Πως ποσοτικοποιούµε το κριτήριο της βέλτιστης προσέγγισης (best fit)?

. ΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ, ΣΑΤΜ/ΕΜΠ ιδάσκων: ηµήτρης εληκαράογλου Στοιχεία Θεωρίας Σφαλµάτων Στην πράξη, στις γεωεπιστηµονικές εφαρµογές, αναλύουµε παρατηρήσεις που αποτελούν αριθµητική εκπροσώπηση ορισµένων φυσικών ποσοτήτων, π.χ. χρόνους, µήκη, γωνίες, µάζες, δυνάµεις, ταχύτητες & επιταχύνσεις, κλπ. Αυτές λαµβάνονται µέσω κάποιου είδους σε σύγκριση µε προκαθορισµένα πρότυπα/µοντέλα. Πείραµα/παρατήρηση ανάλυση δεδοµένων θεωρία, ή θεωρία πρόβλεψη πείραµα /παρατήρηση επαλήθευση θεωρίας Μετρήσεις και τα σφάλµατα τους Μετρήσεις & τα σφάλµατα τους Πολλαπλέςµετρήσειςενόςµεγέθους, άσχετα µε πόση επιµέλεια γίνονται, σπάνια δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα. Οι οποιεσδήποτε µετρήσεις κάθε φορά διαφέρουν κατά κάτι από την πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους Οι αποκλίσεις από την πραγµατική τιµή αυτού του µεγέθους είναι τα σφάλµατα των Το σφάλµα µιας παρατήρησης είναι φυσιολογικό ή ανθρώπινο. Το να περιγραφεί ένα σφάλµα σωστά είναιµιαµορφήτέχνης... ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Μετρήσεις και τα σφάλµατα τους Εάν ένα µετρούµενο µήκος είναι ακριβώς ισοδύναµο µε ένα ακέραιο αριθµό διαβαθµίσεων (τµήµατα) π.χ. σε ένα χάρακα ή µια σταδία, η µέτρηση του δεν θα παράγει καµία διακύµανση Εάν το µετρούµενο µήκος βρίσκεται ανάµεσα σε διαβαθµίσεις, θα υπάρξει ένα κλάσµα της µικρότερης διάσπασης που πρέπει να εκτιµηθεί οι µετρήσεις θα διαφέρουν, π.χ. µεταξύ διαφορετικών παρατηρητών, ή µεταξύ διαφορετικών παρατηρήσεων, ανάλογα µε το σχεδιασµό της µετρητικής διαδικασίας, το όργανο της µέτρησης, τις συνθήκες, Μετρήσεις και τα σφάλµατα τους Στη ορυφορική Γεωδαισία, συχνά επιβάλλεται η χρήση από πολλαπλά συστήµατα για λόγους βαθµονόµησης: π.χ. συστήµατα SLR παρέχουν άµεση, απευθείας µέτρηση του υψοµέτρου των αλτιµετρικών δορυφόρων αποτελεσµατικό διαχωρισµό σφαλµάτων στις αλτιµετρικές µετρήσεις από τις γραµµικές µακροχρόνιες µεταβολές στην τοπογραφία των ωκεανών απαραίτητη για τη µέτρηση των µεταβολών της ΜΣΘ (µερικά mm / yr). Σε πολλές µετρητικές διαδικασίες υπάρχει µια γραµµική σχέση ανάµεσα στα µετρούµενα µεγέθη, π.χ. η ταχύτητα ενός σώµατος σε ελεύθερη πτώση, µεταβάλλεται γραµµικά µε το χρόνο, εφόσον αγνοήσουµε την αντίσταση του αέρα Στην πράξη, ωστόσο, η ζητούµενη σχέση µεταξύ των παρατηρούµενων µεγεθών µπορεί να είναι προσεγγιστικά και όχι πραγµατικά γραµµική, κυρίωςεξαιτίαςτωνατελειώντων µετρητικών διατάξεων τυχαία σφάλµατα στις µετρήσεις Πως ποσοτικοποιούµε το κριτήριο της βέλτιστης προσέγγισης (best fit)? Εάν δεν υπάρχουν τυχαία σφάλµατα Για µία δεδοµένη τιµή x i του x, η αντίστοιχη τιµή y i του y θα διαφέρει από την ιδανική τιµή, και η συνολική πιθανότητα να πάρει το y αυτή την τιµή είναι