6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή. ι εγγεγραµµένες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα. Η εγγεγραµµένη ισούται µε την υπό χορδής κι εφαπτοµένης.. ωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών Η γωνία δύο χορδών ισούται µε το ηµιάθροισµα των κατακορυφήν της τόξων ˆω= + ω Η γωνία δύο τεµνουσών ισούται µε την ηµιδιαφορά των τόξων που περιέχει ˆω= ω 3. Ένας γεωµετρικός τόπος γεωµετρικός τόπος των σηµείων, που βλέπουν τµήµα µε δοσµένη γωνία φ, είναι δύο τόξα κύκλου συµµετρικά ως προς την ευθεία, εκτός από τα,. φ ιδικά γεωµετρικός τόπος των σηµείων, που βλέπουν τµήµα µε ορθή γωνία, είναι ο κύκλος διαµέτρου, εκτός από τα,.
ΣΚΗΣΙΣ. Θεωρούµε δύο κάθετες χορδές, κύκλου (, ρ). ν = 40 ο και = 30 o, να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου και τα τόξα, και. = 40 ο B = 0 ο = B = 0 ο πειδή το τρίγωνο Κ είναι ορθογώνιο, θα είναι ɵ = 70 ο άρα και = 70 ο. φού = 30 o θα είναι και A = 30 ο, λόγω δε του ορθογωνίου τριγώνου Κ, θα είναι B = 60 ο, άρα και ɵ = 60 ο ɵ = ɵ + ɵ = 30 ο, B = B + B = 80 ο, = 30 ο + = 50 ο, A = + A =00 ο κόµα = 30 ο = 60 ο, = 70 ο = 40 ο και = 60 ο = 0 ο A 40 ο Κ 30 ο O. Σε κύκλο (, ρ) θεωρούµε δύο σηµεία,. Έστω το µέσο του µικρότερου τόξου και ένα σηµείο του µεγαλύτερου τόξου, έτσι ώστε A = 50 ο. Να υπολογιστούν οι γωνίες των τριγώνων και του. πειδή A = 50 ο, θα είναι M = 00 ο και A = 60 ο Στο ισοσκελές τρίγωνο η επίκεντρη γωνία O έχει µέτρο ίσο µε το µέτρο του τόξου M, άρα είναι O = 00 ο και εποµένως κάθε µία από τις προσκείµενες στην βάση γωνίες θα είναι B = ɵ = 40 ο πειδή A = 60 ο, η εγγεγραµµένη γωνία M θα είναι M =30 ο και εποµένως κάθε µία από τις προσκείµενες στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι B = ɵ = 5 ο 50 ο
3 3. Σε κύκλο (, ρ) θεωρούµε µία επίκεντρη γωνία O και µία εγγεγραµµένη M ίσες µε 0 ο. Να δείξετε ότι =. O = 0 ο M = 0 ο A = 0 ο = 40 ο πότε M = 0 ο φού τα µικρότερα του ηµικυκλίου τόξα A και M είναι ίσα, οι αντίστοιχες χορδές τους θα είναι ίσες, άρα = 4. Σε κύκλο διαµέτρου φέρνουµε την χορδή έτσι ώστε A = 30 ο. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο τέµνει την ευθεία στο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. διάµετρος ɵ = 90 ο B εξωτερική στο τρ. B = 90 ο + 30 ο = 0 ο Ισχύει ω = A = 30 ο διότι η µία είναι εγγεγραµµένη και η άλλη υπό χορδής και εφαπτοµένης. ποµένως η γωνία του τριγώνου θα είναι =80 ο 0 ο 30 ο = 30 ο φού λοιπόν είναι A = = 30 ο, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 30 ο ω φ
4 5. Θεωρούµε τον περιγεγραµµένο κύκλο (, ρ) ενός τριγώνου και το ορθόκεντρό του Η. πό το φέρνουµε τη χορδή κάθετη στην. Να αποδείξετε ότι i) ii) = Η iii) ν το µέσο της τότε = i) B = 90 ο διάµετρος Η A = 90 ο ii) Η και Η // µοίως // Η Συνεπώς το Η είναι παραλληλόγραµµο Άρα = Η iii) Στο τρίγωνο το ενώνει τα µέσα των και, άρα = και λόγω του (ii), = Η H M O
5 6. Έστω τρίγωνο µε < και ο περιγεγραµµένος κύκλους του. ν το αντιδιαµετρικό του και ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι i) ι γωνίες A και A έχουν την ίδια διχοτόµο ii) A = ɵ i ) ρκεί να αποδείξουµε ότι A = A διάµετρος ɵ = 90 ο Στα ορθογώνια τρίγωνα και έχουµε = (βαίνουν στο ίδιο τόξο ), άρα θα είναι και A = A ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε A + A = 90 ο ɵ και επειδή A = A A + A = 90 ο ɵ A = 90 ο A ɵ Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε 90 ο A =, οπότε A = ɵ O 7. Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραµµένος κύκλος του, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές,, στα Κ, Λ, Ρ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΚΛΡ συναρτήσει των γωνιών του τριγώνου ίναι ΚΡ ɵ Λ = Κ () (εγγεγραµµένη υπό χορδής και εφαπτοµένης) Κ = Λ Κ = Λ λλά + Κ + Λ = 80 ο Κ = 80 ο Κ = 90 ο, και λόγω της () ΚΡ ɵ Λ=90 ο Κ Ρ Λ µοίως ΡΚ Λ = 90 ο ɵ και ΡΛ Κ = 90 ο
6 8. ν, Ζ, Η, Θ είναι τα µέσα των διαδοχικών τόξων, B, και ενός κύκλου (, ρ), να αποδείξετε ότι Η ΖΘ. πό γνωστή εφαρµογή, έχουµε ( Κ Θ) = [( Θ ) + ( ΖΗ )] = [( Θ ) + ( ) + ( Ζ ) + ( Η )] = ( ) ( ) ( ) ( ) + + + o ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 360 = = 4 4 = 90ο, άρα Η ΖΘ Θ Κ Η Ζ 9. Στον περιγεγραµµένο κύκλο τριγώνου φέρνουµε τις χορδές και παράλληλες στις πλευρές και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η χορδή είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο. Έστω x x η εφαπτοµένη του κύκλου στο και η ακτίνα στο σηµείο επαφής. // = A // ɵ = A Άρα = ɵ = ποµένως το είναι µέσο του τόξου, άρα η ακτίνα είναι κάθετη στην χορδή και επειδή x x, θα είναι x x //. x x
7 0. Σε ορθογώνιο τρίγωνο, ο κύκλος διαµέτρου τέµνει την υποτείνουσα σε σηµείο. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου στο διέρχεται από το µέσο της. πειδή διάµετρος και = 90 ο, η είναι εφαπτοµένη του κύκλου. ίναι = 90 ο σαν εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο. Στα ορθογώνια τρίγωνα και, οι γωνίες και ɵ είναι συµπληρωµατικές της, άρα = ɵ Όµως = (εγγεγραµµένη = υπό χορδής εφαπτοµένης) και = (κατά κορυφήν) Άρα ɵ =, οπότε Ν = Ν Και επειδή Ν = Ν (εφαπτοµενικά τµήµατα), θα είναι Ν= Ν, άρα το Ν είναι µέσο της. Ν
8. ύο κάθετες χορδές και κύκλου (, ρ) τέµνονται σε σηµείο. ν, Ν είναι τα µέσα των χορδών, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i ) ME, ii) Tο τετράπλευρο Ν είναι παραλληλόγραµµο iii) Ν = i) Έστω ότι η τέµνει τη στο Θ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο, η είναι διάµεσος στην υποτείνουσα Άρα = = ɵ = και επειδή + = 90 ο, θα είναι ɵ + = 90 ο () Όµως ɵ = ɵ (κατακορυφήν) και = ɵ (βαίνουν στο ίδιο τόξο ) πότε, λόγω της (), θα είναι ɵ + ɵ = 90 ο, άρα Θ = 90 ο, οπότε () ii) είξαµε ότι, επίσης, αφού Ν µέσο της, θα είναι Ν (3) πό τις () και (3) // Ν ( κάθετα τµήµατα στην ίδια ευθεία) µοίως προκύπτει ότι Ν // Άρα το Ν είναι παραλληλόγραµµο. iii) πό το (ii) προκύπτει ότι Ν = =, όπως είδαµε στο (i). Θ Ν
9. ύο κύκλοι (, ρ) και (Κ, α) εφάπτονται εξωτερικά στο. υθεία (ε) εφάπτεται του (, ρ) στο και τέµνει τον (Κ, α) στα και. Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόµος της εξωτερικής γωνίας του τριγώνου ν Θ προέκταση της, τότε η Θ είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου. Φέρνω την κοινή εσωτερική εφαπτοµένη των δύο κύκλων η οποία τέµνει την (ε) στο Ρ. Τότε Ρ = Ρ, οπότε ω = ɵ φ () Η είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου, άρα = + ω () Κ Ρ ω φ κόµα = Ρ + ɵ φ και επειδή Ρ = θα είναι = + ɵ φ (3) πό τις (), (), (3) έχουµε ότι =, δηλαδή η είναι διχοτόµος της εξωτερικής γωνίας. (ε) Θ 3. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο (, ρ). ν είναι οποιοδήποτε σηµείο του τόξου, να αποδείξετε ότι + =. Πάνω στην θεωρώ ευθύγραµµο τµήµα =, οπότε αρκεί να αποδείξω ότι =. Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουµε = ɵ = 60 ο (βαίνουν στο ίδιο τόξο), άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο Τα τρίγωνα και έχουν =, = ɵ (βαίνουν στο ίδιο τόξο) και = 60 φ ɵ = πότε τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα =. φ
0 4. Τραπέζιο ( //) είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (, ρ). ι µη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου τέµνονται στο και οι εφαπτοµένες του κύκλου στις κορυφές και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Ζ = E // = =. Άρα το τραπέζιο είναι ισοσκελές πότε = ɵ και από το τρίγωνο έχουµε E = 80 ο () Στο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = Ζ σαν εφαπτοµενικά τµήµατα, άρα Ζ = Ζ ɵ και εποµένως Ζ =80 ο Ζ ɵ () Όµως = Ζ ɵ (εγγεγραµµένη και υπό χορδής εφαπτοµένης) πότε από τις () και () έχουµε E = Ζ A B Ζ 5. Να αποδείξετε ότι ίσα τρίγωνα έχουν ίσους περιγεγραµµένους κύκλους. Κ Ζ Έστω ότι τριγ. = τριγ.ζ µε =, = Ζ, περιγεγραµµένοι κύκλοι τους (, ) και (Κ, Κ). = Ζ και οι Τότε θα είναι και = = = Κ πειδή τα τρίγωνα και ΚΖ είναι ισοσκελή και έχουν τις γωνίες των κορυφών τους ίσες, θα έχουν ίσες και τις γωνίες που πρόσκεινται στις βάσεις τους. ηλαδή = ɵ = E = Ζ Και αφού = Ζ, τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Άρα = Κ, εποµένως οι περιγεγραµµένοι κύκλοι είναι ίσοι.