Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
|
|
- Καλλιστώ Αλεξιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σελίδα από 45 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα, σε ξένα κυρίως βιβλία ή περιοδικά. Η πληκτρολόγηση διαρκεί δυστυχώς πολύ και για το λόγο αυτό ο αριθμός των θεμάτων είναι σχετικά περιορισμένος. Τα θέματα λύθηκαν όλα κατά την προηγούμενη σχολική χρονιά μαζί με τους μαθητές μου, αλλά και από άλλους συναδέλφους.έχω και τις λύσεις όλων των ασκήσεων, αλλά αυτές δυστυχώς δεν είναι πληκτρολογημένες. Ωστόσο μερικές από αυτές μπορείτε να τις βρείτε στα βιβλία μου, αν και οι περισσότερες ασκήσεις είναι νέες. Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Θέμα ο Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί α,β, γ που έχουν ίσα μέτρα και α + β + γ = Να αποδείξετε ότι α) αβ + βγ + γα = β) α 3 = β 3 = γ 3 γ) Οι εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου δ) Οι εικόνες των αριθμών αβ, βγ, γα είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Θέμα ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ οι οποίοι έχουν εικόνες τα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα. Αν α β +β γ +γ α = και w = β α γ α, να αποδείξετε ότι: α) w= w. β) Ο w είναι πραγματικός αριθμός. γ) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Θέμα 3 ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z,w, w = z και z = w. A. Να αποδείξετε ότι: α) z = w =. β) z = και z w =. w γ)z = w. δ) w 3 = και z 3 =. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
2 Σελίδα από 45 Β. α) Να βρείτε τους μιγαδικούς z, w β) Να βρείτε τον z 4. Θέμα 4 ο I. ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ = Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθμός V = α + β β + γ γ + α + + γ α β είναι πραγματικός και ο αριθμός U = α β β γ γ α + + γ α β είναι φανταστικός. β) Ο αριθμός αβ + βγ + γα w = έχει μέτρο και οι εικόνες των α, β, γ, w είναι ομοκυκλικά σημεία. α + β + γ γ) α + + β + + αβ +, α β και Re( α β ) δ) α + + α + + α 3 + ε) α + β - γ + β + γ - α + γ + α β 3 II. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς α, β, γ δίνεται επιπλέον ότι α + β + γ =. Α. Να αποδείξετε ότι: α) αβ + βγ + γα =, α + β + γ = και α + β + γ = α β + β γ + γ α β) α = βγ, β = γα, γ = αβ και α 3 = β 3 = γ 3 γ) Re( α β ) = Re( β γ ) = Re( γ α ) = B. Να αποδείξετε ότι : α) οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. β) α β = β γ = γ α = 3 Γ. Να αποδείξετε ότι : i) Οι εικόνες Α, Β, Γ των μιγαδικών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Οι εικόνες Κ, Λ, Μ των μιγαδικών αριθμών κ = α, λ = β, μ = γ αντίστοιχα, είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. iii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο περίκεντρο. Θέμα 5 ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ, δ με αντίστοιχες εικόνες τις κορυφές Α, Β, Γ, ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ. Α. Αν α + γ = β + δ και οι μιγαδικοί α, β, γ, δ έχουν ίσα μέτρα, να αποδείξετε ότι α) το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι παραλληλόγραμμο Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
3 Σελίδα 3 από 45 β) το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Β. Έστω ότι α β γ δ β γ δ α + = + α β γ δ β γ δ α. Να αποδείξετε ότι α + γ = β + δ Γ. Αν α + γ = β + δ, αν αποδείξετε ότι α β γ δ β γ δ α + = + α β γ δ β γ δ α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θέμα 6 ο Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα ( f f )() =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: α) f()=. β) Η f έχει σύνολο τιμών το R. γ) Η f αντιστρέφεται. δ) Η f δεν είναι γνησίως μονότονη Θέμα 7 ο Μια συνάρτηση f: (,+ ) R έχει την ιδιότητα : ylny yf() + f(y) f( y), για κάθε,y >. Να αποδείξετε ότι: α) f() =. β) f = f(), για κάθε >. γ) f() = ln, >. Θέμα 8 ο Έστω f: R R μία συνάρτηση με τις ιδιότητες f(y) = f()f(y) και f(+y) = f()+f(y)+y, για κάθε,y R. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, f() = και f( ) =. β) Η f είναι άρτια. γ) f() =, για κάθε R. Θέμα 9 ο ίνεται ο μιγαδικός w = 4z 4z z, z C + z α) Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση 4z + z = Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
4 Σελίδα 4 από 45 β) Αν ο μιγαδικός w = 4z 4z + z z, z C είναι φανταστικός, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z γ) Αν οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z, z, w, w είναι εσωτερικά σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) για τον οποίο ισχύει z -z + w -w = Β. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Θέμα ο Μια συνάρτηση f: IR IR έχει την ιδιότητα f(y) + f() + f(y) + 3 = + y + y, για κάθε,y R. α) Να αποδείξετε ότι: f() =. β) Να βρείτε τον τύπο της f. γ) Να βρείτε το συν lim f. + () + Θέμα ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: f 3 () + αf () + βf() = , για κάθε R, όπου α,β R και α < 3β. α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (,). Θέμα ο ίνεται η συνάρτηση f() = 3 ln, >. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β)να αποδείξετε ότι: 3 + ln, για κάθε >. γ) Αν 3 + αln, για κάθε >, να αποδείξετε ότι: α =. Θέμα 3 ο Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο =, με f () = και f() =, τότε: Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
5 Σελίδα 5 από 45 α) Να βρείτε το Α = β) Να βρείτε το Β = ημ e lim f() lim. γ) Να αποδείξετε ότι lim =.. f() ημ e Θέμα 4 ο Έστω συνάρτηση f : IR IR, όχι σταθερή, με την ιδιότητα f( + y) = f()f(y), για κάθε, y IR. Να αποδείξετε ότι α) f() = β) η C f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα γ) f() >, για κάθε IR δ) αν η f είναι συνεχής στο, τότε είναι συνεχής στο IR ε) αν η f είναι συνεχής στο α, τότε είναι συνεχής στο IR στ) αν η f παραγωγίζεται στο με f () = 3, τότε : i) η f παραγωγίζεται στο IR με f () = 3 f() ii) η f είναι γνησίως αύξουσα iii) η συνάρτηση g() = f() e -3 είναι σταθερή συνάρτηση στο IR και f() = e 3, για κάθε IR. iv) η C f εφάπτεται στην ευθεία (ε) : y = 3 + Θέμα 5 ο ίνεται η συνάρτηση f() = lnχ lnα - α + a, όπου α > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το πρόσημο της f α β - α γ) Αν β > α, να αποδείξετε ότι ln β < αβ Θέμα 6 ο ίνονται οι συναρτήσεις f() = (e +), > και g() = e (+e )ln(+e ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
6 Σελίδα 6 από 45 Να αποδείξετε ότι: α) Η g είναι γνησίως φθίνουσα. β) g() <, για κάθε >. γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,+ ). Θέμα 7 ο Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ ) R έχει την ιδιότητα f(y) + f = f(), για κάθε, y >. y Αν f() = και f () =, να αποδείξετε ότι: α) f() + β) f () + f =, για κάθε >. f =, για κάθε >. γ) f() = ln, >. Θέμα 8 ο Έστω f: (,+ ) R γνησίως αύξουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f(f ())+f() =, για κάθε >. Να αποδείξετε ότι: α) f ()=. β) ( f f )() =, για κάθε >. γ) f ()+f () =, για κάθε >. δ) f() = ln, για κάθε >. Θέμα 9 ο ίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR ΙR με την ιδιότητα f( 3 ) f () για κάθε IR Να αποδείξετε ότι α) η εξίσωση f () = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( -, ) β) f (- ) = f () = f () γ) η συνάρτηση f έχει τουλάχιστον 4 πιθανά σημεία καμπής στο διάστημα ( -, ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
7 Σελίδα 7 από 45 Θέμα ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( - )e α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f, f, f β) Na αποδείξετε ότι f () >, για κάθε >. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής δ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ε) Να λύσετε την εξίσωση f() = και να βρείτε το πρόσημο της f στ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ζ) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f και να γίνει η γραφική παράσταση της f Θέμα ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR με την ιδιότητα f() - f() e =, για κάθε IR. α) Να εκφράσετε την f () και την f () ως συνάρτηση της f() β) Να αποδείξετε ότι e i ) η εξίσωση + = έχει μοναδική ρίζα, την οποία να βρείτε ii ) f() = γ) Να μελετήσετε την f() ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να βρείτε το πρόσημό της. δ) Να αποδείξετε ότι Θέμα ο ' f ( ) f ( ), για κάθε IR. ίνεται η συνάρτηση f : IR IR με την ιδιότητα α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το IR f 3 () + f() =, για κάθε IR γ) Να βρείτε την αντίστροφη της f δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα. Θέμα 3 ο Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: IR ΙR, με f() =,έχει την ιδιότητα : f(χ) f (-χ) =, για κάθε χ ΙR. Να αποδείξετε ότι : Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
8 Σελίδα 8 από 45 α) f (χ) f(-χ) = f(χ) f (-χ), για κάθε χ ΙR. β) η συνάρτηση g() = f(χ) f(-χ) είναι σταθερή στο IR.Ποια είναι η τιμή της g(χ); γ) f (χ) = f(χ), για κάθε χ ΙR.Ποιος είναι ο τύπος της f(χ) ; Θέμα 4 ο ίνεται η συνάρτηση f() = е + -. α) Να βρείτε την f () και την f () β) Να εξετάσετε αν η C f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο Α (, f()) γ) Να βρείτε τη μονοτονία και το πρόσημο της f () δ) Να βρείτε τη μονοτονία και το πρόσημο της f() ε) Να αποδείξετε ότι η f() έχει ολικό ελάχιστο στ) Να λύσετε την εξίσωση е + = +. ζ) Να αποδείξετε ότι е - (- ), για κάθε IR Θέμα 5 ο ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 3 4 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα χ χ γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τον άξονα χ χ δ) Να εξετάσετε αν η C f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στ )Να βρείτε το σύνολο τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ζ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3 α 4 + α =, όπου α ΙR Γ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα 6 ο Έστω f:ir R συνεχής και άρτια συνάρτηση με f() = 3. Αν F είναι αρχική της f με την ιδιότητα f() F α) Η συνάρτηση h() = F() F β) F() F 3 =, για κάθε >, να αποδείξετε ότι: =, για κάθε >., είναι σταθερή στο (,+ ). Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
9 Σελίδα 9 από 45 γ) Η συνάρτηση φ() = F() 3 είναι σταθερή στο (,+ ). δ) Ο τύπος της f είναι f() = 3, για κάθε IR. Θέμα 7 ο ίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει η αντίστροφη της f και αν ναι, να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. γ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = και να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y = - με την C f δ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα ( -, ) στ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = ζ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. η) Να λύσετε την εξίσωση (λ - 3) 3 = (λ 3) - λ θ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = Θέμα 8 ο f ()d ίνεται μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη, με την ιδιότητα : f() = και f () = (4 - f () ) για κάθε IR Α. Να αποδείξετε ότι : α) f () =, για κάθε IR β) f() =, για κάθε IR Β. Να βρείτε : α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f που διέρχονται από το σημείο Σ(, - 5). β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
10 Σελίδα από 45 Θέμα 9 ο Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR έχει την ιδιότητα f 3 () + f() =, για κάθε IR α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην αρχή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να λύσετε την εξίσωση f() = και να βρείτε το πρόσημο της f(). δ) Να αποδείξετε ότι f() = 3 f () f() f (), για κάθε IR ε) Να αποδείξετε ότι 3f () f () f (t)dt = 4 στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το IR και να βρείτε την f - Θέμα 3 ο ίνεται η συνάρτηση f() = e + - α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει η αντίστροφη της f και αν ναι, να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. γ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = και να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y = - με την C f δ) Να λύσετε την εξίσωση f - () = ε) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. ζ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = e f ()d η) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f, η οποία διέρχεται από το σημείο Σ(, e) θ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τον άξονα y y. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
11 Σελίδα από 45 Θέμα 3 ο ίνεται η συνάρτηση f() =, = e, > α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. β) Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα I() = f(t)dt, > δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της C f, του άξονα και της ευθείας =. ε) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C f. Θέμα 3 ο ίνεται συνάρτηση f, ορισμένη στο IR, με συνεχή δεύτερη παράγωγο που έχει την ιδιότητα (t + )f (t)dt = tf (t) dt - 4 tf για κάθε χ, f() = και f () = () dt α) Να αποδείξετε ότι f() = + β) Να βρείτε το εμβαδόν Ε (α) του χωρίου μεταξύ της C f, του άξονα χ χ και των ευθειών χ =, χ = α, με α θετικό. γ) Αν το α είναι θετικό και μεταβάλλεται με ρυθμό εμβαδού τη χρονική στιγμή που αυτό είναι ίσο με ln cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του 3 Δ. ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 33 ο ίνονται οι μιγαδικοί α, β, γ με α+β+γ. Αν α + β + γ = και οι εικόνες των α, β, γ βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο, να αποδείξετε ότι: α) α + β + γ = + +. β) α β γ α, β = και γ = α β γ =. γ) το μέτρο του μιγαδικού w = α + β+ γ είναι ίσο με, δηλαδή α+β+γ =. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
