0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι ( ) x+ y A. (β) Το A έγεται ισορροπημένο αν, για κάθε x A για κάθε K με ισχύει ότι x A, δηαδή A= A. Η κυρτή θήκη c( A ) ενός συνόου ορίζεται ως η τομή όων των κυρτών υποσυνόων του E που περιέχουν το A. Ανάογα ορίζεται και η ισορροπημένη θήκη b( A ) του A. Οι ορισμοί αυτοί δικαιοογούνται από την παρατήρηση 3.. () πιο κάτω. (γ) Το A έγεται απορροφούν αν για κάθε x E υπάρχει > 0 ώστε, t R και 0 x t tx A Παρατηρήσεις 3.. Δεν είναι δύσκοο να αποδειχθούν οι ακόουθες ιδιότητες για τις έννοιες που ορίσαμε παραπάνω. ) Αν A, B είναι κυρτά ( αντιστοίχως ισορροπημένα ) υποσύνοα του E και κ, K τότε και το κ A+ B E είναι κυρτό ( αντιστοίχως ισορροπημένο). ) Η τομή μιας οικογένειας κυρτών ( αντιστοίχως ισορροπημένων ) συνόων είναι κυρτό ( αντιστοίχως ισορροπημένο ) σύνοο. Εξάου η ένωση μιας οικογένειας ισορροπημένων συνόων είναι ισορροπημένο σύνοο. 3) Αν A E είναι απορροφούν σύνοο τότε 0 A και A x = E, θα διαπιστώσουμε σύντομα ότι οι περιοχές του 0 E σε ένα τοποογικό διανυσματικό χώρο είναι απορροφούσες. Από την άη μεριά ένα απορροφούν υποσύνοο A E περιέχει σε κάθε διεύθυνση 0 x ένα διάστημα [ x, x],( 0) x x x >. Παρατηρούμε ακόμη ότι η τομή πεπερασμένου πήθους απορροφούντων συνόων είναι απορροφούν σύνοο. 4) Αν A, ισορροπημένο τότε 0 A και A= A. Επίσης ισχύουν τα ακόουθα: (α) Αν, µ K ώστε µ τότε A µ A και άρα A= A, R.
(β) Η κυρτή θήκη c( A ) είναι ισορροπημένο σύνοο. Παράδειγμα. ) Αν E = C ( ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος διάστασης ίσης με ) τότε τα ισορροπημένα υποσύνοα του E είναι το, το C και κάθε δίσκος ( ανοικτός ή κειστός ) με κέντρο το 0. Αν E = R ( ένας διανυσματικός χώρος διάστασης ίσης με επί του R ) τότε υπάρχουν πού περισσότερα ισορροπημένα σύνοα. Για παράδειγμα, κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει μέσο το( 0,0 ) ή κάθε ευθεία που διέρχεται από το ( 0,0 ), ή ακόμη κάθε κυρτή γωνία μαζί με την κατακορυφήν γωνία της ( με κορυφή στο ( 0,0 ) ) είναι ισορροπημένα σύνοα. ) Αν( X, ) χώρος με νόρμα τότε για κάθε ε > 0 η ανοικτή ( αντιστοίχως κειστή ) σφαίρα B( x, ε ) ( αντιστοίχως B( x, ε) ) είναι κυρτό υποσύνοο του X. Οι σφαίρες B( 0, ε ) και B( 0, ε) είναι επιπέον ισορροπημένα και απορροφούντα υποσύνοα του X. Ορισμός 3.. Έστω E διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Υποθέτουμε ότι Τ είναι μια τοποογία επί του E ώστε: (ι) Η πράξη της πρόσθεσης : (, ) (ιι) Η πράξη του βαθμωτού ποαπασιασμού (, ) K E x x E είναι συνεχής. + E E x y x+ y E είναι συνεχής και ( Ο E E και ο K E, θεωρούνται βέβαια με τις αντίστοιχες τοποογίες γινόμενο ). Κάτω από αυτές τις συνθήκες έμε ότι η τοποογία Τ είναι συμβατή με τη δομή του διανυσματικού χώρου και ο ( E, Τ ) ( ή για απότητα ο E ) είναι ένας τοποογικός διανυσματικός χώρος ( τ.δ.χ. ) ή ένας τοποογικός γραμμικός χώρος (τ.γ.χ. ). Παρατηρήσεις 3..3 ) Για κάθε a E και κάθε ( ) K με 0, οι απεικονίσεις τ : E E : τ x = a+ x ο τεεστής της μεταφοράς, a a ( ) σ : E E : σ x = x είναι ομοιομορφισμοί του E επί του E. Ακόμη σημειώνουμε ότι, τ ( Άσκηση) a = τ και σ a = σ
) Από την προηγούμενη παρατήρηση έπεται αμέσως ότι τοποογία ενός τ.δ.χ. E είναι πήρως ορισμένη, αν γνωρίζουμε μια βάση περιοχών Β του 0 E, διότι τότε η { : } x+β= x+ V V Β είναι βάση περιοχών του x E. Πρόταση 3..4 Έστω E τ.δ.χ. τότε ισχύουν: (ι) x+ A= x+ A, x E, A E. A = A K A E. (ιι) ( ),, 0, (ιιι) A+ B A+ B, A, B E. (ιν) Αν, A, G O (ν) ( ) O E με G ανοικτό τότε A+ G ανοικτό στον E. A + B A+ B. (νι) Αν A E τότε A= { A+ G : G ανοικτό και 0 G}. (νιι) Αν Y διανυσματικός υπόχωρος του E τότε και ο Y είναι διανυσματικός υπόχωρος του E. (νιιι) Αν το A E είναι ισορροπημένο τότε και το A είναι ισορροπημένο. (ιx) Αν το A E είναι ισορροπημένο και 0 A τότε και το (x) Αν το A είναι κυρτό τότε και τα η c( A ) είναι ανοικτό σύνοο A είναι ισορροπημένο. A και A είναι κυρτά. Αν το A είναι ανοικτό τότε (xι) Αν το A είναι ανοικτό ( και κυρτό ) και 0 A, τότε υπάρχει ανοικτό ισορροπημένο ( και κυρτό ) C ώστε 0 C A. Απόδειξη Αποδεικνύουμε ενδεικτικά κάποιους από τους ισχυρισμούς της πρότασης και τους υπόοιπους τους αφήνουμε ως άσκηση. (ιιι) Επειδή η πρόσθεση : (, ) (, ) έχουμε. f E E x y f x y = x+ y E είναι συνεχής θα A+ B = f ( A B) = f ( A B) f ( A B) = A+ B (ιν) A+ G= { x+ G : x A}. Επειδή κάθε x+ G είναι ανοικτό ( ο τεεστής της μεταφοράς τ x είναι ομοιομορφισμός ) έπεται το συμπέρασμα.
3 (νιιι) Έστω, τότε από την (ιι) έχουμε A= A. Εφόσον το A είναι ισορροπημένο έπεται ότι A= A A. (ι x) Έστω με 0 ομοιομορφισμός και το. Επειδή η απεικόνιση : : ( ) σ E E σ x = x είναι A είναι μη κενό αφού 0 A, έπεται ότι ( ) A = A A Επειδή το 0 Α 0 έπεται ότι A A ακόμη και αν =0. ( x ) Αποδεικνύουμε το δεύτερο μέρος του ισχυρισμού. Υποθέτουμε ότι το A είναι ανοικτό σύνοο. Έστω x x x c( A) x x A και = +... +, όπου,..., i 0, +... + =. Υποθέτουμε ότι > 0. Αν V είναι ανοικτή περιοχή του x ώστε V A τότε το ανοικτό σύνοο U = V + ( x +... + x) περιέχεται προφανώς στην c( A ) και x U. Επομένως ή c( A ) είναι ανοικτό σύνοο. ( xι) Από την συνέχεια του βαθμωτού ποαπασιασμού στο ( 0, 0 ) υπάρχουν G E ανοικτό με 0 G και δ > 0, ώστε G A για κάθε (προφανώς H ανοικτό και 0 H ) και C = K με δ θέτομε H H. Πρέπει να είναι σαφές ότι το C = δg είναι ανοικτό και ισορροπημένο σύνοο και άρα 0 C A. ( Το C είναι η ισορροπημένη θήκη του H ) Ας υποθέσουμε τώρα ότι το A είναι επί πέον και κυρτό. Θέτουμε L c( C) =, επειδή το A κυρτό το L A. Από την Παρατήρηση 3..(4) το L είναι ισορροπημένο και από τον ισχυρισμό ( x) είναι ανοικτό ( και κυρτό ) σύνοο. Θεώρημα 3..5 Έστω E τ.δ.χ. Τότε υπάρχει μια βάση περιοχών Β του 0 E τέτοια ώστε: (ι) ΚάθεU Β είναι ( κειστό) ισορροπημένο και απορροφούν. (ιι) Για κάθε U Βυπάρχει W Β: W + W U. (ιιι) Αν U Β και K, 0, τότε U Β. Απόδειξη Παρατηρούμε καταρχήν ότι κάθε περιοχή V του 0 E είναι απορροφούν σύνοο. Έστω x 0 ( στο K και άρα ) στο 0 K E, επειδή η απεικόνιση ϕ : K ϕ( x) = x0 E είναι συνεχής και ( ) ϕ 0 = 0, υπάρχει δ > 0 ώστε K και δ ϕ( ) = x0 V ( Ουσιαστικά εδώ ταυτίζουμε τον χώρο K με τον χώρο K { x 0 }.)
4 Από τον ισχυρισμό ( xι) της πρότασης 3..4 συμπεραίνουμε αμέσως ότι οι ισορροπημένες και απορροφούσες περιοχές του 0 E συνιστούν μια βάση περιοχών έστω Β του 0 E. Είναι τώρα σαφές ότι από την συνέχεια της πρόσθεσης στο ( 0,0 ) ισχύει η (ιι) και από το γεγονός ότι ο τεεστής σ : E E είναι ομοιομορφισμός έπεται η (ιιι). Σημειώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε μέος της Β είναι κειστό σύνοο. Πράγματι, έστωu Β, θα δείξουμε ότι υπάρχει μια κειστή και ισορροπημένη περιοχή του 0 Eπου περιέχεται στηνu. ΈστωW Β ώστεw + W U, τότε ισχύει ότιw U. Για να το αποδείξουμε θεωρούμε x W, τότε( x+ W) W. Έστω y E, ώστε y x+ W και y W, τότε έχομε ότι, x+ y x+ W και άρα, x x+ W y ( x+ W) ( x+ W) = W W = W + W U. (W = W, αφού το W είναι ισορροπημένο σύνοο ). Έπεται προφανώς ότι η Β ' = { W : W } Β είναι μια βάση κειστών ισορροπημένων περιοχών του 0 E που ικανοποιεί τους ισχυρισμούς (ιι) και (ιιι). Πρόταση 3..6 Έστω E τ.δ.χ.. Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Ο E είναι Hausdrff. (ιι) Το { 0 } είναι κειστό ( άρα τα μονοσύνοα του E είναι κειστά ). (ιιι) Ισχύει ότι, { 0 } = { U : U περιοχή του 0 E} Απόδειξη (ι) (ιι). Σε κάθε χώρο Hausdrff τα μονοσύνοα είναι κειστά. (ιι) (ιιι) Το σύνοο E \{ 0} είναι ανοικτό, άρα αν x 0τότε υπάρχει V περιοχή του x της μορφής V = x+ W, για κάποια ισορροπημένη περιοχή W του 0 E, ώστε V E \{ 0} και άρα 0 V= x+ W. Έπεται ότι x x+ x+ W = W το οποίο σημαίνει ότι x W. Έτσι συμπεραίνουμε ότι το x δεν μπορεί να ανήκει στην τομή όων των περιοχών του 0 E, συνεπώς η τομή αυτή ισούται αναγκαία με το { 0 }. (ιιι) (ι). Έστω x, y E με x y. Τότε υπάρχει περιοχή U του 0 E ώστε x y U. Έστω W ισορροπημένη περιοχή του 0 E ώστε W + W U. Τότε ισχύει ότι ( x W) ( y W) x y= ( z y) ( z x) W W = W + W U, άτοπο. + + =. Πράγματι, αν υπήρχε z E ώστε z x+ W και z y+ W, τότε Παρατηρήσεις 3..7. ) Έστω E Hausdrff τ.δ.χ. Έπεται τότε από το θεώρημα 3..5 ότι ο E είναι κανονικός ( δηαδή T 3 ) τοποογικός χώρος, αφού σε κάθε σημείο x E έχει μια βάση περιοχών που αποτεείται από κειστά σύνοα. Επιπροσθέτως μπορεί να αποδειχθεί
5 ότι κάθε Hausdrff τ.δ.χ. είναι τεείως κανονικός ( T ). ( Πρβ. το βιβίο [Μ], θεώρημα 3..4, σείδα 74) ) Έστω E ( Hausdrff ) τ.δ.χ., ( xa) αποδεικνύεται, εύκοα ότι, E ένα δίκτυο στον E και x E. Τότε x x x x 0. a a Παραδείγματα 3..8. ) Έστω ( E, ) χώρος με νόρμα. Τότε ο E με την τοποογία που ορίζει η νόρμα ( μετρικοποιήσιμη τοποογία ) είναι ένας Hausdrff τοποογικός διανυσματικός χώρος. Πράγματι, έστω ( ) ( x, y) E E ώστε (, ) (, ) πρόσθεση του χώρου E είναι συνεχής. Έστω ( x) (, x ) (, x) x y x y x x και y,,, ακοουθία στον K E x, y,, ακοουθία στον E E και και ( ) και x x x y x + y x+ y. Άρα η, x K E ώστε x. Έτσι και ο βαθμωτός ποαπασιασμός είναι συνεχής και ο ( E, ) είναι τ.δ.χ. ) Έστω E N = R =ο χώρος των ακοουθιών πραγματικών αριθμών με την τοποογία γινόμενο ( τοποογία της σύγκισης κατά σημείο ) T. Τότε ο ( E, T ) είναι τ.δ.χ. Hausdrff. Πράγματι, καταρχήν η τοποογία γινόμενο T στον E είναι μετρικοποιήσιμη και μια E συγκίνει στην f E ως προςt αν και μόνο αν η ( f ) συγκίνει ακοουθία ( f) στην f κατά σημείο ( επί του N ) δηαδή f( k) f ( k), k N. Έστω ( ) ακοουθία στον E E και ( f, g) E E ώστε ( f, g ) ( f, g) f, g, στον τοποογικό χώρο E E, τότε f f και g g κατά σημείο και επομένως f + g f + g κατά σημείο. Έπεται ότι η πρόσθεση στον χώρο E είναι συνεχής συνάρτηση. Ανάογα αποδεικνύεται ότι και ο βαθμωτός ποαπασιασμός στον χώρο E είναι συνεχής συνάρτηση και ο χώρος ( E, T ) είναι τ.δ.χ. Σημειώνουμε ότι όπως θα αποδείξουμε αργότερα η τοποογία T του χώρου E δεν επάγεται από μια νόρμα. 3) Έστω E ένας ( μη τετριμμένος ) διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Τότε η τοποογία T {, E} = είναι συμβατή με τη διανυσματική δομή του Eκαι επομένως κάνει τον E έναν τ.δ.χ., αά βέβαια δεν είναι Hausdrff. Από την άη μεριά η διακριτή τοποογία T P( E) = ( κάθε υποσύνοο του E θεωρείται ως ανοικτό) δεν είναι συμβατή με τη διανυσματική δομή του E. Πράγματι, ας υποθέσουμε
6 ότι ο (, ) E T είναι ένας τ.δ.χ., θεωρούμε ένα x E με x 0, τότε από το πόρισμα 3.. παρακάτω η απεικόνιση K x E είναι ένας ομοιομορφισμός ( η διακριτή τοποογία είναι Hausdrff ), επομένως το σώμα K ( = Rή C) θα ήταν ομοιομορφικό με έναν υπόχωρο του E και η τοποογία του K θα ήταν διακριτή, άτοπο. 4) Έστω ( E, T) τ.δ.χ.. Τότε κάθε διανυσματικός υπόχωρος F του E είναι με την σχετική τοποογία που επάγεται από τον ( E, T ) είναι τ.δ.χ.. 5) Έστω ( E ) E = i I E i i i οικογένεια τ.δ.χ. επί του ιδίου σώματος K. Τότε το καρτεσιανό γινόμενο I είναι ( όπως εύκοα αποδεικνύεται ) με την τοποογία γινόμενο και τις συνήθεις κατά συντεταγμένες πράξεις ένας τ.δ.χ. επί του K. Ιδιαίτερα ο K, είναι με την τοποογία γινόμενο ένας τ.δ.χ.. Η τοποογία γινόμενο βέβαια συμπίπτει με την τοποογία της ( οποιαδήποτε ) νόρμας επί του K ( γιατί; ). Στο εξής θα υποθέτομε ότι όοι οι τοποογικοί γραμμικοί χώροι που θεωρούμε είναι Hausdrff. Πρόταση 3..9 Έστω E, F τ.δ.χ. και T : E F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Η T είναι συνεχής. (ιι) Η T είναι συνεχής σε κάποιο x0 (ιιι) Η T είναι συνεχής στο 0 E. Απόδειξη. (ι) (ιι) Προφανές. E (ιι) (ιιι) Έστω V περιοχή του 0 F. Τότε το T( x0) + V είναι περιοχή του T( x 0) και συνεπώς υπάρχει U περιοχή του 0 E ώστε T( x + U) = T( x ) + T( U) T( x ) + V, συνεπώς, T( U) (ιιι) (ι) Έστω x0 τέτοια ώστε T( U) V και άρα η T είναι συνεχής στο 0 E. Άρα η T είναι συνεχής στο τυχόν x0 0 0 0 E και V περιοχή του 0 F. Τότε υπάρχει περιοχή του U του 0 E V, οπότε T( x ) T( U) T( x ) V + + ή ( ) ( ) 0 0 T x + U T x + V. 0 0 E, και έτσι είναι συνεχής επί του χώρου E. Πρόταση 3..0 Έστω E τ.δ.χ. και f : E K γραμμικό συναρτησοειδές. Τότε οι ακόουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (ι) Το f είναι συνεχής συνάρτηση. (ιι) Το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0 E.
7 (ιιι) Το f είναι φραγμένο σε μια περιοχή του 0 E ( δηαδή υπάρχει U περιοχή του 0 E : ( ) f U φραγμένο υποσύνοο του K). (ιν) Ο Kerf είναι κειστός υπόχωρος του E. (ν) Ο Kerf δεν είναι γνήσιος πυκνός υπόχωρος του E. Απόδειξη Η πρόταση ισχύει κατά τρόπο τετριμμένο αν το f είναι η σταθερά συνάρτηση μηδέν. Έτσι υποθέτομε ότι f 0. Η ισοδυναμία των (ι) και (ιι) έπεται από την πρόταση 3..9. (ιι) (ιιι) Εφόσον το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0 E υπάρχει περιοχή U του 0 E ώστε f ( U) ( 0, ) { z K : z } Β = <, δηαδή, ( ), f x < x U. (ιιι) (ιι) Έστω ότι υπάρχουν M > 0 και μια περιοχή U του 0 E