ZBIRKA ZADATAKA IZ ROBOTIKE

Robotk Zbrk tk ZBIRKA ZADATAKA IZ ROBOTIKE Prof. r Brnsv Borovc Doc. r Gorn \or ev} Mr Mn R{} p. n`. Dejn Anr} NOVI AD, NI{,

Robotk Zbrk tk PREDGOVOR Zbrk tk robotke nmenjen je stuentm vr{nh gon stuj eektrotehnke m{nstv. Imju} u vu je broj stuent koj su{ju robotku u rbj tokom jene {koske gone retvno m, ou~ smo se verju Zbrke koj b b usk en s nstvnm pnovm robotke Fkutet tehn~kh nuk Unvertet u Novom u Eektronskog fkutet Unvertet u N{u. Mnog o tk Zbrke kor{}en su tokom n gon pr vojenju r~unskh bortorjskh ve`bnj premet Tehn~k robotk Inustrjsk robotk. Ipk, Zbrk sr` nekoko novh tk koj, nmo se, uspe{no poveuju pogvj u neophonu cenu. N ovom mestu smtrmo je neophono se hvmo Mr. Drgnu Kost}u koj je pomogo u koncprnju n~jnog broj tk Zbrke tokom r n Eektronskom fkutetu u N{u. P`jvo obrn c pru`ju sveobuhvtn uvo neophon u~vnje nu~nh tehnoo{kh osnov nustrjske robotke. Prte} svremene trenove u robotc stovremeno mju} n umu soènost mterje koj nje pogon tekstuno gnje, ou~ smo se se osonmo, tmo ge je mogu}e, n prenost koje pru` okruènje MATLAB. Vek broj osnovnh mtemt~kh funkcj n vektorm mtrcm, bogt skup funkcj grf~ko prestvjnje reutt posebno funkcje koje prpju vekom broju korsn~kh t, tv. toobo-ov, pruò je, bukvno, progrmsku osnovu vrtuenu robotsku bortorju. Otu preporuk se pre po~etk kor{}enj ove Zbrke stuent krtkm uvoom prpreme r u MATLAB okruènju. mtrju} vnje u`benk osnovnh stuj ne treb onos proft, ou~ smo se Zbrk bue ostupn svkom stuentu, be mterjne nokne. Dotn rog koj oprvv eektronsku strbucju knjge je vek ve}n tk poseuje MAT- LAB skrpt ko eo re{enj. Tme je omogu}en rektn verfkcj tk tko e ostvjen sobo utonomnog r, be mornog prekucvnj koâ re{enjâ. Autor povju sve korsnke ove Zbrke sugestje, prmebe uo~ene neostke po{ju eektronskm putem n resu ZbrkIRobotke@hoo.com. Autor, Nov, N{, Apr. gone

Robotk Zbrk tk ADR@AJ HOMOGENE TRANFORMAIJE... D-H NOTAIJA I DIREKTNI ZADATAK KINEMATIKE... JAKOBIJAN I INVERZNI ZADATAK KINEMATIKE...7 DINAMIKA...7 PLANIRANJE TRAJEKTORIJA I PRIMENE...7 DODATAK... DODATAK...7 DODATAK...7 DODATAK...7 DODATAK...77 DODATAK...8 LITERATURA...8

Robotk Zbrk tk HOMOGENE TRANFORMAIJE Ztk. Oret projekcje vektor, j, k n ose koorntnog sstem Oo - o o o mtrcu rotcje R su~j prkn n.. Re{enje: Obrom koone mtrce trnsformcje prestvjju projekcje ortov rotrnog koorntnog sstem O- n ortove nepokretnog koorntnog sstem O o - o o o (vet Dotk ), stucju prknu n.. mo`emo pst: R j k

Robotk Zbrk tk k k j j k. Retvn poo`j koorntnh sstem pose rotcje oke, menom u koone mtrce, se tr`en mtrc rotcje R o. Ztk. p,, Vektor [ ] T je rotrn oko ose ugo prkno n.. Oret koornte vektor pose rotcje. π ko {to je Re{enje: p R, p R p,9 N osnovu osnovnh (b~nh) mtrc rotcje oko koorntnh os (vet Dotk ) se

Robotk Zbrk tk p k. Iustrcj u tk. p pose sr~unvnj vrenost ugo π objmo tr`ene koornte vektor p Ztk. Oret mtrcu rotcje R koj prestvj rotcju π oko ose pr}enu rotcjom ugo π oko trenutne ose.

Robotk Zbrk tk Re{enje: Ukupnu mtrcu rotcje (v Dotk ) mo`emo oret ko reutt ve ustopne rotcje prem ru oke se R R R 9,, R Ztk. D b utvr ustopne rotcje v` kon komuttvnost oret mtrcu rotcje R' ste pojen~ne rotcje ko u prethonom prmeru (tk.) veene obrnutm reoseom. Re{enje: U ovom su~ju ukupn mtrc rotcje nstje ko reutt ve ustopne rotcje obrnutm reoseom, tj. R ' R R,, 9 7

Robotk Zbrk tk R' Ove se v kon~ne rotcje n v` kon komuttvnost. Ztk. Oret mtrcu rotcje koj ogovr skupu rotcj efnsnh s:.- rotcj oko ose ugo ϕ.- rotcj oko nove ose ugo.- rotcju oko nove ose ugo ψ ko su ugov rotcj t s: π, ϕ, n bn koorntn sstem? ψ π. Koj je smer ose u onosu Re{enje: Po{to su u ptnju ZYZ Ojerov ugov, mtrc rotcje je t s R oke se φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ ψ φ φ 8

Robotk Zbrk tk R j k k. Poo`j koorntnog sstem pose rotcje u onosu n bn Poo`j koorntnog sstem pose rotcje u onosu n bn je t n.. skretnj Ztk. Oret mtrcu rotcje te ugove vjnj ψ π. o φ, propnjnj π Re{enje: Ako prmenmo ogovrju}u mtrcu trnsformcje (v Dotk ) R φ ψ φ ψ φψ φ ψ ψ te vrenost ugov ϕ, ψ objmo φ ψ φψ φ ψ φ ψ ψ φ φ 9

Robotk Zbrk tk R Ztk.7 Oret homogenu trnsformconu mtrcu H koj prestvj rotcju oko ose ugo α prte} trnscju u` rotrne ose b jenc. Re{enje: H I H H, α H H, α H H Hb, H, α H, α H b, H H, α H b, Ztk.8 Oret homogenu mtrcu trnsformcje koj prestvj rotcju α stepen oko trenutne ose pr}enu trnscjom b jenc u` trenutne ose,

Robotk Zbrk tk b k. Trnsformcje koorntnh sstem pr}enu trnscjom jenc u` trenutne ose pr}enu rotcjom stepen oko trenutne ose. Re{enje: Ako prmenmo sukcesvno mtrce specfcrnh homogenh trnsformcj, koje su skcrne n., reutuju} homogen mtrc ukupne trnsformcje se mo`e oret n osnovu r: H. R. α T, b T, R,

Robotk Zbrk tk Zmenom pojen~nh mtrc homogenh trnsformcj (v Dotk ) se α α α α b H b α α α α p n krju objmo α α α α α α α α b H Ztk.9 Oret trnsformconu mtrcu koj prestvj rotcju oko ose ugo α pr}enu trnscjom u` ose jenc, pr}enu trnscjom u` o ose jenc, pr}enu rotcjom oko ose ugo T. Re{enje: H I,, α α H H H H,,, α H H H H H,,,,α H H H H H H,,,,, α H H H H H H H

Robotk Zbrk tk Oke objmo H H H H H,,,, α H α α α α Ztk. Oret homogene trnsformcje H, H, H koje prestvjju trnsformcje me u sstem prknh n sc. Pok`te je H HH. m m k. Poo`j koorntnh sstem Re{enje: ske se mo`e uo~t me u koorntnh sstem O o - o o o O - postoje see}e trnsformcje: H Trn, Rot,9 Rot, 9

Robotk Zbrk tk n osnovu ~eg se H N s~n n~n se obj H Trn, Rot Rot,9, 9 oke se H Z veu me u koorntnh sstem O - O - v` H Trn, Trn, Rot Rot, 9,9 n osnovu ~eg se H p kon~no homogenu trnsformcju H objmo

Robotk Zbrk tk H. Tko e, n osnovu me usobnog poo`j koorntnh sstem O o - o o o O - se moè pst oke se H Rot Rot Trn,9, 9, H N osnovu gornjh r moèmo oret ukupnu homogenu mtrcu trnsformcje oke se H H H H prem ru H H H Obrom je objen reutt ent~n mtrc homogene trnsformcje objene rektnm sr~unvnjem okno je recj H H H H v`. Ovj tk je mogu}e re{t kor{}enjem rugh trnsformcj. Nme, s. se moè uo~t me u koorntnh sstem O o - o o o O - postoj rug~j n trnsformcj kojm se koorntn sstem ovoe o pokpnj:

Robotk Zbrk tk 9 9,,, Trn Rot Rot H n osnovu ~eg se H N s~n n~n se mo`e obt 9 9,,, Trn Rot Rot H H Z veu me u koorntnh sstem tko e O - O - v` 9 9,,,, Trn Trn Rot Rot H n osnovu ~eg se H

Robotk Zbrk tk Treb uo~t se objen reutt pokpju s reuttm objenm u prethonom su~ju, ~me smo pok reutt ne vs o n~n n koj je nek trnsformcj reovn. Ztk. Robot je postvjen (. ) n rstojnju o m o sto ~je ve noge se ne n os. Gornj povr{n sto je n rstojnju o m o pooge kvrtnog je obk s strncom u`ne m. Koorntn sstem O - je fksrn vcu sto. Kock menj, m je postvjen n sren rne povr{ne sto s koorntnm sstemom O - sme{tenm u centru kocke. Kmer je postvjen rekto n centr kocke m n povr{ne sto s sopstvenm koorntnm sstemom O -. Oret homogene trnsformcje svh koorntnh sstem u onosu n bn koorntn sstem O - ko homogenu trnsformcju koorntnog sstem O - u onosu n koorntn sstem O -. Re{enje: H Trn, Trn, m.... m. m. m m m m k. k u tk 7

Robotk Zbrk tk H.,,.,. Trn Trn Trn H...... H,,,.,., π π Rot Rot Trn Trn Trn H.. H.... H 9 π π,,., Rot : Rot Trn H 9 9 9... H 8

Robotk Zbrk tk Ztk. Kock tk.. je rotrn 9 o oko ose. Ponovo sr~unt sve trnsformcje ko u prethonom tku. Re{enje:... H...... H H H 9....... H H H Ztk. Pretpostvmo je kmer u tku.. rotrn 9 o oko ose pomeren tko njen centr u onosu n koorntn sstem O - m koornte. r~unt homogene trnsformcje me u kocke kmere kocke koorntnog sstem O [ 8.. ] -. Re{enje: 9... H 9

Robotk Zbrk tk Homogen trnsformcj o kocke o koorntnog sstem O - je H. 8. Ztk. Lovc presret~ n se u onosu n bu u poo`ju opsnom homogenom trnsformcju A, sk 7. Ivj~k von n poo`ju A u onosu n bu uo~o je neprjtejsku etecu n poo`ju A u onosu n sebe. Oret prmetre po kojm ovc treb sp rketu n neprjtejsk von ko je ponto:, 8,, 8,,, 8,,, 7. A ; A ;,,, 7,,, 8, 8, A,, 8 A vjc A A A ovc b k 7. Prmer presretnj ovc

Robotk Zbrk tk Re{enje: Oremo osnovne homogene mtrce trnsformcj koje }e efnst poo`j cj. Poo`j cj u onosu n bu ore ren je recjom A A A ( ) A A ( ) A A A A A A Ztk. Z korntne ssteme prkne n sc 8, oret trnsf. mtrce A A,,,. Korstt funkcje rot, rot, rot, trns Robotcs toobo-. b c e k 8. Koorntn sstem n temenm sov L Re{enje: gnjem mtrc trnsformcj objmo A T c, e T, R, 9 R,8

Robotk Zbrk tk b c e A, A Prethono opsn proceur mo`e bt reovn pomo}u pket Robotcs toobo: T rot (tet) R, α α T rot (ph) R, α α α β T rot (bet) R, β β β T trns (,,) T,89,,8,897,,8,,98 A,8,,9,7

Robotk Zbrk tk D-H NOTAIJA I DIREKTNI ZADATAK KINEMATIKE T Ztk. Oret Denvt-Hrtenbergove (D-H) prmetre mtrcu trnsformcje vosegmentn rvnsk mnputor koj je prkn n. 9. k 9. Dvosegmentn rvnsk mnputor Re{enje: Prpju} koorntn sstem su prkn n nrenoj sc, ogovrju} D-H prmetr su sstemtovn u see}oj tbe egment α * * su promenjve koornte gob u tbe h obee`vmo s. Tbc D-H prmetr vosegmentnog mnputor s koorntnm sstemm postvjenm ko n.. * *

Robotk Zbrk tk k. Mehnm s postvjenm koorntnm sstemm Ukupn mtrc trnsformcje je efnsn rom A A T Ako uveemo skr}en ps pojen~ne mtrce trnsformcje mo`emo pst A A p se ukupn mtrc trnsformcje obj mno`enjem mtrc A A

Robotk Zbrk tk T n osnovu ~eg se T N osnovu ve} ponth recj β α β α β α sn sn cos cos ) cos( ± ko α β β α β α cos sn cos sn ) sn( ± ± (skr}enom notcjom ove re mo`emo pst ko ) mtrcu T mo`emo npst u kon~noj form T ~me je tk re{en. Ztk.. Formrt moe knemtke nmke pnrnog mnputor s tr stepen soboe. Du`ne segment su,,,, poo`j centr msâ su mse segment su skoncentrsne u centrm ms,,, c,,, nose.,,, m

Robotk Zbrk tk k. Pnrn, RRR, ktst robot Re{enje: DH prmetr pnrnog reuntnog robot su DH α q q q Homogen mtrc trnsformcje gs c s c c c s c s s s T Ztk. Z trosegmentn mnputor cnr~ne konfgurcje koj je prkn n. oret D-H prmetre mtrcu trnsformcje T.

Robotk Zbrk tk k. Trosegmentn cnr~n konfgurcj Re{enje: Koorntn sstem postvjen prem D-H notcj su skcrn n., ok su ogovrju} D-H prmetr t u tbe. egment α * π * * Tbc D-H prmetr trosegmentne cnr~ne konfgurcje s koorntnm sstemm postvjenm ko n.. 7

Robotk Zbrk tk * * * k. Trosegmentn cnr~n konfgurcj s postvjenm koorntnm sstemm Pojen~ne mtrce trnsformcje su te s A A A ok se ukupn mtrc trnsformcje ore uje prem A A A T 8

Robotk Zbrk tk oke, kon~no, se T Ztk. Oret DH prmetre mtrce homogenh trnsformcj sfe rn mnputor, prkn n sc. k. fern, RRT, mnmn konfgurcj Re{enje: Postvmo koorntne ssteme kko je prkno n skc sfernog mnputor α σ 9 9 9 ge je - u`n ruke robot 9

Robotk Zbrk tk A ; A ; A Ponju} trgonometrjske recje cos ( 9 ) -sn ; sn ( 9 ) cos sgnjem homogenh mtrc trnsformcj r~un}emo poo`j vrh robot A A A A A Ztk. Z mnputor s tr stepen soboe ntropomorfne konfgurcje, k. Mnmn konfgurcj ntropomorfnog robot koj je prkn n.. oret D - H prmetre ukupnu trnsformcju T.

Robotk Zbrk tk Re{enje: Koorntn sstem postvjen prem D-H notcj su skcrn n., ok su ogovrju} D-H prmetr t u tbe. *, * * k. Mnmn konfgurcj ntropomorfnog robot s postvjenm koorntnm sstemm prem D-H notcj egment α π * * * Tbc D-H prmetr mnmnu konfgurcju ntropomorfnog robot s koorntnm sstemm postvjenm ko n.. pojen~ne mtrce trnsformcj su te s

Robotk Zbrk tk A A A ok je ukupn trnsformcj t s ) ( ) ( A A A T Ztk. Z sfern gob, prkn n. 7, oret D - H prmetre mtrcu trnsformcje T. k 7. hemtsk prk sfernog gob

Robotk Zbrk tk Re{enje: Koorntn sstem postvjen prem D-H notcj su skcrn n. 8, ok su ogovrju} D-H prmetr t u tbe. k 8. hemtsk prk sfernog gob s postvjenm koorntnm sstemm prem D-H notcj egment α π * π * * Tbc D-H prmetr sfernog gob s koorntnm sstemm postvjenm ko n. 8. Pojen~ne mtrce trnsformcj su te s

Robotk Zbrk tk A A A ok je mtrc ukupne trnsformcje A A A T T Ztk.7 Z mnputor cnr~ne konfgurcje s sfernm gobom treb oret D - H prmetre mtrcu ukupne trnsformcje T. Re{enje: Koorntn sstem postvjen prem D-H notcj su skcrn n. 9, ok su ogovrju} D-H prmetr t u tbe. N osnovu tk. se:

Robotk Zbrk tk T k 9. nr~n konfgurcj s sfernm gobom egment α * π * * π * π * * Tbc D-H prmetr cnr~ne konfgurcje s sfernm gobom ok n osnovu tk. se:

Robotk Zbrk tk T p se ukupn mtrc trnsformcje mo`e oret ko T T T Reutuju} mtrc trnsformcje je r r r r r r r r r T ge su eement mtrce rotcje t s r r r r r r r r r eement vektot trnscje t s

Robotk Zbrk tk JAKOBIJAN I INVERZNI ZADATAK KINEMATIKE Ztk. Z mnputor ntropomorfne konfgurcje (. ) re{t nvern knemt~k tk (oret ugove u gobovm q, q q tu pocju vrh specfcrnu koorntm, ) nt~km n~nom. Re{enje: U tku.. je robot ste konfgurcje re{en rektn knemt~k tk ge je ore en ukupn mtrc trnsformcje u form T ( ( T ) N osnovu ~etvrte koone mtrce trnsformcje T pocju vrh robot mo`emo pst ( ) () ) () () ( Ako prvu jen~nu pomno`mo s ( (, rugu s objmo ) () ) () Ako jen~nu () oumemo o jen~ne (), se: 7 ) )

Robotk Zbrk tk oke rektno objmo π k rctg q D b ore ugo q pomno`mo jen~nu (), () s, n osnovu ~eg objmo ) ( () ) ( (7) Ako jen~ne () (7) sberemo sremo, reutuju} jen~n jeno s jen~nm () ~n sstem ( / ) (8) / (9) ~jm kvrrnjem sbrnjem objmo ) ( ) ( ) ( ) ( () Ako umemo u obr je ) (, sve to prmenmo n jen~nu (), pose sre vnj objmo ( ) nus ug q mo`emo oret n osnovu ponte recje ± (borom nk - opreejujemo se poo`j kt konfgurcje n gore n oe), p kon~no objmo rctg 8

Robotk Zbrk tk D b ore ugo q n osnovu sstem (8) (9) objmo ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( oke, kon~no, objmo rctg q ) ( ) ( ) ( ) ( ~me je tk re{en. Ztk. Posmtrjmo preogrmsku strukturu mnputor (fve-br nkge), prknu n sc. Ztvoren nc se jvj u t~k ge prv v gob spjju segmente ' " s segmentom. Zgob je brn ko rse~en gob. Obrno je. Prmetr ~etvrtog segment su konstntn. v gobov su rotcon, s jenm stepenom soboe. Oret DH prmetre ove konfgurcje ko rektnu knemt~ku funkcju. ' ' ' " ' ' ' ' ' " " " ' v ' v ' v " ' v ' ' ' k. Preogrmsk rvnsk mnputor 9

Robotk Zbrk tk Re{enje: Ovkvu konfgurcju mo`emo rmtrt ko v nevsn mnputor koj spunjvju ogrn~enj u ~etvrtom gobu. Koorntn sstem su postvjen ko n sc. DH prmetr t su u tbe. α v ' ' v ' ' ' v ' ' ' v ' " '' v " Homogen mtrc trnsformcje ent~n je sve gobove c s c s c s A ( v),,, Prv mnputor, n o prv tr segment, trnformcj ', ', ', m mtrcu c''' s''' ' c' ' c'' ' c''' ' ' s''' c''' ' s' ' s'' ' s ''' A' ( q' ) A' A' A' [ ] T ' ' ' ge je vektor unutr{njh koornt q' v v v. Z rug mnputor, koj ~n smo jen segment, mtrc trnsformcj gs ", homogen

Robotk Zbrk tk " A ( q" ) c" s" " c" s" c" " s " ge je vektor unutr{njh koornt q " v" Homogen mtrc trnsformcj posenj segment gs A ' Prvo ogrn~enje koje ukuje su v mnputor sstvjen u, onosno ~etvrtom gobu gs ( ) '" R ' ( ) ( ( ) q' p' q' p" ( q" )) ok je rugo ogrn~enje spunjeno nevsno o q ' q ". Kko je postvjen usov su pren segment jenkh u`n, mogu se vest ve recje Provojnm borom ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c ' ' ''' " '' " ' ' ''' " '' " s s s s ', ", prethonh jen~n se obj v v v ' " ' v π v π v v ' ' " ' T ' ". Ov gobov su prrono re{enje pogonske gobove. menom v ' v' u mtrcu homogenh trnsformcj A r~unvnjem rektne knemtke objmo Otu, vektor unutr{njh koornt je q [ v v ] c' s' " c" c' ' s' c' " s" s ' T ( q) A' ( q) A

Robotk Zbrk tk Knemt~k posmtrno, preogrmsk struktur mnputor ent~n je s vosegmentnom ktstom strukturom (v jen~nu). Jen rk je u tome {to su gobov ocrn u osnov ne optere}uju strukturu. To }e n~jno pojenostvt moe nmke. Ztk. Z preogrmsku strukturu mnputor prknu n sc, oret moe nmke u form mtr~ne ferencjne jen~ne rugog re. Pretpostvt je robot sstvjen o ve rgrnte otvorene strukture. Rstojnj centr msâ o ogovrju}h gobov t su u`nm ', ', ', ", u` osâ segment. Mse segment su m', m', m', m", moment nercje, sr~unt koorntn sstem u centru ms, su I', I', I ', I". Inercje rotor motor su nemrene. v ' " v ' ' m ',I ' ' ' v ' v " ' ' " " m ',I ' m ",I " ' m',i' k. Preogrmsk pnrn mnputor s efnsnm centrm ms nercjm Re{enje: Z obrne koorntne ssteme, r~unt su Jkobjn po trnstornm brnm svk o gobov s ' ' s ' ' s ' '' s ' '' ( ' ) ( ' ) JP ' c' JP ' c' ' c'' c''

Robotk Zbrk tk s s s s s s s ( ' ) ( " ) J P c c c c c c JP c ' ' ' '' ' ''' ' '' ' ''' ' ''' " " ' ' ' '' ' ''' ' '' ' ''' ' ''' " " Jkobjn po rotconm brnm svk o gobov su ( ' ) J P ( ' ) J P ( ' ) J P ( " ) J P Formr}emo nm~ke moee smtrju} je robot sstvjen o v porobot, jenog s tr stepen soboe rugog s jenm stepenom soboe. Z robot sstvjen o tr segment, ', ', ', mtrc nercj gs ge je ( q ) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) b v v b v v b v v '' ' ' '' ' ' '' ' ' '' ' ' '' ' '' ' B' ' b v, v b v b v b'' v' v' b'' v' b'' ( ) ( ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ) ( ) ' ' ' ( ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ) ( ' ' ) ( ) ( ) b I m I m c I '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' m c c c ' b b I m c I b '' '' ' ' ' ' m c c c ' b I m c c ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' b I m I m c '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' b I m c '' ' ' ' ' ' ' '' ' b I m ' ' ge je vektor koornt q' [ q' q' q' ] T. Z rug posstem, q" q", koj ~n smo segment ", v` '' " b I m " " tog, moment use nercj ob posstem su

Robotk Zbrk tk ' τ b vj τ " b'' v " " ' j' " j ' ' Posmtrno u cen, ukupn moment nercje nos ge su τ B q [ v' v" ], τ τ' τ " q [ ] B b b b b ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' b I m m I m m m ( ' ' " ( ' ' )) cos( " ' ) b b m m v v ' ' ' ' ' ' ' ' ' " b I m I m m Ovj r otvr mogu}nost formrnj ekupovne konfgurcono nevsne nercjne mtrce. Usov koj treb spunt je ~etr segment mnputor ovojvju jenkost m ' ' ' m ' ' " ge je ' ' ' rstojnje o centr mse tre}eg segment, ', o ose ~etvrtog gob. Ukoko je tj usov spunjen, nercjn mtrc je jgonn b b. b I m m I ' ' ' ' ' ' ' ' ' " ' " ' ' ' ' ' ' ' ' b I m I m Ko posec, oprnos korosovh centrfugnh s n ukupn moment u gobu su pon{ten. Tkv reutt nje mogo bt ostvren s vosegmentnom ktstom konfgurcjom. [to se grvtconh efekt t~e, po{to je veenm jkobjnm obj se g [ g ] T, s prethono

Robotk Zbrk tk ( ) ( ) ( ) g m m m gc m m gc m gc ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ''' g m m gc m gc g ko ' ' ' ' ' '' ' ' ''' m gc ' ' ' ''' g m gc " " " " uperpocjom grvtconh efekt use ve strukture, obj se g ( ' ' ' ) ( ) m ' m ' m ' gc '. m " " m ' ' m ' " gc" Tme smo formr moe nmke preogrmske strukture mnputor. Posmtrju} moe nmke, () moè se kju~ je, nsuprot soènjoj knemt~koj funkcj, o{o o n~jnog pojenostvjenj u onosu n vosegmentnu ktstu strukturu (9). Nje potrebno uvot otne mse stt~ko urvnoteènje ko ko vosegmentnog pnrnog mnputor. Urnoteènje smo postg jenostvnm hvtom u konstrukcj jen~vju} onose ms, centr msâ u`n ogovrju}h segment. Tko e, mse nercje sttor motor ne ue u moe nmke n~jno pojenostvjuju ue`{tenje. To nro~to pojenostvjuje pnrnje kretnj uprvjnje. Use tog, ko bog pove}ne sposobnost no{enj teret, ovkv struktur mnputor veom ~esto se korst u nustrjskoj robotc, sk. Jen probem oge se u ~njenc su, use tvorene knemt~ke vee, kretnj u gobovm n~jno ogrn~en u onosu n vosegmentnu ktstu strukturu. () k. Inustrjsk robot s preogrmskom strukturom rugog tre}eg segment

Robotk Zbrk tk Ztk. Z vosegmentn rvnsk mnpucon mehnm (. ) oret Jkobjn nt~km numer~km n~nom Re{enje: Ant~k n~n Z poo`j vrh mehnm mo`emo pst Ako formrmo prcjne voe mo`e npst u see}oj form J,, p konkretnu vosegmentnu konfgurcju objmo Jkobjn se Numer~k n~n J D b sr~un jkobjn numr~km putem potrebno je oret vektore efnsne recjm (D.) (D.7) koje su te u Dotku.

