1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) f() = iv) f() = log ( log4(- )) v) f() = ii) f() = iii) f() = log ( + ) 5 log 4 vii) f() = viii) f() = ημ vi) f() = 4. Να βρεθεί ο λ R ώστε f() = ln ( +λ+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: β) f ()= δ) f () = στ) f () = α)f ()= ( - ) + γ) f () = ε) f () = log ( + - ) + log e ln ζ) f () = Β.ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ συν ημ - +, [, π] εφ - 4. Για ποιες τιμές του χ η C f βρίσκεται πάνω, η κάτω από των χχ όταν: I) f() = -5+6 ii) f() = e iii) f() = log 5( ) iv) f() = 5. Έστω η συνάρτηση f () = - +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (), f (-), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),, t, h R. 6. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι f () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση 7. Έστω ότι η γραφική παράσταση της f ( ) = kln( + ) + λ τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο e και τον άξονα ψ ψ στο. Να βρείτε : i) τα κ,λ R ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

2 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ii) το σημείο της ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ c f που έχει τεταγμένη. 8. Έστω οι συναρτήσεις fg, : R R, για τις οποίες ισχύει : f () = g () + 4 για κάθε R. Να βρείτε τη σχετική θέση των c f και c g. 9. Να βρείτε τις συναρτήσεις fg, : R R για τις οποίες ισχύει : f ( ) + g ( ) + = (ημχ f ( ) συνχ g ( )), για κάθε R. Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g όταν ( ) ( ) ++ ( ) ( ) i) f = + + και g = ii) f = e και g = e -- ( ) ( ) ( ) ( ) v) f = ln e + και g = ln e +. Έστω η συνάρτηση : f R R για την οποία ισχύει : f ( + ) + f( ) =, για κάθε R. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα χ χ σε δύο τουλάχιστον σημεία. Γ. ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Εξετάστε ποιες από τις επόμενες συναρτήσεις είναι ίσες και σε ποιο Σύνολο ι) f() =, g() = ιι) f() =, g() = ιιι) f() = 4 + 5, g() = Δίνεται η συνάρτηση f () = +. α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = f()= - + f () = ( + ) f4 () = ( + ) f5 () = lne + f6 () = e ln (+) β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες Α. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = -, g()= + α + α,α R, >. ( - ) α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g β) Για ποια τιμή του α ισχύει f = g; Β. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f=g. Στις ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ περιπτώσεις που είναι f g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει : f () = g (). i) f () = και g () = + ii) f ( ) = ln και g ( ) = ln ln( ) Δ.ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ +, [,], (,) 6. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = g() = + 6, (,6) [,] Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g, f.g, f g +, 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f () =, > ln, < < g () = - +, και Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) f + g β) f g, αν χ, αν χ 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() =, αν χ >, αν χ > Να βρείτε την συναρτήση: α) f g ΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ!!!!!!!!!!!!!! Ε.ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9. Έστω οι συναρτήσεις f() = + και g() = ln( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ι. f g ιι. g f ιιι. f f ιv. g g. Να ορισθούν οι συναρτήσεις f g, g f, f f, g g όταν, [, + ) +, > f() =, g() = X +. (,) +,. Βρείτε συνάρτηση f τέτοια ώστε i) (f g)() = +, αν g()=- ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

4 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ii) (f g)() = + + 4, αν g() = iii) (g f )() = 5 + 4,αν g() = 7 6. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [, ]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f ( ) β) f ( - 4) + γ) f (ln) δ) f( ), ε) f( ) στ) f( ). Δίνεται η συνάρτηση f: [,] συναρτήσεων : g ( ) = f ( ), h R Να βρείτε το πεδίο ορισμού των ( ) f ( ) = και q ( ) = f(ln ) 4. Έστω f : (,] R μία συνάρτηση. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( ) = f ( ) + f(ln ) 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) = και g ( ) =. Να βρείτε τις συναρτήσεις : f g, g f και f f 6. Αν για κάθε R ισχυει f() + = α να δειχθει ότι ( f f )() = f() 7. Δινεται η συναρτηση f, τετοια ώστε + f =, R τυπο της f. Βρειτε το 8. Στις παρακάτω συναρτήσεις να γίνει αλλαγή μεταβλητής ώστε αυτές να έχουν τη μορφή f() 6 I) f - = - + II) f = - + ³ > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III) f ln = - + IV) f e - = - + ( ) V) f(ln) = + > 9. Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει ff ( ( )) = για κάθε R Να δείξετε ότι : α) f( ) = f ( ), R β)η εξίσωση f ( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα.. Εστω η αρτια συναρτηση f : R R, για την οποια ισχυει f(α + β) f(α) + f(β), να δειξτε ότι. Ι) f(). ιι) f(α) f(β) f(α β ) α,β R. e. Αν ( f g )() = + e και g() = ln, >. Να βρεθει ο τυπος της f. Αν = f() g() και g() = f(), R, να δειχθει ότι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

5 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ (f g)() (g f)() = f(). Δινεται η συναρτηση f:r R για την οποια ισχυει f( ) f( ) = +, R. να δειχθει ότι Ι) f() f( ) = + + ιι) f( ) f() = 6 +. Ιιι) Να βρεθει ο τυπος της f 4. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f () - f ( ) =,, να βρείτε το f (). 5. Αν f(f()) = + να βρεθει η f(). 6. Αν f(f()) = να δειχθει ότι f( ) = f(), R ΣΤ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, < 7. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις : f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = e και f ( ) = ln( ). 8. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = e - -ln. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. 4. α) Έστω οι συναρτήσεις, : fg R R. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και η f g γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. g ( ) β) Έστω συνάρτηση g: R R για την οποία ισχύει e g( ) + =, R Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. 4. Έστω η συνάρτηση έτσι ώστε : f( ) + f ( ) + e =, A Να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο A. 4. Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ για την οποία ισχύει : f ( ) f(ψ) < χ ψ για κάθε χ,ψ Δ με χ ψ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) = f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις fg, : R γνησίως αύξουσα. Έστω ότι οι R, όπου η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g c και c τέμνονται στην αρχή των αξόνων. f g ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ α) Να βρείτε τη σχετική θέση των cf και c g. f ( ) β) Αν για τη συνάρτηση είναι h ( ) =, > να δείξετε ότι η c h g ( ) είναι κάτω από τον άξονα των χ, όταν χ>. 44. Έστω η συνάρτηση f : R R με f () = η οποία είναι γνησίως φθίνουσα f ( ) και η συνάρτηση g ( ) =, R. Να δείξετε ότι g ( ) < για κάθε. e 45. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(, 5) και Β(5,-). Να δείξετε ότι : α) η f είναι γνησίως φθίνουσα. β) η συνάρτηση f f είναι γνησίως αύξουσα Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση ff ( (e )) <. 46. Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : f ( ln ) + f ( ) = ln+, >. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση f ( ) = και στη συνέχεια την ανίσωση fe ( ) <. 47. Έστω η συνάρτηση f : R R με f γνησίως φθίνουσα στο (,] και f γνησίως αύξουσα στο. Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 7 ι) f( ) + f(5 ) = f( ) + f(7 ) ιι) fe ( ) + fe ( ) = fe ( ) + fe ( ) 48. Έστω συνάρτηση f :R R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα.να λύσετε τις ανισώσεις: α. f > f β. f + <5 αν f = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) γ. f - - f - 4 ³ > δ. f f - < f f Δίνεται η συνάρτηση ( ) - f =e + -, >. Α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,+ ) Β. Να λύσετε στο διάστημα (,+ ) την ανίσωση : 5..Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = e +ln( +) -. Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. Β. Να λύσετε την ανίσωση : e +ln( + ) > 5. Έστω η συνάρτηση [ ) - e - +> f :,+ R με ( ) ( ) f = +ln + με ³ >. Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

7 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ Β. Να λύσετε την ανίσωση : στο διάστημα (, + ) 5. Να λύσετε την ανίσωση : 5. Έστω g : (, ) ( ) + + ln > ln < - ( ) + R μια γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποία η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,-), Β(,-) και η συνάρτηση f ( ) = ln - g( ) με >. I. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. ΙΙ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ΙΙΙ. Να λύσετε την ανίσωση ln < +g ( ) 54. Έστω f :R R μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση, για την οποία ισχύει f e - +f - =e -, R Να λύσετε : ( ) ( ) ( ) f =, β. ) την ανίσωση ( ) α. ) την εξίσωση ( ) f - < 55. Έστω οι συναρτήσεις, : c c, να δείξετε ότι ( f f)( ) < ( g g)( ), για κάθε R είναι κάτω από τη g fg R R. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η f 56. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στo διάστημα [α, β] με α, β >, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α]. 57. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f: Δ R. Αν,,. Δ με. ισχύει: f( )+ f( ) +. + f ( ) =, να δείξετε ότι: f( ), 58. Εστω η συναρτηση f : (, + ) R με f() =, η οποια είναι γνησίως f() αύξουσα και η συναρτηση g() =, >. Ν α αποδείξετε ln( + ) ότι g() > για κάθε χ >. Ζ. ΑΚΡΟΤΑΤΑ 59. Έστω οι συναρτήσεις fg, : [,π) R για τις οποίες ισχύει f ( ) = g ( ) + + ημχ για κάθε [,π) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των c f και c g. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

8 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ 6. Δίνονται οι συναρτήσεις fg, : R R για τις οποίες ισχύει f ( ) + g ( ) = για κάθε R. Αν οι c f και c g τέμνονται πάνω στην ευθεία χ = να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης h ( ) = fg ( ) ( ) 6. α) Έστω οι συναρτήσεις. Αν η παρουσιάζει μέγιστο στο και η είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο. β) Αν για κάθε να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο. Η. ΑΡΤΙΑ - ΠΕΡΙΤΤΗ 6. Έστω οι συναρτήσεις. Να δείξετε ότι :. Αν η είναι άρτια τότε και η είναι άρτια. Αν η είναι περιττή και η άρτια τότε η είναι άρτια. Αν οι και είναι περιττές, τότε και είναι περιττή. 6. Έστω η συνάρτηση f : R R. Να εξετάσετε, αν η f είναι άρτια ή περιττή + f( ) f( ψ ) όταν, ψ R ισχύει : α) f( + ψ ) = β) f( + ψ) = f( ) + f( ψ) f( ) + f( ψ ) 64. Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f ( + y) + f ( - y) = f () + f (y) για κάθε, y R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι f ( ) = f (). Θ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : ) + f()= - ) f()= e - 4 ) 5 ) f()= -6 +, για > - f()= - 4) -, f()= ln -, > 66. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

9 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ e - ( ) ( ) ( ) ( ) α) f = - 4 β) f()= γ) f = - 4+ δ) f = ln + - e Να δειξετε ότι οι παρακατω συναρτήσεις δεν είναι - 4 i)f ( ) = -, ii) f ( ) = , ii) f ( ) = Έστω οι συναρτήσεις f,g:r R για τις οποίες ισχύει : f()> Για κάθε Να δείξετε ότι η είναι. χ R Αν η g είναι - και 5 - f(f())= lnf()+g (e ) 69. Έστω οι συναρτήσεις. Αν η συνάρτηση είναι να δείξετε ότι και η είναι. 7. Έστω η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f(f()) = f() και η συνάρτηση g()= e +e, που είναι. Να δείξετε ότι η f είναι. Να δείξετε ότι g(f())= f() Να βρείτε τη συνάρτηση. 7. Αν f(f()) = - +, R.Να αποδειξετε ότι ι) f()= Ιι)αν g()= + f()+, η g δεν είναι - 7. Δίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f f = a +, για κάθε R Να αποδειχθεί ότι : * ( ( )) β + Α) η f είναι - Β) η f έχει σύνολο τιμών το R f ( ) + β Γ) f ( a β) = af ( ) β, R Δ) f =, για κάθε R a 7. Έστω η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : R. Να δείξετε ότι : Η f είναι-. H f δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα. f + e = f ( ) 5 ( ), 7. Αν η f, g είναι - να δειξετε ότι η g f είναι - 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f: Α R και g : f(a) R. Αν η συνάρτηση g ο f είναι -, να αποδείξετε ότι: i) η f είναι - ii) η g είναι - ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

10 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ Ι. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αντίστροφη μιας «-» συναρτήσεως f : A f ( A) συνάρτηση f : f ( A) A αν για κάθε A για κάθε y f ( A) f ( ) = y f ( y) = θα ονομάζουμε μία ισχύει Για να έχει αντίστροφη μία συνάρτηση πρέπει να είναι - ( f αντιστρέψιμη f "-" ) Το D = R f f και το R = D f f Η f μπορεί να έχει αντίστροφη ακόμη και αν δεν είναι γνησίως μονότονη, αρκεί να είναι -. Δύο αντίστροφες συναρτήσεις έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = Τα κοινά σημεία δύο αντίστροφων συναρτήσεων θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y =, αν η f είναι γνησίως αύξουσα. Υπάρχουν συναρτήσεις ( συνήθως γνησίως φθίνουσες) των οποίων οι γραφικές παραστάσεις ταυτίζονται με αυτές των αντιστρόφων τους π.χ. f ( ) = και f ( ) = 4 αυτές ονομάζονται αυτοαντίστροφες. Για αυτές τις συναρτήσεις f = f και έχουν άπειρα κοινά σημεία. ισχύει ( ) ( ) f - (y)=4-y y= τότε =f - ()= ( ) f f y y Βασικές σχέσεις: ( ) Μεθοδολογία: ( ) f f = και ( ) Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης.αποδεικνυουμε ότι η συνάρτηση είναι - ( ) = ( ) = και ( ) f f f. Στον τυπο της συναρτησης θετουμε f ( ) = yκαι επιλύουμε τον τύπο της f ως προς. λαμβάνουμε υπόψη τους περιορισμούς για το και βρισκουμε Τους περιορισμούς για το ψ αρα βρισκουμε το συνολο τιμων f(a) της f που είναι το πεδιο ορισμου της f 4. Στον λυμενο ως προς χ τυπο της f θετουμε οπου χ το ψ και βρισκουμε την f () ΠΡΟΣΟΧΗ Στις συναρτήσεις πολλαπλού τύπου ελέγχουμε αν ο κάθε τύπος αποτελεί - συνάρτηση και μετά αν τα σύνολα τιμών τους δεν ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

11 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ έχουν κοινά σημεία. Αν τα σύνολα τιμών τους έχουν κοινά σημεία η συναρτηση Αντιστρεφεται μονο κατά κλαδους ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 74. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = e + α. Να δείξετε ότι η f είναι - β Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ.. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση f - e Δίνεται η συνάρτηση ( ) f = e + α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία. β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση f Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = +ln( e + ) α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία. β. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση f - f( ) = ln + α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να δείξετε ότι ορίζετε η f την οποία να ορίσετε. γ) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f και f είναι περιττές. δ) Να δείξετε ότι γενικά ισχύει : Αν η f είναι περιττή και - τότε και η f είναι περιττή. 77. Δίνεται η συνάρτηση 78. Να δείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. f ()= - ln(+e ), f()= - -e, 5 f()= Έστω f :[, ) R + μια συνάρτηση με f () = 6 +. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι η αντιστρέφεται.να βρείτε την αντίστροφη της.να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση g : [, + ) R τέτοια ώστε g(f ()) = για κάθε 8. Δίνεται η συνάρτηση f :R R με f( ) > και ln( f( )) f( ) = e για κάθε R. Να δείξετε ότι :. f( ) > για κάθε χ R ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

12 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ. Η f είναι γνησίως αύξουσα.η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της 8. Δίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει: f()-f ()+ -= για κάθε Α) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται Β) Να βρεθεί η f. 8. Έστω ότι f(+y)=f()+f(y) για κάθε,y στο R. Να δείξετε ότι α. Αν μοναδική ρίζα της f είναι το τότε η f είναι - συνάρτηση. β. Αν ισχύει το προηγούμενο τότε f - (a+b)=f - (a)+f - (b) για κάθε a,b στο R. (Θεωρείστε ότι f(r)=r) (Βρείτε πρώτα πόσο κάνει το f(-y)) 8. Έστω f(y)=f()+f(y) για κάθε στο R*+. Τότε α. Αν η f έχει ρίζα ρ= δείξτε ότι έχει άπειρες ρίζες*. β. Αν η f έχει μοναδική ρίζα το να δείξετε ότι είναι - συνάρτηση. γ. Αν η f είναι - και a,b θετικοί αριθμοί τότε f - (a+b)=f - (a)f - (b). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - - f()=, f ()=, f()= f () Για να βρούμε τα κοινά σημεία της f με την f : Α) αν f είναι γνησίως αύξουσα λύνουμε την εξίσωση f ( ) = ή την f ( ) = ή την f ( ) = f ( ) Β) αν f δεν είναι γνησίως αύξουσα λύνουμε το σύστημα y = f και y = f με D D των εξισώσεων ( ) ( ) f f 84. Έστω f : μια συνάρτηση με f( R) γνησίως φθίνουσα..να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να εξετάσετε την μονοτονία..αν f () = να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της. Αν f() = και f() =, να λύσετε την ανίσωση : ( + ( + )) <. f f = R η οποία είναι f f. ως προς τη 85. Aν τα σημεία : A(,) και B(5,9) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τότε να λυθούν: η ανίσωση : f ( + f ( 8 )) < όταν f γνήσια αύξουσα και η εξίσωση : f ( f ( )) = όταν είναι γνήσια ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

13 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ φθίνουσα 86. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = e +, με Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το f ( ) Να λυθεί η εξίσωση f ( ) = f ( ) Να λυθεί η ανίσωση f + f ( ) < ( ) 87. Δίνεται η συνάρτηση ƒ(χ) =χ +χ- Δείξτε ότι η ƒ αντιστρέφεται. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της ƒ τέμνει την ευθεία ψ=χ. Να βρείτε τα χ για τα οποία ƒ(χ)= ƒ - (χ). Να μελετήσετε την μονοτονία της ƒ Να λύσετε την ανίσωση ƒ - (χ+)> 88. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f : διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(5,9). α) Βρείτε το είδος της μονοτονίας της f β) Εξετάστε αν ορίζεται η συνάρτηση ƒ - γ) Να λύσετε την εξίσωση f(+ƒ - (χ +χ))=9 δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ƒ - ( -8)-)< 89. Έστω f γνήσια αύξουσα στο R τότε Α) αν f(f())=, R f()=, R Β) τα σημεία τομής των C,C - βρίσκονται πάνω στην πρώτη διχοτόμο y = f f Γ) δώστε ένα παράδειγμα που να δείχνει ότι αν η συνάρτηση ήταν γνήσια φθίνουσα το Β) δεν ισχύει (Η άσκηση αυτή είναι σχεδόν θεώρημα και χρησιμεύει αργότερα στην επίλυση άλλων ασκήσεων) 9. Έστω f : R R ώστε f()= 5 +- Α) Να δείξετε ότι f ένα προς ένα συνάρτηση. Β) Να λύσετε την εξίσωση f - ()=f(). 9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5 f = + - α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται β ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων - των f και f. 9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) f = + -6 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

14 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ β ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f - και της ευθείας y= αν σύνολο τιμών της f το R. 9. Δίνεται η συνάρτηση f( ) =ln( - ) +- α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται γ ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των - f και f αν σύνολο τιμών της f το R. 94. Να βρείτε την αντίστροφη της f ( ) = και τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων τους Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln + -, με > Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C και C f f ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

15 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ. Η γραφική παράσταση της συνάρ τησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) lim + lim - + f () β) lim f () - - lim - f () δ) f () f () στ) lim f () lim f () lim + B. - f() lim με g( ) g() y Να βρειτε τα ορια : Ι) + 5 lim ιι) lim ( 5 ( + ) 4 ) ιιι) ιv) lim v) 4 + lim lim 6 Γ. ΜΟΡΦΗ Ι. ΟΡΙΟ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ -. Βρειτε τα ορια : i) lim - + ii) lim ( ) iii) lim 4 iv) (α + ) + α lim α α 4. Να βρεθούν τα όρια α ) - -+ lim β) lim ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

16 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΙΙ. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5. Να βρειτε τα ορια: i) 4 lim ii) lim iii) lim 6. Να βρειτε τα ορια: i) lim 4 ii) 7+ + lim iii) f() f() lim f() όταν lim lim f() = iv) Να βρεθούν τα όρια a) lim β) lim ΙΙΙ. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 8. Να βρειτε τα ορια: Ι) lim 4 ιι) lim Ιιι) lim f () 4 + f() 5 ιv) lim, αν lim f() =, f () + 9. Να βρειτε τα ορια: ι) lim Ιιι) lim ιι) + + lim + Δ. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ. Δινεται η συναρτηση ι) lim f(), αν < + f() =, αν [,) (, ) +, αν [, ) 7 ιι) lim f() ιιι) lim f() Να υπολογισετε τα ορια ιv) lim f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

17 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ. Να βρεθει το όριο limf () - αν χ < - α) f ( ) = 7 αν χ = χ +- αν χ > -. Να βρεθούν τα α και β ώστε η συνάρτηση +α + β, f = +, ( ) ( ( α - β,4 να έχει όριο στο χ= και στο χ= Ε. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ. Αν f () 4f() 5 να βρεθει το lim f() 4. Αν 5f() 6, R βρειτε το lim f() 5. Αν για τη συναρτηση f : R R υπολογισετε τα ορια i) 6. Αν ισχυει η σχεση + f() + +,να limf() ιι) f() lim ιιι) lim f () + f() k, R και το διαγραμμα της f περναει από το f() f() σημειο Α(,) να βρεθει το lim 7. Αν ( 4)f() 4( ) να βρεθουν τα ορια lim f(), lim f() f() 8. Αν για τη συναρτηση f : R R ισχυει f(f()) f(), R 9. Αν ν+ (f f) () (ν + )f() + ν να βρεθει το lim, ν N ( ) limf()= limg f()- g() - βρείτε το ( ). Α) Αν είναι lim f ()= α, τότε: βρείτε τα limf ( ),limg ( ) α α lim f()= α ( ) Β) Αν ( ) ( ) lim f +g = α ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

18 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ. Αν (Βασική άσκηση μην νομίσετε εξαρχής ότι ξεχωριστά τα όρια υπάρχουν) ( α ) ( α ) ( ) ( ) limf = limg = f >,g > βρείτε το limg ( ) ΣΤ. ΟΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Να βρείτε τα όρια ημ5χ εφχ ημ( χ -) εφχ i) lim ii) lim iii) lim iv) lim χ χ χ - ημχ ημχ ημχ v) lim vi) lim χ +5 χ+4-. Να υπολογισετε τα ορια ι) ημ( κ) + ημ(ν) lim + ιι) lim - ημ - συν ιιι) lim ημ ιv) 4 4 ημ συν lim εφ π 4 v) lim + εφ εφ ημ 4. Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: 5. Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: lim lim ημ + ημ ημν ημ ημ... ημν ν = 8. = 6. Να υπολογισετε τα ορια ι) ν lim ημ ιι) ν lim ημ.συν 7. Αν f () 8 ημ να βρεθει το π 8. Αν f() ημ.ημ, R 9. Αν f() lim. Να βρεθει το lim f() f() f() + f( ).ημ(a) lim =, να βρεθει ο α R, ωστε lim = 7 4 ημ. Αν f() ημχ συν, R και lim f() = a, να βρειτε τον α. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

19 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ζ.ΟΡΙΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θ.Λ.Λ. ι) Αν ιι) Αν lim (f() + 5) = 7,να βρεθει το = g() lim ( )f() 5 και lim = 4, + lim f() να υπολογισετε το lim f()g(). ι) Αν = + =, Ιι) Ιιι) lim[f() g()] και lim[f() g()] 6 υπολογιστε τα lim f(), lim g() ( ) ( ) f lim = ημ 6 f( ) βρείτε ταlim,limf g g( ) lim( + -) g ( ) = f( ) ημ - g ( ) lim = 5 4 βρείτε τα f( ) ημ + g ( ) limf ( ),limg ( ) lim = 7 4 ( ) ( ). Αν f() g() lim = και lim = βρειτε το f() lim g() 4. Αν f()+f(-α)=, a. Αν lim f() =, τοτε βρειτε το lim f() α 5. Αν f συναρτηση ορισμενη στο R, f(α+β) = f( α)+f(β) για κάθε α,β R Και f() lim = 4 f() f(ξ) να βρειτε το lim, ξ R ξ ξ 6. Αν f () + lim g () =, τοτε να δεχθει ότι lim f() = lim g() = 7. Εστω το πολυωνυμο π(χ)= α + β + γ, γ αν να βρεθει το (f π f)() lim f() lim = και lim f() = 8. Αν f () f() + συν για κάθε χ R, να αποδειχθει ότι lim f() = Η. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 9. Αν + a + β 5 f() = να βρεθουν οι α,β R ώστε lim f() = 4. Να βρειτε τους πραγματικους αριθμους α,β ώστε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ α + β lim = 5 9

20 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 4. Αν k + (λ + ) + 4 lim = L R ( ), να βρεθουν τα κ,λ, L. R. 4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) f = α β f διέρχεται από το Α(,/ ) και ( ) lim f = λ.αν η γραφική παράσταση της να βρεθούν τα α,β και λ 4. Αν ( ) + 5+α +β- lim =5 -, να βρείτε τα α,β R f() 44. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R με lim =. Να βρεθεί ημ ( ημ)f()+μ ο μ R : lim = - 4 ημ -f() ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ χ Ι. ΜΟΡΦΗ α 45. Να βρειτε αν υπαρχουν τα ορια Ι) + lim ιι) ( ) lim ιιι) lim 46. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια α) της f () = - ( - ) ( + ) στο = - β) της f () = + + στο = Να βρειτε αν υπαρχουν τα ορια i) lim ii) lim - ημ ΙΙ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 48. Για τις διαφορες τιμες των παραμετρων να βρειτε τα ορια ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

21 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ι) lim c ++d -β- -α ιι) lim α -α Ιιι) +(b + ) -6 lim Να βρειτε τα α, β R ώστε 5. Να βρειτε τα α, β, γ R ώστε iv) c - c - lim, c α + + lim + β = 4 α + (β + ) + γ + lim = 6 ( ) ΙΙΙ. ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θ.Λ.Λ 5. Αν + lim = Να βρειτε το f() lim f() 5. Αν f() ημ (π) lim = + Να βρειτε το ( + α) lim f() 5. Αν η συναρτηση f είναι ορισμενη στο R και ισχυει lim f() = να υπολογισετε τον αριθμο m ώστε ( ) (m )f () f () mf () f () + + lim = Αν η συναρτηση f είναι ορισμενη στο R και ισχυει f() f() + bf(b) + f( ) lim = + να υπολογισετε το lim, 55. Οι συναρτησεις f και g είναι ορισμενες στο R με f() > και g() > για κάθε R. Αν ισχυουν και lim (f() + g()) = lim f() = + να υπολογισετε τα ορια lim f() g() και lim g(). 56. Εστω μια πολυωνυμικη συναρτηση Ρ βαθμου ν = g (e ) με g() = e. Αν η C p διερχεται από το Ο(,) και ισχυουν P() lim = και P() lim =, τοτε Ι) Να βρειτε τον τυπο της Ρ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

22 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΙΙ) Να βρειτε το P(συν) + lim + ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Ι. ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ 57. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α)να βρείτε τα όρια: lim f (), - lim f (), + lim f (), lim f (). + β) Τι συμπεραίνετε για το y lim ; f () y 58. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f. Β. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

23 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ α) limf ( ) β) limf ( ) γ) limf ( ) 5 δ) limf ( ) 7 ε) limf ( ) 9. Μονάδες 4 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 B. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. α) lim β) f ( ) lim γ) limf ( ) 6 f ( ) ( f ) 8 Μονάδες 9 B4. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες B5. Να βρείτε τα σημεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία ισχύει f =. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες ( ) ΙΙ. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ 59. Να βρεθουν τα ορια στο + των παρακατω συναρτησεων. Ι) f()= ιι) lim ( ) + ιιι) lim ( ) - 6. Να βρεθουν τα ορια στο + και στο - των παρακατω συναρτησεων. Ι) f() (α ) ( α ) = + + f()=( α α ) Να βρεθούν τα όρια α ) III. ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ lim β) lim Να βρεθουν τα ορια στο + και στο - των παρακατω συναρτησεων. 5 i) f() = ii) f() = + 6. Να υπολογίσετε το όριο για τις διάφορες του μ 64. Αν ( ) f = -α +β ( ) lim f = ( ) ( ) μ lim - μ - + να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε το όριο 65. Για τις διαφορες τιμες του α R να υπολογισετε τα ορια στο παρακατω συναρτησεων. Ι) 5 4 (α +4) +α -5 f()= (α +) ± των ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

24 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΙΙ) +6 - f()= ( +α -) - ΙΙΙ) f()= (α -α-) -(α -) + -9 (α -) + -7 ΙΙΙ. ΟΡΙΑ ΑΡΡΗΤΩΝ 66. Να βρεθούν τα όρια ( ) ( ) Ι) lim , ΙΙ) lim Να βρεθουν τα ορια ι) lim ιι) lim Να βρειτε τα ορια ι) iv) lim( +- -) + ιι) lim ( ) + + v) lim [( ) + iii) lim ( ) lim Να υπολογισετε τα ορια ι) lim ( ιιι) ιι) lim ( ) f() ( 4 α) = + + iv) ± f() = ( α) 7. Αν f() 4 + 6, να βρεθει το lim f () + 7. Να βρεθουν τα α, β R ώστε lim ( + + a + β ) = + 7. Αν για κάθε χ > ισχυει 4 4 (+ )f () +, να δειξετε ότι lim f () = f () + 7. Δινεται η συναρηση f : (, + ) R, mε lim = 6 να βρειτε το lim f () + f() 74. Αν lim =, lim ( )g() = 5. Να βρεθει το lim [f ()g()] IV. OΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ 75. Να υπολογισετε τα ορια ι) lim ( ηm ) + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ ιι) lim ( ν ηm ) + 6 4

25 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ηm 5 ηm + 6 ιιι) lim ιv) lim ηm Να βρειτε το lim ( 6 + 4) ηm ± ημχ Ι ) lim και ΙΙ) lim +ημχ + χ Να βρεθούν τα όρια ( ) 78. Να βρεθούν τα όρια συνχ Ι) lim ΙΙ) lim χ - + χ + συνχ χ -συνχ 79. Να βρεθούν τα όρια Ι) lim ημ, ) lim.συν, ) lim.ημ + χ ΙΙ - χ ΙΙΙ + χ 8. Βρείτε τα παρακάτω όρια:.ημ Ι) lim + + ΙΙ) ημ lim V. ΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ 8. Να υπολογισετε τα ορια 4 + α ι) lim ιι) lim ± + ± 64 ιιι) lim α α α + α α ιv) lim + + +, α > v) + 4 lim Αν f () = ln, να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f β) τα όρια lim f (), + 8. Δίνεται η συνάρτηση f () = n lim lim f (), f (), lim f (). + κ, κ >. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα όρια lim f (), lim f (). γ ) Να δείξετε ότι + η f () ln > και να βρείτε το όριο lim (f () - n). + ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

26 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 84. Το ποσοστό της ανεργίας σε μια χώρα είναι % και εκτιμάται ότι σε έτη από τώρα θα δίνεται από τον τύπο f () =. α) Να αποδείξετε ότι: + f () = 8 +. β) Να εξηγήσετε γιατί η ανεργία δεν θα πέσει ποτέ κάτω από + το 8%. γ) Μετά από αρκετά χρόνια, ποιο θα είναι περίπου το ποσοστό ανεργίας; 85. Έστω Ρ(χ) = χ ν + αν-χ ν- + αν-χ ν- + + αχ + α και Q(χ) = χ ν + βν-χ ν- + βν-χ ν- + + βχ + β και έστω ακόμη H ( ) = ν Ρ( χ) ν Q ( ), i) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της Η περιέχει αν- -βν- ένα διάστημα της μορφής (α,+ ). Να αποδείξετε ότι: lim H()=. + ν 86. Έστω πολυώνυμο f() τέτοιο ώστε f() = -4, f( ) f( ) lim =, και lim =, όπου α,β R με β. Να βρείτε το + + α + α πολυώνυμο f() και τις σταθερές α,β. (University of New York). 87. Α) Δίνεται η συνάρτηση f: R R με τύπο f(t)= t +( + y )t + - t +4yt +, όπου (χ,y) είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει lim f( t ) =, τότε το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο. t Β) Δίνεται η συνάρτηση f: R R με τύπο f(t)= t +t + - t -yt +5y, όπου (χ,y) είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει lim f( t ) =, τότε το σημείο Μ ανήκει σε ευθεία. Γ) Να βρείτε τα t κοινά σημεία της ευθείας και του κύκλου. 88. Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ(χ) αν ισχύει ότι lim P(χ) lim =, για κάθε χ R. χ -χ + P(χ) = χ -χ + και 89. Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f ()+f()= για κάθε R Ι) Να δειχθεί ότι η f είναι -. ii)να λυθεί η εξίσωση f() =. f( ) f( ) iii) Για > να δείξετε ότι f( )<. Να βρείτε τα όρια: lim και lim + + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

27 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 9. Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο οποία f( ) ν +a +β g()= ν Ν και α,β R για την - lim g ( ) = και η συνάρτηση f: R R για την οποία lim = l και f ( ) f ( ) 4 α f ( ) + 8β ηm = για κάθε. α) Να βρείτε τα α, β ως συνάρτηση του ν. β) Αν α, β αρνητικοί, να βρείτε τον λ R. 9. Έστω η συνάρτηση f : (,) R 7 4 με f() = ηµ + συν () f() Να βρείτε τα όρια (α) lim f() (β) lim 9. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R g() και lim = + f() f για τις οποίες ισχύει: lim = + +. Να βρείτε τον R ( α + )f() + g() + συν α ώστε lim = 6 + f() + g() + ηm. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

28 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

29 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

30 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ I. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ χ. Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ= οι συναρτήσεις: i) f()= ( ),, = ii)f()= -συνχ ημχ +, ημχ, = iii) f()= χ-- χ+, χ -, = iv) f()= ηµ 9χ ηµ 5 χ, χ 4, = ημ,. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( ) = : στο χ=,= ηµχ + α - χ, < π. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf()= π - χ αχ-, π να είναι συνεχής στο χ=π. 4. Να εξετασθει αν είναι συνεχεις στο χ= οι συναρτησεις ι) +, f( ) = 4+, = ιι), < f( ) =, =, > ιιι) +, > 5 f( ) =, = 6 < < ηµ ( π ) 5 π ( ), 5. Αν ησυνάρτηση f ορισμένη στο R είναι συνεχής στο = και f()=, να δείξετε f( )ημ, ότι η συνάρτηση g()= είναι συνεχής στο =., = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

31 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΙΙ. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ D f 6. Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις συν ( ηµ ) 4, < ηµ i) f( ) =, ( π,) (, π) ii) f( ) =, ηµ = 7, = ηµ 7, > 7. Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις ι) ηµ + f ( ) =, ν ηµ ηµχ, > ηµ = ηµ ( ηµκ) +, < κ ιι) ηµ ( α) π, < ηµ 4 f ( ) = + + α, < 4 π 8. Για την συνάρτηση f : R R ισχύει f 5 ()+f()= για κάθε R. Δείξτε ότι η f είναι συνεχή ς στο = 9. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R.Αν για κάθε χ R ισχύει ημχ-χ χ f (χ) ημχ + χ και η f είναι συνεχής στο χ=,να βρεθεί το f().. Να βρεθουν οι α,β,γ R ώστε να είναι συνεχης η α + β + γ+, f( ) = ( ), =. Να μελετηθει ως προς τη συνεχεια η συναρτηση και Να υπολογισθουν τα ορια lim f( ) ±, + 7 f( ) =, > + 7 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

32 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ. Για τις διάφορες τιμές του α κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και μελετήστε την συνέχειά της. ( ) f = lim ν + ( + ) + ( α + ) ν e + e ν (ν R+ * ). Αν f(4 ) 4 5 να δειχθει ότι η f είναι συνεχης στο. 4. Αν για την ορισμενη στο R συναρτηση f ισχυει δειξετε ότι είναι - και συνεχης f ( ) + f( ) + = να 5. Αν η f είναι περιττη και συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο f( ) = lim f( III. ), f ΣΥΝΕΧΗΣ 6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει - - (-)f() - για κάθε R να υπολογίσετε την τιμή f(). 7. Δίνεται η συνάρτηση f:r R που είναι συνεχής στο = και για την οποία ισχύει f()+ ημχ,για κάθε R. Να υπολογίσετε την τιμή f(). 8. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν: f( ) f()= και lim =, R. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. 9. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν: f( ) εϕ lim = 5 f()= και. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = f( ) f( ) ii) Να βρείτε τα όρια: α) lim και β). lim. Δίνεται η περιττή συνάρτηση f:r R που είναι συνεχής στο = με. f( ) 5 lim = i) Να υπολογίσετε την τιμή f().ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =-. f( ) + 5 iii) Να βρείτε το όριο. lim + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

33 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f()= και για κάθε R ισχύει f(5-)=f(), τότε: i) Nα προσδιορίσετε την τιμή f(), ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =.. Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης f : R R που ικανοποιει τη σχεση f()-(-)(-)=ημ(χ)-6, R.. Αν f( ) = ηµ f( ) συν και η f συνεχης στο R να βρεθει το f ( ) π 4 4. Η συναρτηση f είναι συνεχης στο R και f( ) lim f( ) + 8 lim = 7 να βρεθει το 5. Αν η συνεχης συναρτηση f R R : ικανοποιει τη σχεση ηµ ηµ < f( ) <, R να βρεθει το f(). f( ) 6. Aν lim =, να βρεθει ο πραγματικος αριθμος α ώστε η συναρτηση f ( ) + f ( ) ηµ ( α ), g ( ) = 4 ηµ να είναι συνεχης στο. 7, = 7. Αν η για τη συναρτηση f ισχυει f( + k) k, k R και f( ) f( ) lim = lim, να βρεθει το f() αν η f είναι συνεχης στο =. 8. Aν + f ( ) + k +, f () = να βρεθουν οι κ, λ R ώστε η συναρτηση f( ), g ( ) = λ, = να είναι συνεχης στο = 9. Αν η f είναι συνεχης στο R και f( ) + 5 lim = 6 να βρεθει το f( ) f() lim. Αν η f είναι συνεχης στο f( + ) και lim = 5 να βρεθει το f( ) f() lim. Αν για κάθε χ, ψ R ισχυει ( ) ( ψ) ψ f f να δειχθει ότι η f είναι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

34 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ R συνεχης στο. Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης f στο R όταν ισχυει f ( ) + ηµ = + ηµ. Αν ( ) + ( ) + = [ ( ) ηµ + ( ) συν ] f g f g να δειχθει ότι οι συναρτησεις f, g είναι συνεχης στο R f( ) 4. Aν για τη συναρτηση f ισχυουν f(4 ) = f( ), R και lim = 6 4 και η f είναι συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο. 5. Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R για τις οποίες ισχύει ( f()) ηµ (g()) = ( ) () για κάθε χ ε R. (α)να αποδείξετε ότι. f () = g() =. Οι f,g είναι συνεχείς στο (β) Να υπολογίσετε τα όρια f() g() g() f() ηm lim, lim, lim + ηm ΙV.ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ι) Αν f(a+β) =f(a)+ f(β) και f() f(a) lim α = να δειξετε ότι f() f( ). lim = Αποδειξη. Αν τοτε χ -, τοτε χ - + α α, θετω h= + a, Και εχω h α Aρα lim f ( ) = lim f ( h α + ) = lim f ( ) + f ( h α) = lim f ( h α) + f ( ) = f () + f ( ) h α h α [ ] h α = f ( + ) = f ( ) ΙΙ) Αν f(a.β) = f(a)+ f(β) και f() f(a) χ lim α = να δειξετε ότι f() f( ) lim = Αποδειξη. Αν τοτε h f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) h α α h α + τοτε α α. Θετω h = h h lim f ( ) lim f ( ) f ( ) α = + = h α α 6. Δινεται η συναρτηση f R R f ( ) = f ( α) + f ( β ), α, β R. : για την οποια ισχυει η σχεση αβ Aν η f είναι συνεχης στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ α και εχω f () + f ( α) = f ( α)

35 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7. Η συναρτηση f : R + R, ικανοποιει τη σχεση f(αβ)=f(β)f(α). Αν ειναι συνεχης στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R + Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ι. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, a>, f(a), τότε να δείξετε ότι υπάρχει f ( a ) f ( ) (,a ): = (Εδώ αξίζει να είστε παρατηρητικοί) a 9. Αν η f είναι συνεχής στο [,] και f() χ [,], να δειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ [,), ώστε να ισχύει:f 5 (ξ) + ξ = f(ξ) 4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο = [ αβ, ] και ισχύει f( ) = g ( ) = [ αβ, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ αβ, ], τέτοιο ώστε ( g f)( ) =. 4. Έστω f συνεχής στο Δ = [α, β]. Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση f (α+β-χ) είναι συνεχής στο Δ. Υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ Δ, ώστε να ισχύει: f (α+β-ξ) = f(ξ). 4. Έστω f συνεχής στο Δ = [α, β] και γ >. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον f( α ) +γf( β) ξ Δ, ώστε να ισχύει: f(ξ) =. γ+ 4. Αν η f είναι συνεχής στο [,4] και f()= f(4), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν α,β [,4] με β - α = τέτοια, ώστε f(α)= f(β). 4. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [ αα+, ] για την οποία ισχύει : f ( α) + f ( α + ) =, α. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ αα+, ] 44. Έστω f: R R συνεχής συνάρτηση με f() + f() + f() =. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα. 45. Να δείξετε ότι η ευθεία ε :y= + τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = συν σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (, ) f ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ.

36 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 46. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = + β + γ και g() = - + β + γ με γ. Αν ρ είναι ρίζα της f και ρ είναι ρίζα της g με ρ<ρ, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) +g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ, ρ). 47. Έστω α,β R, με α < β. Να αποδειχθεί ότι για κάθε γ (α,β) υπάρχει μοναδικό ξ (,), ώστε γ = ξ β + (-ξ)α. 48. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: με f ( ) ln για κάθε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,], τέτοιο ώστε f ( ( ) ) ln( ) συn π = Έστω f,g συναρτήσεις με Π.Ο. το Δ. Εάν για κάθε χ Δ η f είναι συνεχής και f()-g() = c, c R τότε ν.δ.ο: Αν ρ, ρ δύο ετερόσημες ρίζες της f() = η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ρ, ρ]. 5. Έστω f() = + συν(π) και g() = ln(-). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει α (,) ώστε f(α)= g(κ), e+,e 8 κ + e. 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση διάστημα (-,), για κάθε α. 4 α α = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 5. Οι αριθμοί α α α4 ανήκουν στο διάστημα [,]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ [ ], ωστε ξ α + ξ α ξ α 4 =. 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα (a,b) και επιπλέον ισχύει: ( im f ( )).( im f ( )) < τότε να δείξετε ότι υπάρχει στο (a,b) τέτοιο ώστε f()= a+ b (Και αυτή η άσκηση μπορεί να είναι θεώρημα) 54. Οι συναρτήσεις f,g : [,] [,] είναι συνεχείς. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα gg gg v = (fog + gof )( ξ ), και v = ( ξ,) τουλάχιστον ξ [, ] ώστε τα διανύσματα ( ) να είναι παράλληλα 55. Να αποδείξτε ότι : ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

37 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ i) η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,). χ+ χ 4 χ + χ + εφχ σφχ π π ii) η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). 6χ π 4χ π Δίνονται οι συναρτήσεις f() = e -α -και g() = ln(α+) + α, όπου α (, ). 4 i) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = αχ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α,α+]. ii) Αν ξ είναι μια ρίζα της εξίσωσης f(χ) = αχ στο διάστημα [α,α+], τότε να δείξετε ότι: lim g() =. 57. Αν f,g είναι συνεχεις στο R ώστε f()+f()+ +f(4)= g()+g()+ +g(4)., να δειχθει ότι υπαρχει ξ {,,,...,4 } τετοιο ώστε f(ξ) =g(ξ) 58. Οι συναρτησεις f,g εχουν πεδιο ορισμου και τιμων το [,α] ειναι συνεχεις σε αυτό.αν f είναι φθινουσα και f g = g f να δειχθει ότι υπαρχει ξ [,α] τετοιο ώστε f(ξ )=g( ξ)= ξ α β γ 59. Θεωρούμε την εξίσωση + + =, α,β,γ + Α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (-,). γ β Β) Αν ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης να δειχθεί ότι + =. ρ ρ α 6. Αν f συνεχής συνάρτηση με ( ) f = α + β + γ+ δ για την οποία ισχύουν : δ > και α + β + γ + δ = και α + β + γ >, f = Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε ( ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει : f = ( ) ( ) + f = για κάθε και ( ) f e 5 4 Να αποδειχθεί ότι : Α) Η f αντιστρέφεται. f f f 5 = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Β) Η εξίσωση ( )( ) ( ) 6. Έστω f()=a +b +c+d, a>, d<, a+c<b+d. Δείξτε ότι η f έχει δυο αρνητικές και μία θετική ρίζα ακριβώς. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

38 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 6. Να δείξετε ότι η εξίσωση a 5 +b 4 +c +d +e+f= με f>, a+b+c+d+e+f=, 5a+4b+c+d+ e > έχει μια τουλάχιστον λύση στο (,) 64. Για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει ότι: f ()+βf ()+γf()= - +6-, για κάθε R, με β,γ R και β <4γ. Αν η f είναι γνησίως στο R αύξουσα να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f()= στο διάστημα (,) 65. Δίνεται ότι η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο R γν. αύξουσα στο διάστημα [,] και γν. φθίνουσα στα [,] και [, ]. Αν ισχύει ότι : f() = κ +, f() = -κ + κ -, f() = κ + κ +, f() = - με κ R να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς ρίζες στο (, ). 66. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5] με f() = και f(5) =, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε): ψ-χ=. 67. Αν α>, n N* τότε να δείξετε ότι η εξίσωση : n =α έχει μοναδική θετική λύση. (Πώς θα ονομάζατε αυτή την λύση;) 68. Για μια συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ότι: f() ημ + 6 6, για κάθε 4 Να υπολογίσετε το f() και να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κ (, ], κ ώστε f(κ) = ημ + κ Για μια συνάρτηση f συνεχή στο R, ισχύει ότι: f() = - R - lim 4 και 4ημ(-) (-)f() 4. Να δειχθεί ότι η Cf τέμνει τη γραφική παράσταση της παραβολής ψ = - + σε σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,). 7. α. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και σε διάστημα Δ. Αν α, β, γ Δ με α < β < γ, να αποδείξετε ότι ισχύει: είτε f(α) < f(β) < f(γ), είτε f(γ) < f(β) < f(α). ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

39 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο διάστημα Δ, να αποδείξετε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ. (Πρόκειται για βασικό θεώρημα το οποίο σας προτείνεται να αποδείξετε). γ. Με την βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f στο R ώστε f(f())=- δ. Aν f συνεχής συνάρτηση στο R και f(a)+f(b)=f(c)+f(d) με a,b,c,d διαδοχικούς όρους μη σταθερής αριθμητικής προόδου τότε η f δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμη II. Θ.Ε.Τ -Θ.Μ.Ε.Τ 7. Αν f συνεχής στο R και f().f(f())=, f(9)=/9 υπολογίστε το f() 7. Μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με f( 8) = 7 για κάθε και ( ) f 4. ισχύει : f( ) f f( ) = να βρείτε ( ) 7. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,], με f ( ) = και ( ) ( ( )) Να προσδιοριστεί το f ( ) και το f( 5 ). f f f = Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, ]. Α) Να δείξετε ότι η g ( ) = f ( ) + e, [, ] έχει μέγιστη τιμή. Β) Να δείξετε ότι υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε f( ) f( ) e [,] 75. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,] f ( ) + 5f ( 6) + f ( 8) υπάρχει [,] τέτοιο ώστε : f( ) = < +. Να δειχθεί ότι 76. Αν f συνεχης στο [ α,β], χ, χ,,χν [α,β] και κ, κ,,κν R+ να δειξετε k f ( ξ ) + k f ( ξ ) kν f ( ξν ) ότι υπαρχει ξ (α,β) ώστε f ( ξ ) = k + k k ν 77. Για μια συνεχή συνάρτηση f στο [,] ισχύει f() = και f() = 4. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ που ανήκει στο (,) 4 f + f + f + f ώστε f(ξ): = 4 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

40 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 78. Έστω f: [, ] α β Rσυνεχής συνάρτηση. Αν α,β είναι ρίζες της εξίσωσης χ -4χ+ =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [α,β] τέτοιο α+β α+β α+β α+ β ώστε να ισχύει: α f + f +β f = f ( ξ). ΙΙΙ. ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 78. Έστω συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () + χ = 5χ για κάθε χ Δ = (,5). Να αποδείξετε ότι η f. Δεν έχει ρίζες στο Δ. Έχει σταθερό πρόσημο στο Δ.. Να βρεθεί ο τύπος της f στο Δ, αν επιπλέον είναι γνωστό ότι f() = Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R με την ιδιότητα f () = e f(), R 8. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R με την ιδιότητα: (f () ) (f () ) =, R. 8. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R με την ιδιότητα: f () (f ()ημ =, R. 8. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R,f()=- και f () + f() 4=, R τότε να δείξετε ότι η f δεν έχει καμιά ρίζα.και βρείτε τον τύπο της 8. Να βρείτε την συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύει : ( ) = + ( ) για κάθε. f f συν 84. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: [, + ) R με g() = και [f()-g()] = [ f()+g()]. α) Να βρείτε το f(). β) Αν για κάθε χ [,4] είναι f(), να δείξετε ότι:. Η εξίσωση (-)f() + f(+) = (-) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,).. g() > για κάθε χ [,4]. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

41 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 85. Έστω συνεχής συνάρτηση f στο [, 4], με f(), για κάθε [, 4], f() > και f() f() = f() f(4). Να αποδείξετε ότι: α. f() >, για κάθε [, 4]. β. Η συνάρτηση g() = f () f() f() έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [, ]. γ. Η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη. 86. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : R R με f()g()=e, για κάθε R με f()> και g()>. Nαδείξετε ότι : α) f()>, για κάθε R β) Υπάρχει (,) τέτοιο ώστε g()= 87. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, f()=5 και ( ) δείξετε ότι η f δεν έχει καμιά ρίζα. f για κάθε R τότε να 88. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, f()=- και τότε να δείξετε ότι η f δεν έχει καμιά ρίζα.και βρείτε τον τύπο της 89. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,] για την οποία ισχύει 4 + f ( ) = 7 για κάθε [,] Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,). 9. Έστω η συνεχής συνάρτηση f, ώστε f () = 6, για κάθε (, ). Να βρείτε τον τύπο της αν f() =. IV. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ 9. Δίνεται η συνάρτηση f : (,] με f ( ) Α) Να βρείτε την μονοτονία της f. Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. = ln Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς (,] τέτοιο ώστε : ln = 9. Δίνεται η συνάρτηση f()= α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να λύσετε την ανίσωση f() <. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

42 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) με lim f()= γ R και lim f()= δ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός >, ώστε f( )+e +ln( )=.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: ( ) + Θέμα Β f = e 5 +. α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει ακριβώς μια λύση στο R.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) = + 5 7, R. i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii. Να λύσετε την εξίσωση f( ) =. iii. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f.. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) = 4 e +. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να ορίσετε την f. 4. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) = ln( + ) +. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. iii. Να ορίσετε την f. f + =. iv. Να λύσετε την εξίσωση ( ) f = +. i. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός R για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή. iii. Να λύσετε την ανίσωση: + < 5. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) = + 5, R. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει ακριβώς μία ρίζα τη =. iii. Να βρείτε το πρόσημο της f. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

43 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7. Να βρείτε το ( ) i. lim = + f ( ) limf, όταν: ii. f( ) lim = iii. lim f ( )( 4 ) = + 8. Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f :, 5 της οποίας η γραφική B 5,. παράσταση περνάει από τα σημεία A (, 8 ) και ( ) i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 9. iii. Υπάρχει μοναδικό (, 5 ) τέτοιο ώστε: f( ) 9. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) ( ) f = ln e +. i.να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. iii. Να ορίσετε την f. f < f ln5. iv. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ). Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) =. i. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. f = iii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) iv. Να λυθεί η ανίσωση ( ) f. Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :R ( ( )) ( ) i. Να βρείτε το f ( ). ii. Να βρείτε το f( ). iii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) f f + f = + για κάθε R και. iv. Να βρεθεί το f = συν + ηµ + liµ. f f + f ( ( )) ( ) ( ) + ( ) + ( ) f f 4f 4 = 9 R για την οποία ισχύει:. Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: ( ) + ηµ ( ) f liµ = i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνάει από το σημείο ( ) f ( ) ii.να βρείτε το lim. + f = ln +. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) M,. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

44 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ iii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. lim f. iv. Να βρείτε τα όρια: limf ( ) και ( ) 4. Δίνεται η συνάρτηση f :R i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f g. + R και η συνάρτηση g με τύπο g( ) = ln. ii. Να βρείτε συνάρτηση h για την οποία να ισχύει: ( )( ) = iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή. Θέμα Γ h g. 5. Δίνονται οι συνεχείς στο R συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν: f( ) για κάθε R. Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο A(, ). ρ = και ρ = 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της g ( ) =. Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. β) ( ) <, 5. γ) g για κάθε ( ) 4 f ( ) + + lim = g ( ) Δίνεται η συνάρτηση f : (, + ) R με τύπο: ( ) = + + f ln. i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε α R, η εξίσωση f( ) = α έχει μοναδική ρίζα. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός λ> για τον οποίο 4 ισχύει: λ + = λn λ 7. Δίνεται η συνάρτηση f :R R f = f, για κάθε R. i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. ii. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το R, να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. iii. Να λύσετε την εξίσωση f( ) =. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. ( ) - f ( α) f α + + = α- α+ 8. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο κάθε,. i. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f( ) =. για την οποία ισχύει η σχέση: ( ) ( ), για την οποία ισχύει ( ) ii. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (, ). + 4f = 7 για ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

45 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ iii. Να βρεθεί ο τύπος της f. iv. Αν επιπλέον f ( ) = f( ) 6 να βρείτε το όριο lim. 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, ) f ( ) ηµ + + i. Το όριο: iv. Το f(. ) lim ii. Το όριο:. Δίνεται η συνάρτηση f :R R και ( ) = f 5. i. Να βρείτε το ( ) iii. Να βρείτε το ( ). Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R κάθε R, α R. + R για την οποία ισχύει: για κάθε >.Να βρείτε: 7 liµ ηµ. iii. Το όριο: ( ) limf. R για την οποία ισχύει: ( f f)( ) + f ( ) = + για κάθε f 5. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ( ) f f + 7 =. f. iv. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) i. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. ii. Αν f( ) = να βρείτε τον τύπο της f. f ( ) iii. Να υπολογίσετε το όριο: iv. Να υπολογίσετε το όριο: lim, α<. + 4 f ( ) lim, α> Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R κάθε. i. Να αποδείξετε ότι: f( ) ( ) 4 και f R για την οποία ισχύει f ( ) =α + α + για 4 4 R για την οποία ισχύει: + 4f ( ) + για 4. ii. Να βρείτε το όριο: 4 lim f. iii. Να βρείτε το όριο: 5 f + 4 ηµ liµ. + ηµ iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ) f 4. i.αν lim = ii. Δίνεται η συνάρτηση g:r για κάθε, τέτοιο, ώστε ( ) να βρείτε το ( ). Να βρείτε το ( ) limf. f ξ ξ=. R για την οποία ισχύει: g( ) + συν ηµ + limg, αν είναι γνωστό ότι υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. iii. Να βρείτε το όριο: 4. Δίνεται η συνάρτηση f :R R. liµ ( ) + ηµ ( ) g ( ) f εϕ + R για την οποία ισχύει: f ( ) + f ( ) = 4 + για κάθε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

46 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f. i. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. iii.να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y=. iv.να λυθεί η εξίσωση: ( ) = ( ) f e f. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) = + και g ( ) =. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g. ii. Να ορισθεί η συνάρτηση f g. iii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. iv. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης f f g. 6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f( ) i. Να βρείτε τα κ,λ. ii. Να υπολογίσετε το όριο: lim f ( ). + iii.να υπολογίσετε το όριο: ( ) lim f. iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = ( + ) (, ). 7. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) ( ) ηµ g + την οποία ισχύει: liµ = 5 Να βρείτε: + κηµ,< = λ, = , > f ln 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 5 + 6,,, 4( ) = κ + ( + ),, ( 4) ( ) ( ) και η g: R {,} και g ( + ) = g ( ) + f ( ) για κάθε R. i. Το κ αν υπάρχει το lim f ( ). ii.το όριο lim f ( ). iii.το όριο ( ) iv. Το όριο ( ) limg. limg. R για Θέμα Δ 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) = ln + e + 4. i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την f. lim f. ii. Να υπολογίσετε τα όρια: limf ( ) και ( ) iii. Να λυθεί η εξίσωση f( ) = e. iv. Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο ισχύει: ( µ + ) 6µ ln4µ ln µ + 4 µ + = e e 8 µ ( ) ( ) + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 44

47 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: ηµ f ( ), για κάθε R. 4f + f + =, για κάθε R. ( ) ( ) i. Να βρείτε το όριο ( ) ii. Να βρείτε το f ( ). limf. iii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) =,. g σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( ). Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R R τέτοια ώστε: κηµ = f( ) + + ηµ λ για κάθε R και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A,. i. Να βρείτε τα κ και λ. ii. Αν κ= και λ= να βρείτε την f. f( ) iii. Να βρείτε το όριο: lim συν. + 4 =. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. lim f.. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ) ii. Να βρείτε το όριο ( ) iii. Να βρείτε το όριο lim f ( ). + iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = κ έχει μία ακριβώς ρίζα στο R για κάθε κ R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 45

48 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ι. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f ( ). Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω συναρτήσεων: i) f () = στο = ii) f () = και = iv) f () = + ηµ στο = v) f () = ( ) + στο = 4 vi) f () = στο = vii) f () = και =. Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο. f( ) =, =. f( ) =, =. f( ) =, = f( ) =, = 5. f( ) =, = 6. ( ) π ηµ, f =,=,=. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγισιμες στο χ ηµ, e, < ι) f() =, χ= ιι) f () =, =, χ=, = e συν ν,> 4 4. Αν η f είναισυνεχής στο και f() ηµ, R, να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγισιμη στο. 5. Έστω η συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: f () + για κάθε R, δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο = και να υπολογισθεί το f ( ) 6. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγισιμες στο α, f(α)=g(α) και f()+ g() +α, R, να δείξετε ότι g( α) f ( α ) = α 7. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g με f(), g() = f ( ) ( ) + f( ), > είναι παραγωγίσιμη στο. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 46

49 8. Δίνονται οι συναρτήσεις, g ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f με: g() f() g() + ( ) για κάθε R και g '() =. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρείτε την f '(). ΙΙ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9. Να βρείτε τα α, β R ώστε να είναι παραγωγίσιμη στο ο =, η συνάρτηση f() = a β, +, <.. Να βρεθούν οι α,β R ώστε η συνάρτηση παραγωγισιμη στο χ = α + β + + 6, < f ( ) = + ( α+β), να είναι f( ). Αν η f είναι συνεχής στο και = 5, f () είναι παραγωγισιμη στο και να βρείτε το lim lim να αποδείξετε ότι η f. Αν f + 4f ( ) ( ) f ( ) =,lim = 4 να αποδείξετε ότι f () = f (). Αν lim = 4 και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο =, δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο =. f ( ) 4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και lim = η f είναι παραγωγίσιμη στο., να αποδείξετε ότι 5. Έστω συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R. Αν g: R R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει: () = f () f ( ) ( ) f ( ) g να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R 6. Έστω f R R : μια συνάρτηση με f ()+f()+=, R να δείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο = β) f () = 7. Έστω f : R R μια συνάρτηση παραγωγισιμη στο = με f + f = R ( ) ( ), να δείξετε ότι: f ()= ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 47

50 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ III. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ f ( ) 8. Αν α και η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο α, να βρείτε το f ( ) f( α ) f ( ) + f ( α) f( ) f ( α) lim α α ν f ( + h) f ( ) +α h+α h ανh 9. Αν ν Ζ με ν > και lim = m, h h m R. να αποδείξετε ότι f ( ) = m α. Αν f() = και f () = 6, να βρείτε το όριο lim (f()) Έστω η συνάρτηση f με f () f '() = f ( ) 4 f( ) ι) lim ιι) lim + + =. Να βρείτε τα όρια:. Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, δείξτε ότι: f ( ) f ( ) lim = f ( ) f ( ). *. Έστω συνάρτηση f : R R με f ( ) = f ( α) = + α να βρείτε το όριο: α f( α) f ( ) lim α α 4. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο = και f()=, δείξτε ότι: lim f = f () Υπάρχει ο f (α). Βρείτε το 6. Υπάρχει ο f (α). Βρείτε το f lim α f lim α 7. Υπάρχει ο f (α).δείξτε ότι f '( ) ( α) αf ( ) α ( α) α f( ) α ( +α) ( α ) f f α = lim 8. Να αποδείξετε ότι: αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: f ( + h) f ( ) f ( h) f ( + h) ι) lim = f '( h ) ιι) lim = 4f '( ) h h h f ( h) f ( ) f ( + h) f ( ) ιιι) lim = f( h ) f '( ) ιv) lim = h h h ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 48

51 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ α 9. Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R α f () f ( α) lim = α f ( α) α f ( α α α i) Να δείξετε ότι ) ii) Εάν και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο g( α) f () g() f ( α) lim = g( α) f ( α) f ( α) g( α) α α IV. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ α R, να δείξετε ότι:. Έστω συνάρτηση f για την οποία για κάθε, y R ισχύει: f () + y f ( + y) f () y. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R.. Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα f( + y) = f() f(y), για κάθε, y R και f(). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του R και μάλιστα f () = f () f(), για κάθε R.. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο R και ισχύουν: i) f ( + y) = f ( ) fy ( ) για κάθε, y R. ii) f ( ) = + g ( ) για κάθε R iii) lim g ( ) = Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R.. Εάν για τη συνάρτηση f ισχύει: f + h = + h + hµ h + h ( ), για κάθε h R, να δείξετε ότι: i)f( ) = ii) f ( ) = 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο και f( ψ) = ψ f( )+ χ f ( ψ), να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) = f () + 5. Aν fy= fyf y + f = ( ) ( ) ( ),, (, ), ( ) / τότε δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το (, + ) 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση f :R R παραγωγίσιμη σ όλο το πεδίο ορισμού της, για την οποία ισχύει ότι: πραγματικούς αριθμούς και f ()= y f( y) e f(y) e f() + = +, για κάθε,y ι) Να αποδείξετε ότι f () = και f() = e f(), για κάθε R f( ) f( ) ιι) Να βρείτε τα lim,lim ιιι) Να βρεθεί η f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 49

52 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΠΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7. Nα βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων όπου υπάρχουν - +.f( ) =. f()= f()= 4. f()= f()= f()= 8. Δίνεται η συνάρτηση f() = ηµ + συν, αν < + +, αν. Να βρεθεί η f (). 9. Αν f() = και g() = + να εξεταστεί: α) αν f = g β) f = g 4. Αν f() = και f () = 5 να βρείτε την g (), όπου g() = f()- f(). ΙΙ.ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων α) 4 f()= ln ( +) β) e +5 f()= γ) ln ( +) ln f()= ημ (e + +) δ) f()= + ε) f()= στ) f()=( ) ζ) + f()= - 4. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων συν, α) f()= β) f()= γ) f()=,= 4. Αν f δυο φορές παραγωγίσιμη να βρείτε την ( f ( )) ( ) 44. Αν f δυο φορές παραγωγίσιμη να βρείτε την f(ln)+ ( lnf () ) 45. Να δείξετε ότι η συνάρτηση y με τύπο - y()= e +e επαληθεύει την εξίσωση ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

53 4y ()+y ()- y()=, R ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 46. Αν f(t)=e -αt ημ(ωt), α, ω R * σταθερές, υπολογίστε την τιμή της παράστασης: f (t)+α f (t)+(α +ω )f(t). (Η παράσταση αυτή είναι διάσημη στην φυσική γιατί παριστάνει την εξίσωση της φθίνουσας Α.Τ) 47. Να δείξετε ότι υπάρχουν δυο τιμές του α : η συνάρτηση y με τύπο y ()-y ()+y()=, R. a y a()= e να επαληθεύει την εξίσωση Στην συνέχεια δείξτε ότι η συνάρτηση g()= cy ()+cy () επαληθεύει την ίδια εξίσωση 48. Έστω f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R ώστε ( ) ( ) f ()= 49. Να υπολογισετε τις παραγωγους των συναρτησεων α) f()=, > β) ημ f()= + γ) 4 f () + f() = δείξτε ότι f()= e συν, > δ) f () = ( ηµ ), (, π ) 5. Εστω f :R R δυο φορες παραγωσιμη συναρτηση.να βρειτε τις συναρτησεις g,g όταν α) 4 β) g()= f ( + + ) γ) g()= f(ημ)+f () 4 +f () f() g()= e -, > 5. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων α) f()=ημ(συν )συν(ημ ) β) f()=ημ 4 (ln 5 συνe ) γ) f()=, > δ) f()= (+) ε) f()= 4 + ln 6 στ) f()=, [,) +, [, + ) 6 5. Αν η για την παραγωγισιμη στο R συναρτηση f ισχυει f( )= f ( ) και f (), να βρεθει η τιμη f() 5. Έστω δύο συναρτήσεις παρ/μες στο R οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: - = f() g() e Να αποδείξετε ότι: g ()- g() f ()- f() = [g()] [f()] Αν = t + 5t, y = 5t,t > βρείτε την d dy 55. Να αποδειξετε ότι ι) f() = f () = ιι) Αν h() = f() f (), R τοτε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

54 h () f () f () = +, R h() f() f () ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 56. Αν ν Ν* και αημ + αημ() + αημ() +.+ανημ(ν) ηµ για κάθε R όπου α,α,α,.αν σταθεροί(πραγματικοί αριθμοί), ν α αποδείξετε ότι : α + α + α+.+ναν. 57. Aν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και για κάθε ισχύει: f(e - )=ημ(π), να υπολογίσετε τις f (), f () 58. Αν f()=(-)(-) (-), να βρείτε την f () 59. Aν f()=(-α) (-β) 5, να δείξετε ότι f () = + 5 με α και β f() -α -β 6. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο Δ, με g(), για κάθε Δ. Θεωρούμε την συνάρτηση h()= f() g(). Aν h ( ) = να δείξετε ότι : f ( ) h()= g ( ), με g() 6. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R.Να αποδείξετε ότι: Ι)Αν η f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή ΙΙ) Αν η f είναι περιττή, τότε η f είναι άρτια 6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και άρτια, να αποδείξετε ότι και συνάρτηση g() = f(f ())-f είναι άρτια. 6. Αν f,g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο με f () και για τη συνάρτηση G() = g() f() e ισχύει G () = να αποδείξετε ότι g () = f () g(). 64. Να αποδειχθούν οι τύποι των νιοστών παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων: α) f()=e α, f (ν) ()=α ν e α β) f()= ημ(α), f ν) ()=α ν ημ(α+ νπ ) 65. Να βρειτε τη νιοστη παραγωγο των συναρτησεων ι) f()= ημ, R ιι) f()=, R * ΙΙΙ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 66. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ() = [Ρ ()] για κάθε R. Να ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

55 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ βρείτε τo πολυώνυμο δευτέρου βαθμού Ρ με Ρ()- Ρ () = -7+7, R. 67. Να βρείτε πολυώνυμο P() ώστε να ισχύει: α) ( e P() ) β) Να έχει βαθμό ν και να ισχύει [ P ()] =P(), με P()= γ) Να έχει βαθμό ν και να ισχύει P()= P () P () =e (-), 68. Αν το f() = α +β+γ, α, έχει δύο άνισες ρίζες ρ,ρ, να αποδείξετε ότι: Ι) f ( ρ)+ f ( ρ) = ii) f ( ρ)f ( ρ) ιιι) ρ/f ( ρ)+ ρ/f ( ρ) = /α. 69. Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: Ι) Α = ν ν-, R και ν Ν* Ιι) Β = ν ν-, R και ν Ν*. 7. Αν f() πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδειχθεί ότι: Ι) f() = (-ρ) π() f(ρ) = f (ρ) = ii) Να βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες το πολυώνυμο (-) είνα παράγοντας του πολυωνύμου f() = α ν+ - β ν+ + με ν. 7. Έστω f()=αν ν + αν- ν- + +α+ α, αν, α με ρίζες ρ, ρ,,ρν διάφορες ανά δύο. Να δείξετε ότι: f () i) = , ρi i=,,,...,ν f() -ρ -ρ -ρ ii) f()f () < [f ()], για κάθε ν iii) Nα υπολογίσετε το άθροισμα ρ ρ ρ iv) Αν f(ρ)= f (ρ)= και f (ρ) να δείξετε ότι ν ρ -ρ ρ -ρ ρ -ρ = ν IV. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ 7. Να αποδειχθεί ότι: Ι) Η συνάρτηση f: (,π) R, με f() = συν, είναι Αντιστρέψιμη Ιι)Η συνάρτηση f - είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (-, και ότι [f - ()] =, (-,). + +, με την ιδιότητα f()f =,για κάθε χ> Να αποδειχθεί ότι:ι) f = /f (), για κάθε. Ιι) [f()f ] =, για κάθε. 7. Έστω μια συνάρτηση f: (, ) (, ) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

56 74. Εστω η συναρτηση f() = ημχ,, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ π π να βρειτε την παραγωγο της f 75. Η συναρτηση f : R R είναι - παραγωγισιμη στο R και f( R)= R Αν για καποιο σημειο α R ισχυει α = Να αποδειξετε ότι η f (f ( )) f δεν είναι παραγωγισιμη στο = α 76. Οι συναρτησεις f,g είναι - και εχουν πεδιο τιμων το R. Αν είναι παραγωγισιμες στο R και ισχυει f () = g (), g() = f (), R f g g f () f g () Να αποδειξετε ότι ( + ) = ( + ) 77. Δίνεται η συνάρτηση f()=5e +-. Nα δειχθεί ότι αντιστρέφεται και έπειτα να δείξετε α) f(α) για κάθε α β) ( ) f (f ( )) α = α γ) ( ) V. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ f( ) f () = Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμηστο (, + ) και για κάθε α, β (, + ) ισχυει f( α β ) =α f( β ) +β f( α ). Να αποδειξετε ότι ι) f() = ιι) f () f() = f (), >. 79. Αν η f είναιπαραγωγισιμη στο R, και ισχυει ψ f( +ψ ) = e f( ψ ) + e f()+ χ.ψ+α χ, ψ R Να δειξετε ότι ι) f() = -α= ιι) f () = f()+ f ()e + ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()=e ln(-e ) στο σημείο με τετμημένη = 8. Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της με τετμημένη : ι) f() = ( -), = 4 ii) f() = ημ ln, = π ιιι) f() = -συν, = iv) f() = e, = v) f() = ημσυν, = π ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 54

57 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8. Αν f() = -4, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία τομής της με τον άξονα Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf της συνάρτησης f()=, στο σημείο M (,f()) αν f() + f () = Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε f (ημ) + f (συν) = + ημ + συν : για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α (, f()) διέρχεται από το σημείο Β (f(), ). ΙΙ.ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Χ 85. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= + + που διέρχεται από το σημείο Α(,) 86. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf της συνάρτησης f() = ln που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 87. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf της f()= που διέρχεται από τo σημείο Α(,-6). 88. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf της f()=, που διέρχονται + από το σημείο Α(,). 89. Μία συνάρτηση f: R Rέχει την ιδιότητα: f(+) f(-) = + 4 5, R. Ι) Να βρεθεί ο τύπος της f. Ιι) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της Cf, οι οποίες άγονται από το σημείο Α(,- ), είναι κάθετες Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f (ln) =. ln, >. α. Να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο = 9. Να αποδειχθεί ότι από το σημείο Ρ(α,β) με β α διέρχονται δύο εφαπτόμενες της παραβολής c: ψ =. ii) Αν το Ρ βρίσκεται πάνω στην ευθεία δ: ψ = - 4, να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες είναι κάθετες. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 55

58 9. Δίνεται η συνάρτηση f()= ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ, και το σημείο α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Μ(λ,f(λ)) β) Να δείξετε ότι η παραπάνω εφαπτομένη: i) Για λ= δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την Cf ii) Για λ= έχει και άλλο κοινό σημείο με την Cf το οποίο και να βρεθεί Μ(λ,f(λ)), λ της Cf ΙΙΙ.ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ λ 9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = + (εφόσον υπάρχει), σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =. β) σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. γ) είναι παράλληλη στην ευθεία y = +. δ) είναι κάθετη στην ευθεία y = - +. ε) είναι παράλληλη στον άξονα. στ) είναι παράλληλη στον άξονα y y. 94. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ()=+ln(-) i) με συντελεστή διευθύνσεως λ= ii) που σχηματίζει γωνία 45 ο με τον χ χ iii) που είναι κάθετη στον άξονα y y ΙΙΙ. ΕΥΘΕΙΑ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΤΗΣ Cf 95. Να δειχθεί ότι η ευθεία y=-8 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= +ln(-) 96. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f()=+f (), για κάθε να δειχθεί ότι η ευθεία y=-+ εφάπτεται της Cf 97. Δίνεται η συνάρτηση f()= +β+ και η ευθεία ε: y=-+β Να βρείτε τις τιμές του β για τις οποίες η ευθεία ε εφάπτεται της Cf 98. Αν < α, να βρείτε την τιμή του α ώστε η ευθεία ε: y= να είναι εφαπτομένη της Cf με f()=α. IV. ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 56

59 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 99. Δίνεται η συνάρτηση g() = f()ημ(α), α, όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο Rμε f() για κάθε R. Αν (,ψ) κοινό σημείο των Cf και Cg, να δείξετε ότι οι Cf και Cg δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο (,ψ).. Δίνονται οι συναρτήσεις g() = και f() = α β +9. Να βρείτε τα α,β R, ώστε οι Cf και Cg να δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη.. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=γ+ και g()= α +β+ έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο Μ(,). Για τις συναρτήσεις f,g,φ ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη στο Rμε f(), R i)η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ii) g() = f()φ (), για κάθε R ιιι) [φ ()] + [φ ()] =, για κάθε R Αν Α(,ψ) είναι κοινό σημείο των Cf και Cg, να αποδειχθεί ότι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη. Nα δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεω f()= και g()= -+ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο οι εφαπτόμενές τους είναι κάθετες 4. Aν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f() για κάθε και g()=f()ημ, να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο V. ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΜΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ 5. Δίνονται οι συναρτήσεις g()= + 4 α+β και f()=. Να βρείτε τα α β, ώστε οι Cf και Cg να διέρχονται από το ίδιο σημείο στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτόμενη με συντελεστή διεύθυνσης. 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4(-)e = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα(,). ii) Nα αποδείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη, όπου f() = e και g() =. 7. Αν f() = e και = g() ln και είναι Α το σημειο τομης της c f με ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 57

60 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ τον ψψ και Β το σημειο τομης της c g με τον, να δειξετε ότι η ευθεια ΑΒ είναι κοινη εφαπτομενη των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e και g()=- -. Nα δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(,) εφάπτεται και στην Cg 9. Αν Cf, Cg είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=ημ και g()= - +4-, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη των Cf, Cg. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των γρ. παραστάσεων των συναρτήσεων f()=4- και g()= VΙ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ. Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f (4) = και (f ()) = f () για κάθε R, α) να βρεθεί ο τύπος της f. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία y = - +. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο [, + ) και για R ισχυει της c f f(e ) = + +. Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης στο A(,f()). Αν η ευθεια ε : ψ = χ+ εφαπτεται στην παραγωγισιμη συναρτηση f στο -, να βρεθει το lim f +.( -) Αν η ευθεια ε : ψ =χ-4 εφαπτεται στην g()= ln( f() ) στο = οπου f συναρτηση με συνεχη παραγωγο να αποδειχθει ότι είναι f()- 4, συνεχης η h()= ( -)f () 6, = 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h:. Αν f(), g()=f()h() για κάθε, οι f, g, h είναι δύο φορές παραγωγίσιμες και h ()=-[h ()], να δείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία. 6. Μία συνάρτηση f: είναι παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει f(κ )=f(κ+), κ. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της Cf στα σημεία της Α(κ-α,f(κ-α)) και Β(κ+α,f(κ+α)) με κ α τέμνονται πάνω στην ευθεία με ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

61 εξίσωση =κ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7. Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία f ()= και g η συνάρτηση που ορίζεται ως g()=f( ++)-, Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(,f()) εφάπτεται της Cg στο σημείο Β(,g()) 8. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε: f (ημ) + f (συν) = + ημ + συν για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α (, f()) διέρχεται από το σημείο Β (f(), ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 9. Μια σφαιρική μπάλα αρχίζει να λιώνει. Η ακτίνα της που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4-t, όπου t o χρόνος σε sec Nα βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας όταν t=sec. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + y = 4. Καθώς περνάει από το σημείο Α(-, ), η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 6 m/sec.να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης τη χρονική στιγμή που το σώμα περνάει από το Α. Το σώμα περνάει από το Α ακολουθώντας τη θετική φορά κίνησης ή όχι;. Έστω > και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, το οποίο έχει κορυφές τα σημεία Ο(,), Α(4,) και Β(, -). Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε όταν = 9 cm.. Η περίμετρος μιας κυκλικής κηλίδας μεταβάλλεται με ρυθμό m/sec όταν η ακτίνα της είναι m. Να βρεθεί την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + ψ = ρ με t = ψ. ψ Βρείτε το όταν ψ.το σώμα κινείται στον κύκλο κατά τη φορά των t δεικτών του ρολογιού ή αντίθετα; 4. Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

62 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Tη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση (,) και το αυξάνει με ρυθμό cm/sec.i) Να βρεθεί το ψ (t) τη χρονική στιγμή t. Να βρείτε σε ποια θέση ψ (t) = (t), όπου ψ = f() Ένας πληθυσμός μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Ν(t) = t, όπου + 9. t ο χρόνος σε λεπτά. Αν οι φυσιολογικές απώλειες Μ(t) = N (t) κάθε λεπτό είναι ανάλογες του τετραγώνου του υπάρχοντος πληθυσμού με συντελεστή κ = -, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής Μ. 6. Ένας άνθρωπος ύψους 7cm κινείται προς μια φωτεινή πηγή που απέχει από το έδαφος cm. Αν η ταχύτητα του ανθρώπου είναι 7,Km/h να βρεθεί με τι ταχύτητα κινείται η σκιά του κεφαλιού του 7. Το εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι πάντα 9π cm. O ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναιπ cm /sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους του μικρού κύκλου όταν αυτός έχει εμβαδόν 6π cm. 8. Μια σκάλα μήκους m είναι ακουμπισμένη σ έναν κατακόρυφο τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας έλκεται από τον τοίχο με ρυθμό m/sec. Να βρείτε: ι. Πόσο γρήγορα γλιστράει το πάνω άκρο της σκάλας όταν το κάτω άκρο απέχει από τον τοίχο 5m. Ιι.Tον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος όταν το κάτω άκρο της απέχει από τον τοίχο m. 9. Δίνεται η συνάρτηση f() =ln, και το σημείο Μ(α,lnα), α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα ψ ψ με σταθερή ταχύτητα v = m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. Δίνεται η συνάρτηση f() =, και το σημείο Μ(α,α ), α >, που απομακρύνεται από τον άξονα y y με σταθερή ταχύτητα v = m/sec. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ. ii) Να αποδειχθεί ότι η παραπάνω εφαπτόμενη τέμνει τηcf και σε δεύτερο σημείο Ν. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

63 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ iii) Να εκφραστεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΜΒΝ (με διαγώνιο ΜΝ και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες) με μεταβλητή το α. iv) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το Μαπέχει από τον άξονα y y απόσταση m. ΚΑΝΟΝΕΣ De L Hospital ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΜΟΡΦΗ. Να υπολογισετε τα ορια ηmχ + ln(+ ) ηmχ συnχ ι) lim ιι) lim ηm χ π 4 ln( ηm χ). Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: ιιι) e e lim συνχ ιv) ηm e e lim ηmχ α) lim 4 +συν- β) lim e ln e -ημ γ) lim e --- ημ-συν+ δ) lim ε) lim ln ΙΙ. ΜΟΡΦΗ ± ±. Να υπολογισετε τα ορια ι) lim χ ln ιι) lim + e e ιιι) α lim, α>, β> ιv) β e + ln lim Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: ln( + ) α) lim + ln( + ) β) α e lim + κ γ) + + ηm + lim e + + ΙΙ. ΜΟΡΦΗ ( ± ) 5. Να υπολογισετε τα ορια ι) lim ln + lim ln ln 6. Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: χ + ιι) ( ) ιιι) lim ( ln ηmχ ) + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

64 α) lim ( ln ) + β) lim e ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ γ) lim (ημ ln ) + ΙΙΙ. ΜΟΡΦΗ ( ± ) ( ± ) 7. Να υπολογισετε τα ορια i) lim σφχ ii) lim ( e ln ) iii) lim χ + ηm χ χ 8. Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: iv) lim χ χ α) lim ln β) lim ( ln e ) + + γ) συν e lim - ημ ΙV. ΜΟΡΦΕΣ,,( ) 9. Να υπολογισετε τα ορια lim ηmχ ηmχ ιι) + lim χ χ ιιι) lim χ + χ ιv) ι) ( ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ χ+ lim χ + χ lim ηmχ+συνχ χ v) ( ) f (), <χ<π 4. Δινεται η συναρτηση g() = ηµ χ οπου f μια παραγωγισιμη στο R, χ συναρτηση με f()= f () = f () =. Na δειξετε ότι η f είναι παραγωγισιμη και να βρειτε την g 4. Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει f()=.nα αποδειξετε f() f( ) ότι lim = f () e 4. Η συναρτηση f δυο είναι φορες παραγωγισιμη στο R και η f είναι συνεχης στο χ=.αν f()= f () = και f (), να αποδειξετε ηmχ + f() ότι lim = αν και μονο αν f () = (e )f () 4. Δινεται η συναρτηση ln +, < f() =, = Να δειξετε ότι η f είναι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 84

65 συνεχης και f () = ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 44. Δινεται η συναρτηση e lim και ( e ) ln, f() =, = lim( ln ) χ=. ιιι) Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της γραφικης παραστασης της f στο σημειο Ο(,) ι) Να υπολογισετε τα ορια ιι) Να αποδειξετε ότι η f είναι συνεχης στο 45. Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμη στο χ = και f () =. Να αποδειξετε ότι f() lim = Η συναρτηση f : R R είναι παραγωγισιμη με f() φ> και lim (f() + f ()) = l R. Να δειξετε ότι lim f( ) = l και lim f ( ) = Αν η συναρτηση f εχει δευτερη παραγωγο στο α και f ( α), να αποδειξετε ότι lim f( a) a = f a a ( a ) 48. f () Αν lim f () = lim f () = lim f () = + και lim = f () να δειξτε ότι + f() lim = + f () 49. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f()+e ημ =f()ημ+e για κάθε R. Να βρείτε την f() Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει (-συν)f() = ln(+)- για κάθε -. Να βρείτε την f(). 5. i) Nα λύσετε την εξίσωση +ln = στο (,). ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf με f() = ln++, (,) που διέρχεται από τα ο σημείο Α(,5) και το f((,)). 5. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Να f( + h) f() + f( h) αποδείξετε ότι: lim = f (). h h ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 85

66 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Θ. ROLLE I. ΑΜΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5. Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για τις παρακάτω συναρτήσεις στο αντίστοιχο διάστημα α) f()= + -8+, [-,] β) f()=ημ+συν-, [,π] γ) f()= , [, ] 54. Δίνεται η συνάρτηση f() = +.Να εξετάσετε αν +, αν 9 4 9, αν εφαρμόζεται τα Θ.ROLLE στο διάστημα [,] για τη συνάρτηση f. ηµ, αν 55. Δίνεται η συνάρτηση f() = α +β, αν. Να βρείτε τις τιμές α,β R για τις οποίες η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. ROLLE στο διάστημα [-π,] και έπειτα να βρείτε όλα (-π,) για τα οποία ισχύει f ( ) =. 56. Δίνεται η συναρτηση f() = + a + > (β-)χ, χ Να βρειτε τις τιμές των α, β R ώστε να εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο [-,] 57. Να αποδείξετε ότι: i)η συνάρτηση f() = συν ικανοποιεί τις υποθέσεις του π π Θ. ROLLE στο διάστημα [-, ] ii) Η εξίσωση εφ = έχει μια π π τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-, ). 58. Έστω f μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Είναι συνεχής στο [α,β] Είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) = f(β) = Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση g() = f() όπου c [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο c διάστημα [α,β]. b)αν c [α,β], τότε υπάρχει c (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της (c, f(c)) να διέρχεται από το σημείο (c,). 59. Δίνεται η συναρτηση f: [a,β] R, η οποία είναι συνεχής στο [α,β] καιπαραγωγισ ιμη στο (α,β). Να αποδειξετε ότι : I ) για τη συναρτηση f() g() = e ( a)( β) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α,β] ιι) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ)= + a - ξ β-ξ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 86

67 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 6. Έστω f,g δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες: Είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] f(α) = f(β) = και f() (α,β) Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση h() = f()e -g(), [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο διάστημα [α,β]. b)υπάρχει (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cg στο σημείο της Α(,g()) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: f (). - f().ψ + κ =. 6. Δίνεται η συνάρτηση f() = ν (-) μ με ν,μ Ν *. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε f () = και το σημείο Γ(,) ώστε µ AΜ = νμb όπου Α(,) και Β(,). 6. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,γ] και ισχύουν f(α) = f(γ) και f (α) = f (γ) =, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, (α,γ) τέτοια, ώστε f () = f (). 6. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β)και [α,β], Να f( β) f( α ) f ( ) αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: =. β α 64. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) με f(α) = f(β)e g(β)-g(α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f () + f().g () =. 65. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο Rκαι ισχύει f() 6f(5)+4f() για κάθε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ) =. 66. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [,] και f() f() = ln-ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,), ώστε f (ξ) = ξ. 67. Σ έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν με την ίδια ταχύτητα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια του αγώνα που έχουν την ίδια επιτάχυνση 68. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδειχθεί f( ) f( α) ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f () =. β 69. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = f (-ξ). 7. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) - f(β) = α -β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f () =. 7. Η συνάρτηση f: [,4] R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f() = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 87

68 και f(4) = 8. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 7. Δίνεται η συναρτηση f: [α,β] R συνεχής στο [α,β],παραγωγισιμη στο (α,β) Αν f() να αποδειξετε ότι υπάρχει θ τετοιο,ωστε f(θ) (α,β) = + f(θ) α-θ β-θ 7. (Για παραγωγίσιμες συναρτήσεις) Ορισμός: α) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών, της συνάρτησης f υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της παραγώγου f β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών ξ, ξ της παραγώγου f υπάρχει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης f γ) Αν η f έχει ν ρίζες,,, ν τότε η f έχει ν- τουλάχιστον ρίζες Παράγουσα ( ή αρχική) της f στο διάστημα Δ: Λέγεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () = f(), για κάθε Δ ΙΙ. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ συνάρτηση f παράγουσα F μορφή συνάρτησης f μορφή παράγουσας F c f () f() f() f () α+ α α+ f α () f () f () f() f () α+ fα+ () f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 88

69 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ημ -συν ημf() f () -συνf() συν ημ συνf() f () ημf() e e e f() f () e f() α ln α lnα f () f() α f() f () και κάποιες γενικότερες μορφές ln f() μορφή συνάρτησης f μορφή παράγουσας F μορφή συνάρτησης f μορφή παράγουσας F f ()g() + f()g () f()g() f () + f () f() f() α lnα f ()g() f()g () g () f() f() f () g() f() [f ()] +f() f () f() f () [f ()+ f()g ()]e g() f()e g() α β 74. Αν + +γ= α, β, γ R α.να δειχθεί ότι η εξίσωση αχ +βχ+γ= δέχεται στο διάστημα (, ) τουλάχιστον μια ρίζα. 75. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ημχ + ( χ-) συνχ= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) α α α α α =, ν Ν ν+ ν *, να αποδείξετε ότι η εξίσωση αν ν + αν- ν- +..+α + α + α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,). ν ν 76. Αν 77. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 8α +9β -6β-α= έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (,) 78. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( -4)συν+ημ= έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (-,) 79. Έστω f συνεχής στο [α,β], α> και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία είναι f(α) f(β) = α) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ()=f() έχει μία α β τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β) εφαπτομένη της Cf η οποία β) Να δείξετε ότι υπάρχει διέρχεται από την αρχή των αξόνων 8. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο οιονδήποτε ριζών της e ημχ=, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της e συνχ= - ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 89

70 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο ριζών της εξίσωσης e 4+ =ημ υπάρχει πάντα μια ρίζα της εξίσωσης χ + 4 = σφχ Ύπαρξη το πολύ ν ριζών εξίσωσης (με άτοπο) 8. Δείξτε ότι η εξίσωση χ χ + α= έχει το πολύ μια ρίζα στο (-, ) 8. Να αποδειχθει ότι η εξίσωση χ ν + αχ +β = έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες 84. Δίνεται η συναρτηση f : R R δυο φορές παραγωγισιμη στο R με f () για κάθε χ R.Να αποδειξετε ότι η εξίσωση f () = έχει το πολύ δυο ρίζες. 85. Αν α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 +α +α +β+γ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. 86. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μ = έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα στο διάστημα (,) Δίνεται η συνάρτηση f() = μ, όπου η παράμετρος μ R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. 88. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α +β +γ+δ = e έχει το πολύ τέσσερις πραγματικές ρίζες. 89. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ + μ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε λ,μ R. 9. Να δείξετε ότι η εξίσωση -+ln(+)= έχει το πολύ μία ρίζα Ύπαρξη ακριβώς ν ριζών εξίσωσης 9. Να δειχθεί ότι η εξίσωση α+β= με α, β και β< έχει δύο μόνο ρίζες άνισες 9. Ι) Αν ο ν είναι άρτιος θετικός ακέραιος και α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+α) ν = ν + α ν έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

71 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΙΙ) Να λυθεί η εξίσωση: (+) 996 = (+) Αν η εξίσωση χ 4 + αχ +βχ +γχ +δ = έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους, να αποδειξετε ότι α > 8β 94. Δίνεται το πολυώνυμο Π() = (-)(+)( -). Να αποδείξετε ότι τι πολυώνυμο Π () =, έχει τρεις ρίζες ανά δύο διαφορετικές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Θ.Μ.Τ Ι. ΑΜΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Θ.Μ.Τ 95. Δίνεται η συνάρτηση f() = +, -. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις -, > - προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [-,] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ (-,) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ. 96. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = (-ln). Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,e] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ (,e) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ. 97. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f() για κάθε [α,β].εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. στο [α,β] για τη συνάρτηση f() = lnf(), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο f ( ξ) ( α β) ώστε: f( ) f( )e f( ξ α = β ) ΙΙ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΜΕ Θ.Μ.Τ 98. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] με f() = 5 και f () για κάθε (,), να αποδείξετε ότι 4 f() Αν η συνάρτηση f () είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι f() =, να αποδείξετε ότι: f () f() f ().. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,5] με f() = -και f () για κάθε (,5), να αποδείξετε ότι: - f(5) 6. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

72 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f(β)- f(α) <f (β) β-α. α)αν f γνησίως αύξουσα στο [α,β] να δείξετε: f(α)< f()- f(α) β) Αν f γνησίως αύξουσα στο [α,+ ) να δείξετε: f(α)< <f () -α. Nα αποδειχθούν οι ανισότητες : α) β α α e -e β e < <e β-α, για κάθε α, β με α<β β) + e e +, για κάθε γ) < ln( +)<, για κάθε >- και. Στη συνέχεια να δείξετε: + ln( +) i) lim = +, ii) ln( +) lim = + δ) ημβ-ημα β-α για κάθε α, β. Αν α β, να αποδειχθεί: e β -e α β e β - α e α. 4. Nα αποδείξετε ότι: ln ψ + + ψ, για κάθε,ψ R. 5. Αν ισχύουν α γ β, και f (γ) = και f () θ για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f ( α ) + f ( β) θ( β α ). ln( ηµβ) ln( ηµα) π 6. Nα αποδείξετε ότι: i) σφβ σφα, αν α β. β α iι) ηµ β ηµ α β α. iii) < ln( +)<, αν >. + ιv) + + +, αν -. + v) e + ( )e, αν (,). Θ.Μ.Τ και ROLLE 7. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της γραφικής παράστασης Cf, να δείξετε ότι: i) Yπάρχουν δύο σημεία της Cf στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους παράλληλες ii) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f (ξ)= iii) Εξετάστε αν εφαρμόζεται το θ. Rolle για την συνάρτηση φ()= f()-f(α) -α ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

73 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ στο διάστημα [β,γ] και να δείξετε ότι υπάρχει ξ (β,γ) με f(ξ)-f(α) f(ξ)= ξ-α 8. Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R.Αν οι αριθμοί f(), f(4), f(6) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,6) τέτοιο ώστε f (ξ) =. 9. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.Αν οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικήςπροόδου με α β γ δ, να αποδείξετεότι: f(α) + f(δ) f(β) + f(γ).. Η συναρτηση f είναι συνεχής στο [-, ] δυο φορές παραγωγισιμη στο (-, ) με f( )= f ()+f (- ).Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( -, ) ώστε f (ξ )=. Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. να λύσετε την εξίσωση: + 6 = Έστω η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β) να δείξετε ότι f α+β f( α+ ) f( β) < β) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α,β) να δείξετε ότι α+β f(α)+f(β) f > γ) Αν f () για κάθε (α,β), f(α)=α και f(β)=β να δείξετε ότι α+β α+β f = ( ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ JENSEN). Έστω α > και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [-α,α] συνάρτηση g. Αν g() = g(α) + g(-α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-α,α) τέτοιο, ώστε: g (ξ) =. 4. Η συνάρτηση f: [α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής με f(α) = f(β) =. Να αποδείξετε ότι: i) αν υπάρχει (α,β) με f() >, τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) <, ii) αν υπάρχει (α,β) με f() <, τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) >. 5. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (ln a) = f (lnβ). Αν ισχύει ln α < ln γ < lnβ, με α, β, γ > και γ α β γ = = e,να ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

74 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ δειχθεί ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f(ξ ) + fξ ) =. IV. Θ.Μ.Τ ΚΑΙ BOLZANO 6. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=α, f(β)=β α β να δείξετε ότι: α) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=α+β-ξ β) Υπάρχουν ξ, ξ (α,β) με ξ ξ τέτοια ώστε f (ξ)f (ξ)= 7. Έστω συνεχής f : [,] με f () για κάθε (,) Nα δείξετε ότι: α) f() f() β) Υπάρχει (,) με 5f()=f()+f() γ) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε 5 + = f( ξ ) f( ξ ) f( ξ) 8. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,], με f() = και f() =, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει γ (,) τέτοιο, ώστε: f(γ) = ii) υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε: 9. Αν f (), [, b] f ( ξ ) + f ( ξ ) =. α και η f είναι γνήσια μονότονη δείξτε ότι : Υπάρχουν f (c) f (a) = k μοναδικά c,d (α,b)και πραγματικός αριθμός κ : f (d) f (c) = k f(b) f(d) = k Στην συνέχεια δείξτε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ και ξ στο (α,b) : 6(b a) + + = f'( ξ ) f'( ξ ) f'( ξ ) f(b) f(a) V.ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f( ξ ) + f( ξ ) f( ξ ) = c ν. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,], παραγωγίσιμη στο (,) με f()= f(), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία α, β (,) τέτοια ώστε: f (α) + f (β) =. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα.. Εστω συναρτηση f παραγωγισιμη στο [, 4 ] με f(4)= 4 f() και f ( ) =. Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ, ξ, ξ (,4) ώστε 4 f ( ξ )+ f ( ξ )+ f ( ξ ) = 4 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 94

75 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ VI.ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ κf( ξ ) +κf( ξ ) κ f( ξ ) = c v ν. Έστω f συνεχής στο [α,b], παραγωγίσιμη στο (α,b) και f(a)=f(b) Δείξτε ότι υπάρχουν ξ,ξ στο (α,b) : f (ξ)+f (ξ)=. Εξηγείστε γεωμετρικά. Έστω f συνεχής στο [α,b], παραγωγίσιμη στο (α,b),f(a)=f(b) και k,l,m> Δείξτε ότι υπάρχουν ξ,ξ, ξ στο (α,b) : k f (ξ)+l f (ξ)+m f (ξ)=. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ- ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4. Για τη συνάρτηση f: ισχύουν: f() = α και f () = αf() για κάθε και α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g() = f() f(-) είναι σταθερή στο και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της. 5. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : με f ()= -g () και g ()=f (), α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση h()=f ()+g () είναι σταθερή στο β) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h αν f()= και g()= 6. Έστω f : παραγωγίσιμη με f ()=f(), για κάθε για την οποία f()= και f()>, για κάθε. Nα δειχθεί ότι: α) Η συνάρτηση G()=lnf()- είναι σταθερή στο β) f()=e, για κάθε 7. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία f ()+ f ()=, για κάθε α) Αν f()=f ()= να δειχθεί ότι: Ι) συνάρτηση h=(f ) +f είναι σταθερή στο ii) f()=, για κάθε β) Αν g()+g ()= με g()=, g ()= να δειχθεί ότι g()=ημ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 95

76 8. Αν οι συναρτήσεις f, g: ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f() +f () = g() + g () και οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν σε κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη, να αποδείξετε ότι f() = g() για κάθε. 9. Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f() = ( + f ()) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. Υποθέτουμε f() f( ψ) ( ψ ) ν για κάθε,ψ R, όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. Αν f () = -f() για κάθε R, f() =, και f () =, να αποδείξετε ότι: (f()) + (f ()) =, η συνάρτηση h() = f() συν ικανοποιεί την ισότητα (h()) + (h ()) =, Να δειξετε ότι f() = συν, R. ΙΙ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: α) f ()=συν-4ημ-e - και f()=5 β) f ()= - και f()= ( +) γ) f ()=συν- ημ και f()= δ) f ()+f()=, > και f()= π π 9 π ε) f συνεχής στο [, ) και f ()- σφ f()=ημ με f( )= + 6 στ) f ()=f(), για κάθε, με f()=. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (,+ ) με f()> ισχύουν: i) H κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης είναι ανάλογη με το πηλίκο f() ii) Η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,) iii) Η εφαπτομένη στο Α έχει κλίση ίση με. Να βρείτε τον τύπο της 4. Να βρεθεί η συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: + f () =, R, και f(-) = Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f: R R στο τυχαίο σημείο Μ(,f()) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 96

77 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της f στο. Aν f() =, να βρεθεί ο τύπος της f. 6. Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: (-)f () = 5 + για κάθε R. Αν f() = 7, να βρεθεί ο τύπος της f. 7. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: f () = -f() για κάθε R. Αν f() =, να βρεθεί ο τύπος της f. 8. Δίνεται η συνάρτηση f: R Rμε f() =, για την οποία ισχύει: (f()-e ) (f ()-e ) = για κάθε R.i) Να αποδείξετε ότι (f()-e ) =. ii) Να αποδείξετε ότι η h() = f()-e διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο στο R. Iii)Να βρείτε τον τύπο της f. 9. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f( +ψ) f()f( ψ ) + ψ για κάθε,ψ Rκαι f() =, f () =. Να αποδείξετε ότι: i) f( + h) f() f()(f(h) ) + h ii) f () = f() + 4. Να αποδείξετε ότι: i)f () = -f() για κάθε R,αν και μόνο αν υπάρχει c R έτσι, ώστε f() = ce - για κάθε R, ii)αν για κάθε R ισχύουν g () = -g() και h () =-h() και η h δεν είναι μηδενική συνάρτηση, τότε υπάρχει c Rέτσι, ώστε g = ch. 4. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ() για τα οποία ισχύει P() + P(ψ) = P(+ψ)-ψ- για κάθε,ψ R και Ρ () = Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f: Δ R, όταν για κάθε Δ είναι: (f()).(f ()) = 8, f() = και Δ = R i) f () = e -f(), f() = και Δ = R π π ii) συν.f () + (f()) =, f(),f ( ) = και = (, ). 4. Δίνεται η συνάρτηση f: (, + ) R, για την οποία ισχύουν: f(ψ) = f().f(ψ) για κάθε,ψ, ii)f() για κάθε, iii)f () = 5. Να αποδειχθεί ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), β) να βρείτε τον τύπο της f 44. Μια συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη έχει την ιδιότητα: f () = f() για κάθε και f() =, f () =. Να αποδείξετε ότι: ι) f() +f () = e, R. Ιι) f() = e, R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 97

78 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 45. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f() =, f ()=, f()> και f () f () + f() = e για κάθε > αφού πρώτα δείξετε ότι f ()-f() η συνάρτηση g()= - e ε ίναι σταθερή. 46. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f()f (-) = για κάθε. Αν f() =, να αποδείξετε ότι: ι)f(-)f () = για κάθε. Ιι)f(-)f() = για κάθε. Ιιι) f() = e για κάθε. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι.ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ f ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f 47. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i)f() = + ii) f() = ln ιιι) f() = ln ιv) f() = 9 v) f() = (ln- ) (ln-) Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: 4 i) f() = ln + ii) f() = ln + iii) f() = 6 +, iv) f() = + +, v) f() = 7. e e, ln +, 49. Δίνεται η συνάρτηση f()=-+. Nα βρείτε - α) Τα lim f (), lim f () + για την μονοτονία στα διαστήματα [,) και (,] ; β) Τα διαστήματα μονοτονίας της f. Τι παρατηρείτε 5. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η f()=α + ++ είναι γνησίως αύξουσα στο 5. Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ - (λ - )χ + 6( - λ)χ +, λ R Να βρεθούν οι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 98

79 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ τιμές του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. ΙΙ. ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ f ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f()= ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο 5. Δίνεται η συνάρτηση : f() = ln,. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. Ii) να αποδείξετε ότι:e π π e iii) να αποδείξετε ότι:e e, π για κάθε ανοικτό διάστημα (, ) ln 54. Έστω η συνάρτηση f() =, i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln(+ ) ii) να αποδείξετε ότι ln α lnβ ( ) ( ) +β β +α 55. Έστω η συνάρτηση f() = ln( ), όταν α β [,+ ) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln ii) να αποδείξετε ότι α) ln(e-)ln(e+) β) ln(e π -)ln(e π +) π. 56. i) Nα αποδείξετε ότι ln + για κάθε ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f() = ln iii) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό μ που ικανοποιεί τη σχέση (μ+) ln(μ +5) = (μ +4) ln(μ +μ+). ΙΙ. ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ f ΜΕ ΧΡΗΣΗ Θ.Μ.Τ 57. Αν η συνάρτηση f: R R είναι παραγωγίσιμη με f() = και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f(),, είναι γνησίως φθίνουσα. 58. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και f () για κάθε (α,β). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() f( α) g() = είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). α ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 99

80 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 59. Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι αν α R, τότε ισχύει f() f (α)(-α) + f(α) για κάθε R. ΙΙΙ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f στο (α,β) Και D =(α,χ) ( χ, β) 6. Αν f()= ln + 7 τότε: α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να λυθεί η εξίσωση f()= f 6. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια ώστε : f() + ( +)f () = e για κάθε, με f() =. α) Να αποδείξετε ότι f() = e +,. β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. 6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = + από τα διαστήματα (-,-) και (,+ ). είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα IV. ΧΡΗΣΗ f ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f + e 6. Nα μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f()= ln, Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, + ), με f () > για κάθε > και lim f () =. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g ()= f() γνησίως αύξουσα στο (,+ ). V. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ- ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ f 65. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f()= 9 είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

81 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ γ) Να λυθεί η εξίσωση -α -9+α=, για κάθε α 66. Δίνεται η συνάρτηση : f() = i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες, δύο αρνητικές και δύο θετικές. 67. Δίνεται η συνάρτηση : f() = - + 5α. i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = όταν το α διατρέχει το R. 68. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης α 9 + α = όταν το α R 69. Δίνεται η συνάρτηση : f() = 8 +. i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν το α διατρέχει το R. 7. Δίνεται η συνάρτηση : f() = (- )(ln-). i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() =. iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iv) Να αποδείξετε ότι: (- )(ln-) για κάθε. 8 α + = 7. Oταν η παράμετρος α διατρέχει το σύνολο R να βρεθεί το πλήθος' πραγματικών ριζών των εξισώσεων: ί) α= II) χ 4 4αχ +α= VI. ΥΠΑΡΞΗ-ΕΥΡΕΣΗ ΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 7. Nα λυθούν οι εξισώσεις α) + +4 =9 β) e =+ln(+) 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ln + = ii) e + = e iii) + + ln = 74. Να λύσετε την εξίσωση συν + ln(εφ ) = συνln(ημ) (,π). 75. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [,e]. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

82 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 76. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, e] με <f()< και f () για κάθε [, e], να αποδειχθεί ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός o (, e) τέτοιος ώστε f(o)+ olno = o. 77. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ) =e - και g(χ) = χ - χ έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό. 78. Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το. Δίνεται ότι η συνάρτηση f g είναι. α) Να δείξετε ότι η g είναι. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση : g(f() + ) = g(f() + ) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζ V. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f 79. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f () για κάθε (,) και f() = f() =, να αποδείξετε ότι είναι f() για κάθε (,). 8. Δίνεται η συνάρτηση f()=ln- + α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f, η f () και η f () β) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημο της f γ) Να λυθεί η εξίσωση ln= 8. Αν f,g παραγωγίσιμες για κάθε (, ) + και συνεχείς στο [,+ ), ακόμη f () f() g (). Να αποδειχθεί ότι f() g() για κάθε (, + ). 8. Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα[α,β] f (α) και f () για κάθε [α,β] Να αποδειχθεί ότι: f(α) f(β). VI. AΠΟΔΕΙΞΗ-ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ 8. Να αποδειχθούν οι ανισότητες α) ln -, για κάθε > β) e ->-, για κάθε > γ) i) ημ<, > ii) ημ>-, > ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

83 ln δ) Αν <, να αποδειχθεί ότι - < 84. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g: α) Να λυθεί η ανίσωση g( -)>g(-) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ β) Να λυθεί η ανίσωση - - α -α - +-, α < Πότε ισχύει το ίσον; 85. Δίνεται η συνάρτηση f()= --(-)(ln-) α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία β) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης =(-)(ln-) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f δ) Να αποδειχθεί ότι (-)(ln-) -, για κάθε > ν ν 86. Έστω η συνάρτηση f() = +, ν Ν*, ν i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ν ν ν ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ν+ ν+ 4, ν+, ν Ν*, ν. 87. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f() = α, α ii) Αν α να βρείτε τις τιμές του λ R που ικανοποιούν τη σχέση: λ 4 λ α α = λ λ ( 4) ( ) 88. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης α+ f() = ( )e α α+ αe e, [α,β] με α ii) Αν α β, να αποδειχθεί ότι ( )e α β α+β β α e +βe. 89. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f() = α+β,με ii) Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς,,..., ν ν (όπου ν Ν με ν ). 9. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f() = (+)ln(+), ii) Αν α, β και ισχύει e β (α+) α+ = e α (β+) β+, να αποδειχθεί ότι α = β. +α αln α ln 9. Δίνεται η συνάρτηση : f () = ln, α +α +α i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. α+β α β ii) Αν β α, να αποδειχθεί ότι: ln ln α+ ln β β α+β α+β. 9. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β), να αποδείξετε ότι για κάθε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

84 (α,β) ισχύει: ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f() f( α) f( β) f( α) αύξουσα στο (, + ). α β α 9. Έστω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f () για κάθε [α,β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και υπάρχει γ (α,β) f( β) f( β) τέτοιο, ώστε να ισχύει f(γ) = να αποδείξετε ότι είναι: γ+ βββ γ+. f ( β) f ( α) 94. Aν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, με f()=g() α) Αν f ()>g (), για κάθε, να δειχθεί ότι f()<g() στο (-,) και f()>g() στο (,+ ) β) Αν f ()g ()<, για κάθε, να δειχθεί ότι η εξίσωση f() = g() έχει μοναδική ρίζα στο ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ β 95. Δίνεται η συνάρτηση f() = α + ln,. i) Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο με τιμή -. ii) Για α = - και β =, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. 96. Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η συνάρτηση f() = αln+β -+ να έχει στη Θέση = τοπικό ακρότατο με τιμή Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η συνάρτηση f() = αln+ β +α να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο με τιμή +ln. 98. Αν α ΙΙ. ΑΝΙΣΟΙΣΟΤΗΤΑ FERMAT ΙΣΟΤΗΤΑ και για κάθε ισχύει α α, να αποδείξετε ότι α=e, με δεδομένο ότι για κάποιο ισχύει η ισότης. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

85 99. Αν για κάθε ισχύει ln + α α, να βρείτε το α ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ln. Αν α,β και ισχύει α +β για κάθε, να αποδείξετε ότι αβ=.. Έστω μια συνάρτηση f: R R η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: (+e - ) f()+συνπ για κάθε R. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(,).. Έστω οι συναρτήσεις f,g: R R οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: g() f() + και f() e = e για κάθε R.Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Α(,), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των Cf και Cg στο =, τέμνονται κάθετα.. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, Α(,) Cf, και f() + για κάθε, να αποδείξετε ότι f () = ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. Η παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι f () = -(+) (-) (-), R. Να βρείτε για ποιες τιμές του R η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο. 5. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: i) f() = 4 ii) f() = 4 ln iii) f () = ln iv) f () = 6. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: - -, -e, i) f() = ii) f() = ln(-), ln(-), iii) f() =, R - - +, , iv) f() = v) f() = , , e 7. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = (+α) (-β) με α,β έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα. 8. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = κ (-) ν έχει ένα τουλάχιστον τοπικό ελάχιστο,όπου κ,ν N με κ,ν. 9. Για ποια τιμή της θετικής σταθεράς α η μέγιστη τιμή της συνάρτησης α α f() = e,, γίνεται ελάχιστη;. Δίνεται η συνάρτηση f() = λ -(lnλ)+, λ. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της f να γίνεται ελάχιστη.. Για ποια τιμή της θετικής σταθεράς α η μέγιστη τιμή της συνάρτησης α 4 e f() = α + e,, γίνεται ελάχιστη; e ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

86 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ. Δίνεται η συνάρτηση f() = e -λ-, λ. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της f να γίνεται μέγιστη.για την παραπάνω τιμή που βρήκατε του λ να δείξετε ότι η ευθεία ε: ψ = λ+ εφάπτεται στη Cg όπου g() = e.. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του α R R. για την οποία ισχύει: 4-4 +α για κάθε 4. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του κ R για την οποία ισχύει:e κ για κάθε. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln-λ, λ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει: ln λ για κάθε (,+ ). Για την παραπάνω τιμή που βρήκατε του λ να δείξετε ότι η ευθεία ε: ψ = λ εφάπτεται στη Cg όπου g() = ln. e +-λ, λ R. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει f() για κάθε R. Αν λ + + να δείξετε ότι η συνάρτηση g() = (-λ) είναι γνησίως φθίνουσα. e e 6. Έστω η συνάρτηση f() = 7. Έστω μια συνάρτηση f: (,+ ) R με f() για κάθε, η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: lnf()+e f() =ln-+ e +e για κάθε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 8. Έστω μια συνάρτηση f: R R με f () για κάθε R λύσετε την εξίσωση: f(συν)-f(- ) =.. Αν η f είναι συνεχής να 9. Έστω η συνάρτηση f: [,] R για την οποία ισχύουν για κάθε [,], f() = f(-) και f (). Να λύσετε την εξίσωση f() =.. Αν η f είναι συνεχής στο [,]και f() f() να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.. Έστω η συνάρτηση f() = ln. Να βρείτε το σημείο της Cf στο οποίο η f έχει τη μικρότερη κλίση. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = e, R και g () = ln, >. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους δεν τέμνονται. ii) Να βρείτε τη μικρότερη απόσταση την οποία μπορεί να έχει ένα σημείο της Cf από την ευθεία y =. iii) Να βρείτε το σημείο της y = e, το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την y =. iv) Ποια νομίζετε ότι είναι τα σημεία των Cf και Cg που να απέχουν την ελάχιστη απόσταση;. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β με β. Να αποδειχθεί ότι: α β e β + α αβ + β. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

87 4. Να αποδειχθει ότι ln a a + e b ab, a > ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ lnβ ln α 5. Να αποδειχθεί ότι: β + όταν <α<β. β β α π 6. Αν <α<β< να αποδειχθεί ότι: εφα β < εφβ α ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7. Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t, σύμφωνα t+ 8 7Α 4 με τη συνάρτηση f(t) = e,t όπου Α. Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Κ(t) από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη t A μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση Κ (t) = e 7,t και υποθέτουμε ότι Κ() =. 4 Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία πρέπει να πωληθεί η μηχανή, έτσι ώστε το συνολικό κέρδος Ρ(t) από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο, καθώς και το μέγιστο κέρδος. 8. Στο σχήμα φαίνεται τμήμα παραβολής με y εξίσωση y = 4 (48 - ), και το ισοσκελές Γ Β τρίγωνο ΟΒΓ με ΟΒ = ΟΓ. i) Να βρείτε τα σημεία Β, Γ για τα οποία το ii) εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ γίνεται μέγιστο. ιii) Ποιο είναι αυτό το μέγιστο εμβαδόν; y 9. Βρείτε δυο αριθμούς με άθροισμα 8 και ελάχιστο άθροισμα κύβων.. Να διαιρεθεί ο αριθμός 8 σε δύο μέρη ώστε το γινόμενο των δύο μερών επί την διαφορά τους να γίνεται μέγιστο.. Ο όγκος του κουτιού είναι 7m και η πρόσθια πλευρά του έχει λόγο διαστάσεων προς. Βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού ώστε να έχει την ελάχιστη επιφάνεια.. Από ένα ορθογώνιο χαρτόνι 8 επί 8 cm κόβουμε 4 μικρά τετράγωνα με πλευρά cm το καθένα και ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

88 φτιάχνουμε το διπλανό κουτί χωρίς οροφή. Να βρείτε το ώστε ο όγκος του κουτιού να είναι ο μέγιστος δυνατός. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8. Μια βιομηχανία παράγει ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται α από τη συνάρτηση Κ() = όπου και η παράμετρος α, Τα έσοδα από την πώληση ποσότητας του προϊόντος δίνονται από τη συνάρτηση Ε() =, και το κέρδος δίνεται από τη συνάρτηση f() = Ε()-Κ(),. Να βρείτε την ποσότητα για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος, το οποίο συμβολίζουμε Μ(α). Να βρείτε την τιμή του α, 9 9 για την οποία το Μ(α) γίνεται μέγιστο, καθώς και το μέγιστο αυτό 4. Δίνονται τα σημεία Α(4,), Β(-4,) και η ευθεία (ε):4+5y- i)να βρεθεί σημείο Μ της (ε) (ΜΑ)+(ΜΒ)=min ii)να βρεθεί η εξίσωση έλλειψης με εστίες τα Α,Β που εφάπτεται της (ε) 5. Έστω ο αριθμός τεμαχίων ενός προϊόντος. Ο ρυθμός μεταβολής της τιμής μονάδος είναι dp (54 8 ) =, ενώ το κόστος των τεμαχίων με <7 d 76 είναι K(χ)= ( σε εκατομμύρια) i) Να βρεθεί ο αριθμός τεμαχίων που μεγιστοποιεί την τιμή μονάδος ii) Να βρεθεί ο αριθμός τεμαχίων που μεγιστοποιεί το κόστος iii) Να βρεθεί ο αριθμός τεμαχίων που μεγιστοποιεί τις πωλήσεις iv)να βρεθεί ότι ο αριθμός τεμαχίων που ελαχιστοποιεί τα κέρδη 6. Ένα βιβλιοπωλείο αγοράζει ένα βιβλίο από τον εκδότη ευρώ το καθένα. Όταν το διαθέτει στην αγορά με 5 ευρώ τότε πουλά αντίτυπα τον μήνα. Εκτιμήθηκε τώρα ότι αν η τιμή πώλησης μειωθεί, τότε για κάθε ευρώ μείωσης θα πωλούνται περισσότερα αντίτυπα τον μήνα. Να βρείτε την τιμή πώλησης που μεγιστοποιεί τα κέρδη. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

89 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7. Σε δοσμένο ημικύκλιο διαμέτρου R να εγγραφεί τραπέζιο Όπως στο σχήμα με μέγιστο εμβαδό 8. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί τη συμμετοχή τουλάχιστον ατόμων. Αν δηλώσουν συμμετοχήακριβώς άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε ευρώ το άτομο. Για κάθε επί πλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 5 ευρώ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ 9. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη όταν: i) f() = ln + ii) f() = e iii) f() = 5 4 ιii) f() = + v) f() = vi) f() = ln, 4 f () + f() 4. Έστω μια συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f () R. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f()e - είναι κυρτή στο R. 4. Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R και η συνάρτηση g κοίλη στο R. Να αποδείξετε ότι: Οι Cf,Cg έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Αν οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό σημείο τους, τότε οι Cf και Cg έχουν μοναδικό κοινό σημείο. 4. Έστω μια συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f() για κάθε R, και η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν g() = lnf() και g () για κάθε R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = e λ f() είναι κυρτή στο R για κάθε λ R. 4. Δίνεται η συνάρτηση f: (,+ ) R για την οποία ισχύουν f() και f () = για κάθε. Nα δείξετε ότι: Η f είναι δύο φορές f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

90 παραγωγίσιμη Η f είναι κυρτή στο (,+ ). ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 44. Να αποδειχθεί ότι: α) η συνάρτηση g() = ln είναι κυρτή στο διάστημα (,+ ). β) α+β α β α+β αβ > για κάθε <α<β. 45. i) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ. f( β ) f( α) f( γ ) f( β) Αν α,β,γ Δ και α < β < γ να δείξετε ότι: <. β α γ β ii) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln είναι κυρτή. iii)αν < α<γ και α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, β α γ να δείξετε ότι: β< αγ. 46. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και κυρτή στο Δ. α+β Αν α,β Δ με α β, να αποδειχθεί ότι: f(α)+f(β) f( ). 47. Aν α,β Αf, να δείξετε ότι ln α+β ln α.ln β. 48. Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ = (α,β) και Δ με f () = και f () () για κάθε Δ-{ }, να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα (α, ] και κοίλη στο διάστημα [,β). 49. Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R, να αποδείξετε ότι αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό είναι και ολικό ελάχιστο της f. 5. Οι συναρτήσεις f και g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f '(χ) > Ο και g"(χ) > Ο για κάθε χ R. Αν η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h = f ο g είναι κυρτή στο R. 5. Αν η f είνα κυρτη στο (α,β) να αποδειξετε ότι αν η f εναι περιττη,τοτε η f είναι κοιλη στο (-β,-α) 5. Αν η f είναι κυρτη στο R, να αποδειξετε ότι για κάθε χ ισχυει f( λ) f() >λf() λ f() αν λ> και f(λχ) - f() < λ f() λ f() αν λ< ΙΙ. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 5. i)να μελετήσετε τη συνάρτηση f() = ln- ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα δείξετε ότι συνάρτηση g() = ln+ln+- είναι κυρτή στο (,+ ). iii) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο =. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

91 iv) Nα δείξετε ότι: +ln 4 για κάθε >. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f() 54. Έστω f: R R παραγωγίσιμη συνάρτηση με lim = και f()=4 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο =. Αν η f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι f()-5+6. Nα δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ζ (,) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. 55. Δίνεται η συνάρτηση f()= ln. α) Να βρείτε: i) τα διαστήματα που η f είναι κοίλη ή κυρτή και τα σημεία καμπής ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο καμπής β) Να δειχθεί ότι ln -, για κάθε [,+ ) 56. α) Να δείξετε ότι e >, για κάθε β) Έστω η f()=e - - i) Nα δείξετε ότι είναι κυρτή ii) Nα δείξετε ότι e > ++, για κάθε ΙΙΙ. ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 57. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής της Cf,όταν: 5 i) f() = ln ii) f() = iii) f() = συν+ 6, [, π ] iv) f() = e v) f() = ln vi) f() = ln(ln) vii) f() = viii) f() = 4-6ln - i) f() = e e + ) f() = (+ 4 )e Έστω f: R R παραγωγίσιμη για κάθε R με f ()+4f()=4 Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής (αν υπάρχουν). Αν g() = =f() να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία. Να λύσετε την ανίσωση f( --) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= ln. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (ΙΟΥΝΙΟΣ 4) 6. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β). Αν ισχύει f(α) = f(β) = και υπάρχουν ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

92 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ αριθμοί γ (α,β), δ (α,β), έτσι ώστε f(γ) f(δ)<, να αποδείξετε ότι: α)υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f()= στο διάστημα (α,β). β).υπάρχουν σημεία ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε f (ξ)< και f (ξ)>. γ).υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (ΙΟΥΝΙΟΣ ). 6. Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f στο R, f () για κάθε R, f () και η συνάρτηση g() = f()-f(-), για κάθε R. I) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. II)Να βρείτε τα διαστήματα που η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της Cg. 6. Δίνεται η συνάρτηση f() = α +β ln +β. Να βρείτε τα α,β R, ώστε το Α(,) να είναι σημείο καμπής της Cf. Για α = 4 και β = -: Να βρείτε τα διαστήματα που η Cf είναι κυρτή ή κοίλη. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής της Να δείξετε ότι 4 ln + για κάθε. 6. Να αποδειξετε ότι αν η συναρτηση f ( ) = 4 + α χ +β χ +χ + εχει σημεια καμπης ισχυει α > 8 β 64. Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν η f να έχει στο τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής. 65. Nα αποδείξετε ότι η Cf της συνάρτησης : f() = α +β +γ+δ με α και β = αγ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη. 66. Nα αποδείξετε ότι η Cf της συνάρτησης : f() = 4 +4α +(α -4α+5) +α+, α R δεν έχει σημεία καμπής 67. Έστω g μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει (g()) = 5g()- e -α +5 για κάθε R και α. Να αποδείξετε ότι η Cg δεν έχει σημεία καμπής. 68. Δίνεται η συνάρτηση f() = χ -χ -χ + 5. Αν χ, χ και χ είναι αντίστοιχα οι θέσεις στις οποίες η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και η Cf σημείο καμπής, να αποδείξετε ότι τα αντίστοιχα σημεία της Cf είναi συνευθειακά. 69. Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει: [f()] = (-), (α,β). Να δείξετε ότι η f δεν έχει σημείο καμπής 7. Μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο IR και για κάθε Χ R ισχύει f (χ) + [f"(χ)] = συν χ -χ + e -. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

93 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f στο διάστημα [-,] α) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και των σημείων καμπής β) Να κάνετε μία πρόχειρη γραφική παράσταση της f ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Ι. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ 7. Nα βρειτε τις κατακορυφες ασυμπτωτες της C f όταν + ι) f( ) = ιι) f( ) = ln(4 ) ιιι) ( ) ιv) f( )= ηµ v) f( ) = + vii) f( ) = viii) f( ) = ) f( ) = i) f( ) = 4 9 ln( ) iii) f( ) = iv) f( ) = ( + ) e 4 ΙΙ. ΠΛΑΓΙΕΣ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ f( ) = ln vi) f( ) = + + ηµ i) f( ) = + ln ii) f( ) = 7. Να βρεθούν οι πλαγιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f() = ii) f() = iii) f() = + iv) f() = v) f() = ln vi) f() = e. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