ώστε ε f ( x) < M, x U. Αν ε > 0, τότε f x < ε, x U M άρα το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0 E. ε M Β ή f U ( 0, ε) Έτσι οι ισχυρισμοί (ι)-(ιιι) είναι ισοδύναμοι. Επίσης είναι σαφές ότι (ι) (ιν) (ν). Αρκεί να αποδείξουμε ότι, (ν) (ιιι) Θέτομε H του E, υπάρχουν x0, και = Kerf, τότε H E. Επειδή το υπερεπίπεδο H δεν είναι πυκνό υποσύνοο ( x + U) H =. Τότε ( ) 0 E και μια ανοικτή ισορροπημένη περιοχή U του 0 E ώστε f x και χωρίς απώεια της γενικότητας μπορούμε να 0 0 υποθέσουμε ότι f ( x 0) =. Επειδή το U είναι ισορροπημένο προκύπτει εύκοα ότι f ( x) <, x U. y = f ( x). Τότε f ( y ) = U, διότι το U είναι ισορροπημένο. Επομένως, f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) =, ( Πράγματι, έστω x και y U τέτοιο ώστε f ( x ). Θέτομε x 0 0 0 οπότε x 0 + y H, άτοπο, εφόσον x 0 + y x 0 + U ). Συνεπώς το f είναι φραγμένο στην περιοχή U του 0 E. Πόρισμα 3... Έστω E τ.δ.χ.. Τότε κάθε υπερεπίπεδο H του E είναι είτε κειστό στον E ή πυκνό στον E. Απόδειξη Έστω f : E K γραμμικό συναρτησοειδές με Kerf = H. Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε αμέσως το συμπέρασμα. ( Υπενθυμίζουμε ότι ένα γραμμικό συναρτησοειδές με Kerf θέτομε f ( x) f ( y a) = H ορίζεται ως εξής: Αν a E \ H τότε E = H a και έτσι = + =, όπου x = y+ a με y H και K ).
8 Πόρισμα 3... Έστω Eτ.δ.χ. και x0 ( ) 0 E με 0 0 x. Θέτομε F = x0 και ϕ : K F E : ϕ = x. Τότε η ϕ είναι τοποογικός ισομορφισμός του K επί του μονοδιάστατου υποχώρου F του E. ( Επι πέον ο F είναι κειστός υπόχωρος του E. Πρβ. την άσκηση 7.) Απόδειξη. Η ϕ είναι προφανώς αγεβρικός ισομορφισμός και συνεχής. Για την αντίστροφή της ισχύει ότι { 0} Kerϕ = και άρα κειστό υποσύνοο του F. ( Eείναι Hausdrff ). Από την πρόταση 3..0 έπεται το συμπέρασμα. Ασκήσεις ) Ένα υποσύνοο A ενός διανυσματικού χώρου E έγεται απόυτα κυρτό αν x, y A,, µ K με µ + x+ µ y A. (ι) Δείξτε ότι η τομή μιας οικογένειας απόυτα κυρτών συνόων είναι απόυτα κυρτό σύνοο. (ιι) Δείξτε ότι ένα σύνοο A E είναι απόυτα κυρτό αν και μόνο αν είναι κυρτό και ισορροπημένο. (ιιι) Αν A E απόυτα κυρτό, τότε A απορροφούν αν και μόνο αν A = E. ) Έστω E διανυσματικός χώρος και A E. Η τομή των ισορροπημένων ( αντιστοίχως των κυρτών ή των απόυτα κυρτών ) υποσυνόων του E που περιέχουν το A ονομάζεται η ισορροπημένη ( αντιστοίχως κυρτή ή απόυτα κυρτή ) θήκη του Aκαι συμβοίζεται με b( A ) ( αντιστοίχως c( A ) ή ( ) (ι) ( ) { :, } ac A ). Αποδείξτε ότι: b A = A K = A. c A = k xk : xk A, k 0, k =, N k= k= (ιι) ( ) (ιιι) ( ). ac A = k xk : xk A, k K, k, N k= k=. (ιν) Αν A ισορροπημένο, τότε c( A ) ισορροπημένο. ( ) (ν) Ισχύει ότι ac( A) c b( A) =. 3) Έστω E, F διανυσματικοί χώροι, T : E Αποδείξτε ότι: F γραμμική απεικόνιση, A E και B F.
9 (ι) Αν A και B απορροφούντα τότε τα T( A ) και T ( B) υποσύνοα των T( E ) και E αντίστοιχα είναι απορροφούντα (ιι) Αν τα A και B ισορροπημένα, τότε τα T( A ) και T ( B) ισορροπημένα. (ιιι) Αν τα A και B κυρτά ( αντιστοίχως απόυτα κυρτά ), τότε τα T( A ) και T ( B) ( αντιστοίχως απόυτα κυρτά ). κυρτά 4) Αποδείξτε ότι ένα απορροφούν υποσύνοο του χώρου του ( 0,0) R. it [ Υπόδειξη. Θεωρούμε την απή καμπύη γ ( t) e, t [ 0,π] = { γ ( ) : [ 0, ], [ 0, π] }. Τότε, το ( ) D t t )δεν ανήκει στο εσωτερικό 5) Έστω ( ) του {, : } R δεν είναι κατ ανάγκη περιοχή t = του π R και θέτομε 0,0 ανήκει στο σύνορο D του D (άρα D του D και το D είναι απορροφούν υποσύνοο του R ]. B = z w C z w. Αποδείξτε ότι το B είναι ισορροπημένο υποσύνοο C αά το εσωτερικό του δεν είναι.(πρβ. την Προταση 3.4 (ιx).) 6) Έστω E, F τοποογικοί διανυσματικοί χώροι και T : E F γραμμική και συνεχής απεικόνιση. (ι) Αποδείξτε ότι η T είναι ομοιόμορφα συνεχής υπό την ακόουθη έννοια: Για κάθε περιοχή V του 0 F υπάρχει περιοχή U του 0 E ώστε, T( y) T( x) V, x, y E με y x U. (ιι) Ένα δίκτυο ( x ) i i στον τ.δ.χ. E έγεται δίκτυο Cauchy, αν για κάθε περιοχή U του I 0 E υπάρχει i 0 I τέτοιο ώστε xi x j U για κάθε i, j i0. Αποδείξτε ότι η εικόνα ( ( )) T x i x i I i i στον τ.δ.χ. E μέσω μιας συνεχούς και γραμμικής I απεικόνισης T : E F είναι δίκτυο Cauchy στον F. Επίσης αποδείξτε ότι κάθε συγκίνον δίκτυο στον Eείναι δίκτυο Cauchy. ενός δικτύου Cauchy ( ) 7) Έστω E τ.δ.χ. ( Hausdrff). Αποδείξτε τα ακόουθα. (ι) Κάθε μονοδιάστατος υπόχωρος του E είναι κειστός στον E. (ιι) Αν F είναι διανυσματικός υπόχωρος του E με dim F = N, τότε κάθε αγεβρικός ισομορφισμός Λ του K επί του F ( ο K με την τοποογία της νόρμας ) είναι και ομοιομορφισμός. Περαιτέρω αποδείξτε ότι ο F είναι κειστός στον E. (ιιι) Αν E είναι διανυσματικός χώρος με dim E <, τότε υπάρχει μοναδική Hausdrff τοποογία επί του E συμβατή με την διανυσματική δομή του. [ Υπόδειξη. (ι) Έστω F διανυσματικός υπόχωρος του E με dim F =. Τότε F = a = a : K για κάποιο a E με a 0. Η απεικόνιση { } ϕ( ) ϕ : K F : = a είναι αγεβρικός ισομορφισμός ο οποίος είναι και ομοιομορφισμός σύμφωνα με το πόρισμα 3.... Δείξτε ότι ο F είναι κειστός χρησιμοποιώντας την έννοια του δικτύου Cauchy της άσκησης 6. Για το (ιι) προχωρήστε με επαγωγή στο = dim F.]
30 8) Έστω E τ.δ.χ. ( Hausdrff ) F διανυσματικός υπόχωρος του E και π : E E / F η κανονική απεικόνιση. Θεωρούμε στον χώρο πηίκο E / F την τοποογία πηίκο T ( αν U E / F U T το π U είναι ανοικτό στον E). Αποδείξτε ότι: τότε ( ) (ι) Η π είναι συνεχής και ανοικτή. (ιι) Ο χώρος πηίκο E / F είναι με την τοποογία T τ.δ.χ. (ιιι) Ο χώρος πηίκο είναι Hausdrff αν και μόνο αν ο F είναι κειστός στον E. (ιν) Αν ο E είναι χώρος με νόρμα τότε η T ταυτίζεται με την τοποογία της νόρμας πηίκο του χώρου E / F. 9) Έστω E τ.δ.χ. (Hausdrff), M κειστός διανυσματικός υπόχωρος του E και F πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του E. Αποδείξτε ότι: (α) Ο υπόχωρος F + M είναι κειστός στον E. (β) Το άθροισμα K + F ενός συμπαγούς K και ενός κειστού F υποσυνόου του E είναι κειστό υποσύνοο του E. 0) Έστω E τ.δ.χ. (Hausdrff) και F διανυσματικός υπόχωρος του E. Λέμε ότι ο F είναι ( τοποογικά) συμπηρωματικός στον E αν υπάρχει συνεχής προβοή P : E E ώστε P E = F. ( ) (ι) Αποδείξτε ότι αν ο F είναι συμπηρωματικός υπόχωρος του E τότε ο F είναι κειστός στον E. (ιι) Έστω P : E E P E = F και G= KerP, άρα E = F G. Αποδείξτε προβοή με ( ) ότι η P είναι συνεχής αν και μόνο αν η φυσιοογική απεικόνιση F G x, y x+ y E είναι ομοιομορφισμός αν και μόνο αν η απεικόνιση ( ) ( ) ( ) j : E / G F : j x+ G = P x είναι συνεχής ( παρατηρούμε ότι P = jπ, όπου π : E E / G η κανονική απεικόνιση ). (ιιι) Υποθέτομε ότι ο F είναι κειστός υπόχωρος του E πεπερασμένης συνδιάστασης. Αποδείξτε ότι ο F είναι ( τοποογικά ) συμπηρωματικός στον E. (ιν) Αν ο E είναι επί πέον τοπικά κυρτός τ.δ.χ.,τότε κάθε διανυσματικός υπόχωρος του E πεπερασμένης διάστασης είναι συμπηρωματικός στον E. ( Η έννοια της τοπικής κυρτότητας για ένα τ.δ.χ. θα ορισθεί στην επόμενη παράγραφο ). ) Έστω E τ.δ.χ. και A E κυρτό. Αποδείξτε ότι: (α) Αν x A και y A τότε το ευθύγραμμο τμήμα [ x, y) A ( όπου { } [ ) ( ) x, y = x+ y : 0< ) (β) Αν A, τότε A O = A και A ( A) [ Υπόδειξη για το (α): Έστω ( ) =. z = y+ x με 0< <. Υπάρχει τότε U ισορροπημένη περιοχή του 0 E ώστε x+ U A. Υποθέτομε πρώτα ότι y A. Έστω w U + z, επομένως w= u+ z με u U. Τότε x u A +, επομένως ( ) ( ) w= y+ x+ u A. Έτσι έχουμε U + z A και άρα z A. Ας υποθέσομε τώρα ότι y A. Θέτομε V = µ U + y, όπουµ =. Έστω a A V. Έχομε τότε a= µ u+ y με u U και
3 επομένως z = ( ) a+ ( x u) A. Έτσι έχομε ότι [ x, y) πρώτο μέρος συμπεραίνει ότι [ x, y) A ]. A, το οποίο μαζί με το Σημείωση. Το δεύτερο μέρος της άσκησης δεν ισχύει αν το κυρτό σύνοο Α έχει κενό εσωτερικό. Για παράδειγμα έστω Ε χώρος Baach και Α γνήσιος πυκνός διανυσματικός υποχώρος του Ε, είναι τότε σαφές ότι το Α δεν ικανοποιεί το συμπέρασμα της ) (β).