12 Σελίδα από 45 Θέμα 34 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln + β - +β lnχ - β +β lnβ, όπου β > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Αν < α < β,να αποδείξετε ότι ln α +β < α β lnα + α +β α + β lnβ Θέμα 35 ο ίνεται η συνάρτηση f() = α χ χ, με < α <. α) Να μελετήσετε την f() ως προς τη μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση γ) Να λύσετε την εξίσωση α - χ α χ + (χ +) 4 α - α χ - = (χ - 4) (χ -) Θέμα 36 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln, όπου > α) Να μελετήσετε την f() ως προς τη μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι e π > π e γ) Να αποδείξετε ότι e e, για κάθε χ > δ) Να αποδείξετε ότι α α + > (α+) α, για κάθε α > e ε) Να λύσετε την εξίσωση χ =, με > Θέμα 37 ο ίνεται η συνάρτηση f: IR IR με την ιδιότητα f() + f( ) = για κάθε πραγματικό αριθμό. Α. Να αποδειχθεί ότι : α) f(-) + f() = β) ο τύπος της f δίνεται από τη σχέση f() = χ + B. ύο εφαπτόμενες της C f διέρχονται από το σημείο Μ ( 3,9). Να βρείτε : α) τα σημεία επαφής της C f με τις εφαπτόμενες αυτές β) τις εξισώσεις των εφαπτόμενων αυτών Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
13 Σελίδα 3 από 45 Θέμα 38 ο π ημ Δίνεται το ολοκλήρωμα Ι = d. Να αποδείξετε ότι: π e ημ π e + α) Ι = d. β) Ι = π. π + e Θέμα 39 ο Μια συνάρτηση f: R R* έχει την ιδιότητα: f () = f () e α) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = (f() + f ())e d. β) Να αποδείξετε ότι f() = e, R. +, για κάθε R. Αν f() = : Θέμα 4 ο Έστω f: R R συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα f()= f(t)dt+ e Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι παραγωγίσιμη. β) Η συνάρτηση g() = e f() είναι σταθερή στο R. γ) f() = ( + )e, για κάθε R., για κάθε R. Θέμα 4 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (,+ ) R με την ιδιότητα f() = e f(t)dt, για κάθε >. A. Nα αποδείξετε ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη. β) f () = f (), για κάθε >. γ) f() =, για κάθε >. Β. Η εφαπτομένη της C f στο μεταβλητό της σημείο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΑ = ΜΒ. β) Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν, ανεξάρτητο δηλαδή από τη θέση του σημείου Μ. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
14 Σελίδα 4 από 45 Θέμα 4 ο Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις από τις οποίες η f είναι άρτια και η g έχει την ιδιότητα g() + g( ) =, για κάθε R. α α) Να αποδείξετε ότι: f ()g()d = f()g( )d. α β) Να αποδείξετε ότι: f ()g()d = f()d. α α συν γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Α= π d. e α π + Θέμα 43 ο ίνεται η συνάρτηση f() = 4 e t t dt, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = 3f()d. Θέμα 44 ο ίνονται οι συναρτήσεις: f()= και 4 g()= f (t)dt, με. (+ ) + α) Να αποδείξετε ότι: g ()=, για κάθε R*. β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = α f ()d, όπου α R*. α Θέμα 45 ο Έστω f συνεχής συνάρτηση στο IR και α < β. Αν β α f( + t)dt β f()d, για κάθε ΙR, τότε : α β+χ α) Να αποδείξετε ότι f(t)dt α+χ β f()d, για κάθε χ ΙR. α β β β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g() = f( + t)dt - f(t)dt γ) Να εξετάσετε αν η g έχει ολικό ελάχιστο δ) Να αποδείξετε ότι f(α) = f(β) ε) Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ΙR τέτοιο, ώστε f (ξ) = α α Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
15 Σελίδα 5 από 45 Θέμα 46 ο Μια συνάρτηση f : (, + ) IR έχει την ιδιότητα f( y ) = f() + f(y) + y - - y, για κάθε, y > Α. α) Να βρείτε το f() β) Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο (, + ) γ) Αν η f είναι συνεχής στο α >, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο (, + ) Β. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο o =, με f () =, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f()d Θέμα 47 ο Έστω F μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης f : ΙR ΙR, με την την ιδιότητα F () F() F(α -) για κάθε χ ΙR, όπου α. Να αποδείξετε ότι : α) F() = F(α) β) η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο IR Θέμα 48 ο ίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [, π ], με π f ()d = και F μια αρχική της f α) Να βρείτε τον αριθμό F() F(π) β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, π) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ημξ Θέμα 49 ο Έστω μια συνεχής και άρτια συνάρτηση f: IR IR και η συνάρτηση g() = β f ( t) dt α, ΙR με α < β. α) Να βρείτε την παράγωγο της g β) Να αποδείξετε ότι g(α) =g(β) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ-α) = f(ξ β) Θέμα 5 ο ίνεται το ολοκλήρωμα Α = α) Να αποδείξετε ότι Α= β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Α ln( + ) d. ln ( + ) ln( ) d ln( + ) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
16 Σελίδα 6 από 45 Θέμα 5 ο ίνεται ο αριθμός α, με < α και α α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης αχ ν g() = α - ν, με χ > β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() έχει ελάχιστο γ) α = e ν αχ για κάθε >, όπου ν είναι φυσικός αριθμός. ν Θέμα 5 ο ίνονται οι συναρτήσεις f () = + ln( ) και g() = - ln( ), με χ >, και γραφικές παραστάσεις C f και C g αντίστοιχα. A.Να βρείτε : α) τα κοινά σημεία των C f και C g β) τη μονοτονία και το σύνολο τιμών των f και g Β.Να αποδείξετε ότι οι C f και C g έχουν κάθετες εφαπτόμενες στα σημεία τους με την ίδια τεταγμένη. Θέμα 53 ο Σε ένα βαθμολογικό κέντρο φτάνουν 8 γραπτά θετικής κατεύθυνσης. Κάθε γραπτό διορθώνεται από δύο διαφορετικούς βαθμολογητές. Κάθε βαθμολογητής διορθώνει 4 φακέλους των 5 γραπτών την ημέρα. Για τη διόρθωση κάθε γραπτού ο βαθμολογητής αμείβεται με ευρώ.τη διόρθωση συντονίζoυν δύο σχολικοί σύμβουλοι που αμείβονται με ευρώ την ημέρα. Στο τέλος της διόρθωσης όλων των γραπτών κάθε βαθμολογητής παίρνει επιπλέον ως επίδομα 4 ευρώ, ανεξάρτητα από τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκε. α) Να αποδείξετε ότι το κόστος Κ(χ) για τη διόρθωση όλων των γραπτών δίνεται από τη συνάρτηση 6 Κ(χ) = 4 ( χ ) ευρώ, χ όπου χ είναι ο αριθμός των διορθωτών που απασχολούνται. β) Πόσοι πρέπει να είναι οι βαθμολογητές, ώστε το κόστος της διόρθωσης να είναι ελάχιστο ; γ) Να βρείτε το ελάχιστο αυτό κόστος και τη συνολική διάρκεια διόρθωσης των γραπτών. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
17 Σελίδα 7 από 45 Θέμα 54 ο ίνονται οι συναρτήσεις f, g : IR IR, για τις οποίες ισχύει ότι f() g() = 4, για κάθε χ IR. Έστω ότι η ευθεία y = 3χ 7 είναι ασύμπτωτη της C f στο +. α) Να βρείτε τα όρια : i) lim + g() ii) g() ημ lim + f () 3 + β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = χ 3 είναι ασύμπτωτη της C g στο + Θέμα 55 ο ίνεται η συνάρτηση f : (,+ ) IR, με f() = + ln( ) Έστω c πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του.αν η ευθεία y = c τέμνει τη C f στα διαφορετικά σημεία Α(χ, y ) και Β(χ, y ), με χ <χ, τότε : α) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f β) Να βρείτε την παράγωγο και τη μονοτονία της f γ) Nα αποδείξετε ότι χ < και χ > δ) Nα αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες. Θέμα 56 ο ίνονται οι συναρτήσεις f() = (e - ) και g() = ( e ) α) Να αποδείξετε ότι f() g(), για κάθε ΙR β) Να λύσετε την εξίσωση f() = g() γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των C f, C g και της ευθείας = Θέμα 57 ο ίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα γ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της C f δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στ) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ζ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 + ( - λ) + 3 =, όπου λ IR. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
