση 5

{( y) [ ] [ ] y } [ ] [ ], στo Α=,,, :, ρητοι f(, y) =, στo,, - A τότε η f δεν είναι ολοκληρώσιµη επί του µοναδιαίου τετραγώνου και συνεπώς το σύνολο Α δεν έχει εµβαδόν. (γ) Μάζα. Εστω ρ : (, + ) παριστάνει την πυκνότητα µάζας που κατανέµεται µε συνεχή τρόπο επί ενός επίπεδου τµήµατος Τ. Τότε το διπλό ολοκλήρωµα M = ρ( yddy, ) ισούται µε τη συνολική µάζα που κατανέµεται επί του Τ. Επιπλέον το κέντρο βάρους (,y ) δίνεται από τις σχέσεις M ρ( yddy, ) M yρ( yddy, ) = =, y = =, M ρ(, yddy ) M ρ( yddy, ) y όπου οι M = ρ(, y) ddy και M = yρ(, y) ddy καλούνται ροπές ης τάξης του Τ. y. Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων Θεώρηµα 4.5 Εστω F :G είναι ένα συνεχώς διαφορίσιµο και αντιστρέψιµο πεδίο επί τόπου G της µορφής δηλαδή ( ) ( u,v) = (,y) = g ( u,v ),g ( u,v) F, (,y) u v F = ( u,v) u,v J u,v = y y u v G. Αν f : είναι µία συνεχής συνάρτηση επί του Τ, τότε,y f (,y) ddy = f ( g( u,v ),g( u,v) ) dudv. G u,v 6

Μετασχηµατισµός σε πολικές συντεταγµένες. =ρσυνφ Στην περίπτωση που είναι ο συνήθης µετασχηµατισµός y= ρηµφ σε πολικές συντεταγµένες, έχουµε: άρα:,y ρ ϕ = = ρ,φ yρ yϕ ρσυν φ+ ρηµ φ = ρ = ρ, f,y ddy = f ρσυνφ,ρηµφ ρdρdφ. G 4. Γενικευµένα (µη γνήσια) ολοκληρώµατα Γενικά λέµε ότι ένα διπλό ολοκλήρωµα είναι γενικευµένο όταν είτε το χωρίο ολοκλήρωσης είναι µη φραγµένο υποσύνολο του, είτε η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι µη φραγµένη πάνω στο πεδίο ολοκλήρωσης είτε όταν υπάρχει συνδυασµός των παραπάνω. Αρχικά ασχολούµαστε µε την περίπτωση κατά την οποία η f είναι µη φραγµένη πάνω στο πεδίο ολοκλήρωσης A. Εστω Β είναι σύνολο αµελητέου εµβαδού που περιέχει όλα τα σηµεία σε περιοχές των οποίων η f είναι µη φραγµένη. Χρησιµοποιώντας µη αυστηρή ορολογία θα λέµε ότι η f είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη επί του Α εάν η f είναι ολοκληρώσιµη επί κάθε κλειστού και φραγµένου υποσυνόλου του Α-Β που είναι οσοδήποτε «κοντά» στο Α. Επειδή όµως ο ορισµός αυτός είναι δύσχρηστος έχουµε το ακόλουθο: Θεώρηµα 4.6 Μία µη αρνητική και µη φραγµένη συνάρτηση f : A είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη στο Α εάν υπάρχει µια αύξουσα ακολουθία υποσυνόλων του A B της µορφής K, K+ (Β σύνολο αµελητέου εµβαδού που περιέχει όλα τα σηµεία σε περιοχές των οποίων η f είναι µη φραγµένη) έτσι ώστε η f είναι ολοκληρώσιµη στα χωρία K και υπάρχει το όριο lim f (, y ) ddy λ + = K. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι το λ είναι το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f στο Α. 7