Οι βέλτιστες τιµές της κλίσης m και της τεταγµένης b για τις οποίες η παραπάνω πιθανότητα γίνεται µέγιστη όταν ο εκθέτης της παραπάνω παράστασης παίρνει την ελάχιστη δυνατή τιµή το άθροισµα των τετραγώνων των αποκλίσεων των είναι ελάχιστο ^ Μετρήσεις και τα σφάλµατα τους Με βάση αυτό το ελαχιστο-τετραγωνικό κριτήριο της ΜΕΤ, υπολογίζονται οι εκτιµήσεις των άγνωστων παραµέτρων m και b ^ Η εκτίµηση της ευθείας παλινδρόµησης, για το συγκεκριµένο δείγµα (x i, y i ), i=1,2,, N είναι yˆ = mˆ + bˆ i x i Μετρήσεις και τα σφάλµατα τους Εκτιµήσεις των άγνωστων παραµέτρων m και b, θα µπορούσαν να προκύψουν και από την εφαρµογή άλλων κριτηρίων, π.χ. Εάν το άθροισµα των τετραγώνων των απόλυτων τιµών των αποκλίσεων των είναι ελάχιστο, ή Εάν ελαχιστοποιείται η µέγιστη τιµή µεταξύ των αποκλίσεων των Γενικευµένο άθροισµα ελαχίστων τετραγώνων (λαµβάνονται υπόψη τα σφάλµατα τόσο στις εξαρτηµένες, όσο και τις ανεξάρτητες µεταβλητές Total Least Squares

Μετρήσεις και τα σφάλµατα τους Σφάλµα = διαφορά µεταξύ του αποτελέσµατος µιας µέτρησης και της πραγµατικής (άγνωστης) τιµής του µετρούµενου µεγέθους µετρούµενη τιµή ± αβεβαιότητα = έκφραση εµπιστοσύνης Εκτός από ελάχιστες τεχνητές περιπτώσεις, η πραγµατική τιµή ενός µεγέθους δεν είναι ποτέ γνωστή η τιµή ενός σφάλµατος δεν είναι ποτέ γνωστή Η θεωρία σφαλµάτων Θέτει κανόνες υπολογισµού των σφαλµάτων από άµεσα µετρούµενα µεγέθη ή έµµεσα από τα αποτελέσµατα των άλλων µεγεθών Ο όρος σφάλµα χρησιµοποιείται µε την έννοια της στατιστικής απόκλισης, και όχι µε την έννοια του "µη-ορθού" ή του "λάθους" Η θεωρία σφαλµάτων Η προσπάθεια µείωσης των σφαλµάτων των µπορεί να οδηγήσει σε σηµαντική αύξηση του κόστους ενός πειράµατος ή µιας µετρητικής διαδικασίας, ή ακόµη και σε αδιέξοδες καταστάσεις. Για τον περιορισµό της επίδρασης των σφαλµάτων και τον καλύτερο δυνατό προσδιορισµό των τιµών τους χρησιµοποιούµε µια µέθοδο που στηρίζεται στην αρχή των Ελαχίστων Τετραγώνων ΜΕΤ Απευθείας µετρήσεις Σφάλµατα των Παράµετροι φυσικών ή στοχαστικών φαινοµένων Επαγωγικός προσδιορισµός Μετρήσεις µεγεθών ενδιαφέροντος Συστηµατικά σφάλµατα Σφάλµατα Έκφραση αξιοπιστίας: Τυχαία σφάλµατα x = x ±δx Σφάλµατα των προέλευση τους Πηγές προέλευσης τους ποιές καθορίζουν τα κύρια σφάλµατα; Οι πεπερασµένες ιδιότητες, δυνατότητες (ή ατέλειες) και ευαισθησίες των οργάνων µέτρησης Δώσε µου ένα καλύτερο (ακριβέστερο;) όργανο, για να σου κάνω καλύτερη µέτρηση Οι ατέλειες σχεδιασµού των Οι συνθήκες εκτέλεσης και το περιβάλλον των Πεπερασµένες ικανότητες του παρατηρητή Θεωρητικής φύσης (ατελή µοντέλα, προσεγγίσεις, ) Πηγές προέλευσης των σφαλµάτων των π.