18 Σελίδα 8 από 45 η) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, την πλάγια ασύμπτωτη της C f και την ευθεία = Θέμα 58 ο t e + συνt ίνεται η συνάρτηση f() = dt t + e, με IR α) Να βρείτε την f () β) Να αποδείξετε ότι f () = + ημ, για κάθε IR γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f - : [ ο, π ] [ ο, π ] δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των C f, C f και των ευθειών =, = π είναι Ε = 4 τ.μ. Θέμα 59 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( -) ln, >. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να αποδείξετε οτι η f έχει ολικό ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να εξετάσετε αν η C f έχει κατακόρυφη ή οριζόντια ασύμπτωτη ε) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f () d στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ χ και την ευθεία χ = e Θέμα 6 ο ίνεται η συνάρτηση f() = t+ ln t dt, με t + α) Να αποδείξετε ότι f() = ln, για κάθε β) Να βρείτε το εμβαδόν μεταξύ της C f,του άξονα χ χ και της ευθείας y =. Θέμα 6 ο Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() = f () = α) Να αποδείξετε ότι f()d = f ()d β) Αν f () = 6 χ 3 +, να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f()d. Θέμα 6 ο ίνεται η συνάρτηση f() = + ημ,. α) Να βρείτε τη μονοτονία της f() β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
19 Σελίδα 9 από 45 γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της δ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = π f ()d Θέμα 63 ο ίνονται οι συναρτήσεις g() = ημ e + και f() = g( t)dt Α. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g β) Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Β. α) Να βρείτε τη μονοτονία και το πρόσημο της συνάρτησης f στο διάστημα = [-π, π] β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται στο και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της C f, του άξονα και των ευθειών = - π, = π δ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = π - f ()d - π Θέμα 64 ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με την ιδιότητα f '() = e f( ) για κάθε IR και f() = α) Να αποδείξετε ότι f () = f () - f () για κάθε β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f IR γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από C f, την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τον άξονα y y Θέμα 65 ο Έστω f: R R παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα: f(t)dt ( )e, για κάθε R. α) Να βρείτε το f(). β) Αν f ()=, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο Α(,f()). f() γ) Να βρείτε το Α= lim. 3 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
20 Σελίδα από 45 Θέμα 66 ο Έστω μια συνάρτηση f: R R, με την ιδιότητα f()f(y) = f( + y), για κάθε,y R. Α) Αν f() =, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Β) Αν η f δεν είναι σταθερή, να βρείτε το f(). Γ) Αν υπάρχει α R, ώστε f(α) =, να αποδείξετε ότι f() =, για κάθε R δ) Αν f() =, να αποδείξετε ότι f() >, για κάθε R ε) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο = β, με f(β). Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι συνεχής στο =. ii) η f είναι συνεχής στο R Θέμα 67 ο Έστω f: R R συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα: f() + f( ) = 3, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: π 4 π 4 f() f( ) f() α) π d = π d συν. Β) d 3 συν π = συν 4 4 π 4 4 Θέμα 68 ο ίνεται η συνάρτηση f() = i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με την ευθεία η : y =. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν μεταξύ της C f και της C f. Θέμα 69 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ημ (ημ) + συν (συν). π π α) Να αποδείξετε ότι: = f ()d f()d ή f()d = π f()d β) Να βρείτε το Α= π f ()d. γ) Να αποδείξετε ότι: π π π f()d =. π Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
21 Σελίδα από 45 Θέμα 7 ο Μια συνάρτηση f: (,+ ) R έχει συνεχή πρώτη παράγωγο και για κάθε > ικανοποιεί τη σχέση: α) Να αποδείξετε ότι: t + = f(u)du dt + )f() (t + t)f (t)dt (. + f(t)dt = ( + )f(), για κάθε >. β) Να βρείτε τον τύπο της f. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες =, = Θέμα 7 ο ίνεται η συνάρτηση f() = 3 4. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. γ) Να γράψετε τον πίνακα μεταβολών της f. δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. ε) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση C f της f. στ) Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ R το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 λ 4 =. ζ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Θέμα 7 ο Έστω ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση f: R R* με την ιδιότητα: f() + f( ) = f()f( ), για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: π συν π α) f(), για κάθε R. β) d =. π f() Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
22 Σελίδα από 45 Θέμα 73 ο ίνεται η συνάρτηση f() = συν(t)dt. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο IR και f () = συν - f(), δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής ε) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Θέμα 74 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( )ln + + α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής γ) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ε) Να λύσετε την εξίσωση f() = και να βρείτε το πρόσημο της f στ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ζ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f η) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( )ln - λ =, λ IR θ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και την ευθεία = Θέμα 75 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ( u 6e t 3 dt)du α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη γ) Να βρείτε την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της f() δ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τη μονοτονία ε) Να βρείτε το πρόσημο της f() και να λύσετε την εξίσωση f() = στ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι = f()d Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
23 Σελίδα 3 από 45 Θέμα 76 ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: IR IR με την ιδιότητα για κάθε IR. Na αποδείξετε ότι : α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη f() + f(t)dt = f () β) υπάρχει χ ο (, ) τέτοιο, ώστε f (χ ο ) = f() + f(t)dt γ) f() = f() f() δ) υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξ + Θέμα 77 ο Α. ίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο Α= (, + ) με την ιδιότητα f(χ) = για κάθε χ > + tf(t) dt α) να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο Α= (, + ) β) Να βρείτε τη συνάρτηση f B. ίνεται η συνάρτηση f() = ln +, χ > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f ε) να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ =, χ = e Θέμα 78 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (,+ ) R με την ιδιότητα f() = e f(t)dt, για κάθε >. A. Nα αποδείξετε ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη. β) f () = f (), για κάθε >. γ) f() =, για κάθε >. Β. Η εφαπτομένη της C f στο μεταβλητό της σημείο Μ τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΑ = ΜΒ. β) Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν, ανεξάρτητο δηλαδή από τη θέση του σημείου Μ. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
24 Σελίδα 4 από 45 Θέμα 79 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR και η συνάρτηση g() = + f(t)dt. Αν η γραφική παράσταση C f της f έχει στο + πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = + 3, τότε : α) Να βρείτε τα όρια f'() = και Β = lim (f '() ) A lim + + β) Να αποδείξετε ότι η g παραγωγίζεται και να βρείτε την g ως συνάρτηση της f γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ() (, + ) τέτοιο ώστε g() = f(ξ()) δ) Να αποδείξετε ότι lim f() + =+ ε) Να αποδείξετε ότι lim g() = + + στ) Να βρείτε το όριο Γ= g() lim + Θέμα 8 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR και η συνάρτηση g() = + f(t)dt. Αν η γραφική παράσταση C f της f έχει στο + πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = + 3, τότε : α) Να βρείτε τα όρια f'() = και Β = lim (f '() ) A lim + + β) Να αποδείξετε ότι η g παραγωγίζεται και να βρείτε την g ως συνάρτηση της f γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ() (, + ) τέτοιο ώστε g() = f(ξ()) δ) Να αποδείξετε ότι lim f() + =+ ε) Να αποδείξετε ότι lim g() = + + στ) Να βρείτε το όριο Γ= g() lim + Θέμα 8 ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln + α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
25 Σελίδα 5 από 45 ε) Να λύσετε την εξίσωση : f() + f( ) = f( 5 ) + f( ) στ) Αν α, β > και α = e ( β α )( β+α ) ( ) β, να αποδείξετε ότι α = β. ΥΠΟΔΕΙΞΗ α) Γνησίως αύξουσα β) Κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ).Το Α(,) είναι σημείο καμπής γ) Αρνητική στο (, ) και θετική στο (, + ) δ) Το IR ε) Το χ = προφανής λύση. Αν >, τότε <, 5 < και έτσι τελικά f()+ f( ) < f( 5 ) + f( ).Αν < >, τότε > και 5 >, οπότε τελικά f()+ f( ) > f( 5 ) + f( ) στ) Λογαριθμίζουμε και γίνεται ισοδύναμη με την f(α) = f(β) κλπ Θέμα 8 ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμού α, β, γ διαφορετικοί ανά δύο με α 3 = β 3 = γ 3. Να αποδείξετε ότι : α) Οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί και έχουν ίσα μέτρα. β) α + αβ + β = και α + β + γ = γ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. δ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Υπόδειξη γ) Η σχέση α + αβ + β = δίνει (α - β) = - 3αβ, οπότε : (α - β) = - 3αβ ή α β = 3θ, όπου θ = α Όμοια β γ = 3θ και γ α = 3θ Επομένως α β = β γ = γ α =3θ Θέμα 83 ο 4z z ίνεται ο μιγαδικός w =, z C 4z + z α) Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση 4z + z = 4z z β) Αν ο μιγαδικός w =, z C είναι φανταστικός, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων 4z + z του z Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
26 Σελίδα 6 από 45 γ) Αν οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z, z, w, w είναι εσωτερικά σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) για τον οποίο ισχύει z -z + w -w = Θέμα 84 ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: IR IR με την ιδιότητα για κάθε IR. Na αποδείξετε ότι : α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη f() + f(t)dt = f () β) υπάρχει χ ο (, ) τέτοιο, ώστε f (χ ο ) = f() + f(t)dt γ) f() = f() f() δ) υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξ + Θέμα 85 ο ίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g:(, + ) IR* με f() = g() = και f '( ) f ( ) g( ) g'( ) g ( ) f( ) + = + =, για κάθε >. α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι θετικές και f = g β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f, g γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = α, = α + όπου α >, καθώς και το όριο : A = lim E( α ) α + ΛΥΣΗ α) Η f είναι συνεχής στο διάστημα (-, + ) και f() για κάθε (, + ),οπότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, + ).Επειδή f() = >, η f διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο. Όμοια η g διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο. Άρα f( ) >, g( ) > για κάθε (, + ). Είναι + = + = () f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
27 Σελίδα 7 από 45 και + = + = () g ( ) g ( ) f( ) g ( ) f( ) g ( ) f ( ) Αφαιρούμε κατά μέλη τις (), () και παίρνουμε f ( ) g( ) g ( ) f( ) f( ) f ( ) g( ) g ( ) f( ) = = = g ( ) g( ) Άρα υπάρχει c,ώστε f( ) = c, για κάθε g ( ) > Για = προκύπτει ότι c =, επομένως f( ) = f ( ) = g( ) για κάθε g ( ) >. D Επιπλέον ισχύει ότι f g = D, οπότε f = g για κάθε (, + ). β) Η σχέση f + f g = γίνεται ( ) ( ) ( ) + = + = 3 f ( ) f ( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f = f = = f ( ) f ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 Άρα υπάρχει c, ώστε = + c, για κάθε f ( ) >. Για =,η τελευταία δίνει c =. Έτσι, f ( ) = + > οπότε f ( ) = +, για κάθε >.Η f διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο, άρα f( ) = +, >, και g ( ) = +, >. γ) Η f είναι συνεχής στο (-,+ ) και ( + ) f ( ) = = <, ( + ) ( + ) + άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-,+ ). Είναι lim f( ) = lim = ,διότι lim + = και + + Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
28 Σελίδα 8 από 45 για δεξιά του -. Άρα η ευθεία = - είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης. Είναι lim f( ) = lim = lim = Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. δ) Είναι a+ a+ a+ E( a) = f ( ) d = d = = a a + d a + a+ a + = ( + ) d= + = a+ a+ τ. μ. a a Είναι ( a+ ) ( a+ ) lim Ea ( ) = lim ( a+ a+ ) = lim = a + a + a + a+ + a+ lim = a + a( ) a a Θέμα 86 ο ίνεται η συνάρτηση f() = α ln - lnα με < α < α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να λύσετε την εξίσωση α = α και να αποδείξετε ότι αν β >α, τότε β α > α β γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f δ) Να βρείτε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου που σχηματίζει η C f με τον άξονα και την ευθεία = λ, με λ > και διάφορο του α. ε) Να βρείτε τα όρια Θέμα 87 ο ίνεται η συνάρτηση f lime( λ), lim E( λ) λ λ + : IR IR με την ιδιότητα f ( f ( y)) + f ( yf ( )) = y για κάθε, y IR. Α.α) Να βρείτε το f() και να αποδείξετε ότι f() = ή f() = - Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
29 Σελίδα 9 από 45 β) Αν η f είναι -, να αποδείξετε ότι f ( ) = f ( ), για κάθε Β. Αν f() =, να αποδείξετε ότι α) f ( ) + f ( f ( )) = για κάθε IR. β) η f είναι γ) f() =, για κάθε IR. Γ. Αν f() = -, να αποδείξετε ότι : α) f(-) = β) f ( ) + f ( f ( )) = για κάθε IR γ) η f είναι δ) f() = -, για κάθε IR. Υπόδειξη Μπάμπης Στεργίου, Μάης 7 Α.α) Για = y =. Θέτουμε ακόμα y = και στη νέα σχέση τα =, = f() β) Στην f((f()) = θέτουμε όπου το και στην αρχική θέτουμε y = f ( ) Β.α) Για y = στην αρχική. β) Με τον ορισμό. γ) Θέτουμε όπου το στο α). Γ. α) Θέτουμε στην f(f()) = όπου το - και στη συνέχεια = - f(-). Έτσι f(-) = - ή f(-) =. Αν είναι f(-) = -, τότε η f(- f(-)) = δίνει f() =, άτοπο. β) Στην αρχική σχέση θέτουμε y = - κλπ γ) Με τον ορισμό. δ) Θέτουμε όπου το στο β). Θέμα 88 ο Μια συνάρτηση f έχει αρχική F στο IR και ισχύει : f()f(y) f(y)f() για κάθε, y στο IR. Αν f()=, F() =, τότε : α) Να αποδείξετε ότι f() = F() για κάθε χ στο IR. β) Να αποδείξετε ότι f() = e, για κάθε στο IR. γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων καθώς και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση, την παραπάνω εφαπτομένη και τον άξονα y'y. '' Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
30 Σελίδα 3 από 45 Θέμα 89 ο ίνεται η συνάρτηση f( )= + +. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Θέτουμε = - u και παίρνουμε I = d f( ) Υπόδειξη u 5 I = du = d u + + u Επομένως I = I + I = d + d 5 = = ( + ) d =... = d 5 = και τελικά I = Άλλος τρόπος Πολύ λίγοι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με τη μέθοδο της αντίστροφης πορείας: Αντί να ολοκληρώσουμε, ας παραγωγίσουμε : Ας δούμε πως εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος. Θέτουμε f( )= και I ( ) = f( tdt ), οπότε : 6 I'( ) = ( f( t) dt)' = f( ) + f( ) = ( + ) = ( + + ) 6 =, I( ) = ( + + ) Επομένως, τελικά, παίρνουμε : Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
31 Σελίδα 3 από 45 Θέμα 9 ο 5 I( ) = και I = I( 5) = ίνονται οι μιγαδικοί z και z με z =, και η συνάρτηση f()= z ημ + z συν για την οποία ισχύει f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: z +. f ()= ημ + συν Re( z z )ημ z. O μιγαδικός w = είναι φανταστικός. z 3. O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με εξίσωση +ψ = και το εσωτερικό του. π 4. Η εξίσωση f()= έχει ακριβώς μία πραγματική λύση στο,. Θέμα 9 ο Έστω η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο R και έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία ψ= 3+4. Υπολογίστε τα όρια: f α) lim + f γ) lim + ( ) ( ) + ln ln ε) lim f - + δ) f lim + f ( ) + 4 ( ) + β) lim [ f ( ) 3] + 7 στ) lim f + Θέμα 9 ο ln Έστω η συνάρτηση f()= -.. Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. -. Να αποδείξετε ότι e για κάθε >. 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f που διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Θέμα 9 ο Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει αρχική την F και η f ( ) e έχει αρχική την F () e. f : IR IR για την οποία να ισχύεί ότι η f Απόδειξη Έστω ότι ισχύουν F ( ) = f ( ) για κάθε IR () Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
32 Σελίδα 3 από 45 e = e F ( ) f ( ) και ( ) για κάθε IR F ( ) f ( ), F ( ) e = e F ( ) f ( ) από () f ( ) e = e για κάθε IR (3) Πρέπει f ( ) > για κάθε IR. F ( ) f ( ) Από (3) ln( f ( ) e ) = ln e ln f ( ) + F( ) = f ( ) για κάθε IR. Οι συναρτήσεις στα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες οπότε ( ln f ( ) + F( ) ) = ( f ( ) ) f ( ) + f ( ) = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) f ( ) ln f ( ) + = ( ) για κάθε IR. f ( ) Οπότε υπάρχει σταθερά c IR τέτοια ώστε ln f ( ) + = + c για κάθε IR.(4) f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = ln + με >. Είναι g ( ) = =, >. Άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο στο το g ( ) =, δηλαδή g ( ) = ln + για κάθε >. Από (4) + c για κάθε IR το οποίο φυσικά είναι ΑΤΟΠΟ. Θέμα 93 ο Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, ] με < f ( ) 4 για κάθε ε [, ] (), και f ( ) + f ( ) = () Να αποδειχτεί ότι f ( ) για κάθε ε [, ] (3). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Από ΘΜΤ στο [, ] υπάρχει χ ε (, ) ώστε: f () f () f (χ )= = f ( ) f () = f () = f () Από () ισχύει: < ( ) 4 f, άρα < f () και () 4 f ( ) < και ( ) f οπότε f. Αποδείξαμε δηλαδή την (3) για χ= και για χ=. Έστω ε(, ). Από ΘΜΤ στα διαστήματα [, ] και [, ] υπάρχουν ε (, ) και f ( ) f () f () f ( ) ε (, ) ώστε: f ( ) = και f ( ) =. f ( ) f () f () f ( ) Από την ανίσωση () ισχύουν: f ( ) = 4 και f ( ) = >. Άρα f ( ) f () 4 και f ( ) f () <, οπότε προσθέτοντας κατά μέλη και χρησιμοποιώντας την () έχουμε: f ( ) < 4 ή f ( ) <. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
33 Σελίδα 33 από 45 Τελικά f ( ) για κάθε [, ].Το ίσον μπορεί να ισχύει μόνο για χ=. Θέμα 94 ο ίνεται συνάρτηση f : IR IR για την οποία γνωρίζουμε ότι: f () = και f ( ) = 3 f ( ) + IR. 3 α). Να δείξετε ότι η συνάρτηση h ( ) = f ( ) + f( ), IR είναι σταθερή. f 3 ( ) β). Να βρεθεί το όριο lim Απάντηση 3 α). Εύκολο. Αποδεικνύεται επιπλέον ότι: h ( ) = f ( ) + f( ) =, IR.() β). Ισχύουν f () =, f γνησίως αύξουσα στο IR οπότε για κάθε > f( ) >. Ακόμη 6 f( ) f ( ) f ( ) = < ( 3 f ( ) + ) για κάθε >, οπότε η f είναι κοίλη στο [, + ). Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Ο(,) είναι η y = και είναι, στο [, + ), «πιο πάνω» από την γραφική παράσταση της f, δηλαδή ( ) f ( ) < για κάθε > < f 3 < για κάθε > f( ). Άρα lim = f ( ) f( ) Από () + = 3 για κάθε > και έτσι f( ) f( ) lim = lim =. f 3 ( ) f( ) f 3 ( ) Από () = για κάθε > Άρα lim = Σημείωση για κάθε Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε lim f( ) = l IR ή lim f( ) = Το πρώτο ερώτημα δίνει ότι f 3 () + f() =. Η σχέση αυτή εξασφαλίζει (με άτοπο) ότι lim f( ) + Επομένως =+ () Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
34 Σελίδα 34 από 45 f ( ) 3f ( ) 3 = 3 = = = 3f ( ) + 3+ f ( ) 3 lim lim ( f ( ) f '( ) lim lim ΣΧΟΛΙΟ o Η σχέση f 3 () + f() = γράφεται f f f χ >. Έτσι < f ( ) <, οπότε η λύση του kser συντομεύει. ΣΧΟΛΙΟ 3o = ( )( ( ) + ) ( ) για κάθε θετικό, αφού f() > για Βλέπω ότι η f - βρίσκεται και έχει όριο + καθώς το χ τείνει στο +. Με μια αλλαγή μεταβλητής νομίζω ότι θα προκύψει ότι και το όριο της f στο + είναι ίσο με +.Επομένως η σχέση () στο πρώτο σχόλιο προκύπτει και διαφορετικά. οκιμάστε το αν θέλετε. Θέμα 95 ο f() Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με την ιδιότητα f(d) = [, + ) f()e =, D = [, + ) έχει σύνολο τιμών το Απόδειξη Θεωρούμε b. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει a, ώστε f(a) = b. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = e με.( Αυτή είναι η πιθανολογούμενη αντίστροφη της f ).Με την βοήθεια της παραγώγου βλέπουμε αμέσως ότι η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα και. Θεωρούμε λοιπόν a b = be και θα αποδείξουμε ότι f(a) = b. Όμως : που ισχύει. Άρα f(d) = [, + ). f(a) b b f(a) = b h(f(a)) = h(b) f(a)e = be a = be, Άλλος τρόπος Εύκολα συμπεραίνουμε ότι f() για κάθε. Έστω b και a b = be. Αν ήταν f(a) > b, τότε e f(a) b > e και αφού f(a) b >, παίρνουμε(με πολλαπλασιασμό) ότι f(a) b b f(a)e > be a> be, άτοπο! Αν ήταν f(a) < b, τότε e f(a) b < e και αφού f(a) b <, παίρνουμε(με πολλαπλασιασμό) ότι Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
35 Σελίδα 35 από 45 f(a) b b f(a)e < be a< be, άτοπο! Επομένως θα είναι f(a) = b και τελειώσαμε. Θέμα 96 ο Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάσημα Δ= [, + ) με f() = και f() f'() = 3 για κάθε > f() g() =, > α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης β) Να αποδείξετε ότι f() = 6 3, Δ γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C f και τον άξονα δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το παραπάνω χωρίο Ω σε δύο νέα χωρία με ίσα εμβαδά. Υπόδειξη α) Βρίσκουμε την παράγωγο της g, οπότε τελικά g() = 6 3, μια και g() = β) Βασιζόμαστε στο α). Επιπλέον είναι γ) Ε(Ω) = δ) Πρέπει 6 α 3 f( ) limf() ( )d 6 3 = 4 = = =, διότι η f είναι συνεχής στο. ( α)d= 6 3 εν αναπτύσσουμε τις ταυτότητες, αλλά με κοινό παράγοντα το (6 α) καταλήγουμε εύκολα στην εξίσωση ( ) α = 8 α= Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
36 Σελίδα 36 από 45 Θέμα 97 ο 4 e 4 f ( ) =, Α. ίνεται η συνάρτηση α. Να αποδείξετε ότι ( ) > β. Να βρείτε τα όρια lim f ( ), lim f ( ).. f για κάθε 4 3 Β. α. Αν για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: e α + β α και β 8 ότι: 4 3 β. Να αποδείξετε ότι , να αποδείξετε e 3, για κάθε πραγματικό αριθμό. 3 ΛΥΣΗ Α. α. Έστω η συνάρτηση g( ) = e, IR. Είναι g ( ) = e, IR οπότε g ( ) = e > > και g ( ) = e < <. Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Έτσι, για κάθε > θα είναι και για κάθε < θα είναι g ( ) > g() g( ) > g ( ) > g() g( ) >, ισχύει g ( ) > ή e > (). : η () γίνεται 4 e 4 > για κάθε 4 e 4 f ( ) = > για κάθε. δηλαδή για κάθε Για 4 Συνεπώς ΣΧΟΛΙΟ Μπορούμε να θέσουμε από την αρχή = 4 g ( )= e 4 κλπ 4 () 4 β. Είναι lim f ( ) lim e = = Επίσης με τον κανόνα de L Hospital βρίσκουμε : e lim f ( ) = lim 6e = lim 4 = = lim 4 ( e 4 ) ( ) 4 4e 4 = lim = lim 4 ( 4e 4) ( ) 4 3 Β. α. Για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: e + β e α, άρα 3 4 α + β για κάθε IR. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
37 Σελίδα 37 από 45 ιαιρούμε με για Αν υποθέσουμε ότι < και παίρνουμε f ( ) α + β για κάθε α τότε lim ( α + β ) = + ενώ lim f ( ) =, ΑΤΟΠΟ αφού β Ακόμη,. f ( ) α + για κάθε. Πρέπει συνεπώς α. lim( α + β ) = β, lim f ( ) = 8 και f ( ) α + β για κάθε. Πρέπει e για κάθε IR h( ) = e 8 4 3, IR και έχουμε: 4 h ( ) = 4e 3 6, IR 4 4 h ( ) = 6e 64 6 = 6 e 4 > για κάθε, β. Για να αποδείξουμε την ανίσωση Θεωρούμε τη συνάρτηση 4 ( ) β. (από τη σχέση () του Αα). Όμως h συνεχής στο οπότε h γνησίως αύξουσα στο IR. Επίσης είναι h ( ) =. Για κάθε > θα είναι h ( ) > h () h ( ) > Για κάθε < θα είναι h ( ) < h () h ( ) < Έτσι, η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Συνεπώς στο παρουσιάζει ελάχιστο το h ( ) =. Άρα Θέμα 98 ο h ( ) για κάθε IR e για κάθε IR. 3 ίνεται η συνάρτηση 5 f( )= e e. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Υπόδειξη I = 5 f( ) d δ) Θέτουμε u = και βρίσκουμε Ι = - Ι, δηλαδή Ι = Θέμα 99 ο ίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :IR IR, με f( ) = 6,f( 3) = και f'() = + f( α) e f(t) dt, για κάθε IR α) Να αποδείξετε ότι f( α ) =, όπου α είναι σταθερός αριθμός. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
38 Σελίδα 38 από 45 β) Να βρείτε τη συνάρτηση f και την τιμή του α. γ) Αν για τη συνάρτηση g ισχύει ((f g)() = (g f)() για κάθε IR, να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει μία τουλάχιστον λύση. δ) Να αποδείξετε ότι η C f εφάπτεται με τη C h, όπου h() = ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν η C f, η C h και ο άξονας y y. Θέμα ο ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο = [, + ) με α) Να βρείτε τη μονοτονία της f. f() f()e = για κάθε. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f -, αν f( )= [, + ) γ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I= f()d, αν f() = α. ΜΕΘΟΔΟΣ : Η ειδική αντικατάσταση Υπόδειξη = ημ π π π I e ( ) d Μπάμπης Στεργίου, Απρίλης 7 Θέτουμε = π u και τελικά βρίσκουμε Ι = - Ι. Απάντηση : Ι = Θέμα ο Έστω f συνεχής και θετική συνάρτηση στο IR. Να αποδείξετε ότι : α) β) t f(t)dt >, για κάθε > tf(t)dt< f(t)dt, για κάθε > γ) Η συνάρτηση h() = t f(t)dt, f(t)dt i) γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). είναι : Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
39 Σελίδα 39 από 45 ii) γνησίως φθίνουσα στο (,). δ) Η συνάρτηση h() = f(t) tdt ημ f(t) συνtdt π είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ). ε) Αν η f είναι επιπλέον γνησίως αύξουσα, τότε : i) tf(t)dt < f() ii) Η συνάρτηση g() = f(t)dt, > είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ) +. Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
40 Σελίδα 4 από 45 Θέμα ο ίνεται συνάρτηση f :(, + ) (, + ) με f() = και έστω F μια αρχική της f με την ιδιότητα : F(f()) + F() = για κάθε >. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γ) Να βρείτε τη συνάρτηση F δ) Να υπολογίσετε το όριο : Θέμα 3 ο A= lim (f() συν 3) + Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με < α < β, f ( α ) = f ( β ) = και f ''() + f '() = f () για κάθε στο [α, β], να αποδείξετε ότι: i. η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α,β). ii. f() = για κάθε στο [α, β]. Λύση i. Aν η f δεν μηδενίζεται στο (α,β), τότε διατηρεί πρόσημο ως συνεχής συνάρτηση. Yποθέtουμε ότι f() >, οπότε έχουμε: f ''()+ f '() > e f ''() + e f '() > [ e f ()] >, για κάθε (α, β).δηλαδή η συνάρτηση g() = e f () είναι γν. αύξουσα στο [α, β]. Από Θ. Rolle για την f στο [α, β] υπάρχει ξ στο (α, β) ώστε f (ξ) =. Τότε και g(ξ) = οπότε: Για α < χ < ξ ισχύει : g() < g(ξ) g() < f (χ) <. Άρα η είναι f γν. φθίνουσα στο [α,ξ], άτοπο αφού υποθέσαμε πως f() > = f(α). Αργύρης Γαμβρέλλης ii. Α τρόπος Έχουμε f ''() + f '() = f() f ''() = f() f '(), Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
41 Σελίδα 4 από 45 οπότε η f παραγωγίζεται και τρίτη φορά. Παραγωγίζοντας βρίσκουμε : Έχουμε επίσης : διότι f(α) =. Άρα f '''() + f ''() = (f ''()e ) ' = f ''() = ke (). f ''() f '() f() f ''() + f '() = f () f ''() = f () f '() = f ''() f() f() = ( ) ' = f ''(t)dt f () = f ''(t)dt α t α t t f() = k e dt, για κάθε [α, β]. () α t Επειδή f(β) =, η τελευταία σχέση δίνει ότι k = (μια και η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι θετική και τα άκρα α, β είναι θετικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί) και έτσι η () μας δίνει ότι : f() =, για κάθε [α, β]. Θέμα 4 ο Μπάμπης Στεργίου Eστω f'() = R, f'() = f() + e.) Na μελετείστε την μονοτονία της f..) Na λύσετε την εξίσωση f()= 3.)Να αποδείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω και ότι στην γραφική παράσταση της f δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία 4.) Να αποδείξετε ότι η y= είναι εφαπτομένη της f στο σημείο 5.) Να αποδείξετε ότι f(), R f() 6.) Να αποδείξετε ότι f() + e = +, R 7.) Να αποδείξετε ότι f() < +, R 8.) Να βρείτε το lim f () 9.) Να αποδείξετε ότι f() ln(+ ), >.) Να βρείτε το lim f () +.) Βρείτε το σύνολο τιμών της f.) Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτους 3.) Βρείτε την ασύμπτωτο της f στο 4.) Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτο στο + 5.) Να αποδείξετε ότι e f( ) = e/ 6.) Να υπολογίστε το : f(t)dtχρησιμοποιώντας την συμμετρία των f, f Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