Σηµείωση. Αν η f : A είναι τυχαία (και συνεπώς όχι κατ ανάγκην θετική) τότε θα πρέπει πρώτα να διαπιστώσουµε ότι η f είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη επί του Α και µετά να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα 4.6. Συνήθως χρησιµοποιούµε το κριτήριο σύγκρισης: Κριτήριο (σύγκρισης) Εστω f : A είναι ολοκληρώσιµη επί συνόλου Α-Β όπου Β σύνολο αµελητέου εµβαδού που περιέχει όλα τα σηµεία σε περιοχές των οποίων η f είναι µη φραγµένη. Αν υπάρχει µία µη αρνητική συνάρτηση g: A η οποία είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη επί του Α τέτοια ώστε f ( P) g( P) P A τότε και η f είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη επί του Α. Με όµοιο τρόπο εργαζόµαστε για την περίπτωση όπου το χωρίο ολοκλήρωσης Α είναι µη φραγµένο. Τότε έχουµε: Θεώρηµα 4.7 Μία µη αρνητική συνάρτηση f : A όπου Α είναι µη φραγµένο είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη στο Α εάν υπάρχει µια αύξουσα ακολουθία συνόλων K, K+ που καλύπτει το Α (µε την έννοια ότι για κάθε κλειστό υποσύνολο του Α υπάρχει δείκτης ώστε A K ) έτσι ώστε η f είναι ολοκληρώσιµη στα χωρία K και υπάρχει το όριο. lim f (, y ) ddy λ + = K Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι το λ είναι το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f στο Α. Αν η f είναι τυχαία τότε θα πρέπει πρώτα να διαπιστώσουµε ότι η f είναι µη γνησίως ολοκληρώσιµη επί του Α και µετά να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα 4.7 χρησιµοποιώντας το κριτήριο σύγκρισης όπως παραπάνω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογισθεί ο όγκος του πρίσµατος που έχει ως βάση στο επίπεδο y το τρίγωνο που ορίζεται από τον άξονα των και τις 8

ευθείες y = και = ενώ η κορυφή του βρίσκεται στο επίπεδο µε εξίσωση z= y. Λύση. Από την εκφώνηση συνάγεται ότι η προβολή του πρίσµατος στο επίπεδο Οy είναι το τρίγωνο που ορίζεται από τον άξονα των και τις ευθείες y = και =, το οποίο είναι προφανώς κανονικό χωρίο. Επίσης η συνάρτηση z= y είναι συνεχής άρα ολοκληρώσιµη (και θετική) επί του τριγώνου. Αρα: V= --y dyd y = y-y- d= - - d= - = - =. ηµ. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα ddy, όπου Α είναι το A τρίγωνο στο επίπεδο y που ορίζεται από τον άξονα των, την ευθεία y = και την ευθεία = (βλέπε παραπάνω σχήµα). Λύση. Εχουµε: ηµ ddy = A ηµ dy d ηµ. = d=-συν =-συν. Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωµα I = ( + y) ddy, όπου είναι το κλειστό χωρίο που περικλείεται από τους θετικούς ηµιάξονες O και Oy και τις ευθείες y = 4-, y = 6-. Λύση. Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το γραµµοσκιασµένο χωρίο του σχήµατος. 9

4.5.5.5.5.5.5.5 Αρχικά βρίσκουµε το κοινό σηµείο των ευθειών που είναι το σηµείο (,). Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι κανονικό αλλά στο «εξωτερικό» σύνορο (µε µαύρο χρώµα) αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης που ορίζει το σύνορο αυτό. Θα ολοκληρώσουµε λοιπόν ξεχωριστά χωρίζοντας το χωρίο ολοκλήρωσης σε δύο κανονικά χωρία ως εξής: I = ( + y) ddy = ( + y) ddy + ( + y) ddy 4 6 = ( + ydyd ) + ( + ydyd ) 4 6 = ( y+ y / d+ ( y+ y / d 5 = + + + = ( (4 ) (4 ) /) d ( (6 ) (6 ) /) d. 4. Nα υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωµα e ddy. y Λύση. Το e d δεν µπορεί να υπολογισθεί µε στοιχειώδεις y ολοκληρώσεις. Θα αλλάξουµε τα όρια ολοκλήρωσης προσδοκώντας σε απλούστερη µορφή. Πρώτα θα σχεδιάσουµε το χωρίο ολοκλήρωσης..5.5.5 Τότε έχουµε.5.5.5 9 e e e ddy = e dyd = ye d = e d = =. y

5. Yπολογίστε το b a d, < a b. Λύση. Παρατηρούµε ότι y b b a b y dyd = d = d, < a b. a a Εναλλάσσοντας τα όρια ολοκλήρωσης (µπορούµε να το κάνουµε άµεσα διότι το χωρίο ολοκλήρωσης είναι ορθογώνιο) παίρνουµε y+ b b b b y y b+ dyd = ddy = dy dy y = = + y+ a+. a a a a Συνεπώς: b a b+ d =. a + 6. Εστω {(, y):, y } =.Υπολογίστε το ( )( y ) ddy κάνοντας αλλαγή µεταβλητής -=u και y-=v. Λύση. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι το αρχικό χωρίο ολοκλήρωσης = (, y):, y. είναι το τετράγωνο { }.75.5.5.75.5.5 8y Επίπ δο <.5.5.75.5.5.75 Το θέµα είναι να βρούµε πως αυτό το χωρίο µετασχηµατίζεται στο επίπεδο uv µε χρήση του µετασχηµατισµού = u. () y = v

Εργαζόµαστε αποκλειστικά στο σύνορο του το οποίο απαρτίζεται από 4 ευθύγραµµα τµήµατα µε εξισώσεις =, =, y=, y=. Eχουµε: Για = αντικαθιστούµε στην () και παίρνουµε u=-. Για = αντικαθιστούµε στην () και παίρνουµε u=. Για y= αντικαθιστούµε στην () και παίρνουµε v=-. Για y= αντικαθιστούµε στην () και παίρνουµε v=..75.5.5 -.5 -.5 -.75 8uv Επίπ δο < -.75 -.5 -.5.5.5.75 Χρησιµοποιούµε τον τύπο αλλαγής µεταβλητής ο οποίος γίνεται (,y) ( u,v) f (,y) ddy = f ( g( u,v ),g( u,v) ) dudv G,y f, y ddy = uv dudv -. u,v Εφόσον,y u,v,y = = = =, έχουµε u,v / - f,y ddy = uvdvdu = uv du =. 7. Να ευρεθεί το εµβαδόν του χωρίου R που ορίζεται από την ευθεία y = και την παραβολή y = στο ο τεταρτηµόριο, όταν [,].

Λύση. Ε = ddy= dyd= R - d= - = - =. 6 8. Να ευρεθεί το εµβαδόν του χωρίου R που περικλείεται µεταξύ της παραβολής y =, της ευθείας y = + και των ευθειών = -, =. Λύση. Αρχικά υπολογίζουµε τα σηµεία τοµής των δύο καµπύλων λύνοντας την εξίσωση: =+ --= = η =-, άρα τα σηµεία τοµής είναι τα (,4) και (-,). ο χωρίο είναι κανονικό οπότε: + 9 Ε = dyd= ( +- ) d - = +- = -. + y ddy όπου R είναι R το ο τεταρτοκύκλιο του κύκλου + y =. 9. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα Λύση. Χρησιµοποιούµε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες και έχουµε π/ R +y ddy= ρσυνφ + ρηµφ ρdφdρ - 4 π/ π π ρ π. 4 8 = ρ dφdρ = ρ dρ = =. Να ευρεθεί στο επίπεδο Oy το εµβαδόν τoυ καρδιοειδούς ρφ=+ηµφ στο ο τεταρτηµόριο. Λύση. Το σχήµα στο επίπεδο Οy για κάθε ϕ [,π ) ακόλουθο: είναι το.5.5 - -.5.5

