Líkindi Skilgreining

Líkindi Skilgreining Ω = útkomumengi = mengi allra hugsanlegra útkoma. Atburður er hlutmengi í Ω. Ω A Skilgreining: Atburðir A og B kallast sundurlægir (ósamræmanlegir) ef A B =. Ω A B Skilgreining: Líkindi (líkur) eru fall P úr safni allra atburða sem uppfyllir: (1) P(Ω) = 1. (2) P(A) 0 fyrir alla atburði A. (3) Ef A 1, A 2,... eru sundurlægir atburðir gildir: ( ) P A i = P(A i ). Ω i=1 i=1 A 1 A 3 A 4 A 2... 1

Reiknireglur P(Ω) = 1 og P( ) = 0. Um alla atburði A og B gildir: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Ω A B Um alla sundurlæga atburði A og B gildir: P(A B) = P(A) + P(B). Ω A B P(A c ) = 1 P(A). Ω A A c A B P(A) P(B). Ω B A 2

Jafnar líkur Skoðum Ω = {ω 1,..., ω n } og setjum p i = P({ω i }). Skilgreining: Líkindi P á {ω 1,..., ω n } kallast jöfn ef p 1 = p 2 =... = p n = 1 n. Við segjum þá líka að útkoman sé valin af handahó úr {ω 1,..., ω n }. Takið eftir að líkindi eru jöfn ef og aðeins ef fjöldi staka í A P(A) =, A {ω 1,..., ω n }. n Strjál líkindi Líkindi P kallast strjál ef Ω = {ω 1,..., ω n } eða Ω = {ω 1, ω 2,...}. Líkur á atburði A Ω eru þá P(A) = ω A P({ω}). Takið eftir því að jafnar líkur eru ekki til þegar Ω = {ω 1, ω 2,...} vegna þess að p 1 = p 2 = p 3 =... hefði þá í för með sér eftirfarandi mótsögn: {, ef p 1 > 0, 1 = P(Ω) = p i = 0, ef p 1 = 0. i=1 3

Skilyrtar líkur Skilgreining: Ef A og B eru atburðir og P(B) > 0, kallast P(A B) P(A B) := P(B) skilyrtu líkurnar á A geð B. Takið eftir að P(A B) = P(B)P(A B). Takið líka eftir að fyrir jafnar líkur gildir: P(A B) = fjöldinn í A B fjöldinn í B. Skilgreining: Sundurlægir atburðir B 1, B 2,... mynda skiptingu á Ω ef þeir þekja Ω þ.e. i=1 B i = Ω. Regla: Ef B 1, B 2,... mynda skiptingu á Ω gildir: P(A) = i P(A B i ) = i P(B i )P(A B i ). Ω A... B 4 B 3 B 1 B 2 Bayes-lögmálið: Ef P(A) > 0 gildir: P(B A) = P(B)P(A B). P(A) 4

Óháðir atburðir Það væri eðlilegt að segja að A sé óháður B ef P(A B) = P(A) og að B sé óháður A ef P(B A) = P(B) þ.e. þ.e. P(A B) P(B) P(A B) P(A) = P(A) = P(B). Skilgreining: Atburðir A og B kallast óháðir ef P(A B) = P(A)P(B). Skilgreining: Atburðir A, B og C kallast óháðir ef og P(A B) = P(A)P(B) P(A C) = P(A)P(C) P(B C) = P(B)P(C) P(A B C) = P(A)P(B)P(C). Almenn skilgreining: Atburðir A 1,..., A n kallast óháðir ef fyrir öll k og n 1 <... < n k gildir: P(A n1... A nk ) = P(A n1 ) P(A nk ). Atburðir A 1, A 2... kallast líka óháðir ef þetta gildir. 5

Slembistærðir Slembistærð er fall X : Ω R. X Ω ω X(ω) R Fyrir x R skilgreinum við {X = x} := {ω Ω : X(ω) = x}. X Ω {X = x} x R Fyrir a < b skilgreinum við á sama hátt t.d. {a < X b} := {ω Ω : a < X(ω) b}. X Ω {a<x b} a b Og almennt fyrir A R skilgreinum við {X A} := {ω Ω : X(ω) A}. R 6

Dreifall slembistærðar Skilgreining: Dreifall slembistærðar X er F (x) := P(X x), x R. Skrifum oft F X í stað F. Þetta er gert til að greina F frá dreiföllum annarra slembistærða. Regla: Dreifall F uppfyllir: (1) 0 F (x) F (y) 1, x < y. (2) F (x) 0 þegar x. (3) F (x) 1 þegar x +. (4) F er samfellt frá hægri: F (y) F (x) þegar y x. Aths: Ef fall F hefur þessa 4 eiginleika, þá er til slembistærð X með F sem dreifall. Regla: P(a < X b) = F (b) F (a), a < b. Setjum F (b ) := lim a b F (a), b R. Takið eftir að fyrir öll b R gildir P(X = b) = F (b) F (b ), og sér í lagi F samfellt í b P(X = b) = 0. 7

Strjálar slembistærðir Skilgr: X kallast strjál ef hún tekur endanlega mörg gildi {a 1,..., a k } eða teljanlega mörg gildi {a 1, a 2,...}. Fallið x P(X = x) kallast þá líkindafall X. Takið eftir að ef X er strjál þá gildir: F (x) = y x P(X = y). Dæmi (tveir teningar): Látum P vera jafnar líkur á útkomumenginu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Látum X vera punktasummuna, þ.e. X(i, j) = i + j. Líkindafall X er þá svona: 6/36 x P (X = x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Og dreifall X er svona: 36/36 30/36 x F (x) 24/36 18/36 12/36 6/36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8

Samfelldar slembistærðir Skilgreining: Fall f sem uppfyllir f(x) 0, x R, og f(x)dx = 1 kallast þéttleiki. Slembistærð X kallast samfelld ef til er þéttleiki f þ.a. F (x) = x x f(y) dy, x R. f f = F f kallast þá þéttleiki X. Skrifum oft f X í stað f. Aths: Ef f er þéttleiki, þá er til X með þéttleika f. Regla: Ef X er samfelld slembistærð, þá er dreifallið F samfellt fall. Ennfremur gildir að og P(a < X b) = b a f(x) dx, a < b, P(X = b) = 0, b R. Dæmi: Samfelld slembistærð X kallast jöfn á bilinu [a, b] ef hún hefur þéttleikann { 1 f X (x) = b a, a x b, 0, annars. Við segjum þá líka að X ha jafna dreingu á [a, b] og að X ha verið valið af handahó á milli a og b. 9

Samdreifall Skoðum nú slembistærðir X 1,..., X n `í sambúð'. Skilgr: Fallið F sem er skilgreint í (x 1,..., x n ) R n á eftirfarandi hátt: F (x 1,..., x n ) := P(X 1 x 1,..., X n x n ) kallast samdreifall slembistærðana X 1,..., X n. Takið eftir t.d. að F X1 (x) = F (x,,..., ). Samlíkindafall Skilgreining: Ef X 1,..., X n eru allar strjálar kallast (x 1,..., x n ) P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) samlíkindafall þeirra. Takið eftir að líkindafall t.d. X 1 fæst svona: x P(X 1 = x) = x 2,...,x n P(X 1 = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ). Þetta fall er því stundum nefnt jaðarlíkindafall X 1. 10

Samþéttleiki Skilgreining: Látum F vera samdreifall X 1,..., X n. Ef til er fall f : R n [0, ) þannig að F (x 1,..., x n ) = xn... x1 f(y 1,..., y n ) dy 1... dy n þá kallast f samþéttleiki stærðanna X 1,..., X n. Fallið f er oft fundið með því að dira F (x 1,..., x n ) = P(X 1 x 1,..., X n x n ) í öllum breytistærðum x 1,..., x n. Regla: Ef C R n er t.d. rétthyrningur, hringur, kassi eða kúla, þá má nota f til að reikna líkurnar á því að vigurinn sem stærðirnar mynda lendi í C: P ( (X 1,..., X n ) C ) = f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n (x 1,...,x n ) C Regla: Ef X 1,..., X n hafa samþéttleika, þá eru þær samfelldar hver fyrir sig og þéttleiki t.d. X 1 er f X1 (x) = f(x, x 2..., x n ) dx 2... dx n. Aths: Þótt stærðirnar X 1,..., X n séu samfelldar hver fyrir sig, er ekki víst að þær ha samþéttleika. 11