χ. στα συστήµατα GNSS Κατηγορίες πως αντιµετωπίζονται τα σφάλµατα καθεµιάς από αυτές; Χονδροειδή σφάλµατα (από άγνοια, αβλεψία, απροσεξία, ανοησία, ) Συστηµατικά σφάλµατα (από αγνοούµενες λειτουργικές ατέλειες των οργάνων, φυσικές επιδράσεις, ) Τυχαία σφάλµατα (απρόβλεπτα και αναπόφευκτα, θόρυβο, ) Σφάλµατα των «Πραγµατική» τιµή Ολικό αναλυτικό σφάλµα Κατηγορίες σφαλµάτων των Χονδροειδή σφάλµατα - εν υπάγονται σε κάποιο µοντέλο Συστηµατικά σφάλµατα - Μπορεί να διορθώνονται, ή µπορεί και όχι Πως αντιµετωπίζονται τα σφάλµατα καθεµιάς από αυτές; Τυχαία σφάλµατα - που οφείλονται σε αστάθµητους παράγοντες που Χαρακτηριστικά των συστηµατικών σφαλµάτων Παραµένουν αµετάβλητα σε διαδοχικές µετρήσεις ή µεταβάλλονται µε κάποιο κοινό τρόπο σε συνάρτηση µε το χρόνο ή κάποια άλλη παράµετρο π.χ. η µεταβολή του µήκους µιας µετροταινίας µε τη θερµοκρασία, διακύµανση των ατµοσφαιρικών συνθηκών µε το χρόνο, παράλλαξη, κλπ.

Χαρακτηριστικά των συστηµατικών σφαλµάτων Είναι δύσκολο να ανιχνευθούν και συχνά είναι τα σηµαντικότερα, και ο προσδιορισµός τους είναι πολλές φορές επίπονος (δεν µειώνονται µε την αύξηση του αριθµού των ) Υπάρχουν γνωστοί παράγοντες (αυτοί που γνωρίζουµε ότι τους γνωρίζουµε) Υπάρχουν γνωστοί άγνωστοι παράγοντες (αυτοί που γνωρίζουµε ότι δεν τους γνωρίζουµε) Υπάρχουν άγνωστοι άγνωστοι παράγοντες (αυτοί που δεν γνωρίζουµε ότι δεν τους γνωρίζουµε) Τάδε είπε Donald Rumsfeld Επιπτώσεις των συστηµατικών σφαλµάτων Η κρυφή παρουσία ενός συστηµατικού σφάλµατος µπορεί να οδηγήσει σ ένα φαινοµενικά αξιόπιστο αποτέλεσµα, µε µικρό σφάλµα, το οποίο όµως απέχει πολύ από την πραγµατική τιµή. παρουσιάζονται σε οµάδες και µπορούµε συνήθως µε µια προσέγγιση να τα απαλείψουµε ή να τα προσδιορίσουµε Τυχαία σφάλµατα Επιδρούν σε µια µέτρηση µε τυχαίο τρόπο, π.χ. η µέτρηση ενός φυσικού µεγέθους µπορεί να δώσει τιµή µεγαλύτερη της αναµενόµενης, ενώ η επανάληψη της µέτρησης µπορεί να δώσει τιµή µικρότερη της αναµενόµενης Παρουσιάζονται σε µεµονωµένες µετρήσεις Οφείλονται στην περιορισµένη ευαισθησία των οργάνων των στις επιδράσεις του περιβάλλοντος των στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών στον ίδιο τον παρατηρητή Είναι αναπόφευκτα και µπορούν να ληφθούν υπόψη µόνο στατιστικά (µε την επανάληψη ) Αντιµετώπιση των τυχαίων σφαλµάτων Αντιµετώπιση των τυχαίων σφαλµάτων ιάδοση και διάχυση των σφαλµάτων Μετηβοήθειατηςεπανάληψηςτηςµέτρησης (και της θεωρίας σφαλµάτων) µπορούµε να τα υπολογίσουµε περιγράφονται από τη θεωρία των πιθανοτήτων Τυχαία σφάλµατα µε θετική ή αρνητική επίδραση συµβαίνουν µε την ίδια συχνότητα Σφάλµατα µικρότερου µεγέθους εµφανίζονται πιο συχνά από εκείνα που είναι µεγαλύτερου µεγέθους Ακραίεςτιµέςεµφανίζονταισπάνια (βλ. χονδροειδή σφάλµατα) Η καµπύλη πιθανότητας της κανονικής κατανοµής έχει και τα τρία αυτά χαρακτηριστικά: Είναι συµµετρική ως προς τη µέση τιµή Περισσότερα δεδοµένα συγκεντρώνονται γύρω από τη µέση τιµή, παρά µακριά από αυτή Λίγα δεδοµένα κατανέµονται στα άκρα της καµπύλης της σ.π.π. Propagation of errors Όταν ένα σφάλµα οδηγεί σε ένα άλλο Cascading of errors Κατά µία έννοια, όταν τα σφάλµατα επιτρέπεται να διαδοθούν ανεξέλεγκτα µεταξύ επιπέδων πληροφορίας ιάδοση των σφαλµάτων Εάν ένα µέγεθος f εξαρτάται από µια, δύο ή περισσότερες µετρούµενες ποσότητες (x, y, z), οι οποίες έχουν αντίστοιχες µέσες τιµές και ανεξάρτητα σφάλµατα, τότε υπολογίζουµε το σφάλµα του µε τον λεγόµενο κανόνα διάδοσης των σφαλµάτων ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ: το σφάλµα µιας συνάρτησης f πολλών µεταβλητών ισούται µε τη τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων των επί µέρους σφαλµάτων όλων των ανεξάρτητων µεταβλητών, σταθµισµένων µε την επίδρασή τους πάνω στην f Στη γενικότερη περίπτωση ιάδοση των σφαλµάτων Υπόλοιπα των Οι όροι σφάλµατα και υπολείµµατα ή υπόλοιπα (residuals) συνδέονται στενά και συνήθως συγχέονται εύκολα ως µέτρα της απόκλισης µιας παρατηρούµενης τιµή ενός µεγέθους σε ένα στατιστικό δείγµα από την θεωρητική τιµή του. Το σφάλµα (ή διαταραχή) µιας παρατηρούµενης τιµής είναι η απόκλιση της παρατηρούµενης τιµής από την (µη παρατηρήσιµη ή άγνωστη) πραγµατική τιµή του µεγέθους, ενώ το υπόλοιπο της τιµής που παρατηρείται είναι η διαφορά µεταξύ της παρατηρούµενης τιµής και της εκτιµώµενης τιµής του µεγέθους ενδιαφέροντος.

Υπόλοιπα, απόκλιση, & ακραίες τιµές(outliers) Υπόλοιπα, απόκλιση, & ακραίες τιµές(outliers) Υπόλοιπα των Range centered on Mean Measurements within Range Measurements outside Range ±σ 68% 95% 99.7% 99.994% 32% 1 in 3 ±2σ 5% 1 in 20 ±3σ 0.3% 1 in 400 ±4σ 0.006% 1 in 16,000 Η τυπική απόκλιση χρησιµοποιείται για να καθορίσει ένα επίπεδο εµπιστοσύνης σχετικά µε τα δεδοµένα 2 σ 1 σ 1 σ 2 σ Ιστόγραµµο: υπολοίπων \ -4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.5 Μέση τιµή Residuals Καµπύλη πιθανότητας κανονικής κατανοµής / 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Outlier \ 4.0 Η διανοµή των υπολοίπων των δείχνει το βαθµό προσαρµοστικότητας του θεωρούµενου µοντέλου µε τις µετρήσεις. Τα υπόλοιπα πρέπει τυπικά να έχουν µέση τιµή µηδέν και να µην επιδεικνύουν κάποια προφανή τάση Κανονικοποιηµένα υπόλοιπα των Πόσο καλή είναι η προσαρµοστικότητα του γραµµικού µοντέλου? Τα υπόλοιπα δεν διαφωτίζουν επαρκώς Τα κανονικοποιηµένα υπόλοιπα (normalised residuals) διανέµονται πιο τυχαία (68% στο διάστηµα ±1σ, κλπ). Αξιολόγηση των και των σφαλµάτων τους ιεθνής Οργανισµός Προτυποποίησης, ΟΠ (International Organization for Standardization): στην έκδοσή του 5725 µε τίτλο Accuracy (Trueness and Precision) of measurement methods and results καθορίζονται ποικίλοι όροι που αφορούν τις αναλυτικές µεθόδους ελέγχου, µέσω δειγµατοληπτικών Αξιολόγηση των και των σφαλµάτων τους Παρατηρούµενη τιµή (observed value) Αποτέλεσµα δοκιµασίας (test test result) Σεένα πείραµα επαναληψιµότητας (in a precision experiment): ): Στοιχείο (element) επίπεδο δοκιµασίας (level of a test) Αποδεκτή τιµή αναφοράς (accepted reference value) a) Θεωρητική ή καθιερωµένη τιµή b) Αποδιδόµενη (assigned) ή διακριβωµένη (certified) τιµή c) Εκ συγκατάθεσης (consensus) τιµή Σεπερίπτωσηπουδενυπάρχουντα (a), (b) και (c), η αναµενόµενη τιµή (expected value) της µετρούµενης ποσότητας ή του µετρούµενου µεγέθους Αξιολόγηση των Αληθότητα (trueness) Συστηµατικό σφάλµα (bias) ή πόλωση Ιδιαίτερη προσοχή στους επόµενους δύο όρους: Ορθότητα ή Πιστότητα (accuracy) και Ακρίβεια (precision) Επαναληψιµότητα (repeatability) Συνθήκες επαναληψιµότητας (repeatability conditions) Έκτροπη(ακραία) τιµή ή ασυνεπής µέτρηση (outlier) Τάση (trend) για το µέγεθος x x 1 µέτρηση µε µεγάλο τυχαίο σφάλµα x 2 µέτρηση µε µεγάλο συστηµατικό σφάλµα Η ορθότητακαι ηακρίβεια δεν πηγαίνουν απαραίτητα µαζί!!! τοµέγεθος x Μετρήσεις µε µεγάλο τυχαίο σφάλµα (µικρή ακρίβεια επανάληψης) Μετρήσεις µε µεγάλο συστηµατικό σφάλµα (µικρή ορθότητα ή µεγάλη µεροληψία) Σχέσεις µέτρων αξιολόγησης των Μέτρηση x i = αποδεκτή τιµή, µ + συστηµατικό σφάλµα, bias + τυχαίο σφάλµα, ε Πολλαπλές µετρήσεις κάτω από συνθήκες επαναληψιµότητας x m (µέση τιµή) x i = αποδεκτή τιµή, µ + συστηµατικό σφάλµα, (x m -µ) + τυχαίο σφάλµα (x i - x m ), ή εν συντοµία x i - µ = (x m -µ) + (x i - x m ) (Ορθότητα)) = (Αληθότητα( Αληθότητα) ) + (Ακρίβεια( Ακρίβεια) accuracy trueness precision

θ* Μέτρα εµπιστοσύνης στις µετρήσεις θ 0 θ* Αβεβαιότητα(uncertainty) Τα διαστήµατα εµπιστοσύνης (Confidence Intervals) Επίπεδο εµπιστοσύνης (p = 1-α) Επίπεδο σηµαντικότητας (α) Για τον ορισµό τους απαιτείται η γνώση/χρήση της κατάλληλης Συνάρτησης Κατανοµής Πιθανότητας θ 0 Συνήθως όταν σχεδιάζουµε κάποιο πείραµα ή συλλογή, έχουµε κάποια θεωρία ή µοντέλο που θέλουµε να επαληθεύσουµε, και εποµένως να αποκοµίσουµε κάποια ένδειξη για τα τελικά αποτελέσµατα. Αυτή η πρόβλεψη για το τελικό αποτέλεσµα ονοµάζεται στατιστική υπόθεση (hypothesis). Ουσιαστικά µία υπόθεση αποτελεί την πρόβλεψη του ερευνητή για την επίδραση της αλλαγής της ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Ο έλεγχος υποθέσεων (hypothesis testing) αποτελεί ένα σηµαντικό κοµµάτι της επαγωγικής στατιστικής και ένα πολύ χρήσιµο εργαλείο, καθώς επιτρέπει στον ερευνητή να ελέγξει την εγκυρότητα της θεωρίας ή του µοντέλου του. Ελέγχους υποθέσεων (hypothesis testing) κάνουµε για να δούµε αν τα δεδοµένα φαίνεται να υποστηρίζουν ή όχι κάποια ιδέα που έχουµε για το µηχανισµό που δηµιουργεί τα δεδοµένα. Oι έλεγχοι υποθέσεων προσπαθούν να απαντήσουν σε ερωτήσεις του τύπου «υπάρχει διαφορά;», «υπάρχει σχέση;», «υπάρχει επίδραση;» κ.τ.λ. Στόχος είναι να συναχθούν συµπεράσµατα ως προς το εάν η εκτίµηση των παραµέτρων ενδιαφέροντος από µετρήσεις είναι συµβατή µε τις αρχικές παραδοχές της διαδικασίας των Η έννοια της στατιστικής υπόθεσης Ο καθορισµός ενός υποσυνόλου ω του παραµετρικού χώρου Ω, ως ενός υποσυνόλου που περιέχει την αληθινή τιµή θ 0 µιας παραµέτρου, ονοµάζεται στατιστική υπόθεση του θ 0 συνήθως συµβολίζεται ως Η 0. Επίσης, ο καθορισµός του συνόλου ωc (συµπληρώµατος του ω σε σχέση µε το Ω) ως του υποσυνόλου που περιέχει την αληθινή τιµή του θ 0, αποτελεί µία στατιστική υπόθεση. Αυτή συνήθως συµβολίζεται µε Η 1 και ονοµάζεται εναλλακτική ως προς την υπόθεση Η 0. Συµβολικά: Η 0 : θ 0 (η αληθινή τιµή του θ υπάρχει στο ω) Η 1 : θ ω (η αληθινή τιµή του θ υπάρχει στο ω c ) Έλεγχος υποθέσεων οκιµασία(έλεγχος) Υπόθεσης από Παρατηρήσεις Κάνουµε δύο υποθέσεις: τηµηδενική υπόθεση, null hypothesis H 0 (R.A. Fisher) την εναλλακτική υπόθεση, alternative hypothesis H 1 (Newman και Pearson). O Fisher ήταν πολύ αντίθετος. Η Παρατήρηση είναι (στατιστικά) σηµαντική (statistically) significant H δοκιµή απορρίπτει τη µηδενική Υπόθεση Η έννοια της ελεγχοσυνάρτησης Μια τυχαιοποιηµένη ελεγχοσυνάρτηση φ για τον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : θ 0 (η αληθινή τιµή του θ υπάρχει στο ω), έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η 1 : θ ω (η αληθινή τιµή του θ υπάρχει στο ω c ) είναι µια (µετρήσιµη) συνάρτηση φ που παριστάνει τη δεσµευµένη πιθανότητα µε την οποία η υπόθεση Η 0 απορρίπτεται, µε δεδοµένη την παρατηρηµένη τιµή x της τυχαίας µεταβλητής Χ, δηλ. το γεγονός {Η 0 } έχει πιθανότητα εµφάνισης φ(x). Εάν η συνάρτηση φ λαµβάνει τις τιµές 0 ή 1, ονοµάζεται µη τυχαιοποιηµένη φ(x) = 1, x Β, Β είναι η λεγόµενη περιοχή απόρριψης της Η 0 φ(x) = 0, x Β C, Β είναι η λεγόµενη περιοχή αποδοχής της Η 1 Το πρώτο βήµα σε ένα έλεγχο υποθέσεων είναι να διατυπωθεί η µηδενική υπόθεση, Η 0, δηλ. η συντηρητική υπόθεση του ερευνητικού προβλήµατος δεν υπάρχει καµία ιδιαίτερη σχέση µεταξύ των υπό µελέτη χαρακτηριστικών Η µηδενική υπόθεση είναι µία πρόταση που προβλέπει ότι η αλλαγή της ανεξάρτητης µεταβλητής (µεταβλητή που ελέγχουµε) δεν έχει καµία επίδραση στην εξαρτηµένη µεταβλητή (µεταβλητή που παρατηρούµε) οι τιµές των παραµέτρων του πληθυσµού µετά από µια αλλαγή της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι ίδιες µε αυτές πριν την αλλαγή Το επόµενο βήµα είναι να διατυπωθεί η ακριβώς αντίθετη από τη µηδενική υπόθεση, δηλαδή ότι µια αλλαγή της ανεξάρτητης µεταβλητής επιδρά στην εξαρτηµένη µεταβλητή: Η εναλλακτικήυπόθεση, H 1, είναι η υπόθεση την οποία θα θέλαµε να δείξουµε ότι ισχύει ή αυτή στην οποία στρεφόµαστε αν δεν ισχύει η µηδενική υπόθεση υπάρχει ιδιαίτερη σχέση µεταξύ ποσοτικοποιήσιµων χαρακτηριστικών του πληθυσµού Όλοι οι έλεγχοι αρχίζουν µε την υπόθεση, ότι στον πληθυσµό δεν υπάρχει σχέση, διαφορά, επίδραση κ.τ.λ. (µηδενική υπόθεση), γιατί συνήθως υποθέτουµε ότι οι σχέσεις, οι διαφορές και επιδράσεις είναι µηδενικές.

Έλεγχος υποθέσεων: t-test Τύπος ελέγχου δίπλευρος µονόπλευρος µονόπλευρος Η µηδενική υπόθεση (H 0 ) υποθέτει ότι η διαφορά µεταξύ του πραγµατικού µέσου όρου (µ) και η τιµή σύγκρισης (µ 0 ) είναι ίση µε το µηδέν. Η εναλλακτική υπόθεση των δύο ακραίων τµηµάτων (Η 1 ) υποθέτει ότι η διαφορά µεταξύ του πραγµατικού µέσου όρου (µ) και της τιµής σύγκρισης (µ 0 ) δεν είναι µηδέν. Η εναλλακτική υπόθεση του ανώτερου ακραίου τµήµατος (H 1 ) υποθέτει ότι ο πραγµατικός µέσος όρος (µ) του δείγµατος είναι µεγαλύτερος από την τιµή σύγκρισης (µ 0 ). Η εναλλακτική υπόθεση του κατώτερου τµήµατος (H 1 ) υποθέτει ότι ο πραγµατικός µέσος όρος (µ) του δείγµατος είναι µικρότερος από την τιµή σύγκρισης (µ 0 ). Έλεγχος υποθέσεων: t-test Ως παραµετρική διαδικασία βασίζεται σε τέσσερις κύριες παραδοχές Τα δειγµατοληπτικά δεδοµένα είναι αριθµητικά και συνεχή Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους Η εξαρτώµενη µεταβλητή πρέπει να κατανέµεται περίπου κανονικά Η εξαρτηµένη µεταβλητή δεν πρέπει να περιέχει οποιεσδήποτε αποµακρυσµένες τιµές (outliers) Ανκαιτα t- testsείναιαρκετάισχυρά, είναικαλή πρακτική η αξιολόγηση του βαθµού απόκλισης τους από αυτές τις παραδοχές προκειµένου να εκτιµηθεί η ποιότητα των αποτελεσµάτων. Έλεγχος υποθέσεων: t-test Η 0 is rejected by the Test and Η 0 is False Ηis accepted by the Test and Η is True Η 0 is accepted by the Test and Η 0 is True Ηis rejected by the Test and Η is False Η 0 is rejected by the Test and Η 0 is True Ηis accepted by the Test and Η is False Η 0 is accepted by the Test and Η 0 is False Ηis rejected by the Test and Η is True Έλεγχος υποθέσεων 4 possible Events for the Null Hypothesis H0 Correct outcome True positive Correct outcome True negative Error of 1 st kind False positive (e.g. Convicting the innocent) Error of 2 nd kind False negative (e.g. Releasing the guilty) Έλεγχος υποθέσεων βήµατα διαδικασίας 1. Ορίζονται το πρόβληµα και η υπόθεση έρευνας προς έλεγχο 2. Ορίζεται η µηδενική υπόθεση (Null Hypothesis) Η 0 3. Ορίζεται η εναλλακτική υπόθεση(alternative Hypothesis) Η 1 4. Ορίζονται οι παραδοχές 5. Ορίζεται η στατιστική παράµετρος ελέγχου z από το δείγµα (ξ 1, ξ 2,, ξ k ) 6. Ορίζεται η περιοχή Ξ απόρριψης της υπόθεσης για επίπεδο σηµαντικότητας a Η λογική του έλεγχου υποθέσεων 1. ιατύπωση υποθέσεων 2. ιαµόρφωση των κριτηρίων για την λήψη µιας απόφασης 3. Συλλογή δεδοµένων από δείγµατα 4. Αξιολόγηση της µηδενικής υπόθεσης Αλλαγή σε µια µεταβλητή Έλεγχος υποθέσεων βήµατα διαδικασίας 7. Ορίζεται η περιοχή Ξ απόρριψης της υπόθεσης για επίπεδο σηµαντικότητας a Μονόπλευρη ή δίπλευρη περιοχή απόρριψης 8. Υπολογίζεται από το δείγµα η εκτίµηση της παραµέτρου z 9. Συµπέρασµα ẑ Ξ η υπόθεση Η 1 απορρίπτεται από τον έλεγχο ẑ Ξ η υπόθεση Η 1 δεν απορρίπτεται από τον έλεγχο ẑ Αν απορριφθεί η Η 0 τότε ισχύει η Η α (στατιστικό σηµαντικό αποτέλεσµα P<0.05) π.χ. δεν βρήκαµε τη διαφορά κατά τύχη (κατά σύµπτωση, κατά λάθος) Αν δεν απορριφθεί η Η 0 τότε παραµένουµε σε αυτή (χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι η Η 0 είναι αληθινή) π.χ. µπορεί να βρήκαµε τη διαφορά κατά τύχη (κατά σύµπτωση, κατά λάθος) Στις στατιστικές διαδικασίες δεν αποδεικνύουµε την ερευνητική υπόθεση απευθείας αλλά έµµεσα, έχοντας απορρίψει τη µηδενική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση συνάγεται ως λογική συνέπεια της άρνησης της µηδενικής υπόθεσης. ακρίβεια του ελέγχου η υπόθεση πρέπει να είναι συµβατή µε τα διαθέσιµα δεδοµένα Σφάλµατα και ισχύς ελέγχου υποθέσεων Αν απορριφθεί η Η 0 τότε ισχύει η Η α (στατιστικό σηµαντικό αποτέλεσµα P<0.05) Αν δεν απορριφθεί η Η 0 τότε παραµένουµε σε αυτή (χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι η Η 0 είναι αληθινή) ΣφάλµατύπουΙ: η πιθανότητα να απορρίψουµε τη µηδενική υπόθεση ενώ αυτή είναι αληθινή (συµβολίζεται µε α, και είναι το επίπεδο σηµαντικότητας του ελέγχου). Σφάλµα τύπου ΙΙ: η πιθανότητα να γίνει αποδεκτή η µηδενική υπόθεση ενώ δεν είναι αληθινή (συµβολίζεται µε β) 1-β είναι η ισχύς του ελέγχου

ΣφάλµατατύπουΙκαιΙΙ Σκεπτικό διενέργειας ελέγχων υποθέσεων Για να αποφανθούµε περί του τι ισχύει εξετάζουµε την πιθανότητα να έχουµε βρει τη διαφορά αυτή κατά τύχη (κατά σύµπτωση, κατά λάθος) Υπολογίζουµε, δηλαδή, την πιθανότητα να προέρχεται το δείγµα από έναν πληθυσµό όπου ισχύει η µηδενική υπόθεση (η πιθανότητα αυτή συµβολίζεται µε p). Αν η πιθανότητα αυτή είναι µικρή το δείγµα µας δεν προέρχεται από τέτοιο πληθυσµό, αλλά από έναν άλλο, στον οποίο δεν ισχύει η µηδενική υπόθεση. µε άλλα λόγια, εάν µε βάση τα δεδοµένα, η µηδενική υπόθεση φαίνεται ως απίθανη, την απορρίπτουµε και συµπεραίνουµε ότι υπάρχει σχέση, διαφορά ή επίδραση στον πληθυσµό. Σκεπτικό διενέργειας ελέγχων υποθέσεων Για να αποφασίσουµε εάν απορρίπτεται η Η ο πρέπει 1.να µπορούµε να υπολογίσουµε το p (την πιθανότητα να έχουµε βρει τη διαφορά κάτι κατά τύχη (ή κατά σύµπτωση, ή κατά λάθος) Απαιτείται να γνωρίζουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή, και τις πιθανότητες που αντιστοιχούν στις διάφορες τιµές αυτής της κατανοµής Σκεπτικό διενέργειας ελέγχων υποθέσεων Για να αποφασίσουµε εάν απορρίπτεται η Η ο πρέπει 2. να αποφασίσουµε εάν η πιθανότητα αυτή είναι πολύ µικρή αυτό που βρήκαµε δεν είναι κατά τύχη (ή κατά σύµπτωση, ή κατά λάθος) και άρα δεν ισχύει η Η ο Αυτό καθορίζεται a priori, µάλλον «αυθαίρετα», µε το επίπεδο στατιστικής σηµαντικότητας, την παράµετρο α Εάν p α η Η ο απορρίπτεται, δηλ. υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά Εάν p > α αποτυγχάνουµε να απορρίψουµε την Η ο, δηλ. αποφαινόµαστε ότι δεν υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά