ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44

1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 2/44

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το µέτρο, τηδιεύθυνση και τη φορά του. a Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 3/44

ιάνυσµα είναι ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 4/44

Φορέας του διανύσµατος ονοµάζεται η µοναδική ευθείαηοποίαδιέρχεταιαπόταάκρατου διανύσµατος. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 5/44

Μέτρο του διανύσµατος ονοµάζεται ο µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός ο οποίος εκφράζει το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος τοοποίοέχειαρχήτηναρχήτουδιανύσµατοςκαι τέλος, το τέλος του. a Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 6/44

ιεύθυνση του διανύσµατος ονοµάζεται το σύνολο όλων των ευθειών που είναι παράλληλες µε το φορέα του διανύσµατος. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 7/44

Φορά του διανύσµατος ονοµάζεται η φορά της ηµιευθείας που ορίζεται από την αρχή του διανύσµατος πάνω στο φορέα του. Αν δυο ηµιευθείες έχουν ίδια φορά ονοµάζονται οµόρροπες,ενώ αν έχουν αντίθετηαντίρροπες. Αυθαίρετα χαρακτηρίζεταιθετικήηµιααπότιςδυο φορές, οπότε η άλλη χαρακτηρίζεταιαρνητική. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 8/44

Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 9/44

Μηδενικό ονοµάζεται το διάνυσµα του οποίου η αρχή και το τέλος συµπίπτουν. 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 10/44

Μοναδιαίο ονοµάζεται το διάνυσµα το οποίο έχει µοναδιαίο µέτρο. e Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 11/44

υο διανύσµατα ονοµάζονται συγγραµµικά ή παράλληλα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 12/44

υο διανύσµατα ονοµάζονται διαδοχικά όταν η αρχήτουενόςσυµπίπτειµετοτέλοςτουάλλου. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 13/44

υο διανύσµατα είναιίσαότανέχουνόλατα στοιχεία τους ίσα, δηλ. αν έχουν ίσα µέτρα και είναι συγγραµµικά καιοµόρροπα. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 14/44

Πρόσθεση Αν a,b είναι δυο διανύσµατα, τότε το άθροισµα τους είναι το διάνυσµα a+b το οποίο έχει για αρχήτουτηναρχήτου aκαιγιατέλοςτουτο τέλοςτου bόταν τα a,bείναι διαδοχικά. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 15/44

Ιδιότητες 1. Μεταθετική a+ b= b+ a 2. Προσεταιριστική a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c 3. Ουδέτερο στοιχείο a+ 0= 0+ a= a 4. Αντίθετο στοιχείο a+ ( a) = ( a) + a= 0 5. Ισοδυναµία a+ b= a+ c b= c Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 16/44

Παρατηρήσεις 1. 2. 3. 4. 0= 0 ( a) = a ( a+ b) = ( a) + ( b) a = a Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 17/44

Βαθµωτός πολλαπλασιασµός Αν aείναιέναδιάνυσµακαιλένας πραγµατικός αριθµός, τότε το αποτέλεσµα του εξωτερικού πολλαπλασιασµού λa είναι ένα διάνυσµα συγγραµµικό µε το διάνυσµα a και µε µέτρο λa= λ a. Αν λ>0 τότε το λa είναι οµόρροπο του a, ενώ αν λ<0 είναι αντίρροπο. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 18/44

Ιδιότητες ( λ + µ ) a= λ a+ µ a λ a+ b = λa+ λb ( ) λ µ a = λµ a 1a ( ) ( ) = a Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 19/44

Ιδιότητες 0a= 0 λ 0= 0 λa= λb a= b, λ 0 λ a= µ a λ = µ, a 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 20/44

Κ3: ιανύσµατα Προβολή ενός διανύσµατος a σε ένα άλλο διάνυσµα b είναι ένα διάνυσµα c, το οποίο είναι συγγραµµικόµετο bκαιεπιπλέον c= a cosϑ, όπουϑ είναι η γωνία που σχηµατίζουν οι φορείς των διανυσµάτων a και b. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 21/44

Συστήµατα αναφοράς Οι διευθύνσεις (φορείς) των µοναδιαίων καθέτων διανυσµάτων ορίζουν έναορθογώνιο σύστηµα αναφοράς στο χώρο που ανήκουν τα διανύσµατα. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 22/44

Αντίστροφα οθέντος ενός συστήµατος αναφοράς, κάθε διάνυσµα αναλύεται µε µοναδικό τρόπο σε διανύσµατα συγγραµµικά των µοναδιαίων διανυσµάτων του συστήµατος. a= 2e + 52e + 102e x y z Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 23/44

Τοµέτροτηςκάθε µιας τέτοιας προβολής ονοµάζεται συντεταγµένη του διανύσµατος. y C O OB= OAcosϕ OC= OAsinϕ A φ B x Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 24/44

e1, e2,, en Κ3: ιανύσµατα Αν e1, e2,, e n είναι τα µοναδιαία διανύσµατα του συστήµατος αναφοράς, τότε είναι a= a e + a e + + a e 1 1 2 2 µε ai = a ei cosϑ i όπου ϑiείναιηγωνίατου διανύσµατος a µετοµοναδιαίο ei. n n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 25/44

e1, e2,, en Κ3: ιανύσµατα Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσµα συµβολίζεται και ως ( ) a= a1, a2,, a n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 26/44

Ξανά οι πράξεις a a1, a2,, a n = b ( b b b ) ( ) = 1, 2,, n λ R a± b= a± b, a ± b,, a n ± b n λa= λa1, λa2,, an ( ) 1 1 2 2 ( λ ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 27/44

Εσωτερικό γινόµενο Αν a, b είναι δυο διανύσµατα, τότε το εσωτερικό τους γινόµενο είναι οαριθµός a b ο οποίος ισούται µε a b= a b cosϑ όπου ϑ είναι ηγωνίατουδιανύσµατος aµετοδιάνυσµα b. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 28/44

Εσωτερικό γινόµενο a a1, a2,, a n = b= ( b b b ) ( ),,, n 1 2 a b= ab+ a b + + a b 1 1 2 2 n n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 29/44

Γεωµετρική ερµηνεία Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι το µέτρο της προβολής του ενός διανύσµατος στο άλλο. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 30/44

Ιδιότητες a b= b a λa b= a λb = λ a b ( ) ( ) ( ) a b+ c = a b+ a c ( ) a b= 0 a= 0 η b= 0 η a b i i Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 31/44

Συνθήκη καθετότητας a 0 b 0 a b= 0 a b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 32/44

Εξωτερικό γινόµενο Αν a, b είναι δυο διανύσµατα, τότε το εξωτερικό τους γινόµενο είναι τοδιάνυσµα το οποίος έχει µέτρο a b sinϑ, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των a, b και φορά εκείνην που θα προχωρούσε δεξιόστροφος κοχλίας από το aπροςτο b. a b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 33/44

Εξωτερικό γινόµενο a= a, a, a b= ( b, b, b) ( ) 1 2 3 1 2 3 e e e 1 2 3 a b= a a a = a b a b, a b ab, ab a b ( ) 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b b b 1 2 3 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 34/44

Γεωµετρική ερµηνεία Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου δυο διανυσµάτων είναι το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα δυο διανύσµατα όταν αυτά γίνουν διαδοχικά. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 35/44

Ιδιότητες a b= b a λa b= a λb = λ a b ( ) ( ) ( ) a ( b+ c) = a b+ a c a ( b c) = ( a b) c a a= 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 36/44

Συνθήκη συγγραµικότητας (παραλληλίας) a 0 b 0 a b= 0 a b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 37/44

Μικτό γινόµενο Αν a, b, cείναι τρία διανύσµατα, τότε το εξωτερικό τους γινόµενο είναι οαριθµός a b c Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 38/44

Παρατήρηση = ( a b) c a b c = a b c ( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 39/44

Μικτό γινόµενο a= a, a, a b ( b, b, b) ( ) 1 2 3 = c= ( c, c, c ) 1 2 3 1 2 3 a a a 1 2 3 a b c= b b b 1 2 3 c c c 1 2 3 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 40/44

Γεωµετρική ερµηνεία Το µικτό γινόµενο τριών διανυσµάτων είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα τρία αυτά διανύσµατα. a b c c a b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 41/44

Ιδιότητες a b c= b c a= c a b a b c= a c b Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 42/44

Συνθήκη οµοεπίπεδων διανυσµάτων a 0 b 0 c 0 a, b, c οµοεπίπεδα a b c= 0 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 43/44

Κ3: ιανύσµατα ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 44/44