Skilyrt líkindafall Skilgreining: Ef X 1,..., X n eru strjálar slembistærðir og P(X 2 = x 2,..., X n = x n ) > 0, þá kallast fallið x P(X 1 = x X 2 = x 2,..., X n = x n ) skilyrt líkindafall X 1 geð X 2 = x 2,..., X n = x n. Munið að P(A B) := P(A B)/P(B) og því er P(X 1 = x X 2 = x 2,..., X n = x n ) := P(X 1 = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) P(X 2 = x 2,..., X n = x n ) Skilyrtur þéttleiki Skilgreining: Látum X 1,..., X n hafa samþéttleika f. Látum f X2,...,X n vera samþéttleika X 2,..., X n. Ef f X2,...,X n (x 2,..., x n ) > 0, þá kallast fallið x f X1 X 2,...,X n (x x 2,..., x n ) := f(x, x 2,..., x n ) f X2,...,X n (x 2,..., x n ) skilyrtur þéttleiki X 1 geð X 2 = x 2,..., X n = x n. Skilgreining: Skilyrtu líkurnar á að X 1 taki t.d. gildi á bili A geð X 2 = x 2,..., X n = x n eru þá P(X 1 A X 2 = x 2,..., X n = x n ) := f X1 X 2,...,X n (x x 2,..., x n ) dx. A 12

Óháðar slembistærðir Skilgreining: X 1,..., X n kallast óháð ef P(X 1 A 1,..., X n A n ) = P(X 1 A 1 )... P(X n A n ), fyrir öll bil A 1,..., A n. Regla: Þetta gildir ef og aðeins ef F (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ), x 1,..., x n R, þar sem F er samdreifallið og F Xi er dreifall X i : F Xi (x i ) = P(X i x i ), i = 1,..., n. Regla: Strjál X 1,..., X n eru óháð ef og aðeins ef P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P(X 1 = x 1 )... P(X n = x n ) fyrir öll x 1,..., x n R. Regla: Samfelld X 1,..., X n eru óháð ef og aðeins ef (x 1,..., x n ) f X1 (x 1 )... f Xn (x n ) er samþéttleiki fyrir stærðirnar X 1,..., X n. 13

Væntigildi Skilgreining: Væntigildi (meðalgildi) X er xp(x = x), ef X er strjál, x µ = µ X = E[X] := xf(x) dx, ef X er samfelld. Dæmi: Skoðum X sem er jöfn á [0, 1] þ.e. f X (x) = 1, 0 x 1, Fáum: E[X] = 1 0 x dx = 1 2. (og f X (x) = 0 annars). Skoðum nú X 3. Dreifallið fæst svona: 0, y < 0, F X 3(y) = P(X 3 y) = P(X y 1 3) = y 1 3, 0 y 1, 1, y > 1. Þéttleikinn er því f X 3(y) = F X 3 (y) = Væntigildið fæst nú svona: E[X 3 ] = yf X 3(y) dy = { 1 3 y 2 3, 0 y 1, 0, annars. 1 0 y 1 3 y 2 3 dy = 1 4. Takið eftir að við fengum E[X 3 ] = 1 4 ( 1 2) 3 = (E[X]) 3. 14

Lögmál hins ómeðvitaða tölfræðings Lögmál hins ómeðvitaða tölfræðings: Ef g : R R er fall gildir að g(x)p(x = x), ef X er strjál, x E[g(X)] = g(x)f(x) dx, ef X er samfelld. Dæmi: Skoðum Y = X 3 þar sem X sem er jöfn á [0, 1] þ.e. f X (x) = 1, 0 x 1, (og f X (x) = 0 annars). Við fengum áðan (eftir talsvert vafstur) E[X 3 ] = yf X 3(y) dy = 1 Við getum nú farið einfaldari leið: E[X 3 ] = x 3 f X (x) dx = 0 1 0 y 1 3 y 2 3 dy = 1 4. x 3 dx = [ x 4 4 ] 1 0 = 1 4. 15