Robotk Zbrk tk r.h r.h k. Dvosegmentn rvnsk mehnm Projekcje potrebnh vektor (prkn su n.) n bn (nut) koorntn sstem su te s r H, r H, Ako se posetmo se vektorsk provo v vektor se obj n see} n~n b b b b b b b b b mo`emo pst r H, 7

Robotk Zbrk tk r H, Ukoko se ogrn~mo smo n jkobjn ven pocju vrh mnputor jkobjevu mtrcu objmo u form J Treb prmett je tk vomenonn ne postoj tre} koornt te se bog tog u tre}oj vrst ne nue. Ako ovu vrstu ostvmo objmo jkobjn ent~n onom sr~untom nt~km putem. J se mo`e uspostvt ve me u nernh brn vrh mnputor ugonh brn u gobovm u form ( ) ( ) q q q q q q J Ukoko `emo u jkobjevu mtrcu uvrstmo eo koj ogovr orjentcj prem rm (D.) (D.7) koje su te u Dotku objmo J oke se q q q q q q ) ( ) ( ω ω ω 8

Robotk Zbrk tk Ove se jsno v je orjentcj koorntnog sstem ne vrhu mehnm posec vrenost ugov u gobovm (nrvno, to v` brnu kretnj ovog koorntnog sstem) se n nju ne mo`e posebno utct po{to mehnm ne poseuje stepene soboe (gobove) kojm b se mogo utct n njegovu orjentcju nevsno o pocje. Ztk. Oret Jkobjn pnrnog mnputor s tr stepen soboe, tog n sc, s u`nm segment,,,. k. Pnrn ktst mnputor s ss koorntn sstem potrebn efnsnje DH prmetr, homogenh mtrc trnsformcj jkobjn. Re{enje: Homogen mtrc trnsformcje prv gob c s c s c s T Homogen mtrc trnsformcj prv v gob, jeno 9

Robotk Zbrk tk c s c c s c s s T T T Homogen mtrc trnsformcj prv v gob, jeno s homogenom mtrcom tre}eg gob T T T c s c c c s c s s s T I mtrce trnformcj uo~vmo mtrcu koj efn{e orjentcju trnscje vrh mnputor c s ρ s c, c c c t s s s Ukoko prmenmo efncju nt~kog jkobjn mor}emo ferencrmo eemente mtrce T po vektoru unutr{njh koornt q. Tkv mtemt~k opercj mo`e bt vro kompkovn. Umesto tog, prmen}emo postupk n b geometrjskog jkobjn. U tom cju, efns}emo koorntne ssteme svkog gob, s vektorm postvjenm u prvcu potvnog smer ose rotcje gobov. Postvmo vektore o osnove o t~k n krju segment, pr ~emu vektor p efn{e poo`j vrh robot. c c c p s s s, p, c p s, Formn efncj eement geometrjskog jkobjn je p c c s s

Robotk Zbrk tk ( ) j p p p j k c c c s s s s s s c c c j k jp ( p p) c c s s s s c c j k s jp ( p p ) c c s Prmenom formm (9), obj se jkobjn pnrnog mnputor s tr stepen soboe s s s s s s c c c c c c J ω ω ω Ztk. Oret homogene mtrce trnsformcj jkobjn pnrnog mnputor s tr stepen soboe tog n sc. Du`ne segment su,,,.

Robotk Zbrk tk Re{enje: Homogene trnsformcj mnputor su te s c s s c T, cc cc s c s c s s c s c T, s c s ( ) ( ) cc cc s c c c sc sc c s c c T s c s s Postvmo koorntne ssteme ko n sc. Vektor osâ rotcje su s s, c, c Vektor poo`j vrhâ segment su ( ) ( ) c c c p s c c, p, p, s s Eement geometrjskog jkobjn su j p p ( ) ( ) ( ) ( ) p ( s c c ) ( c( c c) ) cc p sc s j k s c c c c c

Robotk Zbrk tk ( ) jp p p s c cc ss s ( cs cs ) j( ss ss ) k ( c c ) cs cs s s s s c c ( ) j k ( ) ( ) cs j ss k c cs ss c j k jp p p s c cc sc s Kon~no, jkobjn ntropomorfnog mnputor gs ( ) ( ) ( ) ( ) s c c c s s cs c c c s s s ss c c c J ω s s ω c c ω Uo~vmo prv gob ne ut~e n kretnje u` O ose. Vrenost jkobjn vs o konfgurcje robot. Robotcs toobo poseuje ve funkcje r~unvnje jkobjn. Prv sr~unv jkobjn u onosu n osnovu mnputor J jkob (DH, q) J jkobn (DH, q) Un prmetr obe funkcje su mtrc DH prmetr mnputor vektor unutr{njh koornt mnputor, q. U ob su~j objmo objmo mtrcu n.

Robotk Zbrk tk Komentr U uprvj~km {emm n b re{vnj nverne knemtke, neophono je u svkoj pero uprvjnj r~unt jkobjn. Osm {to je sstvjnje jkobjn u prncpu kompkovno r~unvnje, probem koj se jvj ven je ~njencu jkobjn mo`e postt sngurn ~me je onemogu}eno njegov nverj. U nrenm cm rmotr}emo gortme re{vnje nverne knemtke koj prestvjju numer~ko pojenostvjenje te efncje jkobjn ko. Posebno je rmtrn probem reuntnog mnputor koj ovo o prvougonog jkobjn ko probem sngurnh poo`j robot u kojm jkobjn gub pun rng orejen stepenm mnpubnost robot. Ztk.7 Z mnputor s tr stepen soboe sferne konfgurcje prkn n. oret Jkobjevu mtrcu numr~km n~nom. r.h - r.h k. Mnputor sferne konfgurcje

Robotk Zbrk tk Re{enje: Op{t obk jkobjeve mtrce ovj su~j (v rotcon jen trnstorn gob) je t s r r J e e,, Prv rug koon u jkobjevoj mtrc ogovrju prvom rugom rotconom stepenu soboe, ok tre} ogovr tre}em trnstorom stepenu soboe. Ogovrju} vektor su t s [ ] T [ ] T [ ] T r H, r H, n osnovu ~eg mo`emo sr~unt r H, r H, se jkobjev mtrc obj u form J

Robotk Zbrk tk Ztk.8 stvt tbcu DH prmetr robot Mtsubsh RM- prknog n sc. Dmenje robot su (u mm):,,, 8. Ogrn~enj u gobovm su q_mn [-, -, -, -9, -8] q_m [,,, 9, 8]. Oret nt~ke re rektnu nvernu knemt~ku funkcju. k. Mtsubsh RM- robot ( Torobot ) koorntn sstem potrebn efnsnje DH prmetr Re{enje: DH prmetr Mtsubsh RM- robot DH α q 9 q q q 9 q

Robotk Zbrk tk N osnovu tbce DH prmetr, sstvjmo homogene mtrce trnsformcj s c s c s,, s c s A A A c s c s s c s c A, A, c s c s c c s c Ir~unvnje rektne knemtke Mno`enjem A-mtrc objmo koornte u spoj{njem koorntnom sstemu otu je n c c c s s o c s c s c c s n csc cc o ssc cc sc n c s o s s c p cs cc cc p ss sc sc p c s s Ukoko su sve unutr{nje koornte jenke nu, homogene trnsformcje ju poo`j os petog koorntnog sstem pocju tog sstem u onosu n po~etn koorntn sstem. Mo`e se pokt eemente T 9 T v`, 7

Robotk Zbrk tk n o no o n n o o n n o Ir~unvnje nverne knemtke Ponto je Reutt mtr~nog mno`enj je T AAAAA A T A A A A cn sn co so c s cp sp n o p A T () sn cn so co s c sp cp cc sc s s c c cs ss c s c c AAAA () s c I jen~n (-) objmo onosno s c / sp cp ATAN ( p, p ), ATAN (, ) Njboje je korstt p, p, osm ko su nue. T treb korstt,. Ukoko su te vrenost nu, on je robot postvjen s rukom u` sngurn pocj. U tom su~ju treb postvt Dke, obj se s c s c 8 () () ose, {to je

Robotk Zbrk tk onosno, ponto, ( ) ATAN c s, Uporejvnjem prethonh jen~n kor{}enjem pomo}nh promenjvh objmo sstem jen~n t c p s p s t p c t c c t s s Ako h kvrmo sberemo, obj se c t t Probem je u tome {to ne mo`emo n} s u tvorenoj form. Otu mormo korstmo ( ) ATAN ± c, c Z robot Mtsubsh, kt uvek mor um negtvne vrenost. Ako ro`mo ~nove u c s obj se t ( c ) c s s t s c ( c ) s stem mo`e bt re{en po s c prmenom Krmerovog prv. Prmenom funkcje ATAN obj se { } ATAN ( c ) t st,( c ) t s t I prethonog reutt, ponju}, obj se Kon~no, ( ) ATAN sn cn, so c o Tme vr{vmo r~unvnje nverne knemtke. U prmen ovh recj stno mormo vot r~un o tome potkorenm ve~nm ne postnu 9

Robotk Zbrk tk negtvne. To se ogj pr htevm kretnjem koj se ne vn rnog prostor robot. Rmotmo re{enje knemtke prmenom MATLAB funkcj koje su te u prte}em pketu. MATLAB funkcj re{vnje nverne rektne knemtke Mtsubsh RM- robot: mtsuh.m postvj DH prmetre; tkoje postvj M vektor. Korste se u funkcj kne(.). mtsufk.m rektn knemtke mtsuk.m nvern knemtk mtjont.m gener{e su~jn skup ovojenh ugov mttest.m testrnje osth funkcj. Gener{e su~jn skup ponh ugov. Ir~unv rektnu knemtku (T, kor{}enjem mtsufk.m fkne(.). Potom pov mtsuk.m. D b se pokrenuo, gener{e se po~etn vrenost n b orgnnog vektor poo`j oju} su~jne vrenost. Uo~t pokpnje re{enj. kne.m mofkovn verj funkcje kne(.) Robotcs Toobo-. Postupk re{vnj o`en je u nstvku. >mtsuh >h h.78....78 8. >M' ns Ovj vektor ukuje funkcj kne(.) Mtsubsh robot ne poseuje sposobnost rotcje oko O ose vr{nog urejj. >mttest Pone vrenost pooj gobov (eg):

Robotk Zbrk tk -..79-8.8 7. 7.9 ----- Drektn knemtk korscenjem mtsufk ----- T -.9.878. 7..8.7 -.7 -.97 -.8 -. -.7 7.9. nrektnog resenje korscenjem fkne: T -.9.878. 7..8.7 -.7 -.97 -.8 -. -.7 7.9. Reutt su ent~n. Prmetmo je rk smo u numer~koj efksnost. Funkcj fkne(.) htev mnogo v{e vremen use stnog genersnj mtrc A njhovog mno`enj. Funkcj mtsuk je prb`no eset put br`. Nstvmo s mttest: ----- Invern knemtk rektno resenje korscenjem mtsuk ----- resenje: -..79-8.8 7. 7.9 numercko resenje korscenjem robotcs toobo-: orgnne vrenost: -..87 -. 7. 7. kne tercje resenj objen s kne: -..799-8.9 7. 7. merror.7 Re{enj objen s mtsuk su potpuno jenk orgnnom vektoru kor{}enom se gener{e T. Pr re{vnju s kne(.), u prvom su~ju, pone vrenost su be u okvru eg o t~nh vrenost. Obrn je toerncj konvergencje e-. Re{enje je objeno u tercje. To je skoro upo v{e nego je mtsuk trebo ( tercje).

Robotk Zbrk tk Ztk.9 Inustrjsk robot Mnutec-r t je n sc 7 9. Postvt koorntne ssteme vene segmente oret DH prmetre robot. Oret mtrcu jkobjn. N b kto{kh potk formrt bu nm~kh prmetr segment ktutor s reuktorm. Re{enje: Mnutec r-m see}e osobne: mksmn brn.7 m/s mksmno tngencjno ubrnje 9. m/s mksmno centrfugno ubrnje. m/s ms korsnog teret kg korsn moment Nm reoucj. mm kc mnputor, s postvjenm koorntnm sstemm posu`}e formrnje DH prmetr. Tbc DH prmetr je α π gob 7 gob gob π π gob 7 gob π gob Jkobjn formrmo prmenom pket YM [REF}. Po efnsnju pomo}nh promenjvh,

Robotk Zbrk tk ( q ) ( ) ( q ) ( ) ( ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) cos sn q T T cos T T T sn q T T T T T cos q T T sn T T cos T D T T T D sn T T cos T T D sn T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Tp T A T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Tp T T T T T T T T T T T T T T Tp T jkobjn gs T T T T T T T T T T T T T T T T T Tp T T T Tp T T T Tp T T T T T T T T T T T T T T T T T T J T T T T D D

Robotk Zbrk tk k 7. Inustrjsk Mnutec r- mnputor s ss. Defn{mo nm~ke prmetre mnputor pogonskog sstem. Uvemo see}e onke: r J - moment nercje rotor motor oko ose sopstvene rotcje. Rotor je sme{ten n segmentu pokre}e segment.

Robotk Zbrk tk smer rotcje ne osovne u onosu n unu osovnu. v - eektromehn~k konstnt motor. ρ - prenosn onos reuktor ; negtvn nk ukuje n promenu u m - mksmn npon motor. m - ms segment. h - vektor koj ukuje n poo`j ose nrenog ob u onosu n prethon gob, efnsn u koorntnom sstemu prethonog gob. - vektor koj ukuje n poo`j centr mse segment u onosu n t~ku presek ose rotcje uu`ne ose tog segment. I - tenor nercje segment s rotorom motor, u onosu n centr mse tog segment, u fksnom koorntnom sstemu tog segment. Nomnn npon svh motor su r J [ kgm ] ρ v [ Nm/ V] m [ kg ] h [ m ] u m 7. V. [ m ] I [ kgm ] gob.e- - - J. gob gob gob.e-..e- 7..e- -99 -.8 8.7.........7.7.........8....7.....79..7....7...7....7....8 gob.8e- 79..................8 gob.e- -99-8. I Z prv gob ovojn je smo moment nercje oko ose. egment, pore svoje mse mse rotor. gob, sr` segment. Posenj segment robot, be korsnog teret, me je mse, ob~no smetr~no postvjene oko svoje ose rotcje. Otu se segment mo`e tretrt ko rotor motor. Otu je, sr~unvnje jen~n kretnj, potrebn smo moment nercje oko ose rotcje.