Eχουµε: R G Ε = ddy= ρdρdφ π/ +ηµφ π/ π/ +ηµφ = ( ) ρdρ dφ = dφ= ηµφ+ ηµ φ dφ + / / π/ συνφ = [ φ] π [ συνφ] π + dφ π/ π/ π/ π/ π = [ φ] [ συνφ] + [ φ] [ ηµφ] = +. 4 8. Υπολογίστε το ( + ) y ddy, όπου είναι ο δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους + y = και + y = 4. Λύση. Χρησιµοποιούµε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες και έχουµε ρ 6 6 π ( +y ) ddy= ( ρ ) ρdρdφ=π = π.. Υπολογίστε το ddy, όπου είναι το χωρίο που y φράσσεται από τον κύκλο + y =. Λύση. Προφανώς µε συµπλήρωση τετραγώνων το χωρίο είναι το εσωτερικό κύκλου κέντρου (/, ) και ακτίνας ½, διότι + y = + y =..4. -...4.6.8 -.4 4

Θα χρησιµοποιήσουµε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες =ρσυνθ, y=ρηµθ. Τότε η + y = γίνεται ρ = ρσυνθ ρ = συνθ. Ετσι το χωρίο του σχήµατος γράφεται µε πολικές συντεταγµένες ως συνεπώς π π = ( ρ, θ): θ, ρ συνθ π / συνθ ρdρdθ π / ddy = = ρ y ρ συνθ π / π / dθ π / π / = = ( συν θ ) d θ = ( ηµθ ) d θ π / π / π /. π ηµθdθ = π. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z = + y και z = 4 4y. Λύση. Η η επιφάνεια είναι κυκλικό παραβολοειδές και η η επιφάνεια είναι ένα επίπεδο τα οποία τέµνονται όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα 5-5 5 5-5 -5 5 Eστω c είναι η καµπύλη τοµής των δύο επιφανειών. Ξεκινούµε πάντα βρίσκοντας το χωρίο πάνω στο οποίο ολοκληρώνουµε. Αυτό το χωρίο είναι η προβολή στο επίπεδο Οy της καµπύλης c και προκύπτει απαλείφοντας το z από τις εξισώσεις των δύο επιφανειών. Ετσι προκύπτει εύκολα ότι η προβολή της c είναι η y y y + = 4 4 + + + = 9 δηλαδή κύκλος κέντρου (-,-) και ακτίνας. Aρα το χωρίο ολοκλήρωσης είναι ο κυκλικός δίσκος 5

{ (, ): ( ) ( ) 9 } = y + + y+. Για ευκολία χρησιµοποιούµε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες της µορφής + = ρσυνθ y + = ρηµθ οπότε {( ρθ, ): θ [, π), ρ } = (τώρα ο πόλος θεωρείται το κέντρο του κύκλου (-,-)). Εχουµε λοιπόν (( 4 4 ) ( )) Τ V = y + y ddy π = 4 ( ρσυνθ ) 4( ρηµθ ) ( ρσυνθ ) ( ρηµθ ) ρdρdθ 8π = = π ( 9ρ ρ ) dρdθ. 4. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες = +, + =, =, όπου a >. z y y a z Λύση. Η z = + y είναι κωνική επιφάνεια ενώ η ( a) + y = a είναι κυκλική κυλινδρική επιφάνεια. Oι επιφάνειες τέµνονται όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. 4 -.5.5 (Η οπτική γωνία του σχήµατος είναι από την πλευρά του άξονα y y) 6

Αρχικά βρίσκουµε το χωρίο πάνω στο οποίο ολοκληρώνουµε. Στην προκειµένη περίπτωση είναι σαφές ότι το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το = (, y):( a) + y a. { } Χρησιµοποιούµε πολικές συντεταγµένες εκφράζεται σε πολικές συντ/νες ως = ρσυνθ. Τότε το χωρίο y = ρηµθ Τότε: π π = ( ρ, θ): θ,, ρ aσυνθ. π / a συνθ / / 8 a π 8 a π V = ρ dρdθ συν θdθ συν θdηµθ π / = = π / π / a / / a π π ηµ θ ηµ θ dηµθ ηµθ a π / 9 π / 8 8 = = =. 5. Να υπολογισθεί το µη γνήσιο ολοκλήρωµα ddy / ( + + y ). Λύση. Θεωρούµε ακολουθία κλειστών χωρίων της µορφής {( ρθ, ) : θ [, π), ρ R} = όπου R +, +. Τότε έχουµε: π R / I = ρdρdθ = d + ρ dθ / ( + ρ ) R ( ) π = π = π π,. + ρ + R 6. Να υπολογισθεί το µη γνήσιο ολοκλήρωµα 7

ddy, ( y) / όπου είναι το χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες y=, y= και =. Λύση. Η συνάρτηση f(, y) = ( y) / είναι µη αρνητική στο και µη φραγµένη σε µια περιοχή της ευθείας y=. Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε µία ακολουθία κλειστών χωρίων της µορφής {(, ) : [,], } = y y ε + όπου ε, +. Τότε έχουµε ε / / ε = / = ( y) ddy y dyd y d / / / 4/ / d ε 9 9 = ε = ε + = ε. + 4 4 4 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα I = ( y ) ddy, όπου {(, ):, } = y y. Απάντ.. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα I {(, ):, } = ye ddy, όπου = y y y. Απάντ. e. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα I 4 y = dyd. y Υπόδ. Εναλλάξτε τα όρια ολοκλήρωσης. Απάντ. 8 8

4. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα I = y ddy, όπου είναι η κλειστή περιοχή που περικλείεται από το θετικό ηµιάξονα O, την ευθεία y = και το ηµικύκλιο y= που αντιστοιχεί στο ο τεταρτηµόριο. Απάντ. 6 5. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα κυκλικός δίσκος + y. e ( + y ) ddy όπου είναι ο Απάντ. π e 6. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωµα + yddy. Απάντ. 8 7. Υπολογίστε το εµβαδόν των επιπέδων χωρίων που περικλείονται από τις καµπύλες µε εξισώσεις: (a) y = 4, =4y, Aπάντ. 6 (b) r = a(+συνθ), α>, (γ) r = a(+συνθ), και r = aσυνθ, α>. (δ) r = a συν(θ) α>. π a Απάντ. 5π a Aπάντ. 4 Aπάντ. a 8. Να υπολογίσετε το y y ddy µε τη βοήθεια του e + µετασχηµατισµού +y=u και y=uv, όπου είναι το χωρίο που περικλείεται από τους θετικούς ηµιάξονες O και Oy και τις ευθείες 5( e ) +y=, +y=. Aπάντ. e 9. Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωµα = ( + ) I y ddy, όπου είναι το κλειστό χωρίο που περικλείεται από το παραλληλόγραµµο +y=, +y=8, -7y=4 και -7y=6. 9

Yπόδειξη: Κάντε κατάλληλη αλλαγή µεταβλητής. Απάντ. 9 8. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z= και z=4- -y. Απάντ. 4π. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις 6a επιφάνειες + y = a, + z = a. Aπάντ.. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες =, y=, z=, +y+z=, y =-z, (y>). Aπάντ. 49 6. Να υπολογισθεί το µη γνήσιο ολοκλήρωµα I e d =. Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι I = I όπου =. y I e ddy Απάντ. π 4. Να υπολογισθεί το µη γνήσιο ολοκλήρωµα ddy e y όπου = {(, ): >, }. Απάντ. ( ) y y yddy 5. Να υπολογισθεί το µη γνήσιο ολοκλήρωµα όπου = [,]. Απάντ.