Reglur um væntigildi Munið skilgreininguna á væntigildi: xp(x = x), ef X er strjál, x µ = E[X] := xf(x) dx, ef X er samfelld. Lögmál hins ómeðvitaða tölfræðings: Skoðum Y = g(x 1,..., X n ) þar sem g : R n R er fall. Þá gildir að E[Y ] = g(x 1,..., x n )P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) x n x 1 ef (X 1,..., X n ) eru strjálar, g(x 1,..., x n )f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n ef X 1,..., X n hafa samþéttleika f. Reglur: Fyrir a, a 1,..., a n R gildir (1) E[a] = a. (2) (3) (4) E[aX] = ae[x]. E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. E[a 1 X 1 +... + a n X n ] = a 1 E[X 1 ] +... + a n E[X n ] Regla: Ef X og Y eru óháð gildir E[XY ] = E[X]E[Y ]. 16

Dreifni Skilgreining: Dreifni slembistærðar X er Var[X] := E[(X µ) 2 ] (hér er µ = E[X]) og staðalfrávik hennar er σ := Var[X]. Takið eftir að Var[X] 0. Reglur: (1) (2) Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2. Var[a + bx] = b 2 Var[X], a, b R. Regla: Ef X 1,..., X n eru óháðar gildir að Var[X 1 +... + X n ] = Var[X 1 ] +... + Var[X n ]. 17

Samdreifni og fylgni Skilgreining: Samdreifni slembistærða X og Y er Cov[X, Y ] := E[(X µ X )(Y µ Y )] og fylgnistuðull þeirra er ρ = ρ X,Y := Cov[X, Y ] σ X σ Y. Takið eftir að Cov[X, X] = Var[X]. Regla: 1 ρ 1 Regla: Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Reglur: Fyrir a R og n, m N gildir að (1) (2) (3) (4) Cov[aX, Y ] = a Cov[X, Y ] Cov[X + Y, Z] = Cov[X, Z] + Cov[Y, Z] [ n m ] n m Cov X i, Y j = Cov[X i, Y j ] i=1 j=1 [ n ] Var X i = i=1 n i=1 j=1 i=1 Var[X i ] + 2 i<j Cov[X i, X j ] Regla: Ef X og Y eru óháðar gildir Cov[X, Y ] = 0. 18

Ójöfnur Markovs og Chebyshevs Ójafna Markovs: Ef P(X 0) = 1, þá gildir að Sönnun: Setjum P(X > a) E[X] a, a > 0. Y := { 0, ef X a, a, ef X > a. Þá er P(Y X) = 1, sem gefur E[Y ] E[X]. Takið loks eftir að E[Y ] = a P(X > a). Ójafna Chebyshevs: P( Y E[Y ] > ε) Var[Y ] ε 2, ε > 0. Sönnun: Setjum X := (Y E[Y ]) 2. Þá er P( Y E[Y ] > ε) = P(X > ε 2 ) E[X] ε 2 = E[(Y E[Y ])2 ] ε 2 = Var[Y ] ε 2. (ójafna Markovs) 19

Lögmál mikils fjölda Munið ójöfnu Chebyshevs: P( Y E[Y ] > ε) Var[Y ] ε 2, ε > 0. Við notum hana nú til að sanna merka reglu: Lögmál mikils fjölda: Ef X 1, X 2,... eru óháðar og hafa allar sama endanlega væntigildi µ = E[X i ] og allar sömu endanlegu dreifni σ 2 = Var[X i ], þá gildir fyrir öll ε > 0 að ( ) X 1 +... + X n P µ n > ε 0, n. Sönnun: Setjum Y := (X 1 +... + X n )/n. Þá er E[Y ] = (µ +... + µ)/n þ.e. E[Y ] = µ og vegna þess að X 1,..., X n eru óháðar fæst líka Var[Y ] = (σ 2 +... + σ 2 )/n 2 þ.e. Var[Y ] = σ 2 /n. Ójafna Chebyshevs gefur nú P( Y E[Y ] > ε) σ2 /n ε 2 0, n. 20

Lögmál mikils fjölda og túlkun líkinda Við vorum að sanna eftirfarandi reglu: Lögmál mikils fjölda: Ef X 1, X 2,... eru óháðar og hafa allar sama endanlega væntigildi µ = E[X i ] og allar sömu endanlegu dreifni σ 2 = Var[X i ], þá gildir fyrir öll ε > 0 að ( ) X 1 +... + X n P µ n > ε 0, n. Þetta skrifum við stundum losaralega svona: X 1 +... + X n n µ þegar n er stórt. Um túlkun líkinda: Hugsum okkur að við framkvæmum tilraun í n óháð skipti og skráum hjá okkur 1 eða 0 eftir því hvort tiltekinn atburður gerist eða gerist ekki. Við fáum þá óháðar slembistærðir X 1,..., X n þ.a. P(X i = 1) = p þar sem p eru líkurnar á að atburðurinn gerist í einni tiltekinni tilraun (segjum þá að sú tilraun heppnist). Nú er µ = p og lögmál mikils fjölda gefur: eftir margar tilraunir er hlutfallsleg tíðni heppnaðra tilrauna p. Þess vegna er eðlilegt að túlka líkindin p sem hlutfallslega tíðni heppnaðra tilrauna þegar tilraun er endurtekin í mörg óháð skipti. 21

Nokkrar mikilvægar slembistærðir STRJÁLAR: Bernoulli-stærð X Ber(p) tvíkostastærð X Bin(n, p) Poisson-stærð X Poi(λ) strjál veldisstærð X Geo(p) SAMFELLDAR: jöfn stærð X Unf([a, b]) veldisstærð X Exp(λ) normleg stærð X N(µ, σ 2 ) Bernoulli-stærð X Ber(p) Skilgreining: Látum 0 < p < 1. Slembistærð X kallast Bernoulli-stærð með stika p ef P(X = 1) = p og P(X = 0) = 1 p. Reglur: Ef X Ber(p) gildir að (1) (2) E[X] = p Var[X] = p(1 p) Sönnun: (1) E[X] = 0 P(X =0) + 1 P(X = 1) = p. (2) E[X 2 ] = 0 2 P(X = 0) + 1 2 P(X = 1) = p og (1) gefa seinna skreð í Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = p p 2. 22

Tvíkostastærð X Bin(n, p) Skilgreining: Látum n 1 og 0<p<1. Slembistærð X kallast tvíkosta stærð (binomial) með stika n, p ef ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0,..., n. k Regla: Ef X 1,..., X n eru óháðar Ber(p), þá er X 1 +... + X n Bin(n, p). Sönnun: Til að summan verði k þarf að fá 1 í k skipti og 0 í hin. Líkurnar á að fá 1 í tiltekin k skipti og 0 í hin eru þær sömu og að fá 1 í fyrstu k skiptin og svo 0 í hin. Þessar líkur eru P(X 1 =1,..., X k =1, X k+1 =0,... X n =0) = p k (1 p) n k. Margföldun með fjölda möguleika gefur ( ) n P(X 1 +... + X n = k) = p k (1 p) n k. k Reglur: Ef X Bin(n, p) gildir að (1) (2) E[X] = np Var[X] = np(1 p) Sönnun: Látum X 1,..., X n vera óháðar Ber(p). Notum regluna hér að ofan, summureglur um væntigildi og dreifni, og að E[X i ] = p og Var[X i ] = p(1 p): E[X 1 +... + X n ] = E[X 1 ] +... + E[X n ] = np. Var[X 1 +...+X n ] = Var[X 1 ]+...+Var[X n ] = np(1 p). 23

Poisson-stærð X Poi(λ) Munið að k=0 λ k k! = eλ sem gefur k=0 λ λk e k! = 1. Skilgreining: Látum 0 < λ <. Slembistærð X kallast Poisson-stærð með stika λ ef P(X = k) = e λ λk, k = 0, 1, 2,... k! Regla: Ef Y Bin(n, p) og X Poi(np) þá gildir að { np 2 P(Y A) P(X A) fyrir öll A R. p Skrifum þetta stundum losaralega svona: Bin(n, p) Poi(np) þegar p er lítið. Þetta þýðir að ef tilraun er endurtekin í n óháð skipti og líkurnar p á að heppnast í einni tiltekinni tilraun eru hverfandi litlar, þá er fjöldi heppnaðra tilrauna Poisson með λ = np. Reglur: Ef X Poi(λ) gildir að (1) (2) E[X] = λ Var[X] = λ Sönnun: (1) E[X] = λk 0 k e λ k! = λ λk 1 1 e λ (k 1)! = λ. (2) E[X(X 1)]= 0 k(k 1)e λλk k! =λ 2 λk 2 2 e λ (k 2)! = λ2 gefur lokaskreð í E[X 2 ] = E[X(X 1)]+E[X] = λ 2 +λ sem gefur Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = (λ 2 +λ) λ 2 = λ. 24

Strjál veldisstærð X Geo(p) Munið a i = 1 1 a ( a <1) og því (1 p) k 1 = 1 p. i=0 k=1 Skilgreining: Látum 0 < p < 1. Slembistærð X kallast strjál veldisstærð með stika p ef P(X = k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2,... Regla: Látum Y 1, Y 2,... vera óháðar Ber(p). Látum X vera fyrsta n þannig að Y n = 1, þ.e. Þá er X Geo(p). X := min{n 1 : Y n = 1}. Sönnun: P(X = k) = P(Y 1 = 0,..., Y k 1 = 0, Y k = 1) = P(Y 1 = 0)... P(Y k 1 = 0)P(Y k = 1) = (1 p) k 1 p. Reglur: Ef X Geo(p) gildir að (1) P(X > n) = (1 p) n, n = 0, 1,... (2) (3) E[X] = 1 p Var[X] = 1 p p 2 Sönnun á (1): Notum regluna hér að ofan: P(X > n) = P(Y 1 = 0,..., Y n = 0) = (1 p) n. 25

Jöfn stærð X Unf[a, b] Skilgreining: Látum < a < b <. Slembistærð X kallast jöfn stærð á bilinu [a, b] ef { 1 f X (x) = b a, a x b, 0, annars. Reglur: Ef X Unf[a, b] gildir að F X (x) = x a (1) b a, a x b (2) (3) Sönnun: (1) E[X] = a + b 2 (b a)2 Var[X] = 12 F X (x) = x a 1 b a og σ X = b a 12 x a dy = b a, a x b. (2) E[X]= b a x b a dx=[ 1 b 2 b a] a = 1 2 x 2 b 2 a 2 b a = 1 (a+b)(b a) 2 b a = a+b 2. (3) E[X 2 ]= b a x 2 b a dx = 1 b 3 a 3 3 b a = 1 (a 2 +ab+b 2 )(b a) 3 b a = a2 +ab+b 2 3 og því Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = a2 +ab+b 2 3 ( a+b 2 )2 = 4(a2 +ab+b 2 ) 3(a 2 +2ab+b 2 ) 12 = a2 2ab+b 2 12 = (b a)2 12. Varðveisluregla: X Unf[a, b] X a b a Unf[0, 1] Sönnun: Tökum u [0, 1] og x [a, b] þ.a. u = x a Þá er P(X x) = x a b a P(X a b a u) = u. b a. 26

Veldisstærð X Exp(λ) Skilgreining: Látum 0 < λ <. Slembistærð X kallast veldisstærð með stika λ ef { λe λx, x 0, f X (x) = 0, x < 0. Reglur: Ef X Exp(λ) gildir að (1) (2) P(X > x) = e λx, x 0 F X (x) = 1 e λx, x 0 (3) E[X] = 1 λ (4) Var[X] = 1 λ 2 Skilgreining: Slembistærð X sem tekur bara jákvæð gildi kallast minnislaus ef P(X > a + b X > a) = P(X > b), a, b 0. Takið eftir að ef tæki er alltaf eins og nýtt meðan það er nothæft, þá er endingartími þess minnislaus. Regla: X er minnislaus til er λ þ.a. X Exp(λ) 27

Normleg stærð X N(µ, σ 2 ) Skilgreining: Látum µ R og 0 < σ 2 <. Slembistærð X kallast normleg stærð með stika µ og σ 2 ef f X (x) = 1 e 1 2σ 2(x µ)2, x R. 2πσ Regla: X N(µ, σ 2 ) E[X] = µ og Var[X] = σ 2 Varðveisluregla: X N(µ, σ 2 ) X µ σ N(0, 1) Z kallast stöðluð normleg stærð ef Z N(0, 1). Þá er E[Z] = 0 og Var[Z] = 1 og Loks er F Z = Φ þar sem f Z (x) = 1 2π e x2 2, x R. Φ(x) := x 1 2π e y2 2 dy, x R. f Z x 28

Notkun á Z N(0, 1) og Φ ( ) x µ Regla: X N(µ, σ 2 ) F X (x) = Φ, x R σ Normleg stærð X er samfelld og því gildir fyrir a R að P(X = a) = 0 og P(X < a) = P(X a). Þess vegna má skipta á < og (og á > og ) alls staðar hér fyrir neðan. Nota má Φ til að reikna líkur fyrir X N(µ, σ 2 ): ( ) b µ P(X < b) = Φ σ og ( ) ( ) b µ a µ P(a < X < b) = Φ Φ. σ σ Vegna samhverfu gildir: P(Z < x) = P(Z > x) og því Φ( x) = 1 Φ(x). P(Z < x) x f Z P(Z > x) x Skilgreining: Fyrir 0 <α <1 látum við z α vera þá tölu sem uppfyllir P(Z > z α ) = α. f Z α z α z 0,05 = 1,645 z 0,025 = 1,960 z 0,01 = 2,326 z 0,005 = 2,576 29

Athugasemd um stöðlun Ef X er slembistærð með endanlegt væntigildi µ og endanlega strangt jákvæða dreifni σ 2, kallast X µ stöðluð stærð. σ Þá gildir [ ] [ ] X µ X µ E = 0 og Var σ σ = 1. Látum X 1, X 2,... vera óháðar slembistærðir sem allar hafa sama endanlega væntigildi µ = E[X i ], i = 1, 2,..., og sömu endanlegu strangt jákvæðu dreifni σ 2 = Var[X i ], i = 1, 2,.... Þá gildir fyrir öll n N að E[X 1 +... + X n ] = nµ og Var[X 1 +... + X n ] = nσ 2 og því gefur stöðlun [ ] X1 +... + X n nµ E σ = 0 n og [ ] X1 +... + X n nµ Var σ = 1. n 30

Höfuðmarkgildisreglan Normleg nálgun Höfuðmarkgildisreglan: Látum X 1, X 2,... vera óháðar slembistærðir sem allar hafa sama dreifall með endanlegt væntigildi µ = E[X i ], i = 1, 2,..., og endanlega strangt jákvæða dreifni σ 2 = Var[X i ], i = 1, 2,.... Þá gildir fyrir öll x R að ( ) X1 +... + X n nµ P σ x Φ(x), n. n Við skrifum þetta oft losaralega svona: X 1 +... + X n nµ σ N(0, 1) þegar n stórt n eða svona: X 1 +... + X n N(nµ, nσ 2 ) þegar n stórt. Dæmi: Byggja á 1000 íbúða hver. Vitað er að bílafjöldi á dæmigerða fjölskyldu í svona hver hefur eftirfarandi dreingu: 20% á engan bíl, 70% á einn bíl, 10% á tvo bíla. Spurning: Hvað þarf stóra bílageymslu til að hún dugi fyrir hverð með u.þ.b. 95% líkum? 31

Normleg nálgun á Bin(n, p) og á Poi(λ) Höfuðmarkgildisreglan segir að ef X 1,..., X n eru óháðar slembistærðir sem allar hafa sama dreifall með endanlegt væntigildi µ og endanlega strangt jákvæða dreifni σ 2 þá gildir að X 1 +... + X n N(nµ, nσ 2 ) þegar n stórt. Vegna þess að Bin(n, p) er summa n óháðra Ber(p) leiðir af þessu að Bin(n, p) N(np, np(1 p)) þegar n er stórt. Hversu stórt n þarf að vera fer eftir því hvað p er. Nálgunin verður þeim mun betri sem p er nær 1 2. Hér er algeng puttaregla: puttaregla: np(1 p) 10 Vegna þess að Poi(λ) Bin(n, λ/n) þegar n er stórt leiðir af þessu að Poi(λ) N(λ, λ) Hér er algeng puttaregla: þegar λ er stórt. puttaregla: λ 10 32

Varðveislureglur Eftirfarandi reglur gilda fyrir óháðar stærðir X og Y. X Bin(n, p) Y Bin(m, p) } X + Y Bin(n + m, p). X Poi(λ) Y Poi(µ) } X + Y Poi(λ + µ). X N(µ 1, σ 2 1) Y N(µ 2, σ 2 2) } X + Y N(µ 1 + µ 2, σ 2 1 + σ 2 2). X Exp(λ 1 ) Y Exp(λ 2 ) } min{x, Y } Exp(λ 1 + λ 2 ). 33

Poisson-ferli (c) Látum T 1, T 2,... vera slembistærðir þ.a. 0 < T 1 < T 2 <... og T n, n. Hugsum okkur að þessi T n séu tímapunktar þegar einhver viðburður gerist. Talningarferli viðburðastreymisins er (N t ) t 0 þar sem N t = #{n 1 : T n t} = fjöldi viðburða á bilinu [0, t] Billengdir viðburðastreymisins eru X 1 = T 1 og X n = T n T n 1, n 2. Skilgreining: Talningarferli (N t ) t 0 kallast Poissonferli með tíðni c = E[N 1 ] ef eftirfarandi gildir N t1, N t2 N t1,..., N tn N tn 1 eru óháðar slembistærðir fyrir öll n 1 og 0 < t 1 < t 2 <... < t n. E[N t ] = ct fyrir öll t 0. Regla: Ef (N t ) t 0 er Poisson-ferli með tíðni c gildir: N t Poi(ct), t 0. Jafngildisregla: (N t ) t 0 er Poisson-ferli með tíðni c X 1, X 2,... eru óháðar og allar Exp(c) N t Poi(ct), t 0, og ef skilyrt er með {N t = n} er eins og þessum n punktum ha verið stráð af handahó á bilið [0, t]. 34

Poisson-ferli samruni og sundrun Látum (L t ) t 0, (M t ) t 0, (N t ) t 0 vera þ.a. L t + M t = N t, t 0. Setjum a = E[L 1 ], b = E[M 1 ], c = E[N 1 ] svo a + b = c. Látum I 1, I 2,... vera Bernoulli-stærðir þ.a. { 0 ef n ti punktur (N t ) t 0 kemur úr (L t ) t 0, I n = 1 ef n ti punktur (N t ) t 0 kemur úr (M t ) t 0. Setjum q = P(I 1 = 0) og p = P(I 1 = 1) svo q + p = 1. Regla: (L t ) t 0 og (M t ) t 0 eru óháð Poisson-ferli með tíðnir a = qc og b = pc (N t ) t 0 er Poisson-ferli með tíðni c = a + b, I 1, I 2,... eru óháðar og allar Ber(p) þar sem p = b c, Runan (I 1, I 2,...) er óháð talningarferlinu (N t ) t 0. Sér í lagi segir þessi regla að Poisson-ferli (c) þynnt með p er Poisson-ferli (pc). Samruni óháðra Poisson-ferla (a) og (b) er Poissonferli (a + b). 35