Robotk Zbrk tk L Po optere}enjem smtrmo skoncentrsnu msu m. Vektor o H o L optere}enj, u fksnom koorntnom sstemu. segment, on~v se s r. Z optere}enje jo{ v` L m [ kg] L L ( r ) ( r ) L. [ m]. r. [ m] Prmetr motor su efnsn see}m ve~nm. σ - vskono prgu{enje [ Nms / r ] v K - pocono poj~nje [ V / r] p K - ntegrno poj~nje [ V / r] K - ferencjno poj~nje [ Vs / r ] k - strujn konstnt [ Nm/ V ] t k - brnsk konstnt [ Nms / r ] v r J kgm [ Nms / r [ ] σ v ] K p K K [ V / r ] [ V / r ] [ Vs / r ] [ Nm/ V ] [ Nms / r ] gob.e-.8e-..9 gob.e-.8e-.8.9 gob.e-.8e-..9 gob.e-.e-..9 gob.8e-.e-..9 gob.e-.7e-..9 k t k v Nek nteresntn prmetr motor su t u see}oj tbe. Tkoje, posmtrn ko sstem s~njen o nevsnh posstem, Mnutec r- poseuje reonntne frekvence ω korene krkterst~ne jen~ne s, te u see}oj tbe. egment, pore svoje mse mse rotor. gob, sr` segment. Posenj segment robot, be korsnog teret, me je mse, ob~no smetr~no postvjene oko svoje ose rotcje. Otu se segment mo`e tretrt ko rotor motor. Otu je, sr~unvnje jen~n kretnj, potrebn smo moment nercje oko ose rotcje.

Robotk Zbrk tk tp motor I m M nom [ A ] [ Nm] M m [ Nm] n m [ obr /mn] ω [ s ] gob FT7. 9 gob FT7. 9 7 ± 7 gob FT7. 9 7 7 ± j7 gob FT 8... ± gob FT..7. 98 9 ± 89 gob 7 FT....77 8 ± s, Ogrn~enj u gobovm ogrn~enj po brnm ubrnjm q < q < [ r ]/[eg] r eg [ ]/[ ] s s q < eg [ ] s gob.97; 7 ; 7 7 gob.;.; 8 9 gob.8;.; 98 gob.; 8.; 9 gob 8.7;.; 7 gob 9 neogrn~eno.7; egment, pore svoje mse mse rotor. gob, sr` segment. 7 Posenj segment robot, be korsnog teret, me je mse, ob~no smetr~no postvjene oko svoje ose rotcje. Otu se segment mo`e tretrt ko rotor motor. Otu je, sr~unvnje jen~n kretnj, potrebn smo moment nercje oko ose rotcje. 8 egment, pore svoje mse mse rotor. gob, sr` segment. 7

Robotk Zbrk tk enor u gobovm: nkrementn enkoer nuktvn v~ referentne pocje. Impusn enkoer poseuju reoucju mpus po obrtju. Po kvrturnom ekornu, obj se mpus po obrtju. Inuktvn v~ obebejuju referentn poo`j robot. Robot se postvj u prkrn poo`j º un o referentnog poo`j. referetn prkrn poo`j poo`j gob gob 7 gob gob gob gob 9 8 Ztk. Oret sngurne t~ke pnrnog robot s v stepen soboe, prknog n sc. Re{enje: U su~ju robot nje reunntn, sngurne t~ke su one t~ke u kojm jkobjn nje regurn mtrc. Ukoko je robot reunntn, jkobjn nje kvrtn mtrc, p se sngurne t~ke efn{u ko t~ke u unutr{njem prostoru robot u kojm je rng jkobjn mnj o stepen mnpubnost robot. ngurnost postvjju konfgurcje u kojm je pokretjvost srukture smnjen onosno postoje prvc u kojm mnputor ne moè se kre}e. U 9 Posenj segment robot, be korsnog teret, me je mse, ob~no smetr~no postvjene oko svoje ose rotcje. Otu se segment moè tretrt ko rotor motor. Otu je, sr~unvnje jen~n kretnj, potrebn smo moment nercje oko ose rotcje. egment, pore svoje mse mse rotor. gob, sr` segment. Posenj segment robot, be korsnog teret, me je mse, ob~no smetr~no postvjene oko svoje ose rotcje. Otu se segment moè tretrt ko rotor motor. Otu je, sr~unvnje jen~n kretnj, potrebn smo moment nercje oko ose rotcje. 8

Robotk Zbrk tk sngurnoj pocj postojt beskon~no mnogo re{enj nverne knemtke. Kon~no, u okon sngurnh t~k me brne u rnom prostoru tj. spojnm koorntm mogu provest veke brne u gobovm, ukoko robot uprvjmo nvernm knemt~km gortmm. ngurnost mogu bt: grn~ne untur{nje. Grn~ne nstju k je mnputor n grncm svoje rne obst. Njh je mogu}e h je be} pnrnjem trjektorje. Unutr{nje sngurnost nstju ovojenjem v{e gobov n stu osu kretnj. U su~ju pnrnog ktstog robot, sk, jen~ne rektne knemtke su Dferencrnjem objmo jkobjn c c s s sq s q q s q c q q ( ) ( ) s s s q c c c q Jq U sngurnm t~km jkobjn nje regurn, onosno s s c et J [ c ( s c c s ) s ( c c s s )] s c c s s c Kon~no, sngurne t~ke objju se spru`enu skopjenu konfgurcju tog robot. sn q q q ±π K je mnputor u sngurnom poo`ju kretnjem gobov brn m v mogu} smer koj su st segment segment (mtrc J m nerno vsne vrste q kq ) kretnje je ogrn~eno. q Ztk. Oret sngurne poo`je ntropomorfnog, RRR robot, sk 8. 9

Robotk Zbrk tk Re{enje: Homogen mtrc trnsformcje jkobjn ntropomorfnog robot su ( ) ( ) cc cs s c c c sc ss c s c c T s c s s ( ) ( ) ( ) ( ) s c c c s s cs J c c c s s s s s c c c Usov sngurnost ntropomorfn robot gs et J J ( ) et s c c s c c ~etvrt koon mtrce homogenh trnsformcj postje s s {to ukuje sngurn poo`j nstje k je (, ) (,), onosno k se vrh robot n n - os. q q ±π U okon sngurnog poo`j et J, onosno r J obj et( j( J)) veom veku vrenost p q J se se u okon sngurtet brne gobov ngo pove}vju preve} sposobnost ktutor h obebee. 7

Robotk Zbrk tk DINAMIKA Ztk. Z vosegmentn rvnsk mehnm prkn n. 8. sr~unt potrebne momente u gobovm (ne umju} u obr grvtcon optere}enj F su trenj) b mnputor eovo n okonu som F. F F k 8. Dvosegmentn mehnm u kontktu s okonom Re{enje: Recj koj poveuje su kojom robot euje n okonu ogovrju}e momente u gobovm je t s τ J T F Treb npomenut se moment τ u gornjem ru onose smo n oprnos koj u gobovm nukuje spojn s F grvtcon moment o te`ne smh segment mehnm nsu ukju~en. Jkobjn ovog mehnm smo sr~un rnje on je t s 7

Robotk Zbrk tk J p je trnsponovn jkobjn t s T J J T n osnovu ~eg moèmo sr~unt F J T τ p su trèn moment, kon~no, t s τ τ τ Ztk. Z trosegmentn sfern mnputor (tk.) oret potrebne pogone u gobovm (ne umju} u obr grvtcon optere}enj su trenj) b mnputor eovo n som. T F ), (, Re{enje: Jkobjev mtrc ovj mnputor je t s J F p moèmo pst 7

Robotk Zbrk tk F J T τ oke se ) ( ) ( ) ( τ Ztk. Oret se momente koj euju n vrtnj ko g okre}emo kju~em koj je pr~vr{}en posenj segment robot (. 9). Potke o s momentu w v u k 9. Posenj segment robot s senorom se u gobu {ke u kontktu s vrtnjem 7

Robotk Zbrk tk objmo o senor sme{tenog u "gobu {ke" koj mer tr komponente se tr komponente moment. Re{enje: D b ovj tk re{ potrebno je mo etjnje rmotrmo teoretske spekte jkobjeve mtrce. Mofkujmo efncju vektor q koj je on~vo vektor ugonh koornt u gobovm. Nek je s vektor T q [ q, q,... q n ] prestvj nevsn kompetn skup genersnh koornt u kome je mogu}e kompetno opst poo`j mehn~kog sstem (koornte u gobovm robot prestvjju jen tkv skup). Nek su Q [ Q, Q... Q ] T, n genersne se moment koje ogovrju genersnm koorntm T q [ q, q,... q n ]. Tko e pretpostvmo je p [ p, p,... p ] T m rug skup genersnh koornt koj ne mor bue kompetn, tj. ne mor bt obebe eno se sstem moè u ceost njme opst. N prmer, koornte pocju orjentcju robot nsu potpun skup u su~ju je robot reunntn. Posmtrjmo, tm, trenutk k stt~ke se moment euju n sstem ~j pocj je opsn s q. Pretpostvmo su te stt~ke se moment obeeèn T s P [ P, P,... Pm ] su rèn u onosu n koorntn sstem T p [ p, p,... pm ]. Probem je kko trnsformst se momente obeeène s P T p [ p, p,... pm ] koornt u q [ q, q,... q ] T n koornte. Posmtrjmo vrtuen pomernj δ p. Obrom je skup q koornt kompetn skup genersnh koornt njm se moè rt pomerj provojne t~ke sstem. me utm, pomerj opsn s p mor bt rèn u onosu n q koornte. Dferencrnjem funkcje moèmo povet vrtun pomernj δ p δ q u obku δ p J δq ge je J jkobjev mtrc menj m n prruèn trnsformcj koornt. D b pron{ veu me u s P Q posmtrjmo rvnoteù sstem np{mo r vrtun r tj su~j. Po vrtunm pomernjm se porumevju nfntemn pomerj mehn~kog sstem koje ovojvju vee. Z rku o stvrnh pomerj vrtuen pomerj treb smo buu u sgsnost s ogrn~enjm koj nme}u vee, ok se ostm konm kretnj ne pokorvju. Prem tome, r vrtun r je 7

Robotk Zbrk tk ( ) q P J Q p P q Q w T T T δ δ δ δ Obrom su vrtuen pomernj r~t o nue q δ, prethon r moè bt t~n smo ukoko je r u gr jenk nu, oke se P J Q T ~me smo ore trènu vsnost. U ovom su~ju se posenj segment robot jeno s kju~em vrtnje vjk vjkom moè smtrt jenstvenm krutm teom. Nek je u centru senor se sme{ten koorntn sstem O-uvw, u centru vjk koorntn sstem O- nek su ov v koorntn sstem pren, ko {to je n. 9 prkno. Infntemn kretnj krutog te rèn u onosu n koorntn sstem O- su t vektorom, u onosu n koorntn sstem O-uvw vektorom. [ T φ φ φ [ ] T w v u w v u φ φ φ ] Jkobjev mtrc trnsformcje me u ov v koorntn sstem je w v u r r r r r r r r r J w v u φ φ φ φ φ φ φ φ φ oke pose sre vnj se w v u r r r r r r w v u φ φ φ φ φ φ Ako je [ vektor s moment koje euju n vjk, [ vektor s moment merenh n senoru, n osnovu r veu me u genersnh s T M M M F F F ],,,,, T w v u w M M M F ],,, u F v F,, P koj je veen rnje, moèmo pst Q 7

Robotk Zbrk tk w v u v w u u w v w v u w v u w v u M F r F r M F r F r M F r F r F F F M M M F F F r r r r r r M M M F F F ~me je tk re{en. PLANIRANJE TRAJEKTORIJA I PRIMENE Ztk. U po~etnom trenutku se vrh mnputor s tr nern stepen soboe (ekrtov krtejnsk konfgurcj) n u t~k A (,, ) mm. Oret trjektorju o cjne t~ke A (, 9, ) mm ukoko se kretnje ostvruje tko se pojen~no (sekvencjno) ktvrju gobov. Pretpostvt mksmne brne ktutor nose. m/s. Peroe ubrnj usporenj nemrt tj. pretpostvt se gobov svo vreme kre}u mksmnom konstntnom brnom. Pero uorkovnj (obrnj) je ms. Re{enje: Njpre }emo oret kok put svk segment (u` koorntnh os) treb pre e tokom ovog pokret X A - X A - 7 mm Y A - Y A 9 - mm Z A - Z A - mm Put koj segment pre e tokom jenog pero obrnj je mm ms ms mm t v. 7

Robotk Zbrk tk tbe. Poo`j vrh mnputor su svk pero obrnj t u see}oj Vreme (ms) X (mm) Y (mm) Z (mm) Vreme (ms) X (mm) Y (mm) 8 9 7 7 9 8 7 9 7 9 8 9 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 Z (mm) skce se mo`e vet se vrh mnputor prvo kre}e po os (po~ev{ o t~ke A ) ukupno 7 mm. Vreme trjnj pokret je ms. Ztm se kre}e po os mm (o trenutk t ms), n krju, po os mm o krjnje t~ke A. N see}oj skc je prkn putnj vrh mnputor. A A 77

Robotk Zbrk tk O~geno je je reose ktvrnj gobov mogo bt rug~j, tj. moo je njpre bt reovno kretnje u` ose, tm kretnje u` oste ve ose. Reose ktvrnj gobov tkom nje bo specfcrn tko je mogo bt usvojen bo koj reose s stm krjnjm poo`jem. Ztk. U prethonom prmeru je svk gob bo ktvrn smo jenom tokom r je pre en ceo pnrn opseg kretnj. Z potke prethonog prmer oret trjektorju vrh robot ko se ktvrnje gobov vr{ sto sekvencjno pojen~no, se u svkom nrenom perou obrnj ukju~ see} gob. Re{enje: U po~etku pokret }e bt reoseno ktvrn sv tr gob. Me utm, obrom u`n trjektorje vrh po osm nje st, o krj pokret }e ostt ktvn smo onj gob ~j je pero ng`ovnj nju`. U ovom prmeru je to gob koj ostvruje kretnje u` ose. N ovj n~n se tko e obj omjen trjektorj mnogo b` prvonjskoj putnj. Vrh robot se kre}e ( po~etne t~ke A ) mm reoseno po sve tr ose o vremen 9 ms. U tom trenutku su vr{en kretnj po os. Vrh mnputor nstvj se kre}e smo po os o krjnje t~ke A. N see}oj skc je prkn putnj vrh mnputor 78

Robotk Zbrk tk A A k Putnj vrh robot tk. U nrenoj tbe je t prk poo`j vrh mnputor tokom trjnj pokret Vreme (ms) X (mm) Y (mm) Z (mm) Vreme (ms) X (mm) Y (mm) 9 7 9 7 9 7 8 9 7 8 7 8 8 7 8 9 7 7 9 9 8 7 9 9 8 7 9 8 8 9 9 8 9 79 Z (mm)

Robotk Zbrk tk 9 7 8 9 Ztk. Z potke tk.. oret trjektorju vrh robot ko se sv gobov ktvrju n po~etku pokret stovremeno kre}u se mksmnom brnom. Motor ostju ukju~en ok svk pojen~n gob ne ostgne `ejenu vrenost. Re{enje: Ovj n~n recje trjektorje, obrom su sv motor ukju~en stovremeno, omogu}uje ntno kr}e vreme trjnj pokret bog nejenkog vremen r motor u pojenm gobovm o o vekh trj neusk enh kretnj. Putnj vrh robot nje prv nj njen obk vs o u`ne r motor u pojenm gobovm. U nrenoj tbe su te koornte trjektorje vrh robot vreme trjnj pokret. Vrh robot se kre}e stovremeno po X, Y, Z os o trernutk t ms k se vr{v kretnje po os. e kretnje o mm po os. I n krju se kretnje po os o krjnje t~ke A. Vreme (ms) X (mm) Y (mm) 7 7 8 8 9 7 9 8 9 9 9 9 9 Z (mm) 8

Robotk Zbrk tk N see}oj skc je prn putnj vrh mnputor A A k. Putnj vrh robot Ztk. Z ktstu strukturu strukturu mnputor s v stepen soboe u vertknoj rvn, sk, vest usov kojm se emn{u nenernost mtrce nercje u nm~kom moeu mnputor. Ponte su u`ne mse segment m m ko ms optere}enj m o 8

Robotk Zbrk tk k. Lktst struktur mnputor s v stepen soboe u vertknoj rvn Re{enje: Prmenom Lngrn`-Ojerove jen~ne formr}emo moe nmke tog mnputor ge su: τ t L L τ pogonsk moment u gobovm ugon pomerj u gobovm ugon brn u gobovm L Lgrn`jn L E k E P, ge je EK ukupn knet~k energj mnputor E p je ukupn potencjn energj mnputor. I. egment Knet~k energj prv segment nos E ( I k () m c c ) ge je moment nercje prvog segment u onosu n centr mse prvog segment. Ukoko segment smtrmo {tpom be ebjne, s centrom mse n sren {tp, moment nercje nos () 8

Robotk Zbrk tk m I () () cos, sn sn, cos c c c c c c c c Otu, knet~k potencjn energj prvog segment nose I m E c k, sn c c p m m E g g (). egment Ugon brn rugog segment u onosu n osnovu nos. Otu, knet~k energj rugog segment nos ) ( ) ( I m E c c k (7) Moment nercje rugog segment, smtrju} je segment {tp be ebjne, s msom skoncentrsnom n sren {tp. m / m I (8) (9) ), )cos( ( cos ), )sn( ( sn ), sn( sn ), cos( cos c c c c c c c c Knet~k energj rugog segment t je recjom ) ( )cos (... ) ( I m m m E c c k () Potencjn energj rugog segment t je recjom ) sn( sn c c p g m g m g m E () Knet~k energj optere}enje n hvtjc robot nos ) ( o o o ko m E () Z centre mse hvtjke brn nos 8

Robotk Zbrk tk () ) )cos( ( cos ) )sn( ( sn ) sn( sn ) cos( cos o o o o Otu, knet~k potencjn energj rugog segment nose cos ) ( ) ( m m m E o o o ko () )) sn( sn ( g m g m E o o o po () Ukupn knet~k energj nos ko k k k E E E E () ukupn potencjn energj nos po p p p E E E E (7) Otu je Lgrn`jn ) )( sn( ) ( sn... ) ( )cos (... ) )( (... ) ( m m g m m m g m m m I m m m I m E E L o c o c o c o c o c p k (8) U cju prmene r Lgrn`jn vosegmentnog mnputor tog jen~nom (8) u Lgrn`ovu jen~nu (), mormo oremo re prcjne voe Lgrn`jn po ugonm pocjm brnm. Op{t mtr~n form jen~ne nmke mnputor s v stepen soboe gs: (9) τ τ G G H H H H ge su: 8

Robotk Zbrk tk () ) cos( ) ( ) cos( ) ( cos ) ( sn ) ( sn ) ( sn ) ( )cos ( )cos ( g m m G g m m g m m m G m m m m m m m I m H m m m I m H H m m m m I m m I m H o c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o o c c Use prsustv mnogobrojnh sbrk s trgonometrjskm funkcjm koornt robot u recjm (), moe nmke je rto nenern. Use pero~nh svojstv pomenuth funkcj, pr ore enm frekvencjm uprvj~kh sgn moè o} o neèjenh vbrcj strukture mnputor. U su{tn, nercj prestvj mofkcju mehn~ke konstrukcje robot s cjem se u eu rnog prostor obebe smnjenje potupno emnsnje utcj retvnog kretnj segment robot. To se, recmo, moè post} pomernjem centr mse segment, u negtvnom smeru ose gob, k gobovm. U konkretnom su~ju, n~jno emnsnje nenernost u Lgrn`jnu moè se ostvrt borom centr mse tko r m m o c, koj se jvj ko ~nc u skoro svm koefcjentm nm~ke jen~ne, ume vrenost nu m m o c, onosno centr mse rugog segment ume vrenost m m o c () Tko e, poèjno je m m m o c onosno centr mse prvog segment ume vrenost m m m o c () Ostvrvnjem usov () (), moe nmke postje: 8

Robotk Zbrk tk H H H G H m c m c m G ( m c I I c m m m I o m m m ) g cos o c o I m o m Dke, robot prkn n sc, ostvreno je potpuno pon{tvnje efekt use centrfugnh korosovh s. Emnsn je utcj grvtcone se n rug segment ko eo grvtcone se rugog segment koj je preskn n prv gob. Tkoje, potpuno su emnsn efekt nenernost u mtrc nercj. o k. Lktst struktur mnputor s v stepen soboe u vertknoj rvn s kompenovnm centrm ms Ukoko je pont ms optere}enj m c, menom konstrukcje robot, uvojenjem kontrmsâ m c postè se èjeno nm~ko urvnoteènje mnputor, sk. To se moè post} me{tnjem pogonskh reukconh jenc. Ukoko ms optere}enj m o nje pont, treb usvojt srenju vrenost o~ekvnh ms formrt soènj sstem n b oprug hruke. m o 8

Robotk Zbrk tk Ztk. murt trjektorje PUMA, sk, robot koj se nutog poo`j q [ ]; prepu{t ejstvu grvtcje. Motor robot nsu ukju~en ko~nce u gobovm su skju~ene. P trje.7 s. Re{enje: Anrjmo p prmenom funkcje fn, be otnog pogon u motorm. [t q q] fn(p,,.7); Reutt su prkn n sc. k. mucj p robot PUMA 87

Robotk Zbrk tk U ovom su~ju je jsno robot p po ejstvom grvtcje use korosovh centrfugnh s e{v se rotcj oko ose prvog gob (pv nj n sc ). k. trjektorje prv tr gob robot PUMA pr sobonom pu nutog poo`j Recmo, ubrnj n po~etku kretnj se mogu r~unt q cce(p, q, eros(,), eros(,)) ju} reutt q [-. -8.7...7.] % r Ztk. stvt moe knemt~kh nm~kh prmetr robot ER n b ekspermentno kto{k orejenh vrenost segmente motore. Ige mnputor t je n sc. _ [m] m_ [kg] R_ [ohm] Kem_ [Nm/A] J_ [kgm ] N_ Un_ [V] segment.... e- segment.8. 8 8/(8*9).e- 9 88

Robotk Zbrk tk k. kc fotogrfj bortorjskog vosegmentnog pnrnog mnputor nmenjenog obuc stuent Re{enje: % Mtrc knemtckh nmckh prmetr ER mnputor % f thet sgm m r r r I I I I I I Jm G B Tc Tch_eer[ m -/ (m* (m* J N */) */) m -/ *m* m* J N ]; */) */) % Mtrc Dnmckh prmetr ktutor ER mnputor % Rr Kem Kme Jm N B U ct_eer[r Kem Kme J N Ur R Kem Kme J N Ur]; 89

Robotk Zbrk tk Ztk.7 Kor{}enjem ogovrju}h funkcj robotcs-toobo- r~unt nomnno uprvjnje robotom ER ukoko je ponto trjnje pokret nos s vreme skretcje nos ms. Po~etn poo`j robot efnsn je vektorom q[ -]*p/8 r, vr{n poo`j vektor efnsn je vektorom qf[9 - ]*p/8 r. Re{enje: Kor{}enjem mtrc h_eer ct_eer r~un}emo npone n motorm t pokret. % Invern nmk sp('rcunnje nomnnh npon motor - rcunnje nverne nmke s ktutorm') urnct(h_eer, ct_eer, q, q, q); Ir~unvnje rektn nmk obvj se po see}oj proceur tt'; tunom[t, ur]; qt[t, q, q, q]; Pgn[ ]; Dgn[ ]; qq(,:); ctnme'nomct' gob tunom qt Pgn Dgn ctnme [tsm, q_os, q_os]fnct(h_eer, ct_eer,..., tf, 'nomct', q, q); q_osnterp(tsm, q_os, t); q_osnterp(tsm, q_os, t); pot(t, q_os-q); potbot(eerob, q_os); Npon koj se ovo n motore je se funkcjom nomct. Ov funkcj se korst mpementcju uprvj~kog gortm f-os nterp(tsm, q_os, t); nterpocj ostvrenh pocj r uskjvnj s t korst se ugrjen funkcj numer~ku ntegrcju oe (runge-kutte - re). Reutt su prkn n sc 7. 9

Robotk Zbrk tk k 7. Trjektorje u unutr{njm spoj{njm koorntm sr~unto nomnno uprvjnje. Ztk.8 Ives moe nmke ntropomorfne mnmne konfgurcje s ske 8. Re{enje: Postupk vojenj moe nmke b}e reovn nevsnm sr~unvnjem moment prv gob, u onosu n osnovu, rug v gob 9

Robotk Zbrk tk koj ~ne ktst pnrn mnputor u vertknoj rvn. Tme }e se ro`t utcj r~th prmetr konstrukcje mnputor n moe nmke. k 8. Antropomorfn, RRR mnmn konfgurcj. Knet~k potencjn energj gob te su s: K I V Moment T koj gob u osnovu treb obebe orejen je Lgrn`ovom jen~nom T K K, T I t Z segment, vektor pocje r g brne v g centr mse su ( ) ( ) rg c cos cos sn cos j sn k vg r g c{ ( sn cos ) ( cos sn ) j ( cos cos ) ( sn sn ) ( cos ) k} j Knet~k energj prvog segment je v g K m I ω 9

Robotk Zbrk tk pr ~emu je ugon brn ω v g c Kombncjom prethonh jen~n objmo ( cos ) m c I K Komponente moment koje motor osnove rmen treb ostvre su T K K m I ( )( cos c sn cos ) t T K K m I ( )( c sn cos ) t U prethonm jen~nm r ( m c I)cos, prestvj nercju prvog segment u onosu n vertknu osu Z. Ov nercje, pomo`en s ugonm ubrnjem segment u osnovu je moment potrebn se ostvr to ubrnje. Drug ~n je korosov s koj nestje pr nutm brnm rugog tre}eg gob. Ovj ~n je ekvventn efektu pove}enj rotconog ubrnj oko vertkne ose koj k~ n eu post~e skupjju} spru`ene ruke. Prv ~n ruge jen~ne efn}e moment potrebn se ubr segment s nercjom ( m c I) u onosu n osu gob. Drug ~n je centrfugn s koj ukuje n tenencju umnj horontnog poo`j segment koj rotr oko vertkne ose. Z segment, ms je m m' m nercj I efnsn je oko ose normne n segment, postvjene kro centr mse segment. Poo`j vektor rugog centr mse rugog segment u onosu n O je r ok je vektor brne ( ) c ( ) ( ) k cos cos cos g c sn cos cos sn sn c j 9

Robotk Zbrk tk v g r g { cos c cos ( ) sn sn c ( ) sn ( ) cos } { cos c cos ( ) cos sn c ( ) sn ( ) sn } cos c ( ) cos ( ) k ko ( ) ( ) g g g cos c cos cos c cos v v v ( ) ( ) ( ) c cos c cos c Mouo ugone brne rugog segment je ω v v g g c c ge je g c v brn gob meju segment. rejvnjem, obj se ω v v v v ( ) ( ) g g g g cos c c P je knet~k energj rugog segment { K m cos c cos cos ( ) c cos ( ) m m ( c ) ( m c I)( ) } cos moment motor u gobovm,, potrebnh por`e kretnje segment su, respektvno, j 9

Robotk Zbrk tk T K K t { m cos cos cos ( ) c ( mc I) cos ( ) } { m ( ) c ( m c I ) ( ) ( )} m c ( ) ( m c I) ( ) cos ( ) sn cos sn cos sn cos cos sn sn K K T ( m m c cos mc I ) t ( m c cos m c I ) { m sn cos c sn cos( ) c cos sn( ) sn ( ) cos ( ) c } I sn ( ) cos ( )} ( m sn ) ( m sn ) c c T K K m m I m ( cos ) c c ( c I ) t { m ccos sn ( ) csn ( ) cos( ) I ( ) ( )} ( m ) sn cos c sn Komponente moment use grvtcje r~unvju se r potencjnu energju { c sn sn c cos ( ) } V g m m hono tome, grvtcone komponente u ktutorm gobov su { cos cos cos ( ) } V T g m m g c c T V gm cos ( ) g c 9

Robotk Zbrk tk Ove stt~ke komponente oju se komponentm use kretnj p se ukupn moment gobov, objju ko sum prethono veenh r momente (T, T,T) T T T T { I ( m c I) cos m[ cos c cos ( )} cos ] ( m c I) cos ( )} ( m c I) sn cos [ sn cos sn cos ( ) m c { ( m c I) sn ( ) cos ( )} [ m c cossn( ) ( c ) sn ( ) cos ( ) T T T T g ( mc I m m c cos m c I ) ( m c m c I ) ( m c I) m I { cos sn cos sn cos c sn cos( ) c sn( ) cos( ) ( ) ( )} ( m c n ) ( m sn ) c { c cos [ cos c cos ( ) } m I sn cos s g m m ( cos ) ( ) T T T m m I m I g c c c { m[ c cos sn ( ) c sn ( ) cos ( ) I sn ( ) cos ( )} ( m sn ) g[ m cos ( ) c c Kon~no, moe nmke je veen. Rmotrmo mogu}nost pojenostvjenj mehnke mofkcjom jn. Prvo, utcj nenernh grvtconh ~nov moè bt umnjen stt~km urvnoteènjem segment, b se postgo c c. Ko prvog segment prmen stt~kog urvnoteènj je jenostvnj nego ko rugog s obrom n ~njencu je ms rugog segment retvno srmern korsnom teretu koj robot nos. Ukoko je ostvreno eno re{enje c c, jen~ne moment su 9

Robotk Zbrk tk T I Icos I cos( ) ( ) T I m I I I sn cos m sn cos I sn( ) cos( ) ] I sn( )cos( ) Isn cos m sn cos I sn( ) cos( ) gm ( cos ) [ ] sn( ) cos( ) T I I I Ztk.9 Dt je vosegmentn ktst mnputor, sk, u vertknoj rvn. Defnsn je u`nm segment _ m, poo`jm centr msâ c_.m, momentm nercj segment ose rotcje u gobovm I_ ; msm segment m_kg, msm m_mkg momentm nercj motor Im_. prenosnm onosm reuktor k_r. Oret pogonske momente motor tr r~te trjektorje.. Ob gob rotrju po π /, u trjnju o. s; ugone brne mju trougon prof, b. Ob gob rotrju tko vrh robot prevoe t~ke _ [.;]; u t~ku _f [.8;]; u trjnju o. s; prof brne je trpenog obk; trjnje vremen ubrnj/usporenj je. s brn krstrenj ogrn~en je n r/s. c. Vrh robot kre}e se prvonjsk o _ [.;]; o _f [.8;]; u trjnju. s; prof brne je trpenog obk; trjnje vremen ubrnj/usporenj je. s brn krstrenj ogrn~en je n r/s. n 97

Robotk Zbrk tk Re{enje: mucon skrpt mo`e se n} u fjovm n.m, nb.m nc.m. Reutt su prkn n skupovm jgrm 9,,. k 9. Trougon prof brne trjektorju ) 98

Robotk Zbrk tk ske 9 uo~vmo nercjn eement prvog gob prt obk ubrnj u prvom gobu. Use konstntnog sopstvenog moment nercje rugog gob, sopstven nercjn eement rugog gob je tkoje konstntn ogovrju}u vrenost ugonog ubrnj rugog gob. Inercon eement use sprenj prvog rugog gob su jenk {to je obebejeno trjektorjom. Korosov efekt su prsutn smo u prvom gobu jer se vrh robot kre}e u onosu n koorntn sstem ven centr mse prvog segment ok je nepokretn u onosu n koorntn sstem ven centr mse rugog segment. Kon~no, centrfugn efekt u prvom rugom gobu su smetr~n jer je () t () t. Kko su tkom efnsn jenk ubrnj, unkrsn (spre`n) nern moment mju suprotne vrenost u eu kretnj k ob ubrnj mju stu vrenost suprotnog su nk, sk. Trpen prof brn u prvom rugom gobu trju r~to {to ovo o tog centrfugne komponente moment u prvom gobu, use brne kretnj rugog gob trju u`e nego centrfugn komponent moment u rugom gobu use kretnj u prvom gobu. Djgrm brn ubrnj u gobovm, ko komponente moment, sk, rkuju se o jgrm koj ogovrju trjektorjm prvog rugog, {to je posec nenerne vee koj postoj meju ugov u gobovm kretnj vrh robot. 99

Robotk Zbrk tk k. Trpen prof brne trjektorju po b)

Robotk Zbrk tk k. Djgrm trjektorju po c) Ztk. Ivr{t smucju robot PUMA u tku pr}enj prvonjske trjektorje koj po t~ke: (,, ) [.,.,.]

Robotk Zbrk tk po trpenom profu brne s vremenom ubrnj/usporenj o % ukupnog tog vremen, o u t~ku: ( f, f, f ) [.,.,.] vreme o Ts. Dnm~k prmetr mnputor PUMA su t u tbe. m [kg] r [m] r [m] r [m] I [kgm] I [kgm] I [kgm]. 7. -.8..77...9.8 -..7..8..8.9.8e-.e-.8e-..e-.e-.e- m..e-/.9*m.e-/.9*m.e-/.9*m I I I Jm G B Tc Tc- [kgm] [kgm] [kgm] [kgm] e- -..8e-.9 -. e- 7.8.87e-. -.7 e- -.7.8e-. -. e- 7. 7.e-.e- -.9e- e- 7.9 8.e- 9.e- -.e- e- 7.8.7e-.9e- -.e-]; Dnm~k prmetr motor su: % Dnmck prmetr moe motor % R Kem Kme J N B U motn[.......... 7.8......7..... 7...... 7.9..... 7.8. ]; Z smucju nmke korstt PD regutor. Re{enje: Trjektorj je efnsn s:

Robotk Zbrk tk k. Trjektorje u rnom prostoru (evo) gre{ke objene re{vnjem nverne knemtke (esno). PD regutor je poe{en n mksmnom momentu nercje po svkom gobu tu trjektorju J m [.77.8.97.9.7.9]; struktrunu reonntnu frekvencju u svkom gobu w_ 7 % r/s Prmenom recje Pgn(J.*(w.^)).*(motn(:,)')./(motn(:,)')./(motn(:,)')/ Dgn*sqrt(Pgn) objen su poj~nj Pgn.e [ 8.77 7.9.79..7.]; Dgn [ 87. 7.8 7.97.9.87.979]; Dnm~k smucj je see}e npone ktutor % Ircunvnje greske u unutrsnjm koorntm e_nq_m-q_r; e_nq_m-q_r; % Ircunvnje uprvjckog npon PD regutor use_n * g(pgn) e_n * g(dgn);

Robotk Zbrk tk k. Npon ktutor prv tr motor ostvren t trjektorj u rnom prostoru (skoro potupno pokpnje). ko gre{ke u spoj{njm koorntm k. Gre{ke u spoj{njm koorntm, pose smucje nmke.

Robotk Zbrk tk Ztk. Robot PUMA opsuje poukru`nu putnju s centrom u,, (,,) cm, poupre~nk cm. Korste se smo prv tr motor. ( ) Kretnje po~nje u t~k A: (,,) cm, prt trougon prof ntentet brne o t~ke : (,,) cm, preko t~ke B: (7,,) cm. Trjnje pokret nos s. Dnm~k prmetr robot motor su t u tbe. m [kg] r [m] r [m] r [m] I [kgm] I [kgm] I [kgm]. 7. -.8..77...9.8 -..7..8..8.9.8e-.e-.8e-..e-.e-.e- m..e-/.9*m.e-/.9*m.e-/.9*m I I I Jm G B Tc Tc- [kgm] [kgm] [kgm] [kgm] e- -..8e-.9 -. e- 7.8.87e-. -.7 e- -.7.8e-. -. e- 7. 7.e-.e- -.9e- e- 7.9 8.e- 9.e- -.e- e- 7.8.7e-.9e- -.e-]; R Kem N Jm B Unom motor.7.8..e- motor.7.8 7.8.e- motor...7.e- motor.. 7..e- motor.89. 7.9.e- motor.89. 7.8.e- Ir~unt nvernu knemtku upore gre{ke objene u re{enju trjektorju u rnom prostoru. Ir~unt npone motor potrebne se ostvr t pokret. Oret poj~nj PD regutor u gobovm. Numer~kom ntegrcjom moe robot s regutorm smurt t pokret uporet objenu trjektorju s tom. Uvest kompencju grvtcje. mucjom robot s uprvj~kom {emom n b kompencje grvtcje provert kvtet uprvjnj.

Robotk Zbrk tk Re{enje: DH prmetr robot t su u tbe. ph A thet D sgm p/.8 -p/.. p/.8 -p/ Trjektorj u rnom prostoru ko trjektorje, brne ubrnj u unutr{njm koorntm te su n sc.

Robotk Zbrk tk k. Invern knemtk smucj robot PUMA. Re{enje nverne knemtke je gre{ke u spoj{njm koorntm Moe nmke ktutor je preuet tbee te tkom. PD regutor poe{en su n b procenjenh mksmnh nerecj u` te trjektorje strukturne reonntne frekvencje. J [.87.77.99.9.7.9]; % J_m w [7 ]; % trukturne re. frekv. 7

Robotk Zbrk tk Pgn [8.9.8 8.97 98.8. 9.778]; Dgn [..8 7.8 8.97.99 7.8]; Ponju} kretnje u prostoru stnj, poj~nj regutor nmku robot ktutor, numer~k ntegrcj nm~kog moe robot je see} reutt. k. Trjektorje robot PUMA u tku pr}enj trjektorje be kompencje grvtconog optere}enj. Uvemo kompencju grvtcje (cno cvco, ), korste} st poj~nj PD regutor. Po smucj objju se see} jgrm gre{k po rnm koorntm pogonsk npon. Uo~vmo se gre{k po krt~noj os, O, smnj prb`no %. To je postgnuto mofkcjom nomnnog npon n smom po~etku putnje, k se o tre}eg motor nje htevo obebe vek trj. 8

Robotk Zbrk tk k 7. Trjektorje robot PUMA u tku pr}enj trjektorje s kompencjom grvtcje. Ztk. Oret momente r`nj u rugom tre}em gobu Mnutec-r robot. mtrt je ms rugog segment, s msom rotor rugog motor, ukupno 7 kg, skoncentrsn u t~k s, n. m o ose rotcje, u` ose rugog segment, ok su mse tre}eg, ~etvrtog petog segment, s tre}m, ~etvrtm petm motorom, ukupno kg, skoncentrsne n. m o ose rotcje tre}eg gob u` ose tre}eg segment. Oret mksmn moment r`nj. 9

Robotk Zbrk tk M m. m s s,,. m. m TP k 8. Procen mksmnog moment r`nj u rugom tre}em gobu Mnutec r- k 9. Fotogrfj Mnutec r- s em~no sknutom optom rugog ~etvrtog segment Re{enje: Mksmn moment r`nj o~ekuje se k su rug, tre}, ~etvrt pet segment robot pren s osnovom. T je: - rugu osu m M m [ kg (.m. m) 7kg.m] 9.8 Nm s

Robotk Zbrk tk Reuktor prmenjen u rugom gobu m prenosn onos, {to je mksmn moment r`nj motor o - tre}u osu M motm Nm.Nm m Mm kg.m 9.8 Nm s Reuktor prmenjen u rugom gobu m prenosn onos, {to je mksmn moment r`nj motor o M motm Nm Nm Ztk.- Dt je ktst mnputor s v stepen soboe u`n segment po m, sk. Po~etn poo`j orejen je pocjom vrh mnputor [.; ] m. Prmenom MATLAB funkcje nv_k.m oret po~etn poo`j mnputor u unutr{njm koorntm smurt pokret o. s, s vremenom skretcje o ms. Pokret nstje smutnom rotcjom ob gob π /, s trpenm profom brne u trjnju o. s. Kretnje je ogrn~eno mksmnom brnom r o π po gobu. Prkt trjektorje u unutr{njem koorntnom sstemu. s k. Dvosegmentn pnrn mnputor

Robotk Zbrk tk Re{enje: ee} mtb skrpt prestvj em~no re{enje tk. % une segment [;]; % pon pocj vrh _ [.;]; % pon pocj gobov q_ nv_k(,_); % vreme obrnj Ts e-; % trjnje t_.; % vektor vremenskh obrk tme :Ts:t_; % prmetr trjektorje q_m *p; % mmum veoct Det_q.*p; % jont tot vrton t_f.; % fn tme % trougon prof brne trjektorje o o Det_q [T,q_t,q_t,q_t,err]trpe(,Det_q,q_M,t_f,Ts); % trjektroj u unutrsnjem prostoru u trjnju o t_ sec n se(tme,); m se(t,); q eros(,n); q q; q q; % pocj q_t [q_t; Det_q*ones(n-m,)]; q(,:) q_()*ones(,n) q_t'; q(,:) q_()*ones(,n) q_t'; % brn q(,:m) q_t'; q(,:m) q(,:m); % ubrnje q(,:m) q_t'; q(,:m) q(,:m); Nek mejureutt su q_ [ -.7;.9]; Reutt smucje je trjektorju trpenog prof ntentet brne, sk.

Robotk Zbrk tk ugone pocje q q.......7 ugone brne 8 q q ugon ubrnj.......7 q q.......7 tme [s] k. Trjektorj s trougonm profom ntentet brne. Ztk. Dt je ktst mnputor s v stepen soboe u`n segment po m. Po~etn poo`j orejen je pocjom vrh mnputor _ [.; ] m. Poo`j vrh n krju kretnj orejen je vektorom: _f [.8;] m. Prmenom funkcje nv_k.m oret po~etn vr{n poo`j u unutr{njm koorntm smurt pokret o. s, s vremenom skretcje o ms. Pokret nstje smutnom rotcjom ob gob π /, s trpenm profom brne u trjnju r o. s. Kretnje je ogrn~eno mksmnom brnom o po gobu, vreme trjnj ubrnj/usporenj nos. s. Prkt htevne trjektorje u unutr{njem koorntnom sstemu. s Re{enje: Dem~no re{enje to je see}m MATLAB skrptom. % un segment [;]; % pon pocj vrh _ [.;];

Robotk Zbrk tk % pon pocj gobov q_ nv_k(,_); % vrsn pocj vrh _f [.8;]; % vrsn pocj gobov q_f nv_k(,_f); % vreme obrnj Ts e-; % trjnje t_.; % vektor vremenskh obrk tme :Ts:t_; % genersnje trjektorje n se(tme,); q eros(,n); q q; q q; % prmetr trjektorje gob q_m ; % mmn brn t_.; % trjnje ubrnj t_f bs(q_f()-q_())/q_m t_; % vreme trjnj % trpen prof brne gob [T,q_t,q_t,q_t,err]trpe(q_(),q_f(),q_M,t_f,Ts); % trjektorj u unutrsnjem prostoru u trjnju o t_ sec gob m se(t,); q(,:) [q_t' q_f()*ones(,n-m)]; q(,:m) q_t'; q(,:m) q_t'; cer T q_t q_t q_t % prmetr trjektorje gbo q_m ; % mmum veoct t_.; % cceerton tme t_f bs(q_f()-q_())/q_m t_; % fn tme % trpen prof brne gob [T,q_t,q_t,q_t,err]trpe(q_(),q_f(),q_M,t_f,Ts); % trjektorj u unutrsnjem prostoru u trjnju o t_ sec gob m se(t,); q(,:) [q_t' q_f()*ones(,n-m)]; q(,:m) q_t'; q(,:m) q_t'; Nek mejureutt su: ncjn pocj u unutr{njm koorntm q_ [ -.7;.9] r; vr{n pocj u unutr{njm koorntm q_f [-.;.9] r; Zhtevn trjektorj trpenog prof t je n see}oj sc

Robotk Zbrk tk ugone pocje q q.......7 ugone brne q q ugon ubrnj.......7 q q.......7 tme [s] Ztk. Z potke tk.. oret n~n ktvrnj gobov tko se obebe prvonjsk trjektorj vrh robot me u t~k A A. Re{enje: D b se obebe prvonjsk trjektorj vrh potrebno je su sv gobov ktvn svo vreme trjnj pokret tokom kretnj mju nepromenjvu brnu. (Treb prmett brne u svm gobovm ne morju buu ste). D b ovo ostvr usvj se gob koj pre njve}e rstojnje e mksmnom brnom, brne osth gobov se ore uju tko sv stovremeno vr{e kretnje. Jsno je sv motor ostju ukju~en tokom ukupnog vremen trjnj pokret. Posetmo se u`n projekcje trjektorje n osu nos 7 mm, n osu mm, n osu mm. Ove se v je nju` komponent kretnj u prvcu ose p }emo usvojt }e se motor u tom gobu krett mksmnom brnom o. m/s. U tku.. smo ve se u tom su~ju jen pero obrnj pre mm, obrom nju` segment putnje m mm se

Robotk Zbrk tk }e ukupn pokret trjt pero obrnj, tj.. s. Zhtevn brn kretnj u` ose se mo`e sr~unt n see} n~n.7.. {to je mnje o. m/s koko nos mksmn brn. Obrom ceu trjektorju o 7 mm treb pre} kork, pro }e se u jenom korku pre}.7 mm. Prem tome, koornt vrh }e pose prvog kork nost.7 mm, pose rugog. mm, N st n~n se mo`e oret kretnje u` ose. Brn je koornte vrh se menjju n see} n~n (,.,.,...). m s. m Du` ose se mnputor kre}e mksmnom brnom (tokom s vrh mnputor pre po mm), p se koornte menjju n see} n~n (,, 7, 8,...). Promen sve tr koornte vrh tokom trjnj pokret su te u tbe. Vreme (ms) X (mm) Y (mm).7... 7 7..8 8 7.8. 9 8.. 9.. 9.9 7.. 7.8. 8. 9 Z (mm) s, Ztk. Objsnt snteu trjektorje kor{}enjem ponom.

Robotk Zbrk tk Re{enje: D b ostvr urvnoteèno kretnje be trj ngh promen brn ubrnj potrebno je hvtjk prt trjektorju koj je kontnun gtk po pocj, ubrnju brn. Ako efn{emo svku komponentu putnje (,,,... ) ko ponomsku funkcju vremen mogu se oret koefcjent ponom tko ovojvju gore nveene usove. N~n sntee }emo objsnt n prmeru koj se onos smo n jen stepen soboe (npr. -koorntu), st n~n se moè prment sve oste. t Posmtr}emo su~j k se robot u po~etnom trenutku ( ) n u mrovnju, ok se u krjnjoj t~k putnje ( t t f ) f ustvj p se je. Ove se tko e v je vreme trjnj pokret t t. f Ako usvojmo ponom III stepen f ( t) t t t () pose ferencrnj objmo t ( t) t () pose jo{ jenog ferencrnj se t ( t) () I r () po~etn vremensk trenutk t omh moèmo oret : Z t t t r () postje f ( t t) t f t) t f t f ( N osnovu usov t prve jen~ne se. 7

Robotk Zbrk tk Umju} ovj reutt u obr, ko ~njencu jen~n postje t v` rug t f f t f t f p pose ejenj s t f objmo t f oke ore ujemo u obku t f Ako u jen~nu () menmo () t f se f t) t f t f t f ( ge pose smenjvnj vrenost objmo ( f t) t f t f t f oke, kon~no, sr~unvmo vrenost koefcjent t f ( ) menjuju} r u prethono objen r pose jenostvnh trnsformcj se ~me su sv koefcjent ore en. t f f ( ) f 8

Robotk Zbrk tk Ztk.8 Pokret mnputor s rotconm gobom s jenm stepenom soboe trje o pocje q ( t ) q o pocje q ( t f ) q vreme t f. Ponte su po~etn q ( t) q vr{n q ( tf ) q brn. Interport kretnje gob kubnm spjnom oret koefcjente ponom. Re{enje: gs Obk trjektorje gob n b op{te jen~ne ponom tre}eg stepen Otu, jen~ne brne gs q ( t) t t t q ( t) t t Treb oret koefcjente,,,, tko ovojvju usove q ( t ) q, q ( t f ) q,, q ( t ), q, ( t ) q q f. Koefcjent orejuju se po~etnh usov q ( ) q, q () q q, q () Koefcjent orejuju se vr{nh usov q t q q t t t q ( f ) f f f q t q t t q ( f ) f f Emncjom prethonog skup jen~n obj se q t q q qt t qt t t f f f f f f q q t t f f Otu se orejuju preost koefcjent 9

Robotk Zbrk tk ( q q ) ( q q ) t f, t f ( q q ) ( q q ) t f () t f t f Ztk.9 Jenogobn robot po mrovnj s pocje q ( t ) vreme o ustvj se n pocj q( t t ). Tokom kretnj ogrn~en je mksmn brn mksmno ubrnje koje robot sme postgne see}m nejenkostm ( t ) < t < m, ( ) mtrju} se promen ug q(t) mo`e proksmrt kubnm spjnom, oret mnmno vreme koje }e robot obvt tk. f f m Re{enje: N b jen~n kubnog spjn () (), po usovu tk, koefcjent kubnog spjn su,, ( f t f ), ( D b ogrn~enje usov tk bo ovojeno, oremo mksmne vrenost brne ubrnj ( Z brnu v`e see}e recje f t f t ) e < m, ko ( t ) e < m ( t) e ( t f ( t f / ) / ) t < t m ( t f / ) < Otu objmo je usov se robot kre}e ogrn~enom brnom mogu}e ovojt ukoko m )

Robotk Zbrk tk t f ( f ) > m N s~n n~n, ubrnje objmo je e () < ( () ( t f t f m ), < f m ) < Otu se orejuje mnmno potrebno vreme koje ovojv ogrn~enje po ubrnju t f > ( f Kon~no, vreme koje }e ovojt ob usov tk je m ) m t f > m t f > ( f m ( f ) ), m Ztk. Defnst kretnje -tog gob robot me u ve pocje. Zgob stnj mrovnj ubrv po prbo~nom konu o brne V, tm se kre}e konstntnom brnom V, n krju n st n~n usporv o stnj mrovnj. Re{enje: Kvrtn kubn ponom obebejuju tr neophon grn~n usov efnsnje trjektorje ko mogu}nost se ovoj jen usov tokom putnje. s po~etnm usovom q () t t t q () t t ()

Robotk Zbrk tk q () q q () Z ponu brnu usvojen je nut vrenost p je otu Zmenom u (), omo o q () q q () q () t q t q () t t () Koefcjent orejujemo usov konstnte brne V o koje ubrvmo vreme t. To vreme tkoje nje ponto. N eu putnje tokom kog je brn konstntn jen~ne () mo`emo oret koefcjent funkcju t b p se jen~ne () obj Lnern segment je b q () t t V V t b V q() t q t t t b t b b ko (7) q() t α α t α Vt tb t t tb (8) ge je t f ukupno vreme trjnj pokret. Po usovu smetrje brn ubrnj, srenj pocj pojv}e se n sren vremenskog nterv ge je q q q( tf /) q q( tf ). Otu se jen~ne. obj q q Vt f α q qvtf α (9)

Robotk Zbrk tk Nrvno, prbo~n prouètk trjektorje mor prvno se nstv {to se postè jen~vnjem (7) (8) u t b Nek je (9) q V t b V q qvtf q tb Vtb t t b b q qvt V f. T je kon~n reutt (7), to () (8) to () q t t tb q () t q qvtf Vt t t t t f b b ~no, kvrtn ponom n rugom krju mor ovoj obk q() t q tf tft t tf tb t t f () ge su vr{n usov t s q ( t ) q f q ( t ) f () Ztk. Lnern ktutor robot ~j je uu`n os pren - os, treb stnj mrovnj pr poo`ju rne t~ke hvtjke mm pre e u pocju f 7 mm t s. tmo se ustv. Oret koefcjente ponom koj ostvruju èjenu trjektorju. Nctrt jgrme pocje, brne ubrnj rne t~ke hvtjke u funkcj vremen. Ako pretpostvmo se obrnje vr{ frekvencjom o H kok je pero obrnj? Re{enje: Pero obrnj je. s ms. Korste} re objene u prethonom tku koefcjente moèmo omh oret

Robotk Zbrk tk ok su koefcjent sr~unvju ( ) ( 7 ) f t f ( ) ( 7 ). f t f U see}oj tbe jgrmu je prkn poo`j vrh mnputor tokom pokret. Vreme ms X mm Vreme ms X mm Vreme ms X mm..8.7.9..7.7 9. 8.7.8. 7. 7.9. 7.8 9. 7.99 7 7.. 7.9 8 7. 7.7 8.88 9 7.8 8. 9.7 7. 9 7.9 9... 7 s X(t) j, 8 7 7 Djgrm pocje X j. t[ms] Djgrm pocje

Robotk Zbrk tk Promen brne tokom vremen je prkn u see}oj tbe Vreme ms mm/s Vreme ms mm/s Vreme ms mm/s 7.8..8 8.8. 7. 9. 9..8 9.8..8..8. 9.8 7.8 9. 7 9. 8 7. 7. 8 8.8 9.8 8. 9 7.8 9.... ok je grf~k prk t n nrenom jgrmu X s j, (t) 8 8 8 X j Djgrm brne t[ms] N st n~n ko pocje brne mo`emo oret ubrnje. Reutt su prkn u nrenoj tbe.

Robotk Zbrk tk Vreme ms mm s Vreme ms mm s Vreme ms mm. -8. 7. 8 -... -. -. 9. -9.. -. 7-7 -. 8 -. 7. 8-8 9-7. 8 8. 9 -. - 9 -.. - ok je jgrmsk prk t n nrenoj sc Djgrm ubrnj s X s j, (t) X j t[ms] Ztk. Oret koefcjente ponom proksmcju trjektorje tko u po~etnom trenutku hvtjk mruje, ok u krjnjoj t~k putnje m konstntnu brnu ( ; const.; ). f f

Robotk Zbrk tk Re{enje: Z re{enje ovog tk korstmo ponom IV re. () t t t t () t ge pose ferencrnj objmo () t t t t () t t t () () Probem je prkn jgrmsk n see}oj sc (koorntn sstem je t f T, T ~me nje postvjen u srenu posmtrnog vremenskog nterv tj. ( ) umnjen c * -T T krv const. brne k. Putnj () t koj u trenutku ( ) t T ovojv ( t) c T t op{tost rmtrnj. Nek je tokom posmtrnog nterv hvtjk pre{ put u`ne c. T je ntentet brne u krjnjoj t~k t s c t c T T f f Grn~n usov su: c T ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) c ( T ) ( T ) c T 7

Robotk Zbrk tk I jen~ne () I jen~ne () p ov v r mo`emo oret t T se: T T t T se: T T Oste koefcjente jenostvno ore ujemo, p se c c c T c T 8 T Ztk. Oret prvonjsku putnju vrh hvtjke u - rvn tko se kre}e u sku s see}m htevm: vremensk trenutk t - se: vremensk trenutk t se: 9 Formrt tbeu u kojoj su prkne pocje, brne ubrnj tokom pokret. Z perou obrnj usvojt t. s. Ncrtt trjektorju u - rvn ko krve t, ( t), ( t. () ) Re{enje: Trjektorj hvtjke u - rvn je prkn n nrenoj sc. Treb npomenut se krjnj t~k ove trjektorje nv pronom jer se n nju mo`e novet nren trjektorj n koju b hvtjk pre{ be ustvjnj 8

Robotk Zbrk tk 9 k Trjektorj u - rvn Koefcjent ponom komponentu trjektorje (gornj neks on~v prpnost komponent trjektorje) su: 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prk pocj, brn ubrnj tokom pokret je t u nrenoj tbe Vreme () t () t ( t) ( t) ( t) () t -. -.8..97.9... -...8.8.8.7. -..7.8.7.8.. -..98.7...9.777 -..7...7.7.9 -.8.9..8...8 -......89.89 -..98..8.9.877.977 -...8..88.8. -...777..99.9. -.8.7.9.9.77.7. -..9..7..7. -..7..7.9.9.77 -....7.7.. 9

Robotk Zbrk tk..87..7.8.....97.7.7.79...7.798.7.9.997.77..7.9.7....8..8.9.7.7......99.77......88.9...98.7.8 7.9.9.977...8. 8...89.8.9.88.8 9..8.8..7.777..7.9.9..9.8...77.777. 7.7.9.7.8.8.. 7.8.9.8.8.9..8 8..99.9..987.. 9... N nrenm jgrmm koje pokuju trjektorje pocje, brne ubrnj krv koj je ncrtn spreknom njom ogovr, punom komponent. s j, Y (t) s j, X (t) X j Djgrm poo`j (pocje) t (s)

Robotk Zbrk tk s j, Y (t) s j, X (t) X j Djgrm brne t (s).. Y s(t) j, s j, Y (t). X j t (s) Djgrm ubrnj

Robotk Zbrk tk Ztk. Oret koefcjente ponom proksmcju trjektorje tko u po~etnom trenutku hvtjk mruje kro krjnju t~ku pro e be ustvjnj be obr n ubrnje koje m, tj, grn~n usov su,,. f f Re{enje: Z re{enje ovog probem korstmo ponom III re, koefcjente }emo oret pomo}u see}h grn~nh usov. ( t ) ( t ) ( t t f ) f ( t t f ) f Tr`en koefcjent su t t t ( f ) f f f f ( ) f f t t f f Ztk. Ncrtt jgrme pocje, brne ubrnj vosegmentnu prvonjsku putnju ge je svk segment proksmrn kubnm ponomom. Hvtjk se kre}e u` ose, po~etn pocj je, pron krjnj t~k su g. Pretpostvt kretnje u` svkog o segment treb se vr{ s. Brn u pronoj t~k treb bue 7. mm/s. Po~etn brn je. v Re{enje: Usov postvjen tkom su see}

Robotk Zbrk tk mm t s g mm g v mm f mm v 7. mm s f 7. mm s I segment II segment mm v mm mm g f mm s v 7. g f Koefcjente treb oret svk o segment posebno I segment ( ) 7... ( ) ( 7.).. II segment 7. ( ) 7. ( ) ( 7.).. Prem tome, ponom III re (ko njegov vo) prmenjen n prv rug segment trjektorje se mogu npst u form I segment II segment () t. t. t ( t) 7. t t. t

Robotk Zbrk tk () t t 7. t ( t) 7. 8 t 97. t () t t ( t) 8 9 t {to se u tbernoj form mo`e prkt n see} n~n I E G M E N T II E G M E N T ( t) ( t) Vreme s (t) mm mm/s mm/s..........8.7...7.8...8 8.8 9.. 7.8. 7.. 8.9...7.7.8..8.7...9.... 7.. ( t) ( t) Vreme (t) mm/s mm/s.. 7. 8.. 7.7... 9.8 9....97.7....9.. 9.87. -7...88. -7..7.7.7 -..8 7.9 9. -7..9 9.. -9.... -. Djgrmsk prk je t n skm koje see. poj v segment krve je u trenutku t s. Mo`e se uo~t je n jgrmu pocje krv gtk, ok ko se n jgrmm brne ubrnj mogu uo~t skokovte promene.

Robotk Zbrk tk (t) [mm].. t (s) Djgrm pocje (t)[mm].. t (s) Djgrm brne (t)[mm] 8 - - - - -7-8 - -.. t (s)

Robotk Zbrk tk Djgrm ubrnj Ztk. Trjektorje se sstoj o v segment. Po~etn t~k prvog segment krjnj t~k rugog segment su ustvne. Usov postvjen tkom su see}: mm t s f mm v mm g mm g Ivr{t snteu trjektorje tko je u pronoj t~k obebe en usov kontnunost brne ubrnj. Re{enje: Korst}emo ponome III stepen ( su koefcjent ponom I segment, su koefcjent ponom II segment ponom II krve). I segment II segment

Robotk Zbrk tk () t t t ( t) t t t U po~etnom trenutku t mmo, p tm se t v t f t f t f ge je v - krjnj t~k prvog segment koj je po~etn pocj rugog segment putnje. Dje mmo v g t t t f f f N krju rugog segment brn je jenk nu. t f t f U pronoj t~k brne ubrnj su st. t f t f f t Ako ovj sstem jen~n re{mo po usovom prv segment t f t f objmo koefcjente v g v g t koefcjente rug segment v 9 8 t g t 8 v t v g g t N osnovu usov postvjenh tkom koefcjent ponom prv rug segment gse: 7

Robotk Zbrk tk I segment II segment..7.. -.7 Tbern prk pocj, brn ubrnj svk o segment trjektorje je t u see}m tbem, ok je jgrmsk prk kompetne trjektorje t n jgrmm koj see nkon tbe. I E G M E N T ( t) ( t) Vreme s (t) mm mm/s mm/s.. 7...7.97.......97 8.7....78 8.7.. 8...7 8.98.7.7.8. 8 7..9.9.97.... II E G M E N T ( t) ( t) Vreme (t) mm/s mm/s.... 7.8..7..9....8... 7.8.8 -..7.9 -...7 7. -..7..8 -.7.8 8.. -9.9 9. 9.7-8.... -97. 8

Robotk Zbrk tk (t).. t [s] Djgrm pocje (t).. t [s] Djgrm brne 9

Robotk Zbrk tk (t) - - - -8 -.. t [s] Djgrm ubrnj Ztk.7 Oret koefcjente ponom proksmcju trjektorje ukoko su u po~etnoj krjnjoj t~k te (ponte) pocj, brn ubrnje (obe t~ke su prone). Ncrtt jgrme pocje, brne ubrnj kretnje u` ose ukoko su usov postvjen tkom see}: mm mm / s f mm f mm / s Kretnje trje s. mm / s f mm / s. Re{enje: U ovom su~ju je potrebno prmenmo ponom petog stepen.

Robotk Zbrk tk () t t t t t t I r pocju u po~etnom (t) krjnjem trenutku (tt f ) se I r ubrnje u po~etnom (t) krjnjem trenutku (tt f ) se oke s ( t f f f f f f t t t t t I r brnu u po~etnom (t) krjnjem trenutku (tt f ) se, f f f f f t t t t G M f f f f t t t e ( ) ( ) 8 f f f f f t t f t ( ) ( ) ( ) f f f f f t t f t ) ( ) ( ) f f f f f f t t ~me su ore en sv tr`en koefcjent. Ir~unt koefcjent ponom putnju su:,., -,.. Vreme s (t) mm ( ) t ( ) t mm/s mm/s E...7. 7.9. 8.. 9...8. 8.7.. 8..8. 8.. -9.7 E N T...7-9.

Robotk Zbrk tk.7. 8.8-9..8 7.99 8.7 -.88.9 9. 9. -7...... 8 t [s ] Djgrm pocje....8 t [s]

Robotk Zbrk tk Djgrm brne (t) (t) - - -....8 t [s] Djgrm ubrnj Ztk.8 Rotcon gob mnputor s v stepen soboe porne konfgurcje (r, ) se n u koorntnom po~etku, ok mu se hvtjk n u poo`ju koj je ore en koorntm ; treb pre e u poo`j ;. Mksmne brne gobov su r m m s, q r s m. Treb vr{t snteu trjektorje u unutr{njm koorntm tko hvtjk prvog poo`j pre e u rug po u~noj putnj.

Robotk Zbrk tk Re{enje: Proces sntee trjektorje u spoj{nm koorntm u op{tem su~ju mo`emo poet n see}e fe (korke):. Poet putnju hvtjke u spoj{nm koorntm n pogon broj segment.. Z svk segment trnsformst spoj{nje koornte po~etne krjnje t~ke u unutr{nje koornte oret po~etne krjnje pocje svkog gob.. Oret vreme potebno svkom stepenu soboe pre`enje svkog o segment prem ru: T seg q m q q ge je q - unpre pont m brn - tog stepen soboe.. Poet T seg n m pojenkh vremenskh nterv. T seg T m T seg seg T seg f semp ge je f semp - frekvencj obrnj ( sempovnj ).. Z svk gob oret rstojnj koj treb pre e vreme. T seg q q m q Obrom n jenostvnost te putnje u ovom tku (uk poupre~nk r) nem potrebe et je n v{e segment ve} }emo je posmtrt ko jen segment. Trnsformcjom spoj{njh koornt hvtjke u unutr{nje koornte mehn~ke strukture robot se obj r ; q. 9 r, r ; q. r. q q q.9..9 r Ako usvojmo je f semp H, se Tseg. s ms f semp

Robotk Zbrk tk T seg.9 q.. q s p je oke se Ts eg. m 9.7 9 T seg q q.9. q. m 9 Reutte sntee trjektorje mo`emo prkt tberno t r.9...9..9.87..8 8.8..7.8.7.9 8.77.9.7 9.7.7..7.8. 8.7.9.... [mm] [mm] jgrmsk

Robotk Zbrk tk Trjektorj vrh robot (hvtjke) u - rvn r [mm]... t [ms] Promen koornte r [r].8... t [ms] Promen koornte q

Robotk Zbrk tk Ztk.9 Oret putnju vrh robot u rnom prostoru p() t, o t~ke preko t~ke p o t~ke p. Pr tome smtrt je t~k p pron, onosno vrh robot ne mor pro e kro nju ve} ovojno bu nje, u ogrn~enje brne vrh. Pero perturbovnog kretnj trje τ smetr~n je u onosu n pronu t~ku. Dt su vremen ko t~ke p, p, p. t t p Re{enje: Rmotrmo prvo ogrn~enj trjektorje po pocj. τ p( t τ ) p p, ge je p p p t τ p( t τ ) p p, ge je p p p t Ogrn~enj po brnm ovoe o recj p p ( t τ ) t p p ( t τ ) t () () Ubrnje je konstntno tokom trncje oko prone t~ke p() t p () ge ubrnje s V t t p jo{ nje orejeno. Integrcjom (), po osnovnoj recj /, objmo re{enje p p( t) p( t ( ) τ ) p ( tτ)( t tτ ) t tτ () menom () () preurejvnjem, objmo p p() t p tt t t τ (7) p ( ) ( ) t D b re{ mormo oremo (.) u n krju trncje t t τ p 7

Robotk Zbrk tk ~jom menom u (7) objmo p p p τ t t () t p t t p p p τ t t τ ( 8) ( ) ( ) τt τt umrno prkno, trjektorj p () t s trn conom t~kom u gs t t p p t tτ t p p p() t p ( ttτ ) ( t tτ) tτ t tτ τt τt t t p p tτ t t t t p Ztk. Dte su vrenost unutr{njh koornt q(), q() q(). N} ponom koj nterpor prvonjske segmente efnsne n provm unutr{njh koornt {(), q q ()} { q(), q() }. Pon vr{n brn jenke su nu. Re{enje Re{enje }emo oret prmenom funkcje n_pr.m % vektor obrk vremen t [;;]; % vektor efncje pronh tck q_v [ ]; % vektor trjnj prbocnog prouenj D_t.*ones(se(t)); % pocetne vrsne brne q_ ; q_f ; % vreme obrnj functon [T,Q,Q,Q] n_pr(t,q_v,d_t,q_,q_f,ts) 8

Robotk Zbrk tk Ts.; % genersnje trjektorje [tme,q,q,q] n_pr(t,q_v,d_t,q_,q_f,ts); Reutt je prkn n sc. [r] pos..... [s] [r/s] ve... [s] cc [r/s ] [s] k. Interporcon trjektorj u unutr{njm koorntm Ztk. N} kon kretnj p () t u rnom prostoru robot u` prvonjskog segment s trpenm profom brne meju t~k p [. ] T. p [. ] T 9

Robotk Zbrk tk Re{enje: Dem~no re{enje je to see}m MATLAB skrptom % pono vrsno vreme t [;]; % pon pocj p_ [;.;]; % vrsn pocj p_f [;-.;]; % vreme obrnj Ts.; % mksmn brn koornte put s_c ; % un segment D_s norm(p_f - p_); % trpen prof brne u trjektorje koorntu put o o [tme,s,s,s,err] trpe(,,s_c/d_s,t()-t(),ts); % genersnje trjektorje p ones( se(t me))*p_ ' s* (p_f - p_ )'; p s*(p_f - p_)'; p s*(p_f - p_)'; Reutt je prkn n sc.

[ Robotk Zbrk tk pos pos. [m]. [m]. ve [s]..... ve [s]. [m/s] [m/s].... cc [s].. cc [s] m/s ] ] [m/s.. [s].. [s] k. Interpocon ponom s trpenm profom brne u spoj{njm koorntm Ztk. Formrt moe knemtke robot PUMA u DH notcj. Formrt vektore vremen o. s o s, s vremenm obrnj ms. Defnst nut rn poo`j robot ko q [] q [ ] r π π π T T Potom efnst unutr{nje trjektorje koje robot prevoe nutog u rn poo`j. Ir~unt rektnu knemtku robot te trjektorje prmenom funkcje fkne.m. PUMA trjectores, n.m

Robotk Zbrk tk Re{enje: Robot PUMA t je n sc. k. Robot serje PUMA o kojh se moe nj~e{}e korst u euktvne svrhe. Postupk re{vnj tk obv}emo u MATLAB-u kor{}enjem funkcj Robotcs tb. pum; t[:.:.]; t[.:.:]; t[t,t]; qf[p/,p/,-p/,,,]; [q,q,q]jtrj(q,qr,t); [qpom,qpom,qpom]jtrj(qr,qf,t); q[q;qpom]; q[q;qpom]; q[q;qpom]; fgure(); pot(t,q*8/p); egen('q','q','q','q','q','q'); fgure(); pot(t,q) ; egen('q','q','q','q','q','q'); fgure(); pot(t,q); egen('q','q','q','q','q','q');