II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA"

Ἀβειρὼν Ὅμηρος Αντωνοπούλου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v T T T T t, - t t t œ R (met) Jenž v (vektoki olik) koointno: t t t PARAMETARSI OBLI JEDNADŽBE PRAVCA eliminijom met: ANONSI OBLI JEDNADŽBE PRAVCA

2 3 Jenž v ko vije točke T (,, ), T (,, ) T T {,, } vekto mje Jenž v ko vije točke: Pv ko eječni viju vnin (koje niu lelne) P... A B C D P... A B C D, je mje tog v oeñen vektoom n â n ^ n, n i j k A B C A B C Točk v oei e tko e o volji jen kooint, otle e ičunju i utv (P ) i (P ) ut imeñu v v {,, } {,, } Po kutem imeñu v v oumijev e kut imeñu njihovih vekto mje. ϕ (, ) ñ vektoi mje u lelni, on. kolineni uvjet lelnoti v v uvjet okomitoti v v λ λ ^ ϕ (, ) 9 ñ vektoi mje u okomiti (λ ) o ϕ D i oili kut ϕ, ϕ 9, uimmo olutnu vijenot: o ϕ

3 Meñuoni oložj v i vnine (ut imeñu v i vnine ) Pv je ili leln vninom ili je o o nekim kutem ličitim o. P 9 -j j n P... A B C D n { A, B, C } vekto nomle vnine {,, } vekto mje v ϕ (, P ) (, ) n A B C o o(9 ϕ) inϕ n A B C uvjet lelnoti v i vnine P ñ ^ n ñ n ñ uvjet okomitoti v i vnine ^P ñ n ñ n λ ñ A B C A B C λ Pimje: v leži u vnini P? je P ( A B C ), te T œ T œ P. 5 Pooište v i vnine Ako v i vnin niu lelni, on e ijeku, otoji ooište vnine vem. ) Nek je v n ko eječni viju vnin: A B C D... A B C D vnin jenžom: P... A B C D. Pooište P(,,) v i vnine P leži u ve ti vnine, kle, njegove koointe ovoljvju ve ti jenže. A B C D oointe točke P u ješenj utv: A B C D A B C D Ako je tj utv: neoeñen v leži u P nemoguć P im jeintveno ješenje to u koointe ooišt P» P. Pimje: tk 8.) 6 3

4 Pooište v i vnine (ntvk) ) Nek je: P... A B C D ( * ) Pmetk jenž v je: t t t Tžimo onu vijenot met t koj i ooištu P. (on. t P ) Dkle, P t P P t P gje je P ( P, P, P ) P t P ko je P œ P koointe točke P ovoljvju jenžu ( * ) Ove oeimo t P, tim ičunmo P, P, P. Pimje: tk 8.) 7 Uljenot točke o v T Nek je no: v ( oli ko točku T (,, ) i im vekto mje {,,} ) T. T i točk T(,,). Znmo: ( T, ) ( T, T ) Pomotimo lelogm et vektoim i T T : P T T ä T T i j k Pimje: tk 9.) 8 4

5 Meñuoni oložj vju v lelni (vektoi mje u kolineni) Dv v mogu iti ijeku e mimoilni Ako e v ijeku, on otoji vnin u kojoj leže o v. P... A B C D 9 Sjeište vju v ) Nek je:, Vijei: T Œ P T Œ P P P A B C D A B C D A B C A B C Homogen utv (neonnie A,B,C,D) On im netivijlno ješenje, ko je eteminnt utv jenk. uvjet eijenj v Altentivno: uvjet eijenj v T ( vektoi T T,, u komlnni ) T Ako e vi ijeku, koointe jeišt (njlkše) oijemo i metkih jenži v. 5

6 Sjeište vju v (ntvk) ) Nek u vi ni ko eječnie viju vnin : A B C D A B C D A 3 B 3 C 3 D 3 A 4 B 4 C 4 D 4 Homogen utv (neonnie u,,, t) On im netivijlno ješenje, ko je eteminnt utv jenk. A B C D A B C D uvjet eijenj v A 3 B 3 C 3 D 3 A 4 B 4 C 4 D 4 Ako e vi ijeku, koointe jeišt oijemo tko e o gonje 4 jenže vnine oeu 3 meñuono nevine jenže i iješi oiveni utv. Uljenot v u otou ) Ako e vi ijeku uljenot im je ) Ako u vi lelni uljenot možemo ičunti omoću fomule uljenot točke o v (oeemo točku jenog v i čunmo njenu uljenot o ugog v ) T. T 3) Ako e vi niti ijeku niti u lelni, kžemo u mimoilni (ili mimomjeni). 6

7 7 3 Njkć uljenot mimoilnih v Nek je: T T. Pomtmo vektoe T T,,. Ako u oni komlnni, on vi i leže u itoj vnini (ili u lelni ili e ijeku). Petotvimo niu komlnni. (Dkle, i u mimoilni vi) T je volumen leleie kojeg oni inju ličit o. V leleie ( ä ) T T ( T T ä ) V leleie B viin ä ( ) T T V k j i,

Σχετικά έγγραφα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto