ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ & ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ & ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Κείμενα: Δημήτρης Χασάπης

1

1. Αριθμοί και αριθμητικά συστήματα: Από το κόκκαλο του Ισάνγκο στον κ. Στέβιν Μπορεί βάσιμα να υποστηριχτεί, ότι τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν και αναπτύχθηκαν παράλληλα σε άμεση συνάφεια με την παραγωγική και κυρίως με την κατασκευαστική δραστηριότητα του ανθρώπου. Η παραγωγή και κυρίως η κατασκευή προϋποθέτει χρησιμοπoίηση αντικειμένων και η χρησιμοποίηση αντικειμένων σημαίνει αρχικά ενδιαφέρον για ορισμένα μόνο από το σύνολο των χαρακτηριστικών τους και στη συνέχεια ταξινόμηση, σύγκριση, αντιστοίχιση, αξιολόγηση κλπ. των χαρακτηριστικών αυτών. Για να κατασκευάσει για παράδειγμα ο πρωτόγονος κυνηγός ένα τόξο έπρεπε να συγκρίνει ορισμένα μόνο από τα χαρακτηριστικά μιας ελαστικής χορδής και ενός εύκαμπτου ξύλου, χαρακτηριστικά τα οποία αργότερα χρησιμοποιεί ξανά στις σχέσεις του αντικειμένου αυτού, δηλαδή του τόξου και με άλλα αντικείμενα, όπως π.χ. τα βέλη που κατασκευάζει. Κάπως έτσι αρχίζει να αναπτύσσεται μια σειρά νοητικών δραστηριοτήτων οι οποίες εξελίσσονται τελικά στη νοητική δραστηριότητα της αφαίρεσης. Με την ανάπτυξη των κατασκευαστικών δραστηριοτήτων, οι οποίες στην εξέλιξη τους γίνονταί αναπόφευκτα ολοένα και πιο πολύπλοκες και ομαδικές, δημιουργείται η ανάγκη συστηματικής μελέτης των δραστηριοτήτων της σύγκρισης αντικειμένων και οι δραστηριότητες της σύγκρισης αντικειμένων οδηγούν σταδιακά σε μορφές μέτρησης. Για την κατασκευή ενός πλωτού μέσου για παράδειγμα δημιουργείται η ανάγκη σύγκρισης του μεγέθους των ξύλων που χρησιμοποιούνται για τα διάφορα μέρη του και σταδιακά αντί να συγκρίνεται κάθε κομμάτι ξύλου με καθένα άλλο κομμάτι ξύλου εισάγεται και χρησιμοποιείται μια μονάδα μέτρησης η οποία έχει αρχικά υποκειμενικό χαρακτήρα, όπως για παράδειγμα ο βραχίονας ή η παλάμη, αλά τελικά ολοκληρώνεται με την κοινή αποδοχή κοινών μέτρων. Μέσα από παρόμοιες διαδικασίες ο άνθρωπος παριστάνει τα απαραίτητα στις κατασκευαστικές δραστηριότητες αντικείμενα με μερικά μόνο τεχνικά χαρακτηριστικά τους και μ' αυτό τον τρόπο κοινωνικοποιεί σταδιακά την υλική πραγματικότητα ταυτίζοντας αντικείμενα και φαινόμενα με ορισμένα μόνο κοινωνικά χρησιμοποιήσιμα χαρακτηριστικά τους. Χαρακτηριστικά που δεν αντιστοιχούν αναγκαστικά σε φυσικές ιδιότητες των αντικειμένων και φαινομένων αυτών. Οι αρχαίοι Σουμέριοι για παράδειγμα μετρούν την έκταση ενός χωραφιού με την ποσότητα των σπόρων που απαιτούνται για τη σπορά του, χαρακτηρίζοντας και αναπαριστώντας στις κοινωνικές τους δραστηριότητες μια επιφάνεια με μονάδες βάρους. Χωρίς βέβαια να σημαίνει ότι η έκταση αποτελεί μια φυσική ιδιότητα της επιφάνειας αλλά και αυτή μια έννοια προϊόν των θεμελιωδών μορφών της κοινωνικής οργάνωσης και της παραγωγικής δραστηριότητας του ανθρώπου. Για την έκφραση των αποτελεσμάτων της μέτρησης και για τις ανάγκες της επικοινωνίας και της παραγωγικής δραστηριότητας, δημιουργούνται σταδιακά διάφορα συμβολικά συστήματα με επικρατέστερα τα συστήματα των αριθμών. Η απλούστερη μορφή μέτρησης, η απαρίθμηση, εκφράζεται με τους φυσικούς αριθμούς και τις αντίστοιχες συμβολικές και λεκτικές τους διατυπώσεις, οι οποίες χαρακτηρίζουν το πλήθος ή τη θέση σε μια σειρά διακριτών αντικειμένων και φαινομένων. Αρχικά και σύμφωνα με όλες τις ιστορικές ενδείξεις, η διάκριση του πλήθους περιορίζεται στο ένα, το δύο και τα πολλά (Wilson, 1986). Το γεγονός αυτό αντανακλάται και στη διαφορά των λέξεων που υπάρχουν στις διάφορες γλώσσες για την έκφραση των δύο πρώτων τακτικών αριθμητικών (πρώτο ή first και δεύτερο ή second) από τις λέξεις που υπάρχουν για την έκφραση των επόμενων τακτικών αριθμητικών, οι οποίες και προέρχονται ετυμολογικά από τις λέξεις που εκφράζουν τα αντίστοιχα απόλυτα αριθμητικά (τρία - τρίτο, τέσσερα - τέταρτο, κ.ο.κ.). 2

Παράλληλα, οι αρχαίες γλώσσες (αιγυπτιακή, εβραϊκή, αραβική, σανσκριτική, ελληνική, γοτθική) εκτός απ τον ''ενικό'' αριθμό των ουσιαστικών για την έκφραση του ενός στοιχείου και τον ''πληθυντικό'' αριθμό για την έκφραση των τριών ή περισσότερων στοιχείων έχουν και ''δυϊκό'' αριθμό για την έκφραση των δύο στοιχείων. Αρχικά επομένως, εκφράζεται και καταγράφεται συμβολικά η ''μοναδικότητα'', η ''δυϊκότητα'' και η ''πολλαπλότητα'', η τελευταία εννοούμενη ως ''πέραν'' των δύο. Στις ινδοευρωπαϊκές γλώσσες οι λέξεις για το τρία, όπως για παράδειγμα trois (στα γαλλικά), drei (στα γερμανικά), tres (στα ιταλικά), three (στα αγγλικά), έχουν ετυμολογικά την ίδια ρίζα με το λατινικό trans, που σημαίνει ''πέραν του''. Πώς όμως ένας πρωτόγονος βοσκός θα μπορούσε να παραστήσει το πλήθος των ζώων του κοπαδιού του; Ένας τρόπος θα ήταν για παράδειγμα να χαράξει σε ένα ξύλο μία εγκοπή για καθένα ζώο του κοπαδιού του και υπάρχουν πολλές ενδείξεις από την παλαιολιθική ακόμα εποχή για τη χρήση αυτής της μεθόδου, η οποία βασίζεται σ' αυτό που σήμερα αποκαλείται «αντιστοίχιση ένα-προς-ένα». Κόκαλα του Ishango, Κεντρική Αφρική, 6.500 π.χ. Χαραγές οι οποίες αντιστοιχούν πρώτους αριθμούς και διπλάσια αριθμών 3-6, 4-8, 5-10 Στη συνέχεια όμως, πώς θα μπορούσε να εκφράσει το πλήθος αυτό σε έναν άλλο άνθρωπο χωρίς να κουβαλά μαζί του το κοπάδι των ζώων ή το χαραγμένο ξύλο; Για τις ανάγκες της επικοινωνίας και της παραγωγικής δραστηριότητας αναπτύσσονται σταδιακά συστήματα αρίθμησης που εκφράζουν λεκτικά στην αρχή και συμβολικά στη συνέχεια οποιοδήποτε πλήθος διακριτών αντικειμένων και φαινομένων. Στην πορεία ανάπτυξης της κοινωνικής και παραγωγικής οργάνωσης του ανθρώπου διαμορφώνεται τελικά μια αφηρημένη και γενική έννοια του αριθμού, ενώ ο ρόλος της γραφής και των αριθμητικών συμβόλων στην εξέλιξη αυτή είναι καθοριστικός. Για όσο καιρό η έκφραση των αριθμών ήταν μόνο λεκτική δεν υπήρξε ιστορικά ουσιαστική εξέλιξη της έννοιας του αριθμού, μια εξέλιξη που σημειώνεται με την ανάπτυξη της γραφής και την εισαγωγή ιδεογραμμάτων αρχικά και συμβόλων στη συνέχεια για την παράσταση των αριθμών. Οι λεκτικοί τύποι που χρησιμοποιούνται για τους αριθμούς παραπέμπουν σε μια περιγραφική χρήση των αντίστοιχων λέξεων, δηλαδή σε μια χρήση των αριθμητικών λέξεων ως επιθέτων που χαρακτηρίζουν συγκεκριμένες πολλαπλότητες αντικειμένων ή φαινομένων. Στη φράση «δύο χέρια» η λέξη «δύο» χρησιμοποιείται ως επίθετο που χαρακτηρίζει τα χέρια, ενώ στη φράση «αριθμός δύο" η λέξη «δύο» χρησιμοποιείται ως ουσιαστικό που εκφράζει ένα αντικείμενο, μια ιδιότητα ή ένα φαινόμενο και η διάκριση αυτή από εννοιολογική άποψη είναι σημαντική. Μια λέξη χρησιμοποιούμενη ως ουσιαστικό εκφράζει μια έννοια και η χρήση της λέξης «δύο» στη φράση «αριθμός δύο» εκφράζει την αφηρημένη έννοια της «δυϊκότητας». Η ανάπτυξη της 3

γραφής και ως παράγωγό της η ανάπτυξη συμβόλων για τους αριθμούς επιτάχυνε την αλλαγή της χρήσης και σταδιακά της εννοιολογικής υπόστασης των λεκτικών διατυπώσεων των αριθμών και οδήγησε τελικά στη συγκρότηση των αφηρημένων εννοιών του αριθμού. Η φράση «δύο χέρια» διατυπώνεται γραπτά με κάποιο ενιαίο ιδεόγραμμα αρχικά, στη συνέχεια με δύο διαφορετικά ιδεογράμματα, ένα για κάθε λέξη και τελικά με ένα σύμβολο για τον αριθμό και μια σύνθεση γραμμάτων για το ουσιαστικό. Η λεκτική διατύπωση του αριθμού από επίθετο που χαρακτηρίζει αντικείμενα ή φαινόμενα μετατρέπεται σε ουσιαστικό που εκφράζει ένα σύμβολο αρχικά και στη συνέχεια μια αφηρημένη έννοια που αναφέρεται σε μια πολλαπλότητα αντικειμένων ή φαινομένων και στη θέση ενός αντικειμένου ή φαινομένου σε μια συγκεκριμένη σειρά αντικειμένων ή φαινομένων. Δεν είναι τεκμηριωμένα γνωστό, ούτε σε ποια περίοδο ανάπτυξης του ανθρώπινου πολιτισμού, ούτε σε ποια περιοχή αναπτύχθηκαν τα πρώτα συστήματα συμβολικής παράστασης των αριθμών. Μπορεί όμως βάσιμα να υποστηριχτεί, ότι η ανάπτυξη τους συμβάδισε και καθορίσθηκε, τόσο από την ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού, όσο και από την ανάπτυξη της γραπτής γλώσσας. Τα συστήματα συμβολικής παράστασης των αριθμών, όπως και η γλώσσα, οδηγήθηκαν κατά την ιστορική τους εξέλιξη σε ένα ποιοτικά διαφορετικό επίπεδο ανάπτυξης από την επινόηση και την ανάπτυξη της γραφής. Αρχικά τα ιδεογράμματα και στη συνέχεια τα αλφάβητα χρησιμοποιήθηκαν για την καταγραφή και την έκφραση αριθμών, μέχρις ότου ως αποτέλεσμα της ανάπτυξης των πολιτισμών αναπτύχθηκαν διαφορετικά σύμβολα και συγκροτήθηκαν αυτόνομα συμβολικά συστήματα για την έκφραση των αριθμών. Με βάση τα μέχρι σήμερα δεδομένα, ως αρχαιότερο ιστορικά αριθμητικό σύστημα θεωρηθείται το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων. Ως Βαβυλώνιοι έχουν καταγραφεί ιστορικά μια σειρά λαών, με σημαντικότερους τους Σουμέριους και τους Ακκάδιους, που κατοίκησαν στη Μεσοποταμία και με επίκεντρο τις πόλεις Ούρ και Βαβυλώνα ανέπτυξαν έναν από τους πρώτους πολιτισμούς γύρω στο 4.000 χρόνια π.χ. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τη γραφή, χαράζοντας πάνω σε πήλινες πλάκες με μια καλαμένια ή ξύλινη γραφίδα που η άκρη της ήταν κομμένη λοξά σε σχήμα σφήνας, σύμβολα για τις λέξεις και τους αριθμούς. Ύστερα οι πήλινες πλάκες στέγνωναν στον ήλιο ή ψήνονταν στη φωτιά για να σκληρύνουν. Τα σύμβολά για τις λέξεις και τους αριθμούς ήταν κατά συνέπεια απλά σχέδια σε σχήματα σφήνας, που δημιουργούνταν από τις γραφίδες, όταν πιέζονταν κατακόρυφα ή υπό γωνία στην πήλινη επιφάνεια. Γι' αυτό και η γραφή αυτή ονομάστηκε από τους αρχαιολόγους σφηνοειδής. Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων είχε ως βάση τον αριθμό 60, έναν αριθμό με πολλούς ακέραιους διαιρέτες (2,3,4,5,6,12) που προσφέρεται για την έκφραση κλασμάτων ως ακεραίων μερών μιας μονάδας. Παράλληλα όμως, είχε ως βοηθητική βάση και τον αριθμό 10. Οι αριθμοί από το 1 έως και το 59 γράφονταν με την αρχή της παράθεσης των συμβόλων, ενώ για τη γραφή των μεγαλύτερων του 59 αριθμών εφαρμόζονταν το σύστημα θέσης. Είναι σαφές, ότι πρόκειται για ένα αριθμητικό σύστημα που προέκυψε από τη σύνθεση διαφορετικών αριθμητικών συστημάτων, που χρησιμοποιούνταν από τους λαούς της περιοχής ή τους λαούς με τους οποίους οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν εμπορικές συναλλαγές. Στο σύστημα αυτό, η μονάδα συμβολίζονταν με ένα σημάδι σφήνας, η δεκάδα με ένα σημάδι γωνίας και το εξήντα πάλι με ένα σημάδι σφήνας. Δεν υπήρχε σύμβολο για το μηδέν και γι αυτό άφηναν τη θέση του κενή στους αριθμούς που στη γραφή τους περιείχαν το μηδέν. Με το συνδυασμό αυτών των συμβόλων και την κενή θέση για το μηδέν γράφονταν όλοι οι αριθμοί μέχρι το 59 παραθετικά και με σύστημα θέσης οι μεγαλύτεροι αριθμοί. 4

Σε πήλινες πινακίδες εκείνης της εποχής που βρέθηκαν και σώζονται σήμερα βρίσκονται αριθμοί σε επιγραφές που καταγράφουν προϊόντα και εμπορικούς λογαριασμούς, προσφορές στους ναούς των θεών, μαθήματα για μαθητές, οδηγίες για την εκτέλεση υπολογισμών και ημερολόγια. Η απουσία συμβόλου για το μηδέν φαίνεται ότι δημιουργούσε ασάφειες στην ανάγνωση των αριθμών γι αυτό και μετά τον 3ο αιώνα π.χ. εμφανίζεται στο Βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα ένα νέο σύμβολο που αντιστοιχεί στο μηδέν, με την έννοια όμως της κενής θέσης ή της απουσίας ψηφίου στη γραφή των αριθμών και όχι με την έννοια της μηδενικής ποσότητας. Στοιχεία των εξηκονταδικών συστημάτων μέτρησης, δηλαδή των αριθμητικών συστημάτων για τη μέτρηση μεγεθών που έχουν ως βάση τον αριθμό 60 έχουν επιβιώσει ως τις μέρες μας, όπως για παράδειγμα στη μέτρηση του χρόνου (1 ώρα = 60, 1 = 60 ) ή των γωνιών (90 0,, 180 0,, 360 0, ). Οι επόμενοι χρονικά μεγάλοι πολιτισμοί της αρχαιότητας, των Αιγυπτίων, των Ελλήνων και στη συνέχεια των Ρωμαίων, ανέπτυξαν αριθμητικά συστήματα τα οποία ως προς τη δομή τους δεν παρουσιάζουν ουσιαστικές ποιοτικές διαφορές από το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων. Χρησιμοποιούσαν ως βάση των αριθμητικών τους συστημάτων τον αριθμό 10 και συνδύαζαν ένα υποτυπώδες σύστημα θέσης παράλληλα με την παραθετική γραφή των αριθμητικών συμβόλων, τα οποία βέβαια ήταν αντίστοιχα με τα σύμβολα για τη γραφή της γλώσσας τους, Στο Αιγυπτιακό αριθμητικό σύστημα υπήρχαν αρχικά ιδιαίτερα σύμβολα για το ένα και το δέκα, όπως επίσης για το 100, 1000, 10.000, 100.000 και 1.000.000, ενώ δεν υπήρχε η αναγκαιότητα και κατά συνέπεια δεν είχε επινοηθεί ένα σύμβολο για το μηδέν. Τα σύμβολα αυτά τροποποιήθηκαν σταδιακά ώστε να είναι ευκολότερη η ανάγνωση και η γραφή τους και κατέληξαν στη μορφή με την οποία βρίσκονται γραμμένα πάνω σε πάπυρους που σώζονται σήμερα. 5

Το αρχαίο Ελληνικό αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιούσε για τη γραφή των αριθμών τα γράμματα του Ιωνικού αλφάβητου με την προσθήκη ενός τόνου για τη διάκριση των αριθμών από τις λέξεις, π.χ. με για το 45 σε διάκριση με το μόριο με. Για τη γραφή μεγάλων αριθμών πρόσθεταν ένα κόμμα πριν από το αντίστοιχο σύμβολο του αριθμού με τον οποίο υποδηλώνονταν ο πολλαπλασιασμός του επί χίλια, π.χ. έγραφαν,β για το 2000. Με αυτό το δύσχρηστο αριθμητικό σύστημα αρχίζει η μελέτη των αριθμών ως αφηρημένων εννοιών στο πλαίσιο μιας θρησκευτικής θεώρησης από τον Πυθαγόρα και τους μαθητές του κατά τον 6 ο αιώνα π.χ. Ο Πυθαγόρας (περίπου 580 500 π. Χ.), φημισμένος στην αρχαία παράδοση ως φιλόσοφος και μαθηματικός, ίδρυσε μία σχολή στον Κρότωνα (Κάτω Ιταλία) η οποία ήταν μια θρησκευτική κοινότητα με μέλη πλούσιους και ισχυρούς νεαρούς της περιοχής. Μετά το θάνατο του Πυθαγόρα και εξαιτίας πολιτικών αναταραχών η σχολή διαλύθηκε. Δεν έχουν σωθεί γραπτά κείμενα του Πυθαγόρα και όσα γνωρίζουμε για τα επιτεύγματά του προέρχονται από τον Πλάτωνα και κυρίως από τον Αριστοτέλη. Ο Πυθαγόρας πίστευε και δίδασκε ότι η αρχή των όντων είναι οι αριθμοί και ότι το σύμπαν είναι οργανωμένο σύμφωνα με αριθμητικές σχέσεις, αρχή εκφρασμένη με τη ρήση «τα πάντα είναι αριθμός». Σε αυτή τη βάση, οι Πυθαγόρειοι κατασκεύασαν μια κοσμογονία με αριθμητικό χαρακτήρα, στην οποία ενσωματώθηκαν σημαντικές μαθηματικές επινοήσεις από τη μελέτη των αριθμών και των ιδιοτήτων τους. Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια κοσμογονία, το σύμπαν δημιουργήθηκε από τον αριθμό 1 μετά από διαίρεσή του που πραγματοποιήθηκε από εισπνοή απείρου. Το άπειρο εισβάλλει στο αδιαφοροποίητο «είναι», για του Πυθαγόρειους ταυτόσημο με τον αριθμό 1 και το διασπά δημιουργώντας από τη μονάδα τη δυάδα. Στη συνέχεια, δημιουργείται από τη δυάδα η τριάδα, από την τριάδα η τετράδα κτλ. με τρόπο ώστε το Πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί υλοποίηση αυτού που σήμερα ονομάζουμε «σύνολο των φυσικών αριθμών». Το σύμπαν αυτό κατά συνέπεια όφειλε να υπακούει σε σχέσεις, οι οποίες μπορούσαν να εκφραστούν ως σχέσεις φυσικών αριθμών, ενώ κάθε αριθμός αποτελούσε έκφραση και συμβόλιζε διάφορα στοιχεία του σύμπαντος. Οι Πυθαγόρειοι διέκριναν τους αριθμούς σε διάφορα σύνολα και κατηγορίες και μελέτησαν τις ιδιότητες τους, θεμελιώνοντας ουσιαστικά αυτό που στη συνέχεια αποκλήθηκε στα μαθηματικά «Θεωρία Αριθμών». Αντιλαμβάνονταν, όμως, τους αριθμούς ως γεωμετρικά σχήματα, όπως οι ευθείες και οι κύκλοι και αντιστοιχούσαν τον 6

αριθμό 1 στο σημείο, τον αριθμό 2 στην ευθεία γραμμή, τον 3 στο τρίγωνο και το 4 στο τετράεδρο σώμα.. Από μια τέτοια οπτική παρατήρησαν ότι το πλήθος των μονάδων κάθε αριθμού μπορεί να διαταχθεί με τρόπο ώστε να σχηματίζεται ένα γεωμετρικό σχήμα.. Παράδειγμα, το πλήθος των μονάδων των αριθμών 3, 6, 10, 15, μπορεί να σχηματίζει ένα τρίγωνο, οπότε οι αριθμοί αυτοί αποκλήθηκαν «τριγωνικοί». Στη συνέχεια, παρατήρησαν ότι αυτοί οι τριγωνικοί αριθμοί είναι αθροίσματα διαδοχικών φυσικών αριθμών: 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15... Άρα ότι το άθροισμα διαδοχικών αριθμών είναι ένας τριγωνικός αριθμός. Το πλήθος των μονάδων των αριθμών 4, 9, 16,.. μπορεί να σχηματίζει ένα τετράγωνο, οπότε οι αριθμοί αυτοί αποκλήθηκαν «τετραγωνικοί» και οι αριθμοί αυτοί είναι αθροίσματα διαδοχικών περιττών αριθμών: 1 = 1 1 + 3 = 4 =2 2 1 + 3 + 5 = 9 =3 2 1 + 3 + 5 + 7 = 16=4 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25=5 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36=6 2.. 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n-1) = n 2 Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι διέκριναν τους αριθμούς σε πρώτους και σύνθετους και μελέτησαν τις διαφορετικές τους ιδιότητες. Πρώτοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, οι οποίοι διαιρούνται τέλεια μόνο με το 1 και τον εαυτό τους, ενώ σύνθετοι οι αριθμοί, οι οποίοι διαιρούνται τέλεια και με άλλους αριθμούς πέρα από τον εαυτό τους και τη μονάδα.. Εντόπισαν επίσης και αριθμούς οι οποίοι είναι αθροίσματα των διαιρετών τους και τους ονόμασαν «τέλειους» αριθμούς. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το 6, το οποίο διαιρείται με το 1,2 και 3 και είναι ίσο με το άθροισμα των 1+2+3 ή ο αριθμός 28 ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του 1+2+4+7+14. Με την αναγωγή των αριθμών σε γεωμετρικά σχήματα οι Πυθαγόρειοι διατύπωσαν και επαλήθευσαν πολλές μαθηματικές προτάσεις, οι οποίες αργότερα αποδείχθηκαν και ενσωματώθηκαν στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στην ιστορία των μαθηματικών, όμως, οι Πυθαγόρειοι, ταυτίστηκαν με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τη σχέση του μήκους των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου: το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Το θεώρημα αυτό ήταν γνωστό σε παλαιότερους πολιτισμούς, στους Βαβυλώνιους, τους Αιγυπτίους και στους Κινέζους, αλλά ήταν γνωστό ως πρακτική γνώση και όχι ως μια σχέση με γενική ισχύ, δηλαδή ως ένα μαθηματικό θεώρημα. Οι Αιγύπτιοι τοπογράφοι απεικονίζονται σε τοιχογραφίες να μετρούν τεντώνοντας σκοινιά και γνώριζαν ότι αν χωρίσουμε ένα σκοινί στα μήκη τρία, τέσσερα και πέντε, θα πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (επειδή 3 2 +4 2 =5 2 ), γνώριζαν όμως αυτή τη σχέση μόνο γι αυτή τη συγκεκριμένη και ίσως για άλλες συγκεκριμένες τριάδες αριθμών. Το θεώρημα αυτό που τους καταχώρησε στην ιστορία αποτέλεσε, ταυτόχρονα, και τον λόγο κατάρρευσης της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας. Αφού για τους Πυθαγόρειους το σύμπαν 7

εκφράζεται με σχέσεις αριθμών, ποιος αριθμός εκφράζει την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου με πλευρά 1; Απάντηση: κανένας, αφού το μήκος αυτό είναι ίσο με τον άγνωστο στους Πυθαγόρειους αριθμό 2, δηλαδή δεν μπορε ί να γραφεί ως λόγος δύο ακέραιων αριθμών και επομένως είναι ασύμμετρο με τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών του τριγώνου. Αυτή την παρατήρηση και την διαπίστωση ότι υπάρχουν λόγοι μεγεθών οι οποίοι δεν μπορούν να εκφραστούν ως φυσικοί αριθμοί έκανε ο Πυθαγόρειος, ο Ίππασος από το Μεταπόντιο και κατά τον θρύλο δολοφονήθηκε από τους άλλους Πυθαγόρειους για να μην διαρρεύσει η ατέλεια της θεωρίας τους για το σύμπαν. Η διαπίστωση αυτή ότι υπάρχουν μεγέθη που δεν είναι σύμμετρα, που δεν έχουν δηλαδή κοινό μέτρο που να τα μετρά και να δίνει εξαγόμενα ρητούς αριθμούς, προκάλεσε σύμφωνα με μια εκδοχή την πρώτη κρίση στην ιστορία των μαθηματικών. Η Ρωμαϊκή αυτοκρατορία, η οποία κυριαρχεί στον κόσμο διαδεχόμενη τα βασίλεια των επιγόνων του Μ. Αλεξάνδρου επιβάλλει το δικό της αριθμητικό σύστημα βασισμένο σε γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Το σύστημα αυτό περιλαμβάνει τα σύμβολα Ι για το ένα, V για το πέντε, X για το δέκα.,l για το πενήντα, C για το εκατό, D για το πεντακόσια και Μ για το χίλια. Είναι φανερό, όμως, ότι στο Ρωμαϊκό σύστημα γραφής των αριθμών, όπως και στα αριθμητικά συστήματα των άλλων αρχαίων λαών, η γραφή και η ανάγνωση μεγάλων αριθμών είναι εξαιρετικά δυσχερής. Για παράδειγμα, ο αριθμός που στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γράφεται ως 3805 στο αρχαίο Αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης γράφεται ως, στο αρχαίο Ελληνικό σύστημα αρίθμησης γράφεται ως,γωε και στο Ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης γράφεται ως MMMDCCCV. Σε μεγαλύτερο βαθμό όμως, είναι δυσχερής η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, η οποία απαιτεί ιδιαίτερες δεξιότητες και βασικά τη χρήση του άβακα. Η εκτέλεση μιας απλής αριθμητικής πράξης, για παράδειγμα πρόσθεσης δύο αριθμών, απαιτεί χειρισμούς των αντίστοιχων αριθμητικών συμβόλων που δεν είναι καθόλου απλοί χωρίς τη χρήση ενός άβακα Πρόσθεση αριθμών στο δεκαδικό σύστημα στο αρχαίο Αιγυπτιακό σύστημα στο αρχαίο Ελληνικό σύστημα στο Ρωμαϊκό σύστημα 550 φν DL 268 σξη CCLXVIII 818 ωιη DCCCXVIII Οι δυσκολίες αυτές έγιναν έντονα εμφανείς στους πρώτους αιώνες μ. Χ. με την ανάπτυξη των εμπορευματικών δραστηριοτήτων των λαών της Μεσογείου και των αντίστοιχων επιστημονικών και τεχνικών απαιτήσεων της εμπορικής ναυσιπλοΐας. Σ αυτό το οικονομικο-κοινωνικό πλαίσιο υιοθετείται άπό τους Άραβες γύρω στο 700 μ.χ. και διαδίδεται το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και ο αντίστοιχος συμβολισμός των αριθμών, που έχει αναπτυχθεί στην Ινδία μερικούς αιώνες νωρίτερα. Την εποχή εκείνη, τα Ελληνιστικά βασίλεια της Ανατολής και η Ρωμαϊκή αυτοκρατορία έχουν παρακμάσει και οι Άραβες, μέσα από αλλεπάλληλους πολέμους, έχουν σχηματίσει μια αυτοκρατορία που περιελάμβανε τις Ινδίες, τη Μέση Ανατολή, τη Βόρεια Αφρική και την Ισπανία. Με επίκεντρο τη Βαγδάτη αναπτύσσεται ένας νέος πολιτισμός που ενισχύει παράλληλα με το εμπόριο τις τέχνες και τις επιστήμες, αλλά κυρίως αναπτύσσει και διαδίδει τη χρήση του χαρτιού. 8

Οι Άραβες εισάγουν αρχικά στην Ισπανία και στη συνέχεια στην Ιταλία, που αποτελούσε το εμπορικό κέντρο εκείνης της εποχής, το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και μια πρώιμη μορφή των γνωστών σε μας αριθμητικών ψηφίων, μαζί με τις αντίστοιχες τεχνικές που επιτρέπουν την εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων σε χαρτί. Όσο διάστημα η γραφή των κειμένων γίνεται με το χέρι τα σύμβολα των αριθμών μεταβάλλονταν με το πέρασμα του χρόνου. Η μορφή των συμβόλων για τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε σήμερα διαμορφώθηκε και σταθεροποιήθηκε με την εφεύρεση και τη χρήση της τυπογραφίας. Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύστημα θέσης, όπως λέγεται στα μαθηματικά. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμητικό ψηφίο αποκτά διαφορετική αξία όταν καταλαμβάνει διαφορετική θέση στη γραφή ενός αριθμού, αξία η οποία προσδιορίζεται ως πολλαπλάσιο της βάσης. Στο σύστημα αρίθμησης με βάση το δέκα, γι αυτό και λέγεται δεκαδικό σύστημα, η πρώτη θέση στη σειρά γραφής των αριθμητικών ψηφίων ενός αριθμού από δεξιά προς τα αριστερά, αντιστοιχίζεται σε μονάδες (10 0 ),η δεύτερη θέση σε δεκάδες (10 1 ), η τρίτη θέση σε εκατοντάδες (10 2 ), η τέταρτη σε χιλιάδες (10 3 ) κ.ο.κ. Έτσι ο αριθμός 3 στην πρώτη θέση σημαίνει 3, στη δεύτερη 30, στην Τρίτη θέση 300 κ.ο.κ. Παράλληλα, χωρίζοντας με μια υποδιαστολή ή τελεία το ακέραιο από το κλασματικό μέρος ενός αριθμού μπορεί να γράφονται με ανάλογο τρόπο και κλάσματα της ακέραιας μονάδας. Δηλαδή, για το δεκαδικό μέρος ενός αριθμού, η πρώτη θέση στη σειρά αναγραφής των αριθμητικών ψηφίων από αριστερά προς τα δεξιά μετά το σύμβολο της υποδιαστολής, αντιστοιχίζεται σε δέκατα της μονάδας (1/10 ή 10-1 ), η δεύτερη θέση σε εκατοστά της μονάδας (1/100 ή 10-2 ), η τρίτη θέση σε χιλιοστά της μονάδας (1/1000 ή 10-3 ) κ.ο.κ. Παρά τα εμφανή πλεονεκτήματα του στη γραφή και στην ανάγνωση των αριθμών, αλλά κυρίως στην εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων, το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και ο αντίστοιχος συμβολισμός των αριθμών διαδίδεται στη Δυτική Ευρώπη μέσα από μακροχρόνιες σθεναρές αντιστάσεις και επικρατεί τελικά στα μέσα του 15ου αιώνα μ. Χ. Η επίδραση που άσκησε στους επιστημονικούς και εμπορικούς κύκλους της εποχής το βιβλίο Liber Abaci του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο Φιμπονάτσι (Leonardo Fibonacci), το οποίο εκδίδεται αρχικά 1202 μ.χ., θεωρείται από τους ιστορικούς αποφασιστική για την επικράτηση του δεκαδικoύ συστήματος αρίθμησης και του αντίστοιχου συμβολισμού των αριθμών στην Ευρώπη. Ο Φιμπονάτσι για να επιδείξει τα υπολογιστικά πλεονεκτήματα του νέου αριθμητικού συστήματος περιλαμβάνει στο βιβλίο του προβλήματα τα οποία απαιτούν σύνθετους υπολογισμούς, εξαιρετικά δυσχερείς στην εκτέλεση τους με τα ρωμαϊκά αριθμητικά σύμβολα, όπως το πρόβλημα των κουνελιών. «Ένας άνθρωπος έχει ένα ζευγάρι κουνελιών μαζί σε έναν ορισμένο κλειστό χώρο και κάποιος θέλει να μάθει πόσα γεννώνται από αυτό το ζευγάρι σε ένα χρόνο: όταν από τη φύση τους σε ένα μήνα γεννούν ένα ζευγάρι. Και το δεύτερο μήνα αυτά που γεννήθηκαν γεννούν επίσης». 9

Ενώ ο Φιμπονάτσι γράφει το Βιβλίο των Υπολογισμών στη Λατινική γλώσσα των επιστημόνων και διανοουμένων της εποχής του, ο Ολλανδός έμπορος Σίμον Στέβιν γράφει τρεις αιώνες μετά, στα μέσα του 16 ου αιώνα, την Αριθμητική του σε Γαλλική γλώσσα και το βιβλίο κατακτάει τεράστια αναγνωσιμότητα, όπως συνάγεται από τις πολλές εκδόσεις του. Η Αριθμητική του Στέβιν ακολουθεί την Ευκλείδεια λογική της μαθηματικής γραφής αρχίζοντας με ορισμούς, όπως «Ορισμός Ι. Αριθμητική είναι η επιστήμη των αριθμών. Ορισμός ΙΙ. Αριθμός είναι αυτό το οποίο εκφράζει την ποσότητα κάθε πράγματος. Ορισμός ΙΙΙ. Οι χαρακτήρες με τους οποίους δηλώνονται οι αριθμοί είναι δέκα: συγκεκριμένα 0 σημαίνει την αρχή του αριθμού, Και 1, Και 2, Και 3, Και 4, Και 5, Και 6, Και 7, Και 8, Και 9.» Τελικά, όμως, το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης επιβάλλεται στην Ευρώπη, όχι με την επικράτηση του στις επιστημονικές πρακτικές και στις εμπορικές συναλλαγές, αλλά με μια απολύτως πολιτική απόφαση. Το 1791 η Γαλλική Εθνοσυνέλευση, η οποία είχε εγκαθιδρυθεί από την επανάσταση δύο χρόνια νωρίτερα υιοθέτησε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και απαγόρευσε τη χρήση του άβακα στις δημόσιες υπηρεσίες και στα σχολεία της Γαλλίας. 10

2. Διακριτό και συνεχές: από τον Ζήνωνα στον Ντέντεκιντ Κάθε χαρακτηριστικό ενός αντικειμένου ή ενός συνόλου αντικειμένων, το οποίο μεταβάλλεται μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέγεθος, όταν οι διαφορετικές περιπτώσεις των μεταβολών του επιδέχονται μια σχέση ισότητας, η οποία καθορίζει πότε δύο διαφορετικές περιπτώσεις είναι μεταξύ τους ίσες ή άνισες καθώς και μια σχέση διάταξης, η οποία καθορίζει ποια από δύο διαφορετικές περιπτώσεις είναι μεγαλύτερη, και αντίστοιχα μικρότερη, της άλλης. Σε μια τέτοια περίπτωση είναι δυνατή μια μορφή μέτρησης των μεταβολών ενός χαρακτηριστικού ενός αντικειμένου ή ενός πλήθους αντικειμένων και η αντιστοίχηση του σε ένα σύνολο αριθμών, οπότε και το χαρακτηριστικό αυτό αποτελεί ένα μέγεθος. Ένα μέγεθος είναι διακριτό, όταν τα στοιχεία που το συνθέτουν διακρίνονται σαφώς μεταξύ τους και εμφανίζονται ως ένα πλήθος, ενώ αντίθετα είναι συνεχές, όταν τα στοιχεία που συνθέτουν δεν διακρίνονται σαφώς μεταξύ τους και εμφανίζονται ως ένα φαινομενικά αδιαίρετο όλο. Το πλήθος των κατοίκων μιας πόλης για παράδειγμα είναι μέγεθος διακριτό, ενώ η ποσότητα του νερού μιας δεξαμενής είναι μέγεθος συνεχές. Επειδή τα στοιχεία που συνθέτουν ένα διακριτό μέγεθος μπορεί να θεωρηθούν ως σαφώς καθορισμένες μονάδες, το αντίστοιχο μέγεθος εκφράζεται κατά κανόνα ως ένας φυσικός αριθμός. Αντίθετα, επειδή τα στοιχεία που συνθέτουν ένα συνεχές μέγεθος δεν διακρίνονται σαφώς μεταξύ τους, προαπαιτείται η επιλογή μιας μονάδας και μιας διαδικασίας μέτρησης, η οποία καταλήγει σε έναν ακέραιο ή και κλασματικό αριθμό, ο οποίος στα μαθηματικά αποκαλείται ρητός αριθμός ή και στην πιο γενική μορφή του αριθμού, του πραγματικού αριθμού. Οι διαφορές, όμως, συνεχών και διακριτών μεγεθών και κατά συνέπεια ρητών και φυσικών αριθμών είναι τεράστιες και πολύ σημαντικές για τα μαθηματικά. Όπως, μεταξύ δύο οιωνδήποτε ρητών αριθμών υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί ή στη μαθηματική γλώσσα το σύνολο των ρητών είναι πυκνό, ενώ μεταξύ δύο οιωνδήποτε φυσικών αριθμών δεν υπάρχουν άπειροι αριθμοί.. Αυτό σημαίνει ότι ένα συνεχές μέγεθος μπορείτε να διαιρείται σε μέρη επ άπειρον, ένα φύλλο χαρτιού μπορεί να διπλώνεται στη μέση και ξανά στη μέση θεωρητικά όσες φορές θέλουμε. Αντίθετα, ένα διακριτό μέγεθος διαιρείται σε ορισμένα μόνο μέρη ή μονάδες, δέκα καραμέλες μοιράζονται σε δέκα, σε πέντε ή σε δύο παιδιά. Αυτή η ιδιότητα της «πυκνότητας» έχει ως συνέπεια να μην υπάρχει ένα μοναδικό επόμενο σημείο για κάθε σημείο ενός συνεχούς μεγέθους και αντίστοιχα να μην υπάρχει ένας μοναδικός επόμενος αριθμός για κάθε ρητό αριθμό. Επόμενος φυσικός αριθμός του 3 είναι ένας και μοναδικός το 4, ενώ ο επόμενος ρητός αριθμός του 3 δεν είναι ένας και μοναδικός. Επόμενος του 3 μπορεί να θεωρηθεί ο 3,1 ή ο 3,09 ή 3,009 ή κάποιος άλλος από τους άπειρους ρητούς αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 3 και του 4. Η πιο σημαντική, όμως, από ιστορική άποψη διαφορά επειδή αποτέλεσε αντικείμενο προβληματισμών που οδήγησαν σε νέες μαθηματικές επινοήσεις είναι η εξής. Ενώ ο λόγος δύο οιωνδήποτε διακριτών μεγεθών εκφράζεται πάντοτε ως σχέση δύο φυσικών αριθμών, ο λόγος δύο οιωνδήποτε συνεχών μεγεθών δεν εκφράζεται πάντοτε ως σχέση δύο φυσικών αριθμών ή με άλλα λόγια το ένα μέγεθος δεν είναι πάντα πολλαπλάσιο ή κλάσμα του άλλου μεγέθους. Αυτό το παρατηρούν πρώτοι οι Πυθαγόρειοι, οι οποίοι μελετώντας τις σχέσεις των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου αντιλαμβάνονται ότι υπάρχουν μήκη γραμμών, τα οποία δεν είναι δυνατόν να μετρηθούν. Δεν μπορεί να βρεθεί ένα μήκος το οποίο χρησιμοποιούμενο ως μονάδα να δίνει αποτέλεσμα της μέτρησης εκφρασμένο με έναν φυσικό αριθμό ή με το λόγο δύο φυσικών αριθμών, ως ένα ρητό αριθμό, όπως ονομάστηκαν οι αριθμοί αυτοί σε μια επόμενη ιστορική περίοδο. Υπάρχουν, δηλαδή, συνεχή μεγέθη τα οποία δεν έχουν δηλαδή κοινό μέτρο που να τα μετρά και να δίνει εξαγόμενα ρητούς αριθμούς, δεν είναι σύμμετρα μεταξύ τους. Η υποτείνουσα ενός 11

ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 1 δεν μπορεί να εκφραστεί ως ένας ρητός αριθμός. Το μήκος της είναι ίσο με τον άγνωστο στους Πυθαγόρειους άρρητο αριθμό 2 = 1,4142135623730950488016887242097.. Όπως ο Πρόκλος αφηγείται σχολιάζοντας το 1 ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη «Ηλθον δε την αρχήν ἐπί τήν τῆς συμμετρίας ζήτησιν οί Πυθαγόρειοι πρῶτοι αυτήν εξευρόντες εκ τῆς των αριθμών κατανοήσεως. Κοινού γαρ απάντων οντος μέτρου της μονάδος και επί τῶν μεγεθῶν κοινόν μέτρον ευρεῖν ουκ ηδυνήθησαν». Αυτή η διαπίστωση αποτέλεσε αντικείμενο προβληματισμού όλων των μαθηματικών και φιλοσόφων του αρχαίου ελληνικού κόσμου και τον βασικό λόγο για τον οποίο τα αρχαιοελληνικά μαθηματικά αναπτύχθηκαν αποκλειστικά στο πεδίο της γεωμετρίας, αποφεύγοντας μετρήσεις και αριθμητικές εκφράσεις μεγεθών. Χαρακτηριστικό του τρόπου προσέγγισης των προβλημάτων που έθετε η μέτρηση συνεχών μεγεθών και της γεωμετρικής επίλυσης τους αποτελεί το περίφημο πρόβλημα «διπλασιασμού του τετραγώνου», το οποίο χρησιμοποιεί ο Πλάτωνας στον διάλογο του Μένων για να εκθέσει τη θεωρία του ότι η αρετή δεν μπορεί να διδαχθεί στους ανθρώπους. Ο Πλάτωνας έγραψε ένα μεγάλο μέρος του έργου του με τη μορφή συζητήσεων, διαλόγων, μεταξύ του παλιού του δασκάλου Σωκράτη και διάφορων άλλων προσώπων, όπως ο Φαίδων και ο Μένων. Στο διάλογο Μένων συμμετέχουν ο Σωκράτης, ο Θεσσαλός άρχοντας Μένων, το παιδί του σπιτιού, δηλαδή ο δούλος, του Μένωνα και ο Αθηναίος πολιτικός Άνυτος. Το πρόβλημα του «διπλασιασμού του τετραγώνου» απαιτεί την εύρεση της πλευράς ενός τετραγώνου το οποίο θα έχει εμβαδόν διπλάσιο από ένα δοσμένο τετράγωνο. Στο διάλογο του Πλάτωνα ο Σωκράτης επιχειρεί να αποδείξει ότι ο αγράμματος δούλος του Μένωνα μπορεί να λύσει αυτό το πρόβλημα «ενθυμούμενος» τις υποσυνείδητες γεωμετρικές του γνώσεις, αφού πρώτα οδηγηθεί σε ένα λανθασμένο συμπέρασμα, το οποίο θα διορθώσει στη συνέχεια: Σωκράτης: Πες μου λοιπόν παιδί μου, ξέρεις ότι μια επιφάνεια σαν αυτή είναι τετράγωνο; Παιδί: Το ξέρω. Σωκράτης: Ξέρεις, ακόμη, ότι ένα τετράγωνο σχήμα έχει και τις τέσσερες αυτές γραμμές ίσες; Παιδί: Ασφαλώς. Σωκράτης: Και αυτές τις γραμμές που τις έφερα από τον μέσον είναι επίσης ίσες: Παιδί: Ναι. Σωκράτης: Μπορεί ένα τετράγωνο να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο; Παιδί: Βέβαια Σωκράτης: Αν αυτή η πλευρά του τετραγώνου είναι 2 πόδες και η άλλη πλευρά 2 πόδες, πόσες πόδες είναι η επιφάνεια όλουτουτετραγώνου; Πρόσεξε. Αν αυτή η πλευρά είναι 2 πόδες και η άλλη μόνον 1, τότε όλη η επιφάνεια δεν θα είναι 2; 12

Παιδί: Ναι. Σωκράτης: Επειδή και η άλλη πλευρά είναι 2 πόδες δεν θα είναι διπλάσιο των 2 ποδών; Παιδί: Ναι. Σωκράτης: Άρα είναι 2 πόδες επί 2; Παιδί: Ναι Σωκράτης: Πόσο είναι το 2 φορές το 2; Λογάριασε και πες μου. Παιδί: Τέσσερα, Σωκράτη Σωκράτης: Μπορεί να υπάρχει άλλο τετράγωνο, το οποίο να έχει διπλάσια επιφάνεια από αυτό εδώ και όπως αυτό να έχει όλες τις γραμμές ίσες. Παιδί: Ναι. Σωκράτης: Πόσων ποδών θα είναι; Παιδί: Οκτώ Σωκράτης: Και τώρα μπορείς να μου πεις πόσο θα είναι το μήκος εκείνης της γραμμής, η οποία θα είναι πλευρά αυτού του τετραγώνου με η διπλάσια επιφάνεια; Αυτού εδώ του τετραγώνου είναι 2 πόδες, πόσο θα είναι εκείνου του διπλασίου. Ο διάλογος συνεχίζεται με το παιδί να δηλώνει ότι το τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδόν, δηλαδή 8, θα πρέπει να έχει πλευρά με διπλάσιο μήκος από την πλευρά του τετραγώνου με εμβαδόν 4, άρα πλευρά μήκους 4 πόδες. Ο Σωκράτης μέσα από υπολογισμούς οδηγεί το παιδί να καταλάβει ότι όταν η πλευρά ενός τετραγώνου διπλασιάζεται το εμβαδόν του τετραπλασιάζεται και τότε το παιδί προτείνει να θεωρήσει ως πλευρά του ζητούμενου τετραγώνου ένα μήκος μιάμιση φορά μεγαλύτερο από την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, δηλαδή 2+1=3. Αλλά και σ αυτή την περίπτωση το εμβαδόν του νέου τετραγώνου είναι 3Χ3=9 και όχι 8, όπως το ζητούμενο. Παιδί Σωκράτης Παιδί Τελικά ο Σωκράτης δείχνει στο παιδί τη λύση τουπροβλήματος. Σχεδιάζει τέσσερα τετράγωνα, το καθένα με μήκος πλευράς 2 πόδες, τα οποία τοποθετημένα μαζί σχηματίζουν ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 4 πόδες. Φέρνει στη συνέχεια μια διαγώνιο στο κάθε τετράγωνο, έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα άλλο τετράγωνο. Αυτό το τετράγωνο έχει εμβαδόν 8 (τετραγωνικούς) πόδες, άρα το ζητούμενο διπλάσιο του τετραγώνου με εμβαδόν 4 (τετραγωνικούς) πόδες. 13

Όλη αυτή η γεωμετρική κατασκευή γιατί το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου με εμβαδόν 8 είναι ίσο με τον ανύπαρκτο για τους Πυθαγόρειους άρρητο αριθμό 8 = 2,8284271247461900976033774484194. Πως, όμως, αντιλαμβάνονταν η ελληνική αρχαιότητα τη σχέση του συνεχούς με το διακριτό? Υπάρχουν στοιχεία ότι κατά τον 5 ο αιώνα π.χ αναπτύχθηκαν δύο σχολές σκέψης με επίκεντρο το πρόβλημα της δυνατότητας ή μη να διαιρείται ένα μέγεθος επ άπειρον. Η μια ισχυριζόταν ότι τα μεγέθη είναι επ άπειρον διαιρετά με κατάληξη το άϋλο σημείο ή διαφορετικά ότι το συνεχές δεν είναι δυνατόν να αποτελείται από διακριτά μέρη. Κύριος υποστηρικτής της άποψης αυτής ήταν ο Αναξαγόρας, ο οποίος διατύπωσε και την άποψη ότι ««Μεταξύ των μικρών, δεν υπάρχει το ελάχιστο, αλλά πάντα κάτι μικρότερο. Γιατί ό,τι είναι δεν παύει να είναι όσες φορές και αν υποδιαιρεθεί». Η δεύτερη σχολή σκέψης επηρεασμένη από τους Πυθαγόρειους πίστευε στην ύπαρξη ελάχιστων και αδιαίρετων σωματιδίων, «άτμητων» κατά την έκφραση τους και επομένως στη δυνατότητα μετατροπής ενός συνεχούς μεγέθους σε σύνολο διακριτών στοιχείων. Η σκέψη αυτή αναπτύχθηκε από τον Λεύκιππο και τον Δημόκριτο. Η αντίθεση ανάμεσα στις δύο φιλοσοφικές σχολές οξύνθηκε στα μέσα του 5 ου αιώνα, όταν ο Ελεάτης φιλόσοφος Ζήνωνας διατύπωσε τα περίφημα παράδοξά του τα περιγράφονται από τον Αριστοτέλη στο έργο του Φυσική Ακρόασις Α. Ο Ζήνωνας αντιτίθεται στον ισχυρισμό ότι ένα συνεχές μέγεθος μπορεί να διαιρεθεί σε άπειρα μέρη διατυπώνοντας τον ακόλουθο συλλογισμό: Ότι έχει έκταση συνίσταται από άπειρα μέρη. Τα άπειρα στο πλήθος μέρη τα οποία προκύπτουν από την επ άπειρο διαίρεση ενός μεγέθους ή έχουν μέγεθος ή δεν έχουν μέγεθος, το οποίο είναι αδύνατον. Αν, όμως, έχουν μέγεθος, έστω και ελάχιστο πάντως όχι μηδενικό, τότε προσθέτοντας άπειρα μέρη θα έχουμε ως άθροισμα ένα άπειρο μέγεθος και όχι το αρχικό μέγεθος το οποίο ήταν πεπερασμένο. Αν, αντίθετα, δεχθούμε ότι δεν έχουν μέγεθος τότε το άθροισμά τους θα είναι μηδενικό και όχι το αρχικό μέγεθος από τη διαίρεση του οποίου προέκυψαν. Ο συλλογισμός αυτός μεταφέρεται στο γνωστό παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας, το οποίο ισχυρίζεται ότι σε έναν αγώνα δρόμου μεταξύ του Αχιλλέα, του καλύτερου δρομέα της μυθολογίας και μιας χελώνας η οποία έχει προβάδισμα ενός σταδίου, ο Αχιλλέας δεν θα μπορέσει να φτάσει ποτέ τη χελώνα. Αν θεωρήσουμε ότι ο Αχιλλέας είναι 100 φορές πιο γρήγορος από τη χελώνα, τότε όταν ο Αχιλλέας θα έχει διανύσει ένα στάδιο, η χελώνα θα έχει διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό του σταδίου. Όταν ο Αχιλλέας διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό του σταδίου, η χελώνα θα έχει διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό και ένα εκατοστό του εκατοστού του σταδίου κ.ο.κ.. Επομένως η χελώνα πάντα θα προπορεύεται, επομένως ο Αχιλλέας δε μπορεί να την φτάσει. Στην πραγματικότητα, όμως, αν υποθέσουμε ότι η χελώνα έχει προβάδισμα 100 μέτρων και ότι η ταχύτητα του Αχιλλέα είναι 10 μέτρα/δευτερόλεπτο ενώ της χελώνας, είναι 1 μέτρο/δευτερόλεπτο, τότε ο Αχιλλέας θα διανύσει την απόσταση των 100 μέτρων σε 14

χρόνο 10 δευτερολέπτων, αφού όπως ξέρουμε από το σχολείο η απόσταση = ταχύτητα X. χρόνος, άρα ο χρόνος με τον οποίο διανύουμε μια απόσταση είναι ίσος με την απόσταση/ταχύτητα και εδώ 100 μέτρα / 10 μέτρα/δευτερόλεπτο = 10 δευτερόλεπτα. Ο χρόνος t του Αχιλλέα θα δίνεται από τη σχέση t=10+1+ 1 / 10 +...+ 1 / 10ν. Η σειρά αυτή έχει πεπερασμένο άθροισμα ίσο με t=11 1/9 δευτερόλεπτα, χρόνο στον οποίο ο Αχιλλέας θα φθάσει τη χελώνα. Σχολιάζοντας το παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας ο φιλόσοφος Μπέρναρντ Ράσελ (Bernard Russell) διαπιστώνει ότι το παράδοξο προέρχεται από την ένα προς ένα αντιστοίχηση των σημείων στα οποία βρίσκεται ο Αχιλλέα με τα σημεία στα οποία βρίσκεται η χελώνας, ενώ και οι δύο βρίσκονται σε κίνηση. Κάθε μια χρονική στιγμή της κίνησης τους ο Αχιλλέας βρίσκεται σε ένα σημείο θέση και η χελώνα σε ένα άλλο και βέβαια δεν είναι ποτέ δυνατόν ούτε για τον Αχιλλέα ούτε για τη χελώνα να βρίσκονται στο ίδιο ακριβώς σημείο δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές, αφού κινούνται. Άρα ο αριθμός των σημείων από τα οποία περνάει ο Αχιλλέας, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων από τα οποία περνάει η χελώνα. Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάσει την χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων από τα οποία περνάει ο Αχιλλέας θα είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των σημείων από τα οποία πέρασε ή χελώνα, αφού ο Αχιλλέας πρέπει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από την χελώνα. Έτσι κατά τον Ράσελ, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το παράδοξο των συνόλων απείρου πλήθους. Ο αριθμός των σημείων από τα όποια έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων από τα οποία έχει περάσει η χελώνα και την ίδια στιγμή ο αριθμός των σημείων από τα όποια έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των σημείων από τα οποία έχει περάσει η χελώνα στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει την χελώνα. Αυτό όμως είναι μία αντίφαση. Όπως, όμως, απέδειξε ο Κάντορ, βέβαια μόλις τον 19 ο αιώνα, επειδή το σύνολο των σημείων μιας απόστασης είναι άπειρο τα άπειρα υποσύνολα τους έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων με το όλο και αυτό είναι μια από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες των συνόλων με άπειρο πλήθος μελών. Παρόμοιο με το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας είναι και το παράδοξο της διχοτομίας του Ζήνωνα, το οποίο ισχυρίζεται ότι ένα κινούμενο αντικείμενο, ένα βέλος, προτού φθάσει στον προορισμό του πρέπει να διανύσει τη μισή απόσταση και πιο πριν το ένα τέταρτο της απόστασης, ακόμη πιο πριν το ένα όγδοο της απόστασης και ούτω καθ' εξής. Εφόσον ο χώρος είναι διαιρετός επ' άπειρον η διαδικασία αυτή δεν θα τελειώσει ποτέ, άρα και το βέλος δεν πρόκειται να φθάσει στον προορισμό του. Η πρώτη μαθηματική απάντηση στα παράδοξα του Ζήνωνα δόθηκε από την Πλατωνική σχολή με την περίφημη «μέθοδος της εξάντλησης», όπως ονομάστηκε από τους ιστορικούς των μαθηματικών, μέθοδος η οποία αποδίδεται στον Εύδοξο (408 355 π.χ.). Η μέθοδος αυτή δέχεται την ιδέα της άπειρης διαιρετότητας των μεγεθών έχοντας ως βασική της παραδοχή την Πρόταση 1 του 10ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη: Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους. Σε μετάφραση «Έστω δύο άνισα μεγέθη. Αν από το μεγαλύτερο αφαιρέσουμε ένα μέγεθος μεγαλύτερο από το μισό του και από αυτό που μένει ένα μέγεθος μεγαλύτερο από το μισό του και αν αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνεχώς θα μείνει ένα μέγεθος το οποίο θα είναι μικρότερο από το μικρότερο αρχικό μέγεθος». Η «μέθοδος της εξάντλησης» εννοεί ότι μέσα από μια διαδικασία αφαιρέσεων ή υποδιαιρέσεων ενός δεδομένου συνεχούς μεγέθους μπορούμε να «εξαντλήσουμε» αυτό το μέγεθος ή με άλλα λόγια να υποδιαιρέσουμε αυτό το μέγεθος σε άπειρα μέρη, όσο μικρά θέλουμε και έτσι έδωσε μια καταφατική απάντηση στο ερώτημα που έμμεσα έθεσε ο 15

Ζήνωνας «Είναι δυνατόν να έχουμε άθροισμα με άπειρους προσθετέους και να πάρουμε αποτέλεσμα έναν πεπερασμένο πραγματικό αριθμό;» Έναν αιώνα μετά τον Εύδοξο, ο Αρχιμήδης (3 ος αιώνας π.χ.) χρησιμοποιεί τη «μέθοδο της εξάντλησης» για να υπολογίσει το εμβαδόν καμπυλόγραμμων επιφανειών, εισάγοντας στα μαθηματικά την αρχική ιδέα του ολοκληρώματος. Παράγωγα της σχέσης διακριτού και συνεχούς είναι οι έννοιες όριο και ακολουθία, οι οποίες αποτέλεσαν θεμελιώδεις της μαθηματικής ανάλυσης, όταν τα μαθηματικά από το 18 ο αιώνα και μετά επικεντρώθηκαν στη μελέτη της κίνησης και των καμπυλών, τροχιών κινουμένων σωμάτων. Ας θυμηθούμε από τα σχολικά μαθηματικά τι είναι το όριο για να κατανοήσουμε την άμεση συνάφεια του με τα συνεχή μεγέθη. Ας σκεφτούμε ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο και αμέσως μετά ένα οκτάγωνο, ένα δεκαεξάγωνο κ.ο.κ. μια ακολουθία πολυγώνων εγγεγραμμένων σε έναν κύκλο. Όσο ο αριθμός των πλευρών των πολυγώνων μεγαλώνει η=32, 64, 128,.. το εμβαδόν του πολυγώνου προσεγγίζει το εμβαδόν του κύκλου. Το εμβαδόν του κύκλου είναι το όριο του εμβαδού της ακολουθίας των πολυγώνων. Βέβαια, το εμβαδόν του κύκλου δεν θα εξισωθεί ποτέ με το εμβαδόν ενός πολυγώνου, μπορεί όμως να γίνει μικρότερο από οιονδήποτε αριθμό, ας πούμε τον 0.00000000000000000000000001 και αυτή είναι η έννοια του ορίου. Η διαφορά των δύο εμβαδών μπορεί να γίνει μικρότερη από οιονδήποτε αριθμό. Αυτή είναι και η λογική της «μεθόδου της εξάντλησης» και με παρόμοιο τρόπο χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη για να υπολογίσει εμβαδά σχημάτων και όγκους στερεών με καμπυλόγραμμες πλευρές. Ποιο είναι, όμως, το μέτρο του συνεχούς; ποιοι αριθμοί μπορούν να εκφράσουν το αποτέλεσμα της μέτρησης οιουδήποτε συνεχούς μεγέθους; Μόνον οι αποκαλούμενοι στα μαθηματικά «Πραγματικοί αριθμοί». Δηλαδή, όλοι οι φυσικοί αριθμοί και όλοι οι κλασματικοί αριθμοί, θετικοί και αρνητικοί, αλλιώς ρητοί αριθμοί και όλοι οι άρρητοι αριθμοί μαζί. Ο μαθηματικός ορισμός, όμως, των πραγματικών αριθμών δεν είναι απλός και για χρόνια απασχόλησε τους μαθηματικούς, αφού το κύριο πρόβλημα ήταν ο ορισμός της έννοιας του άρρητου αριθμού. Ας σκεφτούμε μια ευθεία γραμμή πάνω στην οποία έχει οριστεί μια φορά, ας πούμε από αριστερά προς τα δεξιά, μια αρχή η οποία αντιστοιχεί στο σημείο 0 και ένα τμήμα το οποίο αντιστοιχεί σε μια μονάδα μέτρησης (0-1). Τότε σε κάθε ρητό αριθμό Ρ είναι εύκολο και δυνατόν να αντιστοιχιστεί ένα σημείο Α της ευθείας ή ένα ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ, οπότε και ο αριθμόςρ είναι το μήκοςτου προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ. Είναι ΟΑ = 3. Το αντίστροφο όμως δεν είναι πάντοτε δυνατόν. Δεν είναι, δηλαδή, πάντοτε δυνατόν σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα ή σε κάθε μήκος να αντιστοιχιστεί ένα ρητός αριθμός. Είδαμε ότι ένα μήκος ίσο με τη διαγώνιο ενός τετραγώνου με μοναδιαία πλευρά δεν είναι δυνατόν να αντιστοιχιστεί σε κανένα ρητό αριθμό, αφού είναι ίσο με 2. Η διαδικασία επέκτασης της έννοιας του αριθμού από τους ρητούς στους πραγματικούς αριθμούς ισοδυναμεί μεταφορικά με τη διαδικασία προσδιορισμού της θέσης ενός τυχόντος σημείου μιας ευθείας γραμμής με μόνο μέσο τα ρητά σημεία της. Ζητούμενο, όμως, για χρόνια υπήρξε 16

ένας τυπικός ορισμός του πραγματικού αριθμού, ο οποίος τελικά κατορθώθηκε μέσα από δύο - εννοιολογικά και τεχνικά - σύνθετες κατασκευαστικές διαδικασίες. Η πρώτη διαδικασία αποκλήθηκε μέθοδος του κιβωτισμού διαστημάτων και επινοήθηκε από τον Georg Cantor (1845-1918). Η προσέγγιση αυτή ορίζει κάθε πραγματικό αριθμό ως το κοινό στοιχείο μιας ακολουθίας διαστημάτων ρητών αριθμών και σε γενικές γραμμές η βασική λογική είναι η εξής: Για ένα τυχόν σημείο ρ της ευθείας είναι δυνατός ο προσδιορισμός δυο αυθαίρετα κοντινών ρητών σημείων α και β τέτοιων ώστε το ρ να κείται μεταξύ τους. Συνεχίζοντας απεριόριστα αυτή τη διαδικασία προσεγγιστικού προσδιορισμού του σημείου p με τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε διαδοχικό βήμα η ακρίβεια να αυξάνεται όλο και περισσότερο, θα προκύψει τελικά μια ακολουθία διαστημάτων με άκρα ρητά σημεία της ευθείας και μήκος που τείνει στο μηδέν όταν το πλήθος των διαστημάτων τείνει στο άπειρο. Μια τέτοια ακολουθία διαστημάτων αποδεικνύεται ότι προσδιορίζει μονοσήμαντα το σημείο ρ (δηλαδή τον πραγματικό αριθμό ρ) ως κοινό σημείο των διαστημάτων αυτών. Παράδειγμα: Ποιος αριθμός είναι ο 2; Ο αριθμός 2 μεγαλύτερος του 1 και μικρότερος του αριθμού2. Διαιρούμε το διάστημα [1,2] στη μέση [1, 3 / 2 ] και [ 3 / 2, 2]. Ο 2 βρίσκεται στο διάστημα [1, 3 / 2 ]. Διαιρούμε το διάστημα [1, 3 / 2 ] στη μέση [1, 5 / 4 ] και [ 5 / 4, 3 / 2 ]. Ο 2 βρίσκεται στο διάστημα [ 5 / 4, 3 / 2 ]. 17

Συνεχίζοντας τη διαδικασία διαπιστώνουμε ότι ο 2 βρίσκεται στο διάστημα [ 7 / 5, 3 / 2 ] και τελικά καταλήγουμε στο 2 = 1,4142135623730950488016887242097. Η δεύτερη διαδικασία ορισμού των πραγματικών αριθμών έγινε γνωστή ως «μέθοδος των τομών» και επινοήθηκε από τον Richard Dedekind (1831-1916). Στην προσέγγιση αυτή κάθε πραγματικός αριθμός ορίζεται ως μια μη πεπερασμένη κλάση ρητών αριθμών με συγκεκριμένες ιδιότητες. Η βασική λογική της «μεθόδου των τομών» είναι η ακόλουθη: Για ένα τυχόν σημείο ρ της ευθείας είναι δυνατή η διαμέριση όλων των ρητών της σημείων σε δύο μέρη. Ένα μέρος Α που περιλαμβάνει όλα τα σημεία που κείνται αριστερά του ρ και ένα μέρος Β που περιλαμβάνει όλα τα σημεία που κείνται δεξιά του ρ. Το ίδιο το σημείο ρ αν είναι ρητό τοποθετείται σε οποιοδήποτε από τα δύο μέρη. Κάθε αριθμός της τάξης Α είναι μικρότερος κάθε αριθμού της τάξης Β. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που δεν μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό που να ανήκει στην τάξη Α και να είναι μεγαλύτερος όλων των αριθμών της τάξης αυτής. Ούτε ένα αριθμό στην τάξη Β μικρότερο όλων των αριθμών της Β. Μπορούμε να θεωρήσουμε, ότι σημείο της ευθείας (δηλαδή κάθε πραγματικός αριθμός) ορίζει μια «τομή» στο σύνολο των ρητών σημείων (δηλαδή αντίστοιχα στο σύνολο των ρητών αριθμών) και να πάρουμε εκείνες τις τομές του συνόλου των ρητών αριθμών, των οποίων η πρώτη κλάση δεν περιέχει μέγιστο στοιχείο. Τότε κάθε πραγματικός αριθμός ρ ορίζεται ως ένα μη πεπερασμένο σύνολο ρητών αριθμών, το οποίο δεν περιέχει μέγιστο στοιχείο. Παράδειγμα, στο διάστημα Α από το 0 μέχρι και τον αριθμό 2 δεν υπάρχει δεξιά ακραίο σημείο, δηλαδή στην κλάση των αριθμών Α οι οποίοι αντιστοιχούν στο διάστημα αυτό δεν υπάρχει μέγιστος αριθμός, αφού πάντα υπάρχει ένας αριθμός επόμενος του 2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247 846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412 149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597 027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362 799525140798968725339654633180882964062061525835239505474575028775996 Επομένως, κάθε σημείο μιας ευθείας γραμμής αντιστοιχεί ή σε έναν ρητό ή σε έναν άρρητο αριθμό. 18

Μεταξύ των πιο διάσημων άρρητων αριθμών περιλαμβάνονται ο αριθμός π = 3.1415926535897932384626433832795.. το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου μετρημένο με μονάδα τη διάμετρο του και ο αριθμός φ = 1.61803398874989484820... ο οποίος εκφράζει το σημείο στο οποίο πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο, γνωστό ως «χρυσή τομή». 19

3. Θετικός και αρνητικός αριθμός Η έννοια του "αριθμού" είναι μια από τις πρωταρχικές και πιο βασικές έννοιες των μαθηματικών, αλλά η απάντηση στο ερώτημα τι είναι αριθμός; δεν είναι ούτε απλή ούτε μονοσήμαντη. Γι αυτό και ο ορισμός της έννοιας του αριθμού έχει αποτελέσει και αποτελεί αντικείμενο διαφορετικών προσεγγίσεων, τόσο με μαθηματικούς, όσο και με φιλοσοφικούς όρους. Απαντήσεις του τύπου αριθμός είναι αυτό που εκφράζει το πλήθος ή το μέγεθος μιας οντότητας δεν αποτελούν ορισμούς, αλλά περιγραφικούς χαρακτηρισμούς του περιεχομένου της έννοιας του αριθμού. Άλλωστε πολλές άλλες έννοιες, εκτός του αριθμού, εκφράζουν το πλήθος ή το μέγεθος μιας οντότητας. Σε μια πρώτη και πολύ γενική προσέγγιση, η αρχική έννοια του αριθμού (του φυσικού αριθμού όπως τυπικά αποκαλείται στα μαθηματικά), αναφέρεται προσδιοριστικά σε μια έκφραση του πλήθους μιας πολλαπλότητας διακριτών στοιχείων, ανεξάρτητα από τα ποιοτικά χαρακτηριστικά και τις σχετικές τους θέσεις (πληθική έννοια του αριθμού) και ταυτόχρονα ή παράλληλα σε μια έκφραση της σχετικής θέσης ενός συγκεκριμένου στοιχείου σε μια σειρά στην οποία έχει διευθετηθεί μια πολλαπλότητα διακριτών στοιχείων, ανεξάρτητα από τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους (διατακτική έννοια του αριθμού). Το κάθε συγκεκριμένο πλήθος στοιχείων ή η κάθε σχετική θέση ενός συγκεκριμένου στοιχείου σε μια καθορισμένη σειρά αντιστοιχίζεται και εκφράζεται σε μονοσήμαντες γλωσσικές και συμβολικές διατυπώσεις (τρία, three, trois, tres, drei, tri,, ΙΙΙ,, ή 3). Οι συμβολικές αυτές εκφράσεις αποκαλούνται στα πλαίσια της καθημερινότητας αριθμοί. Ουσιαστικά όμως, αποτελούν αριθμητικές συμβολικές σημάνσεις, αριθμητικά σύμφωνα με το λεξιλόγιο της ελληνικής γλώσσας, οι οποίες και επιβάλλεται να διακρίνονται από, και να μην συγχέονται με, τις σημαινόμενες έννοιες του αριθμού. Για μια μεγάλη ιστορική περίοδο κυριάρχησε μία καθαρά λειτουργική προσέγγιση της έννοιας του αριθμού και με την έννοια "αριθμός" εννοούνταν μόνο αυτό που σήμερα ονομάζεται "φυσικός αριθμός" και που η αρχική του προέλευση ανάγεται σε διαδικασίες απαρίθμησης. Τα αποτελέσματα μετρήσεων και υπολογισμών με φυσικούς αριθμούς δεν οδήγησαν παρά ιστορικά μεταγενέστερα στην τροποποίηση και τη διαδοχική διεύρυνση της έννοιας του αριθμού. Για παράδειγμα, ο λόγος δύο φυσικών αριθμών δεν θεωρούνταν ένας κλασματικός αριθμός, αλλά μία συνοπτική περιγραφή της διαδικασίας μέτρησης ή της διαίρεσης σε ίσα μέρη ενός συνεχούς μεγέθους και το μηδέν θεωρήθηκε αριθμός μόλις τον 6 ο αιώνα μ.χ.. Η ανακάλυψη των Πυθαγόρειων στα τέλη του 5 ου π.χ. αιώνα, ότι υπάρχουν μεγέθη που δεν είναι σύμμετρα, που δεν έχουν δηλαδή κοινό μέτρο που να τα μετρά και να δίνει εξαγόμενα ρητούς αριθμούς, όπως η πλευρά και η διαγώνιος ενός τετραγώνου, προκάλεσε σύμφωνα με μια εκδοχή την πρώτη μεγάλη κρίση στην ιστορία των μαθηματικών. Στη βάση της κρίσης αυτής βρίσκονταν ουσιαστικά η αδυναμία αποσύνδεσης της έννοιας του αριθμού από τη διαδικασία μέτρησης μεγεθών, από το αρχικό δηλαδή πεδίο προέλευσης της έννοιας ή με άλλα λόγια η αδυναμία ταύτισης της έννοιας του αριθμού με την έννοια του μεγέθους. Όταν το βήμα αυτό πραγματοποιήθηκε, όταν δηλαδή έγινε αποδεκτό ότι το μήκος κάθε ευθύγραμμου τμήματος, δηλαδή κάθε μέγεθος, αντιπροσωπεύει έναν αριθμό άσχετα από τον αν μπορεί ή όχι να προσδιοριστεί ρητά με τις "συνήθεις" διαδικασίες μέτρησης η έννοια του "αριθμού" τροποποιήθηκε για να περιλάβει και τους άρρητους αριθμούς μαζί με τους ακέραιους και τους ρητούς αριθμούς (κλασματικούς και ακέραιους αριθμούς μαζί). Η διεύρυνση αυτή της έννοιας του αριθμού δημιούργησε τις προϋποθέσεις για την ανάπτυξη νέων υπολογιστικών τεχνικών, που με τη σειρά τους οδήγησαν σε νέες 20