ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Σχετικά έγγραφα
+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4.

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 13 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Σ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι.

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

γ λυκειου κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο3 ολοκληρωτικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( 0) = lim. g x - 1 -

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]

ολοκληρωτικος λογισμος

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή Ο (0,0) και ακτίνα ρ = 2. αυτό σηµαίνει ότι οι εικόνες των µιγαδικών w

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 24 / 5 / 08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ = 2

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

Transcript:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ατί προλόγου: Το προτειόμεο Κριτήριο Αξιολόγησης δε φέρετι στη θεωρί που πιτείτι στο ο κι ο θέμ, λλά φορού τ θέμτ διβθμισμέης δυσκολίς ( ο κι 4 ο ) κι δίου τη ευκιρί στους εξετζόμεους κάου επάληψη σε δομικά μέρη της εξετστές ύλης. ΘΕΜΑ Ο Α. Α lim κι η συάρτηση είι συεχής στο χ 8 4 Ν υπολογίσετε το άθροισμ S + +... + Β. Δίετι το πολυώυμο P ( λ 4λ) ( λ 4) + λ + λ R, R Α (λ) είι η συάρτηση του βθμού του Ρ() δείξετε ότι lim λ lim λ lim λ. λ λ λ Γ. Α γι τη συάρτηση : R R ισχύου i. συεχής στο ii. () + () + γι κάθε R δείξετε ότι () - Δ. Δίοτι οι συρτήσεις, g γι τις οποίες ισχύει + g γι κάθε R Ν δείξετε ότι οι, g είι συεχείς στο o ΘΕΜΑ Ο Α. Ν δείξετε ότι η εξίσωση 5 5- έχει το πολύ μί ρίζ πολύτως μικρότερη του. Β. Δίετι η συάρτηση συεχής στο [, β], πργωγίσιμη στο (, β) με () β (β) <<β Ν * Ν δείξετε ότι η εξίσωση: () () έχει τουλάχιστο μι ρίζ στο (, β) Γ. Α οι συρτήσεις, g είι συεχείς στο R κι ισχύει () t dt g() t dt, γι κάθε R. N δείξετε ότι: () g() ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω η συάρτηση με συεχή δεύτερη πράγωγο στο R. Α η προυσιάζει στ σημεί κι τοπικά κρόττ δείξετε ότι dt e e ()

Β. Α η συάρτηση : R R έχει συεχή πράγωγο κι είι - δείξετε ότι β β ) ( ) d ( ) ( ) β β) β d β β d, β dt (R) ΘΕΜΑ 4 Ο A. Έστω η συάρτηση : R R με συεχή πράγωγο στο R κι () > γι τη οποί ισχύει ( y) y γι κάθε, y R. Ν δείξετε ότι: ) () γι κάθε R. β) Η συάρτηση είι γησίως ύξουσ. B. Δίετι η συάρτηση :[,] R η οποί είι συεχής κι ισχύει: ( ) d + 4 ()d. Ν βρείτε: ) το ολοκλήρωμ I [ ] d β) το τύπο της γ) το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη, τη εφπτομέη της στο A (, () ) κι το άξο y y. C

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Α. Επειδή η είι συεχής στο χ έχουμε lim Θέτουμε με 8 lim g κι g lim Η () γίετι: ()8 () ( 8) g ( 8) g + lim [( 8) g + ]. + 8 8 οπότε S () + () + () +..+ 4 () 8 + 8 + 8 + + 8 4 4 8 8 4 8 ( 8 ) 8 Β. Δικρίουμε τις περιπτώσεις i. Α λ 4λ λ ( λ 4) λ ( λ )( λ + ) ( λ) λ κι λ κι λ τότε ii. Α λ 4λ λ ( λ 4) λ ( λ )( λ + ) λ ή λ ή λ τότε ) Α λ έχουμε Ρ () 4 + κι (λ) β) Α λ έχουμε Ρ () 4 κι (λ) γ) Α λ - έχουμε Ρ () κι δε ορίζετι η (λ) δηλ. ( λ) λ λ λ κι lim ( λ) lim ( λ) lim ( λ) λ λ (,) (, ) (, ) (, + ) λ Γ. Επειδή η είι συεχής στο έχουμε lim ( o) lim γιτί θέσουμε όπου το έχουμε () + + ` Γι κάθε κι είι ( ) + lim lim lim γιτί + + () + + + +

Δ. Α θέσουμε όπου το έχουμε + g g είι + g κι Όμως lim ( ) lim lim δηλ. lim κι σύμφω με το κριτήριο πρεμβολής κι η συεχής στο Επίσης g + g κι g g ( ) κι σύμφω με το κριτήριο πρεμβολής limg Δηλ. lim g g κι η g συεχής στο. ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω η συάρτηση () 5 5 + κι, (-,) : ( ) ( ) με < I) Η είι συεχής στο [, ] II) Η είι πργωγίσιμη στο (, ) III) ( ) ( ) κι σύμφω με το θ. Rolle υπάρχει (, ) : ( ). Άτοπο γιτί () 5 4-5 5 (-) (+) ( +), γι κάθε (, ) (-,) Άρ η εξίσωση 5 5 + έχει το πολύ μι ρίζ πολύτως μικρότερη του. Β. Έστω η συάρτηση h I. H h είι συεχής στο [, β] II. Η h είι πργωγίσιμη στο (, β) III. Είι h () ( β) h(β) β β κι h () h (β) β ( β) που ισχύει β.β : h () χ v κι σύμφω με το θ. Rolle υπάρχει Όμως h Η () γίετι v v ( ) v ( ) v v v ( ) v ( ) ( ) v ( ) δηλ. η εξίσωση v, έχει μι τουλάχιστο ρίζ στο (, β). Γ. Έστω η συάρτηση h ( ) () t dt g () t dt R Έχουμε () t dt g() t dt () t dt g() t dt

h γι κάθε h R δηλ. η h προυσιάζει στo σημείo ελάχιστο κι σύμφω με το θ. Fermat h () () + h t dt g t dt t dt g t dt ( ) + g ( ) γι κ ά θε R H () γίετι + g g Όμως () () () () ΘΕΜΑ Ο Α. Επειδή η προυσιάζει τοπικά κρόττ στ σημεί κι έχουμε () Είι ( ) ( ) ( d e e ) d e e d + ( e ) d [ ] + e e d + e e + e ( ) e ( ) [ ] e d ( ) Β. ) θέτουμε u ( u) κι ( u) du d κι '' '' Α τότε ( u) u Α ( β) τότε ( u) ( β) u β '' ( β ) β β ( ) d u u du β) Θέτουμε u ( u) κι ( u) du d Α τότε u - () Α β τότε u - (β) ( β) ( β) u du β β β d β β κι d u ( u) du [ u ( u) ] d ΘΕΜΑ 4 Ο () Α. ) Α θέσουμε όπου y το έχουμε [ ] () κι γι κάθε

() () είι: γι κάθε, R. () () () ( ) Είι lim lim lim ( ) γι κάθε R. Δηλδή () γι κάθε R. β) Από το ) είι () γι κάθε R κι επειδή η είι συεχής διτηρεί πρόσημο στο R. Όμως () > κι () > γι κάθε R. Δηλδή η είι γησίως ύξουσ. Β. ) Έχουμε I [ ] d [ + ] d d d d d d + + () Θέτουμε u κι ( ) d du d du d udu Α τότε uo Α τότε u κι d u (u)udu u (u)du () d. Η σχέση () γίετι I ( ) d ()d ( ) d 4 ()d + +. β) Έχουμε [ ( ) ] [ ( ) ] > Δηλδή [ ( ) ] γι κάθε [,]. Α υπάρχει [,] ώστε, τότε σύμφω με το ) θ ισχύει I> > άτοπο. γι κάθε [,] () γι κάθε [,]. κι ( ). A θέσουμε όπου το έχουμε γ) Έχουμε () κι () γι κάθε [,]. Δηλδή (). Η εξίσωση της εφπτομέης της C στο A (, () ) είι: y () ()( ) y ( ) y. Α Ε το ζητούμεο εμβδό τότε: E () y d d d d d + + + [ ] [ ] [ ] τ.μ.