ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 1 Νόµος παγκόσµιας έλξης
ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 2 Κοιτάζοντας τα άστρα... Η εξήγηση για τη δυναμική μεταξύ ουράνιων σωμάτων ξεκίνησε από παρατηρήσεις και πνευματικές αναζητήσεις από την αρχή της ανθρωπότητας Ø Πτολεμαίος: Είχε την λάθος γεωκεντρική θεωρία Ø Κοπέρνικος: Ø Brahe: Ø Keppler: Ø Newton: Ø Einstein: Έδωσε μια περισσότερο σωστή ηλιοκεντρική θεωρία Πολλές παρατηρήσεις και ακριβή δεδομένα Χρησιμοποίησε τα δεδομένα του Brahe και πρότεινε τρεις εμπειρικούς νόμους Βρήκε ένα παγκόσμιο νόμο που εξηγεί τους νόμους του Keppler Δημιούργησε μια νέα θεωρία που εξηγεί μερικές μικρές ανακρίβειες στη θεωρία του Newton???????: Tι έρχεται για το μέλλον?
Βαρύτητα-Νόµος παγκόσµιας βαρυτικής έλξης a r σελ. = ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 3 q O Newton συνέδεσε την πτώση αντικειµένων στην επιφάνεια της γης µε την κίνηση της σελήνης γύρω από την γη. q Η σελήνη πέφτει συνεχώς προς την γη: Σελήνη v 2 = (2π R γη σελ. / T ) 2 = 0.00272m / s 2 R γη σελ. R γη σελ. όπου R γη-σελ. = 3.84x10 8 m και Τ = 27.3 ηµέρες Γη Πως συγκρίνεται αυτό µε το g? a επιϕ.-γης a τροχια -σελ. = 9.81m /s2 3 3600 2.72 10 Αλλά R γη σελ. R γη = 3.84 108 6.37 10 6 60 Aφού η επιτάχυνση που προκαλείται από τη βαρυτική δύναµη ελαττώνεται σαν 1/R 2 τότε και η δύναµη θα µεταβάλλεται όπως 1/R 2 F r = ma r 1
Εξάρτηση από τη µάζα ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 4 Μάζα n µόνη κοινή φυσική ιδιότητα µεταξύ γης-σελήνης. Ø Από το 3 ο νόµο του Newton F γης-σελ = -F σελ-γης? Αν η εξίσωση της δύναµης εξαρτώνταν από την µάζα τότε η εξάρτηση µπορούσε να έχει τη µορφή: (M+m) n ή (Mm) n. ü Από πειράµατα Γαλιλαίου è εξάρτηση της µορφής (Mm) n (επιτάχυνση µάζας m που προκαλείται από µάζα Μ είναι ανεξάρτητη της µάζας m) Βαρυτική δύναµη F r Mm F grav = G Mm r τεστ μάζα Αµοιβαία έλξη µεταξύ δύο οποιαδήποτε µαζών στο σύµπαν! G 11 2 2 = 6.67 10 Nm / kg πολύ µικρή!! Βαρυτητικό πεδίο
ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 5 Βαρυτική µάζα Αδρανειακή µάζα Βαρυτική Ø Οι µάζες στον νόµο της παγκόσµιας βαρυτικής έλξης βαρυτικές Ø Οι µάζες στο 2 ο νόµο του Newton αδρανειακές q Ποια η σχέση µεταξύ τους? Τι λένε τα πειράµατα? F grav = G M g m g = m αδρ. a a = G M g m g m αδρ. Ø Πείραµα: όλα τα σώµατα που κάνουν ελεύθερη πτώση πέφτουν µε g Εποµένως m g =m αδρ q Η σταθερά G είναι πάρα πολύ δύσκολο να µετρηθεί και είναι µια από τις λιγότερο γνωστές (σε ακρίβεια) σταθερές στη φυσική q Οι βαρυτικές δυνάµεις είναι προστιθέµενες: F g = F 12 + F 13 + F 14 + + F 1n
Μέτρηση της σταθεράς G q Δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την γη σα µια από τις µάζες αφού δεν ξέρουµε την µάζα της q Χρειαζόµαστε δύο γνωστές µάζες. Ø Η δύναµη µεταξύ δύο «καθηµερινών» µαζών είναι πολύ µικρή. Πρέπει να µαστε έξυπνοι. καθρέπτης φωτεινή πηγή ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 6 Ø O Cavendish ήταν αρκετά έξυπνος. 100 χρόνια µετά το Newton (1798) ήταν ο πρώτος που µέτρησε το G. Βασική ιδέα: Μέτρηση της παραµόρφωσης λόγω περιστροφής υπό την επίδραση της βαρύτητας ενός λεπτού σύρµατος που συνέδεε δύο γνωστές µικρές µάζες. Το στρίψιµο του σύρµατος µετρά τη βαρυτική δύναµη F, ενώ γνωρίζουµε τα m 1, m 2 και r και άρα βρίσκουµε το G Σηµαντικό: H µέθοδος θεωρεί ότι τα 2 σφαιρικά σώµατα δρουν σα να είναι σηµειακά. Δηλαδή όλη τους η µάζα στο κέντρο της σφαίρας. Αυτό αποδεικνύεται σωστό.
ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 7 Σηµασία του πειράµατος του Cavendish q Γνωστό και σα πείραµα µέτρησης του βάρους της Γης: Αφού µετρήσαµε το G µε 2 γνωστές µάζες µπορούµε να µετρήσουµε τη µάζα της γης από mg = G Mm g = G M M = gr2 G M = 9.8 (6.37 106 ) 2 6.67 10 11 = 5.97 10 24 kg q Η µέση πυκνότητα της γης είναι ρ = Μ/(4/3 πr 3 ) è ρ αv =5.5gr/cm 3 q Αλλά η πυκνότητα της κρούστας της γης είναι < 5.5 gr/cm 3 Εποµένως το κέντρο της πρέπει να ναι περισσότερο συµπαγές. Το πείραµα του Cavendish µας δίνει πληροφορίες και για το κόρο της γης
Μεταβολές της επιτάχυνσης της βαρύτητας q Η επιτάχυνση της βαρύτητας δεν είναι σταθερή στην επιφάνεια της γης: mg = G Mm g = G M 2 9.8m /s2 r (α) O φλοιός δεν είναι οµοιόµορφος. (β) Η γη δεν είναι σφαίρα (πιο πλατιά στον ισηµερινό) (γ) Η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της (β και γ σχετίζονται) q Σε κάποια από τις αρχικές διαλέξεις είχαµε υπολογίσει το g στον ισηµερινό. Λόγω της περιστροφής της γης το g δίνεται από: ω mg N = mv2 v R N = m g v2 R = m g ω 2 R Αλλά: 2 2 mg Ν 2π 2π ω 2 R = 1ηµερα R = 86400 ( ) R = 0.034m / s 2 ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 8 Στη κορυφή ενός βουνού: g = G M ( r + h) = GM 2 + h 2 + 2rh GM 1+ 2h / r ( ) = GM 1 2h r g = g 1 2h r
Παρένθεση το διονυµικό ανάπτυγµα Μπορούµε να αναπτύξουµε ένα πολυόνυµο της µορφής όρων που περιέχουν ax b y c όπου b,c > 0 και b + c = n Για παράδειγµα: x + y ( ) 4 = x 4 + 4x 3 y 1 + 6x 2 y 2 + 4x 1 y 3 + y 4 ( x + y) n ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 9 σε άθροισµα Οι συντελεστές α µπροστά από τα γινόµενα ονοµάζονται διονυµικοί παράγοντες O διονυµικός παράγοντας είναι: n b = n! ( n b)!b! Στο παράδειγµα: ( x + y) 4 n=4 και o 1 ος όρος είναι b=4, c=0 o 2 ος όρος είναι b=3, c=1 o 3 ος όρος είναι b=2, c=2 o 4 ος όρος είναι b=1, c=3 ( ) 4 = 1+ 4y 1 + 6y 2 + 4y 3 + y 4 n 3 n 2 n 1 n 4 = 4! ( 4 4)!4! = 1 = 4! ( 4 3)!3! = 4 3! 1!3! = 4 n b = 4! 4 3 2! = = 6 ( 4 2)!2! 2!2! = 4! ( 4 1)!1! = 4 3! 3!1! = 4 Στην περίπτωση που x=1: 1+ y Έστω y=ε<<1: ( 1+ ε ) n n! = 1+ ( n 1)!1! ε + n! ~0 ~0 ( n 2)!2! ε 2 +!+ ε n 1+ n ( n 1 )! ε = 1+ nε ( n 1)!
Παρένθεση το διονυµικό ανάπτυγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.27 10 Το διονυµικό ανάπτυγµα/θεώρηµα γενικεύτηκε από τον Newton για να επιτρέπει πραγµατικούς εκθέτες πέρα από τους µή αρνητικούς ακεραίους Στη γενίκευση αυτή, το πεπερασµένο άθροισµα αντικαθίσταται από άπειρη σειρά. Οι διονυµικοί παράγοντες τροποποιούνται για άπειρη σειρά ως: r k = r ( r 1 )! r k +1 k! ( ) ( ) k = r k! Σε µία γενική περίπτωση θα έχουµε: ( ) ( x + y) r = x r + rx r 1 y + r r 1 2! x r 2 y 2 + r r 1 ( )( r 2) 3! x r 3 y 3 +! Για r = 1/2 και -1<x<1: Για r = -1 και -1<x<1: Για r = -1/2 και -1<x<1: ( 1+ x) 1 2 = 1+ x = 1+ 1 2 x 1 8 x2 + 1 16 x3 5 128 x4 + 7 256 x5! ( 1+ x) 1 = 1 1+ x = 1 x + x2 x 3 + x 4 x 5 +! ( 1+ x) 1 2 = 1 1+ x = 1 1 2 x + 3 8 x2 5 16 x3 + 35 128 x4 63 256 x5 +!