42 Σελίδα 4 από 45 Λύση. Είναι f ( ) = > ( ) () I και f f ( ) = άρα f & στο R + e. Για = η (Ι) γίνεται: f( ) f( ) f ( ) = + e = e = f ( ) ( ) = f + e και επειδή f & και άρα - οπότε το είναι η μοναδική ρίζα. f( ) f( ) 3. α) Έστω, με < τότε f ( ) < f ( ) (αφού f & στο R) και e < e f( ) f( ) διότι ( y= e & στο R). Άρα < + e < + e οπότε > ή > f( ) f( ) f( ) f( ) + e + e + e + e άρα f ' στο R και άρα f στρέφει τα κοίλα κάτω β) Έστω ότι υπάρχουν 3 συνευθειακά σημεία ( α,f ( α )) ( β,f ( β )) και ( γ,f ( γ )) τότε θα ισχύει f( β) f( α) f( γ) f( β) = =λ β α γ β Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την f στο [α,β] και στο [β,γ] οπότε: f( β) f( α) f( γ) f( β) ξ ( α, β) :f ( ξ ) = και ξ ( β, γ) :f ( ξ ) = β α γ β Οπότε θα πρέπει f ( ξ ) = f ( ξ ) με ξ ξ Άτοπο αφού f ' και άρα - 4. Η εφαπτόμενη της f στο είναι τη μορφής: ( ε) :y f( ) = f ( )( ) Όμως από εκφώνηση f ( ) = και από ερώτημα : f ( ) = ( ε ) :y= 5. Επειδή f στρέφει τα κοίλα κάτω και y = η εφαπτομένη της f στο ισχύει f ( ) f( ) f( ) f( ) 6. f ( ) = f ( ) ( ) + f f ( ) e = f ( ) e = f ( ) ( e ) = ( f( ) ) άρα + e f( ) e = f( ) + c για = f() = οπότε = c f( ) f( ) e = f ( ) + f ( ) + e = + οεδ f( ) f( ) 7. e > f( ) + e > f( ) + > f( ), οεδ 8. lim ( ) f < + + = και ( ) οπότε lim f ( ) = 9. Για ν.δ.ο. f ( ) ln( + ) > από το ερώτημα (5) έχω ότι : ( 6) f( ) f( ) f( ) ( ) ( ). lim ln ( + ) =+ και από (9) f ( ) ln( + ) άρα ( ) ( ) f + e + e ln + lne ln + f() lim f = f &/ και συνεχής Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
43 Σελίδα 43 από 45 ( ) + ( ) άρα ( ) ( ) ( 8) ( ) f (A) = lim f, lim f =, +. lim f ( ) = f ( ) αφού f συνεχής άρα lim f ( ) 3. " ( ) " ( ) f f α= lim = lim = lim = = 4 f( ) α+ + e + ( ) ( 6) lim f lim f e ( ) ± άρα όχι κατακόρυφη ασύμπτωτη β= = = = άρα y= + ασύμπτωτη στο. " ( ) " ( ) f f 4. lim = lim = lim = + f( ) α e lim (f ) =+ άρα όχι πλάγια ασύμπτωτη στο + + ( ) 5. Από το ερώτημα (6) για e f e e f + e = e+ θέτω f =ω ω ω ω+ e = e+ e +ω e = ω g ω = e +ω e e f και ακόμη e e e = f + e = + θέτω ( ) ω g ( ω ) = e + > άρα g & και - και παρατηρώ ( ) e f = e 6. Για να υπολογίσω το () ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) f 6 f e g= άρα και το είναι μοναδική λύση οπότε e e f t dt παρατηρώ ότι f = f () = + = + Θέτω όπου το f - () οπότε ( ( ) ) f f ( ) f f + e = f + + e = f + + e f ( ) = και επιπλέον έχω :από το e/ C f - y= C f Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
44 Σελίδα 44 από 45 Από την συμμετρία των f, f - προκύπτει: e t e e t+ e e f () t dt = f () t dt = dt = + e + e = e e 3 3 = + = 8 8 Θέμα 5 ο Μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,], με f () > 4 () και f() f() = 3 7 (). Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει α στο (,) ώστε f (α) = α ii) Υπάρχει β στο (,), ώστε f (β) = β. (Μπάμπης Στεργίου) Λύση (Αργύρης Γαμβρέλλης) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() 3 3, με [, ]. H h είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) ως διαφορά συνεχών και παραγωγίσιμων. Επιπλέον ισχύει: h() h() = f() 3 8 f() + 3 = f() f() 3 7 = λόγω της (). Άρα: h() = h(), οπότε από θεώρημα Rolle υπάρχει α (, ) τέτοιο ώστε: h (α) = f (α) α = f (α) = α. ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f (), με [α, ]. Η f είναι συνεχής στο [α, ], αφού η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [, ], οπότε η g είναι συνεχής στο [α, ] ως διαφορά συνεχών. Έχουμε: i g(α) = f (α) α = α α = α(α ) <, γιατί < α <. g() = f () 4 >, λόγω της (). Έτσι: g(α)g() <, άρα από Θ. Bolzano υπάρχει β (α, ) ώστε g(β) = f (β) = β. Τετάρτη, 3 Απριλίου 8 Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός /5/8
Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x
ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραe 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραf(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραqwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός
Σελίδα από 0 ΘΕΜΑ ο Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος - 009 Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής και πότε παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.
ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z + 004. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ
ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z
Διαβάστε περισσότεραΘ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότερα1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότερα2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραlim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,
Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη
Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραqwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΓ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης
Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α Όχι βιαστικά, όχι αργά. Στο ρυθµό σου.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις f() f () και f ()f() + (f ()) f()f ()
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013
ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )
ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω
Διαβάστε περισσότεραlim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως
Διαβάστε περισσότεραln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο
Διαβάστε περισσότερα= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΜΟΣ. 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.
ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.. Aν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0 και f(0) 0, να δείξετε ότι η συνάρτηση g()= f()
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].
ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης
4 o Γενικό Λύκειο Χανίων 008-009 Γ τάξη Τμήμα. Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης γ Ασκήσεις για λύση Μ.. Παπαγρηγοράκης 4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)
ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015
Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................
Διαβάστε περισσότερα1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0
ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z
Διαβάστε περισσότερα( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.
. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερα