ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα ϊνω αν η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο εςωτερικό του Δ Η ςυνϊρτηςη f εύναι κούλη ό ςτρϋφει τα κούλα κϊτω αν η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο εςωτερικό του Δ ΘΕΩΡΗΜΑ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Αν η f (χ)>0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο του Δ, τότε η f εύναι κυρτό ςτο Δ Αν η f (χ)<0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο του Δ, τότε η f εύναι κούλη ςτο Δ ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Σο αντύςτροφο του θεωρόματοσ δεν ιςχύει: π.χ f(χ) = χ 4 η οπούα εύναι κυςτό ςτο πεδύο οριςμού τησ αλλϊ f (χ)=1χ Αλλϊ όταν εύναι κυρτό ιςχύει9 ότι f (χ) 0 και όταν εύναι κούλη f (χ) 0 τον οριςμό ιςχύει (κυρτό f γνηςύωσ αύξουςα) και ( κούλη f γνηςύωσ φθύνουςα) ΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΜΟ Έςτω ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα (α,β) εκτόσ ύςωσ του ςημεύου χ 0. Σο ςημεύο (χ 0, f(χ 0 )) ονομϊζεται ςημεύο καμπόσ τησ γραγικόσ παρϊςταςησ τησ f αν: η f εύναι κυρτό ςτο (α, χ 0 ) και κούλη ςτο (χ 0, β) και αντιςτρόφωσ η C f ϋχει εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο (χ 0, f(χ 0 )) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Για την εξεταςτϋα ύλη θα πρϋπει και ςτο χ 0 να εύναι παραγωγύςιμη για να υπϊρχει η εφαπτομϋνη ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το Α(χ 0, f(χ 0 )) εύναι ςημεύο καμπόσ τησ C f και η f εύναι δυο φορϋσ παραγωγύςιμη τότε f (χ 0 ) = 0 ΠΙΘΑΝΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ 1. Σα εςωτερικϊ ςημεύα μηδενιςμού τησ δεύτερησ παραγώγου και. Σα εςωτερικϊ ςημεύα ςτα οπούα δεν υπϊρχει η δεύτερη παρϊγωγοσ (αλλϊ υπϊρχει η πρώτη παρϊγωγοσ) 3. Ιςοδύναμο του οριςμού εύναι το παρακϊτω Μια ςυνϊρτηςη f που εύναι οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα (α,β) και χ 0 ϵ(α, β) θα ϋχει ςημεύο καμπόσ το Α χ 0, f(χ 0 ) αν: 1. Η f αλλϊζει πρόςημο εκατϋρωθεν του χ 0 και. Ορύζεται η εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο Α 1

ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Έςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Σότε ιςχύουν 1. f (χ) = 0 f (χ)αλλϊζει πρόσημο εκατϋρωθεν του χ το χ 0 εύναι θϋση σημεύου καμπός 0. Αν η f παρουςιϊζει καμπό ςτο χ 0 τότε f (χ 0 ) = 0 3. Αν το f (χ 0 ) 0, τότε η f δεν παρουσιϊζει καμπό στο χ 0 4. Αν το f (χ 0 ) 0, στο εσωτερικό του Δ τότε δεν παρουσιϊζει καμπό στο Δ 5. Πιθανϋσ θϋςεισ ςημεύων καμπόσ εύναι οι ρύζεσ τησ f ςτο εςωτερικό του Δ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ 1. Δύνεται η συνϊρτηση f(χ) = χ (χ 3) 4. Αν χ 1, χ εύναι οι θϋσεις των τοπικών ακροτϊτων και χ 3 εύναι η θϋση του σημεύου καμπός, να αποδειχθεύ ότι τα σημεύα Α χ 1, f(χ 1 ), Β χ, f(χ ), Γ χ 3, f(χ 3 ) εύναι σημεύα συνευθειακϊ. Λύςη f (χ) = 3χ 6χ και f (χ) = 0 3χ(χ ) = 0 χ = 0 ό χ = 3 χ - 0 1 f (χ) = 6χ 6 και f (χ) = 0 χ = 1 Επομϋνωσ από το διπλανό πύνακα φαύνεται ότι f (χ) 0 - - 0 η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτα διαςτόματα f (χ) - - 0 (-,0- και,, ) f Γνηςύωσ φθύνουςα ςτο,0,- Παρουςιϊζει τοπικό μϋγιςτο για χ=0 το f(0)=4 και τοπικό ελϊχιςτο για χ= και εύναι το f()=0 Εύναι κούλη ςτο (-,0- και κυρτό ςτο,1, ) αφού ςτο 1 εύναι ςυνεχόσ Παρουςιϊζει ςημεύο καμπόσ για χ=1 και εύναι το f(1)= Επομϋνωσ τα ςημεύα εύναι: Α(0,4), Β(,0) και Γ(1,) και ϋχω: λ ΑΒ = 4 = και λ ΒΓ = =. Αρα τα ςημεύα Α, Β, Γ εύναι ςυνευθειακϊ 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δύνεται η ςυνϊρτηςη με τύπο f(χ) = α 3 χ3 α 1 χ 10χ 7

Να βρεύτε το α R, ώστε η f να παρουσιϊζει καμπό για χ = 3. Μετϊ για την τιμό του α=1 να φτιϊξετε πύνακα μεταβολών Λύςη Για να παρουςιϊζει ςημεύο καμπόσ για χ = 3 θα πρϋπει η f 3 = 0 f (χ) = 3 α 3 χ α 1 χ 10 και f (χ) = 6 α χ α 1 και επειδό 3 f 3 = 0 6 α 3 α 1 = 0 9α 6 α 1 = 0 7α = 7 α = 1 3 Για α = 1 ϋχω: f(χ) = 1 3 χ3 3 χ 10χ 7 και f (χ) = χ 3χ 10 και f (χ) = χ 3. Επομϋνωσ f (χ) = 0 χ 3 = 0 χ = 3 και f (χ) = 0 χ 3χ 10 = 0 χ = ό χ = 5 και ϋχω τον παρακϊτω πύνακα μεταβολών χ - - 3/ 5 f (χ) 0 - - 0 f (χ) - - 0 f(χ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Δύνεται ςυνϊρτηςη f: R R δύο φορϋς παραγωγύσιμη, για την οπούα ισχύει f (χ) χf(χ) χ 3χ = 0 για κϊθε χ R Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ςημεύο καμπόσ Λύςη f(χ) f (χ) f(χ) χf (χ) χ 3 = 0και παραγωγύζοντα ξανϊ ϋχω f (χ) f (χ) f(χ) f (χ) f (χ) χf (χ) f (χ) = 0 για κϊθε χ R. Έςτω ότι υπϊρχει ςημεύο καμπόσ ςτη θϋςη χ = χ 0 τότε f (χ 0 ) = 0 και ϋχω f (χ 0 ) f (χ 0 ) f(χ 0 ) f (χ 0 ) f (χ 0 ) χ 0 f (χ 0 ) f (χ 0 ) = 0 f (χ 0 ) f (χ 0 ) f (χ 0 ) = 0 (f (χ 0 ) f (χ 0 ) 1 = 0. Σο οπούο αν θεωρηθεύ ςαν δευτεροβϊθμιο τριώνυμο ωσ προσ f (χ 0 ) ϋχει διακρύνουςα Δ = 3 0 και επομϋνωσ δεν υπϊρχει τιμό που να τομηδενύζει. Αρα δεν μπορεύ η f να ϋχει ςημεύο καμπόσ. 3

ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΚΑΙ ΕΥΑΠΣΟΜΕΝΗ Έςτω ςυνϊρτηςη f η οπούα εύναι κυρτό ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομϋνη ςτη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ςε οποιοδόποτε ςημεύο τησ βρύςκεται κϊτω από τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ Η εξύσωση της εφαπτομϋνης στο σημεύο χ 0, f(χ 0 ) εύναι: ψ f(χ 0 ) = f (χ 0 )(χ χ 0 ) ψ = f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) Αλλϊ f(χ) ψ f(χ) f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) ΗΜΕΊΩΗ Σο «=» ςτη παραπϊνω ςχϋςη ιςχύει για χ=χ 0 που εύναι Η τετμημϋνη του ςημεύου επαφόσ. χ 0 Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη εύναι κούλη ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομϋνη τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ςε οποιοδόποτε ςημεύο τησ βρύςκεται πϊνω βρύςκεται πϊνω από τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ. Η εξύσωση της εφαπτομϋνης στο σημεύο χ 0, f(χ 0 ) εύναι: ψ f(χ 0 ) = f (χ 0 )(χ χ 0 ) ψ = f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) ΗΜΕΊΩΗ Σο «=» ςτη παραπϊνω ςχϋςη ιςχύει για χ=χ 0 που εύναι Η τετμημϋνη του ςημεύου επαφόσ. Αλλϊ f(χ) ψ f(χ) f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) χ 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f με τύπο f(χ) = αχ χlnχ με χ 0 και α 0. Α) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τη κυρτότητα Β) Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςτο ςημεύο Α(1,f(1)) και να προςδιορύςετε το α ώςτε να διϋρχεται η εφαπτομϋνη από την αρχό των αξόνων Γ) Αν α= να δεύξετε ότι: Λύςη χ χ lnχ χ για χ 1 f (χ) = αχ lnχ χ 1 χ = αχ lnχ και f (χ) = α χ = αχ χ f (χ) 0 αχ 0 αχ 0 αφού χ 0 αχ 1 0 χ 1 χ α Και 4

f (χ) 0 χ 1. Επομϋνωσ ϋχουμε τον παρακϊτω πύνακα κυρτότητασ α χ 0 1/α f (χ) - 0 f(χ) κούλη ς.κ κυρτό Η f εύναι κούλη ςτο 0, 1 α και 1 Η f εύναι κυρτό ςτο α, Η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο Α(1,f(1))=Α(1,α) εύναι ψ f(1) = f (1)(χ 1) ψ α = (α )(χ 1) ψ = (α )χ α α ψ = (α )χ α. Για να διϋρχεται από την αρχό των αξόνων Πρϋπει να διϋρχεται από το ςημεύο (0,0). Επομϋνωσ 0 = α α = και η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ εύναι ψ = χ Γ. 1 Αφού α = η f εύναι κυρτό ςτο διϊςτημα, και επομϋνωσ η εφαπτομϋνη ψ = χ Βρύςκεται κϊτω από τη γραφικό τησ παρϊςταςη. Επομϋνωσ θα ιςχύει: χ χlnχ χ χ χlnχ χ H εφαπτομϋνη ςτα ςημεύα καμπόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f φαύνεται ότι κόβει (διαπερνϊ) τη γραφικό τη γραφικό παρϊςταςη τησ f ΠΑΡΆΔΕΙΓΜΑ 1 Δύνεται η συνϊρτηση f με τύπο f(χ) = χ 3. Να μελετηθεύ ωσ προσ τη μονοτονύα και τα ακρότατα Να βρεθούν τα ςημεύα καμπόσ Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο καμπόσ Λύςη Πεδύο οριςμού τησ f εύναι το R f (χ) = 3χ με f (χ) = 0 3χ = 0 χ = 0 χ - 0 f (χ) = 6χ και f (χ) = 0 6χ = 0 χ = 0 Η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςε όλο το πεδύο οριςμού τησ R Εύναι κούλη ςτο (-,0- και κυρτό ςτο,0, ) Παρουςιϊζει ςημεύο καμπόσ το (0,0) f (χ) f (χ) - 0 0 Η εξύςωςη τηε εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο καμπόσ (0,0) εύναι ψ f(0) = f (0)(χ 0) ψ = 0. Δηλαδό ο ϊξονασ χ χ. Η γραφικό παρϊςταςη τησ f φαύνεται δύπλα και παρατηρούμε ότι η εφαπτομϋνη τϋμνει την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f ς.κ 5

ΑΚΗΕΙ ΛΤΜΕΝΕ ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η συνϊρτηση με τύπο f(χ) = ln(lnχ). α) Να δεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη τησ f ςτρϋφει τα κούλα προσ τα κϊτω β) Αν α 1 και β 1, να δεύξετε ότι α β ln lnα lnβ. ΘΕΜΑ BAC Λύςη α. Για να βρούμε το πεδύο οριςμού πρϋπει χ 0 lnχ 0 χ 0 lnχ ln1 χ 0 χ 1 χ 1. Αρα το πεδύο οριςμού Α f = (1, ) με χ (1, ) ϋχω f (χ) = 1 lnχ (lnχ) = 1 χlnχ και f (χ) = 1 (χlnχ) (χlnχ) = 1 lnχ 1 (lnχ 1) = (χlnχ) (χlnχ) με χ>1 ϋχω ότι lnχ>0 lnχ1>0 και επομϋνωσ η f (χ)<0. Άρα η f ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο διϊςτημα (1, ) β. ln α β ln ln α β lnα lnβ ln ln α β ln(lnα) ln(lnβ) ln ln α β α β και, β και ϋχω: ln(lnα) ln ln α β ςτα διαςτόματα α, α β ln ln α β f (χ 1 ) = f (χ ) = = α β α ln(lnβ) ln ln α β β α β = ln,lnα lnβ- ln ln α β β α 6 ln(lnα) ln(lnβ). Εφαρμόζω Θ. Μ. Σ για την f διαδοχικϊ ln(lnα) ln(lnβ) ln ln α β β α με χ 1 α, α β με χ α β, β Επειδό η ςτρϋφει τα κούλα κϊτω τότε η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και επειδό χ 1 χ f (χ 1 ) f (χ ) ln ln α β ln α β ln(lnα) ln(lnβ) ln ln α β lnα lnβ ΑΚΗΗ Δύνεται η συνϊρτηση f: R R. Αν στο σημεύο χ 0, f(χ 0 ) ϋχει σημεύο καμπός τότε να αποδεύξετε ότι το χ 0 δεν μπορεύ να εύναι θϋση τοπικού ακροτϊτου Λύςη Έςτω ότι το χ 0 εύναι θϋςη τοπικού ακροτϊτου. Σότε από Θ. Fermat f (χ 0 ) = 0. Καύ αφού εύναι και θϋςη ςημεύου καμπόσ τότε θα πρϋπει επιπλϋον αριςτερϊ και δεξιϊ του χ 0 να αλλϊζει η κυρτότητα. Εςτω ότι με χ χ 0 εύναι κυρτό και με χ χ 0 εύναι κούλη. Σότε θα ιςχύουν: κυρτό με χ χ 0 η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. f (χ 0 )=0 f (χ) 0 και

κούλη 7 f (χ 0 )=0 f (χ) 0 με χ χ 0 η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. Επομϋνωσ η f αριςτερϊ και δεξιϊ του χ 0 εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και επομϋνωσ δεν μπορεύ να παρουςιϊζει ακρότατο. Σο οπούο εύναι ϊτοπο αφού δεχθόκαμε ότι ςτο χ 0 ϋχει ακρότατο. ΑΚΗΗ 3 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f:r R με f(χ) 0 η οπούα εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη. Θεωρούμε τη συνϊρτηση g(χ) = lnf(χ) α) Να βρεύτε την g (χ) β) Αν η g εύναι κυρτό, να αποδεύξετε ότι f(χ)f (χ) (f (χ)) Λύςη α. g (χ) = f (χ) f(χ) f (χ)f(χ) f (χ)f (χ) f (χ)f(χ) f (χ) και g (χ) = f = (χ) f (χ) β. Αφού η g εύναι κυρτό τότε η g (χ) 0 για κϊθε χ R διότι αν g (χ) 0 για κϊθε χ R θϊ εύχαμε ότι η g εύναι κούλη. Επομϋνωσ f (χ)f(χ) f (χ) g (χ) 0 f 0 f (χ)f(χ) f (χ) 0 f (χ)f(χ) f (χ) (χ) ΑΚΗΗ 4 A) Αν μια συνϊρτηση f εύναι δύο φορϋς παραγωγύσιμη, κυρτό και f (χ) 0 και f (χ) 0 διϊστημα Δ, τότε να αποδεύξετε ότι η f 1 εύναι κούλη στο f(δ). B) Έστω συνϊρτηση f για την οπούα ισχύει f 3 (χ) f(χ) = χ για κϊθε χ R Αν η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη τότε I. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει η αντύςτροφη τησ f και να την βρεύτε και II. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι κούλη ςτο,0, ) Α Από την γνωςτό ςχϋςη f f 1 (χ) = χ.f f 1 (χ) / = 1 f f 1 (χ) f 1 (χ) = 1 f 1 (χ) 1 = f f 1 (χ) και f 1 (χ) = f f 1 (χ) f 1 (χ) f f 1 (χ) 0 Ο παρονομαςτόσ εύναι θετικόσ αφού f (χ) 0. Σο ύδιο ςυμβαύνει και με την αντύςτροφη διότι: f 1 (χ) 1 = f f 1 (χ) 0 και ακόμη αφού η f εύναι κυρτό f (χ) 0 τότε f (χ) 0 Β Ι Πρϋπει να αποδεύξουμε ότι εύναι «1-1» Για κϊθε χ 1, χ R με f(χ 1 ) = f(χ ) f 3 (χ 1 ) = f 3 (χ ) f 3 (χ 1 ) f(χ 1 ) = f 3 (χ ) f(χ ) χ 1 = χ. Αρα εύναι 1-1 και επομϋνωσ υπϊρχει η αντύςτροφό τησ Για να τη βρώ θϋτω ςτη δοθεύςα ςχϋςη όπου χ το f 1 (χ) και ϋχω. f 3 f 1 (χ) f f 1 (χ) = f 1 (χ) χ 3 χ = f 1 (χ) Για το πεδύο οριςμού τησ θα βρώ το ςύνολο τιμών τησ f. f(χ) = ψ f 3 (χ) = ψ 3. Επομϋνωσ f 3 (χ) f(χ) = ψ 3 ψ χ = ψ 3 ψ. Επομϋνωσ το πεδύο

τιμών τησ f εύναι το R και επομϋνωσ το πεδύο οριςμού τησ f 1 εύναι το R. Β ΙΙ (f 1 (χ)) = 3χ 6χ 0, αφού χ 0 και (f 1 (χ)) = 6χ 0, αφού χ 0. Επομϋνωσ για την f 1 ιςχύουν οι προώποθϋςεισ του πρώτου ερωτόματοσ. Και αφού η f 1 εύναι κυρτό η αντύςτροφό τησ που εύναι η f εύναι κούλη ΑΚΗΗ 5 ημχ Δύνεται η f(χ) = χ, 0 χ π 1, αν χ = 0 Να αποδεύξετε ότι: α) η f εύναι γνησύως φθύνουσα στο 00, π 1 και β) η f εύναι κούλη στο 00, π 1 Η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεχόσ ςτο χ 0 = 1 διότι lim f(χ) = lim χ 0 χ 0. ημχ χ = 1 = f(0) Ακόμη για χ.0, π / ϋχω: ςυνχ χ ημχ f (χ) = χ. Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη g(χ) = ςυνχ χ ημχ και ϋχω g (χ) = ημχ χ ςυνχ ςυνχ = χημχ 0 όταν το χ.0, π /. Επομϋνωσ η g εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο 00, π ςυνχ χ ημχ 1 και με χ 0 g(χ) g(0) ςυνχ χ ημχ 0 χ 0. Άρα και η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο 00, π 1 Αν χ 1, χ 00, π 1 με χ 1 χ g(χ 1 ) g(χ ) και χ 1 χ 1 χ 1 1 χ g(χ 1) χ 1 g(χ ) χ και επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και ϊρα f εύναι κούλη ςτο 00, π 1 ΑΚΗΗ 6 Έςτω f ςυνϊρτηςη με f γνηςύωσ αύξουςα ςτο R. Αν α εύναι θϋςη τοπικού ελαχύςτου τησ f και β θϋςη τοπικού μϋγιςτου τησ f με α β και ςτο διϊςτημα (α,β) εύναι f (χ) 0, να αποδειχθεύ ότι υπϊρχει χ 0 τϋτοιο ώστε το σημεύο Π(χ 0, f(χ 0 ) να εύναι σημεύο καμπός της f και μϊλιστα μοναδικό Αφού το α εύναι θϋςη τοπικού ελϊχιςτου f (α)=0 και επειδό το β εύναι θϋςη τοπικού μϋγιςτου f (β)=0. Άρα αν εφαρμόςω Θ. Rolle για την f ςτο (α,β) τότε θα ϋχω ότι υπϊρχει χ 0 (α, β)τϋτοιο, ώςτε f (χ 0 ) = 0. Και με χ χ 0 με χ χ 0 f γν. φθύνουςα f γν. φθύνουςα f (χ) f (χ 0 ) = 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 8

αφού η f αλλϊζει πρόςημο αριςτερϊ και δεξιϊ του του χ 0 τότε το Π(χ 0, f(χ 0 ) εύναι ςημεύο καμπόσ τησ f ΑΚΗΗ 7 Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςε ϋνα ανοικτό διϊςτημα (α,β) και ςτο ςημεύο χ 0 (α, β) υπϊρχει η τρύτη παρϊγωγος f (χ 0 ). Εύναι δε f (χ 0 ) = 0 και f (χ 0 ) 0. Να δεύξετε ότι η f παρουσιϊζει καμπό για χ = χ 0 Αφού f (χ 0 ) 0 τότε f (χ 0 ) 0 ό f (χ 0 ) 0. Εςτω f (χ 0 ) 0, τότε κοντϊ ςτο χ 0 η f (χ) f (χ 0 ) f (χ 0 ) = lim 0 και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0) 0 κοντϊ ςτο χ χ χ0 χ χ 0 χ χ 0 0 Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ αν χ χ 0 χ χ 0 0 και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 αν χ χ 0 χ χ 0 0 και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 Άρα τελικϊ η f αλλϊζει πρόςημο αριςτερϊ και δεξιϊ του χ 0 και επομϋνωσ εύναι θϋςη ςημεύου καμπόσ. ΑΚΗΗ 7 Δύνεται ςυνϊρτηςη f:r R για την οπούα ιςχύει: Ι. f (0) = 3 και ΙΙ. f(χ ψ) = f(χ)f(ψ) για κϊθε χ, ψ R Να αποδεύξετε ότι: α) f(χ) = 3e 3χ β) η f εύναι κυρτό ςτο R α. Παραγωγύζοντασ ωσ προσ χ ϋχω: f (χ ψ)(χ ψ) = f (χ)f(ψ) f (χ ψ) = f (χ)f(ψ) για κϊθε χ, ψ R. Αν θϋςω όπου χ = 0 ϋχω f (ψ) = f (0)f(ψ) f (ψ) = 3f(ψ) για κϊθε ψ R Επομϋνωσ ϋχουμε f (χ)=3f(χ) με χ R πολλαπλαςιϊζω με e 3χ και ϋχω: f (χ)e 3χ = 3f(χ)e 3χ f (χ)e 3χ 3f(χ)e 3χ = 0 f (χ)e 3χ (e 3χ ) f(χ) = 0 (f(χ)e 3χ ) = 0. Επομϋνωσ f(χ)e 3χ = c f(χ) = ce 3χ Αλλϊ από την f (χ) = 3f(χ) για χ = 0 ϋχω f (0) = 3f(0) 3 = 3f(0) f(0) = 1 και αν ςτην f(χ) = ce 3χ θϋςω χ = 0 ϋχω f (0) = cf(0) c = 3. Σελικϊ ϋχω f(χ)= 3e 3χ β. f (χ) = 9e 3χ και f (χ) = 7e 3χ 0. Άρα η f εύναι κυρτό. ΑΚΗΗ 8 Έςτω f ςυνεχόσ ςτο,α,β- και δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο (α,β) με f(α)=f(β)=0.έςτω ότι υπϊρχει γ (α,β) τϋτοιο ώςτε f(γ) 0. Να αποδεύξετε ότι: α) υπϊρχει ξ (α,β) τϋτοιο ώςτε f (ξ) 0 β) αν η f εύναι κυρτό ςτο,α,β- τότε 9

Ι. υπϊρχει μοναδικό χ 0 (α, β)τϋτοιο, ώστε f (χ 0 ) = 0 και ΙΙ. εύναι f(χ) 0 για κϊθε χ (α, β) α. Αφού η f εύναι και ςυνεχόσ ςτο,α,β- και παραγωγύςιμη ςτο (α,β) θα εύναι και ςυνεχόσ ςτο,α,γ- και παραγωγύςιμη ςτο (α,γ). Άρα ιςχύει το Θ.Μ.Σ και ϋχω: f (ξ 1 ) = f(γ) f(α) γ α = f(γ) γ α 0 και ξ 1 (α, γ) Παρόμοια για το διϊςτημα (γ,α) f(β) f(γ) f (ξ ) = = f(γ) β γ β γ 0 και ξ (γ, β) Εφαρμόζω Θ. Μ. Σ ςτο,ξ 1, ξ - για την f και ϋχω: f (ξ) = f (ξ ) f (ξ 1 ) 0 ξ ξ 1 β Ι Εφαρμόζω θεώρημα Bolzano για την f ςτο [ξ 1, ξ ] και αφού f (ξ 1 ) f (ξ ) 0 τότε υπϊρχει χ 0 (ξ 1, ξ ) τϋτοιο, ώςτε f (χ 0 ) = 0. Ακόμη η f εύναι ςυνεχόσ ςτο,ξ 1, ξ - αφού η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη. βιι Αφού η f εύναι κυρτό τότε η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. Επομϋνωσ με α χ χ 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 και επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ γθύνουςα. Αρα f(α) f(χ) f(χ) 0 με χ 0 χ β f (χ 0 ) f (χ) 0 f (χ) και επομϋνωσ η f γνηςύωσ αύξουςα. Αρα f(χ) f(β) = 0 Σελικϊ με χ (α,β) f(χ) 0 ΑΚΗΗ 9 Έστω συνϊρτηση f: R R για την οπούα ισχύει f(χ) = e χ f(χ), για κϊθε χ R. α) Να δειχθεύ ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β) Να δειχθεύ ότι το ςύνολο τιμών τησ εύναι το (0, ) γ) Έςτω ότι η f εύναι παραγωγύςιμη Ι. Να δειχθεύ ότι ισχύει: f(χ) f(ψ) χ ψ για κϊθε χ, ψ R ΙΙ. Να δειχθεύ ότι f (χ) = eχ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) ΙΙ. Η f ςτρϋφει τα κούλα ϊνω ςτο R α. Από τη δοθεύςα ϋχω: f(χ) = e χ f(χ) f(χ) = e χ e f(χ) f(χ)e f(χ) = e χ και f(χ) 0 για κϊθε χ R 10

Θα πρϋπει να δεύξω ότι: με χ 1 χ ότι f(χ 1 ) f(χ ) Εςτω ότι f(χ 1 ) f(χ ) 0 e f(χ 1 ) e f(χ ) 0 f χ 1 e f(χ 1 ) χ 1 χ. Άτοπο. Άρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. β. ψ 0 11 f(χ )e f(χ ) e χ 1 e χ ψ = f(χ) lnψ = χ f(χ) lnψ ψ = χ με ψ (0, ). Άρα το ςύνολο τιμών εύναι (0, ) γ1. Από τη δοθεύςα ϋχουμε lnf(χ) = χ f(χ) f(χ) = χ lnf(χ) και f(ψ) = ψ lnf(ψ) και επομϋνωσ f(χ) f(ψ) = χ ψ,lnf(ψ) lnf(χ)- Έχουμε ακόμη από το α. ότι η f εύναι γν. αύξουςα. Επομϋνωσ διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ. με χ ψ f(χ) f(ψ) lnf(ψ) lnf(χ) Επομϋνωσ f(χ) f(ψ) χ ψ με χ > ψ θα ϋχουμε ότι f(ψ) f(χ) ψ χ Επομϋνωσ f(χ) f(ψ) χ ψ τό "=" ιςχύει για χ=ψ γ. f (χ) = e χ f(χ) = e χ f(χ) 1 f (χ) = e χ f(χ) e χ f(χ) f (χ). Επομϋνωσ ϋχω f (χ) e χ f(χ) f (χ) = e χ f(χ) f (χ) 1 e χ f(χ) = e χ f(χ) e χ f(χ) f (χ) = (1 e χ f(χ) 0. Καύ ) f (χ) = eχ f(χ) 1 f (χ) 1 e χ f(χ) e χ f(χ) e χ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) = = eχ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) γ3. Από τι γ1. ϋχω: f(χ) f(ψ) χ ψ f(χ) f(ψ) χ ψ και επομϋνωσ και 1 f(χ) f(χ 0) χ χ 0 1 1 f(χ) f(ψ) χ ψ 1 για κϊθε χ, ψ R f(χ) f(χ 0 ) 1 1 lim 1 χ χ0 χ χ 0 e χ f(χ) (1 e χ f(χ) ) 1 f (χ 0 ) 1και αφού f (χ) 0 τότε 0 f (χ) 1. Επειδό f (χ) = για να e χ f(χ) εύναι f (χ) = 1 θα πρϋπει (1 e χ f(χ) ) = 1 eχ f(χ) = 1 e χ f(χ) 0 = 1. Ατοπο. Αρα 0 f (χ 0 ) 1 και επομϋνωσ 1 f (χ) 0 eχ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) 0. Αρα η f ςτρϋφει τα κούλα ϊνω ΗΜΕΙΩΗ Ότι εύναι κυρτό θα μπορούςε να αποδειχθεύ πιο εύκολα αν ϋπαιρνα από τη δοθεύςα lnf(χ) = χ f(χ) f (χ) f(χ) 1 = 1 f (χ) f (χ) f(χ) 1 = 1 f (χ) = f(χ) 1 f(χ) 0 αφού f(χ) 0. Από εδώ φαύνεται ότι επειδό η παρϊςταςη f(χ) εύναι παραγωγύςιμη 1 f(χ)

υπϊρχει η δεύτερη παρϊγωγοσ τησ f και εύναι: f (χ) 1 f(χ) f (χ) f(χ) f (χ) = 1 f(χ) = 1 f(χ) 0. ΑΚΗΗ 9 Έςτω f παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη ςτο R και τησ οπούασ το ςύνολο τιμών εύναι το (0, ). Αν για κϊθε χ R ιςχύει f (χ)f(-χ)=1. Να αποδεύξετε ότι : α) η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β) η ςυνϊρτηςη g(χ)=f(-χ) εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο R γ) η f εύναι κυρτό ςτο R α. f (χ) = 1 0, αφού η f ϋχει ςύνολο τιμών το (0, ). Άρα η f εύναι γν. αύξουςα ςτο R. f( χ) β. g (χ) = f( χ) = f ( χ)( χ) = f ( χ). Άρα η g εύναι γν. φθύνουςα. γ. 1 Αφού η f εύναι παραγωγύςιμη και η f( χ)εύναι παραγωγύςιμη και η εύναι παραγωγύςιμη f( χ) Άρα: f (χ) = 1 f ( χ) f( χ) = f ( χ) f 0. Αρα η f εύναι κυρτό ( χ) ΑΚΗΗ 10 Δύνεται η συνϊρτηση f(χ) = 1 α (χ α)eα χ, χ R και α 0 α) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τη μονοτονύα, τα ακρότατα και τα ςημεύα καμπόσ β) Να δεύξετε ότι για κϊθε α>0 οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f και f ϋχουν ϋνα μόνο κοινό ςημεύο. γ) Η ευθεύα χ=1 ορύζει με τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f και f ϋνα ευθύγραμμο τμόμα. Να βρεύτε την τιμό του α, ώςτε το τμόμα αυτό να ϋχει το μικρότερο δυνατό μόκοσ. α) f (χ) = 1 α eα χ 1 α (χ α)eα χ ( 1) = 1 α eα χ (1 χ α) f (χ) = 0 χ = 1 α f (χ) = 1 α eα χ 1 α eα χ (1 χ α) f (χ) = 0 1 α eα χ ( χ α) = 0 χ = α. Σοπικό μϋγιςτο ϋχει ςτη θϋςη χ=1-α f(1 α) = 1 α eα 1 και ςημεύο καμπόσ ςτη θϋςη χ=-α χ - 1-α -α f (χ) 0 - - f (χ) 0 - f τ.μ ς.κ 1

β. f( α) = α eα γ. f(χ) = f (χ) 1 α (χ α)eα χ = 1 α eα χ (1 χ α) 1 α eα χ (χ α 1 χ α) = 0 χ = 1 α που εύναι και μοναδικό Η απόςταςη εύναι d(α) = f(1) f (1) = α 1 α eα 1 1 α eα 1 ( α) = 1 α eα 1 (α 1) = 1 α eα 1 (α 1) Για να βρώ την ελϊχιςτη απόςταςη πρϋπει: d (α) = e α 1 1 α = e α 1 1 α eα 1 1 α = eα 1 1 α 1 και d (α) = 0 α 1 α 1 α = 0 α α 1 = 0 α = 1 αφού α > 0 ΑΚΗΗ 10 Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f:,0, ) R με f(0)=1, η οπούα ικανοποιεύ τισ ςχϋςεισ f 4 (χ) 3f (χ) = 0 και f(χ) 0 για κϊθε χ : [0, ) α) Να δεύξετε ότι η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη β) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τη μονοτονύα και τη κυρτότητα χωρύσ τη χρόςη του τύπου τησ ςτο ερώτημα γ. 1 γ) Να αποδεύξετε ότι f(χ) =, χ 0 3 χ 1 δ) Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςυνϊρτηςησ τησ f ςτο ςημεύο Α(0,f(0)). ε) Να αποδεύξετε ότι f(συν α) f(1) f(συνα) με α.0, π / α) Από τη δοθεύςα ςχϋςη ϋχω f (χ) = 1 3 f 4 (χ) και αφού η f εύναι παραγωγύςιμη και η 1 3 f 4 (χ) εύναι παραγωγύςιμη και επομϋνωσ η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και μϊλιςτα f (χ) = 4 3 f 3 (χ) f (χ) = 4 3 f 3 (χ) 1 3 f 4 (χ) = 4 9 f 7 (χ) β. Αφού f (χ) = 1 3 f 4 (χ) 0 η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. f (χ) = 4 9 f 7 (χ) 0. Διότι αφού η f εύναι ςυνεχόσ ςτο,0, )θα διατηρεύ ςταθερό πρόςημο εφόςον f(χ) 0. Επομϋνωσ αφού f(0) = 1 και f(χ) 0 13

Σελικϊ η f εύναι κυρτό γ. ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Από την f 4 (χ) 3f (χ) = 0 3f (χ) f 4 (χ) = 1 1 f(0) = 1 ϋχω = χ 1 f 3 = χ c και επειδό (χ) f 3 (χ) 1 f(0) = 0 c c = 1. Επομϋνωσ 1 f 3 (χ) = χ 1 f 3 (χ) = 1 χ 1 f(χ) = 1, αφού f(χ) 0 για κϊθε χ,0, ) 3 χ 1 δ. Η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο Α εύναι: ε. Από τον τύπο f (χ) = 1 3 f 4 (χ) f (0) = 1 3 f(0) = 1 3 ψ f(0) = f (0) χ ψ 1 = 1 3 χ ψ = 1 3 χ 1 ςυνα ςυν α = ςυν α 1 ςυν α = ςυν α 1 0 αφού α.0, π / και τελικϊ ϋχουμε ςυνα ςυν α 1 Από τη ςχϋςη f(ςυν α) f(1) f(ςυνα) f(ςυν α) f(1) f(ςυν α) f(ςυνα) 0 f(1) f(ςυν α),f(ςυν α) f(ςυνα)- 0 f(1) f(ςυν α) 1 ςυν f(ςυν α) f(ςυνα) α 1 ςυν 0 f (χ α 1 ) f (χ ) 0 με χ 1 (ςυν α, 1) και χ (ςυνα, ςυν α) Επειδό η f εύναι κυρτό η f εύναι γν. αύξουςα και επομϋνωσ αφού χ χ 1 f (χ ) f (χ 1 ) f (χ 1 ) f (χ ) 0 ΑΚΗΗ 11 Έςτω ςυνϊρτηςη f:(0, ) R δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο (0, ) με f(1)=0. Αν η ςυνϊρτηςη fοf ορύζεται ςτο (0, ) και για κϊθε χ (0, ) ιςχύει : (fοf )(χ) = f(χ) να αποδεύξετε ότι: α) το πεδύο ορισμού της f εύναι το Α f = (0, ) β) η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο (0, ) γ) f (1)=1 δ) (f οf )(χ)=χ για κϊθε χ (0, ) ε) χf (χ)f (χ)=0 για κϊθε χ (0, ) ςτ) η ςυνϊρτηςη f εύναι κούλη ςτο (0, ) α. Πϊντοτε ιςχύει Α f Α f = (0, ) Επομϋνωσ ό Α f = Α f = (0, ) ό υπϊρχει ςτοιχεύο του (0, ) που δεν ανόκει ςτο Α f και ϋςτω ξ ϋνα τϋτοιο. Σότε: 14

Επειδό Α fοf = *χ Α f f (χ) (0, ) = (0, ) το ξ (0, )που εύναι ϊτοπο. β. Αφού Α fοf = *χ Α f f (χ) (0, ) η f (χ) (0, ) και επομϋνωσ f (χ) 0. Αρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο (0, ) γ. f(1)=0 τη ςχϋςη (fοf )(χ) = f(χ) θϋτω όπου χ = 1 και ϋχω: f f (1) = f(1) f f (1) = 0 = f(1) και αφού η f εύναι γν. αύξουςα θα εύναι και 1 1 και επομϋνωσ f (1) = 1 δ. τη ςχϋςη (fοf )(χ) = f(χ) θϋτω όπου χ = f (χ) 0 και ϋχω f.f f (χ) / = f f (χ) f f (χ) = f(χ) f.f f (χ) / = f(χ) f εύναι "1 1" (fοf )(χ) = χ για κϊθε χ (0, ) ε. Παραγωγύζοντασ τη ςχϋςη (fοf )(χ) = f(χ) ϋχω f f (χ) =χ.f f (χ) / = f (χ) f f (χ) f (χ) = f (χ) χf (χ) f (χ) = 0 για κϊθε χ (0, ) ςτ. Από το προηγούμενο ερώτημα ϋχω: f (χ) = f (χ) 0 για κϊθε χ (0, ) χ Επομϋνωσ η f εύναι κυρτό ςτο (0, ) f f (χ) = χ χf (χ) = f (χ) ΑΚΗΗ 11 Έςτω f μια ςυνϊρτηςη ςυνεχόσ ςτο,α,β- που ϋχει ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο ςτο (α,β). Αν ιςχύει f(α)=f(β)=0 και υπϊρχει γ (α,β), δ (α,β) ϋτςι, ώςτε f(γ) f(δ)<0, να αποδεύξετε ότι: α) υπϊρχει μύα τουλϊχιςτον ρύζα τησ εξύςωςησ f(χ)=0 ςτο (α,β) β) υπϊρχουν σημεύα ξ 1, ξ τϋτοια ώστε f (ξ 1 ) 0 και f (ξ ) 0 γ) υπϊρχει τουλϊχιςτον μύα θϋςη πιθανού ςημεύου καμπόσ ΙΟΤΝΙΟ -003 α. Εφαρμόζω Θ.Βolzano ςτο,γ,δ-,α,β-. Η f εύναι ςυνεχόσ ςτο,γ,δ- Η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο (γ,δ) (α,β) f(γ) f(δ)<0 Άρα υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ (γ,δ) (α,β) τϋτοιο, ώςτε f(ξ)=0 β. 15

Έςτω α<γ<δ<β και αφού f(γ) f(δ)<0 τα f(γ) και f(δ) εύναι ετερόςημοι αριθμού. Έςτω λοιπόν ότι f(γ)<0 και f(δ)>0 Εφαρμόζω τρύα θεωρόματα μϋςησ τιμόσ ςτα διαςτόματα,α,γ-,,γ,δ-,,δ,β- Και ςτα τρύα η f εύναι ςυνεχόσ, αγού και τα τρύα εύναι υποςύνολα του,α,β- Η f εύναι παραγωγύςιμη ςτα διαςτόματα (α,γ), (γ,δ), (δ,β) αφού και τα τρύα εύναι υποςύνολα του (α,β) ςτο οπούο η f εύναι παραγωγύςιμη Επομϋνωσ: f (ξ 3 ) = f (ξ 5 ) = f(γ) f(α) γ α = f(γ) γ α 0 με ξ 3 (α, γ) f (ξ 4 ) = f(δ) f(γ) 0 με ξ δ γ 4 (γ, δ) f(β) f(δ) β δ = f(δ) β δ 0 με ξ 5 (δ, β) Επομϋνωσ ξ 3 ξ 4 ξ 5 Εφαρμόζω θεώρημα μϋςησ τιμόσ για την f ςτο,ξ 3, ξ 4 - και ϋχω η f εύναι ςυνεχόσ από δεδομϋνα ςτο,ξ 3, ξ 4 - (α, β) η f εύναι παραγωγύςιμη αφού υπϊρχει από δεδομϋνα η δεύτερη παρϊγωγοσ f (ξ ) = f (ξ 4) f (ξ 3 ) 0 με ξ (ξ 3, ξ 4 ) (α, β) ξ 4 ξ 3 Παρόμοια εφαρμόζω θεώρημα μϋςησ τιμόσ ςτο,ξ 4, ξ 5 - και ϋχω: f (ξ 1 ) = f (ξ 5) f (ξ 4 ) 0 με ξ 1 (ξ 4, ξ 5 ) (α, β) ξ 5 ξ 4 γ. Εφαρμόζοντασ Θ.Βolzano για την f ςτο,ξ, ξ 1 ] ϋχω ότι: Τπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ (ξ, ξ 1 ) τϋτοιο, ώςτε f (ξ) = 0. Άρα ϋχουμε τουλϊχιςτον ϋνα πιθανό ςημεύο καμπόσ ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνϊρτηςη f τρεύσ φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R με f (χ) 0 για κϊθε χ R και η f εύναι ςυνεχόσ ςτο R. Αν f () 0, f () 0 και για κϊθε χ R ισχύει f(χ) f(4 χ) = 3, τότε: α) Να αποδεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τα κούλα και τα ςημεύα καμπόσ γ) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(χ)=3 ϋχει ακριβώσ μύα ρύζα ςτο R 16

δ) Αν η γραφικό παρϊσταση g της συνϊρτησης g(χ) = f(χ) τϋμνει τον f (χ) ϊξονα χ χ ςτο ςημεύο Μ, να αποδεύξετε ότι η εφαπτομϋνη τησ g ςτο ςημεύο Μ ςχηματύζει με τον ϊξονα χ χ γωνύα 45 ο μοιρών. ε) Για χ να αποδεύξετε ότι η εξύσωση f(χ 1) = f(χ) f(χ ) εύναι αδύνατη. α. Αφού η f (χ) 0 και εύναι ςυνεχόσ τότε διατηρεύ ςταθερό πρόςημο και επειδό f () 0 τότε f (χ)>0 και επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. β. Από τη δοθεύςα ςχϋςη f(χ) f(χ 4) = 3 ϋχω: f (χ) f (4 χ) = 0 f (χ) f (4 χ) = 0 που ιςχύει για κϊθε χ R. Αρα θα ιςχύει και για χ=, οπότε f ()f ()=0 f ()=0. Άρα μύα ρύζα τησ f (χ)=0 εύναι η χ= που εύναι και μοναδικό αφού η f εύναι και γν. αύξουςα. Αν χ> και f (χ)>f ()=0. Άρα η f εύναι κυρτό ςτο,, ) αφού εύναι και ςυνεχόσ ςτο,, ) Αν χ< και f (χ)<f ()=0. Άρα η f εύναι κούλη ςτο (-,- αφού εύναι και ςυνεχόσ ςτο διϊςτημα (-,- Και η f ϋχει ςημεύο καμπόσ ςτη θϋςη χ = και εύναι το ςημεύο (, f()) =, 3 γ. Από τη δοθεύςα f(χ) f(χ 4) = 3 για χ = ϋχω: f() f() = 3 f() = 3. Επομϋνωσ η χ= εύναι μύα ρύζα τησ εξύςωςησ f(χ)=3 Όμωσ η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ αφού υπϊρχει η f. Επομϋνωσ η f διατηρεύ ςταθερό το πρόςημο και επειδό f ()>0 και η f (χ)>0 για κϊθε χ R. Άρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα και επομϋνωσ η ρύζα εύναι μοναδικό. δ. Έςτω Μ(α,0) το ςημεύο ςτο οπούο η γραφικό παρϊςταςη τησ g τϋμνει τον ϊξονα χ χ. f (χ)f (χ) f (χ)f(χ) f (α)f (α) f (α)f(α) (f (α)) g (χ) = (f (χ)) καιg (α) = (f (α)) = (f (α)) = 1 Επομϋνωσ ο ςυντελεςτόσ διεύθυνςησ τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο Μ(α,0) εύναι: f (α) = εφω = 1 ω = 45 0 ε. Για χ να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(χ 1) = f(χ) f(χ ) f(χ 1) f(χ) f(χ ) f(χ 1) f(χ 1) f(χ) = f(χ ) f(χ 1) = χ 1 χ χ (χ 1) f (χ 1 ) = f (χ ), με χ 1 (χ, χ 1) και χ (χ 1, χ ). Επειδό η f εύναι γν. αύξουςα εύναι και «1-1» και επομϋνωσ από την f (χ 1 ) = f (χ ) χ 1 = χ που εύναι ϊτοπο αφού τα χ 1, χ ανόκουν ςε διαφορετικϊ διαςτόματα 17

ΑΚΗΕΙ ΑΚΗΗ 1 Θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το ανοιχτό διϊςτημα Δ, και δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο Δ, τϋτοια ώςτε να ιςχύει χ f (χ) 4χ = 0 για κϊθε χϵδ Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ςημεύο καμπόσ ΑΚΗΗ Εςτω ότι f (χ) > 0 για κϊθε χϵ,0,α- και f(α)>0 και f(0)=0. Να δεύξετε ότι για κϊθε χϵ(ο,α) ιςχύει f(χ) χ < f(α) α ΑΚΗΗ 3 Έςτω f ςυνϊρτηςη δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο διϊςτημα R με :f(χ)>0 και f(χ)f (χ) >,f (χ)- για κϊθε χϵr.να δεύξετε ότι: α) η ςυνϊρτηςη g με τύπο g(χ)=lnf(x) εύναι κυρτό ςτο R β) για κϊθε χ 1, χ ϵr ιςχύει f. χ 1 χ / f(χ 1)f(χ ) ΑΚΗΗ 4 Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ανοικτό διϊςτημα Δ =(α,β) και ςτο ςημεύο χ 0 ϵ(α, β) υπϊρχει η τρύτη παρϊγωγοσ και ιςχύουν f (χ 0 ) = 0 και f (χ 0 ) 0. Να δεύξετε ότι η f παρουςιϊζει καμπό για χ=χ 0. ΑΚΗΗ 5 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο,0, ) και κυρτό, εύναι δε f(0)=0 να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g(χ)= f(χ) χ εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο(0, ) ΑΚΗΗ 6 Έςτω μύα ςυνϊρτηςη δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R για την οπούα ιςχύουν 1. f (χ) 0 για κϊθε χϵr. f (χ) 0 για κϊθε χϵr 3. f( R )=R Να αποδεύξετε ότι 1. Τπϊρχει η f 1 και διατηρεύ το ύδιο εύδοσ μονοτονύασ. Τπϊρχει η (f 1 ) και να βρεθεύ 3. Η f 1 ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο R ΗΜΕΙΩΗ. Απαραύτητη προώπόθεςη για να υπϊρχει η παρϊγωγοσ τησ αντύςτροφησ εύναι ϋνα από τα παρακϊτω 18

1. Η f παραγωγύςιμη και γνηςύωσ μονότονη. Η f παραγωγύςιμη και f (χ 0 ) 0 με χ 0 εςωτερικό του Δ ΑΚΗΗ 7 Να δειχθεύ ότι η ςυνϊρτηςη f με τύπο f(χ)=3χ lnχ χ 3 χ ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο (0, ) ΑΚΗΗ 8 Έςτω μύα ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R και ιςχύει f(χ)=e χ f (χ) χ e χ με το χϵr 1. Αν χ 0 εύναι θϋςη του ςημεύου καμπόσ τότε υπϊρχει περιοχό κοντϊ ςτο χ 0 ςτην οπούα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. Αν το ςημεύο χ 0 εύναι κρύςιμο ςημεύο τησ f τότε εύναι τοπικό μϋγιςτο ΑΚΗΗ 9 Έςτω ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο Δ και κυρτό ςτο Δ 1. Αν α,βϵδ με α<β να δειχθεύ ότι f(α) f(β) > f( αβ ) (ανύσωση Jensen). Να δειχθεύ ότι 1. Η g(χ)=χlnx εύναι κυρτό ςτο (0, ). α α β β >. αβ /αβ ΑΚΗΗ 10 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(χ)=(χ κ) 3 (χ λ) 5, κ,λϵr με κ<λ. Να αποδεύξετε ότι f (χ) 1. f(χ) = 3 χ κ 5 χ λ. Η ςυνϊρτηςη g(χ) = ln f(x) ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο διϊςτημα (κ, λ) ΑΚΗΗ 11 Έςτω f μύα ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι τρεύσ φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R. Αν για κϊθε χϵr ιςχύει f (χ),f (χ)- 009 = ημ χ 3χ e χ να δειχθεύ ότι η f δεν ϋχει ςημεύο καμπόσ. ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f με τύπο f(χ)=χ lnχ αχ, όπου αϵr 1. Να βρεθούν τα τοπικϊ ακρότατα και τα ςημεύα καμπόσ 19

. Αν χ 0 εύναι θϋςη του ςημεύου καμπόσ να βρεύτε το γεωμετρικό τόπο του Μ(χ 0, f(χ 0 )) όταν το α διατρϋχει το R ΑΚΗΗ 13 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο διϊςτημα Δ και ςτο χ 0 εςωτερικό του Δ ϋχει τοπικό μϋγιςτο να αποδειχθεύ ότι το χ 0 δεν εύναι θϋςη ςημεύου καμπόσ ΑΚΗΗ 14 Έςτω μύα ςυνϊρτηςη με την δεύτερη παρϊγωγο γνηςύωσ αύξουςα ςτο R. Αν α εύναι θϋςη τοπικού ελαχύςτου τησ f και β θϋςη τοπικού μεγύςτου τησ f με α<β και ςτο διϊςτημα (α,β) εύναι f (χ) 0 να δειχθεύ ότι υπϊρχει χ 0 ϵ(α, β) τϋτοιο ώςτε το ςημεύο Μ(χ 0, f(χ 0 )) να εύναι ςημεύο καμπόσ τησ f και μϊλιςτα μοναδικό ΑΚΗΗ 15 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R με f()=0 και ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο,-,5- να δειχθεύ ότι 4f(5)3f(-)<0 ΑΚΗΗ 16 Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f για την οπούα ιςχύουν Ι. f (1) = και ΙΙ. f(χψ) = f(χ) f(ψ) για κϊθε χ, ψ > 0 Να αποδεύξετε ότι η f εύναι κούλη ςτο (0, ) ΑΚΗΗ 17 Έςτω οι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f:r R για την οπούα ιςχύει f (χ) f (ψ) χ ψ για κϊθε χ, ψ R Να αποδεύξετε ότι : α) f (χ) 1, για κϊθε χ R β) Η ςυνϊρτηςη g(χ) = f(χ) αχ, με α 1 εύναι κούλη γ) Με α 1 ιςχύει: f() f(1) f(0) 0