Εργαστηριακές Ασκήσεις στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Άσκηση 1: Ανάθεση αεροπορικών πτήσεων Μικρή ιδιωτική αεροπορική εταιρία διαθέτει αεροσκάφη τριών τύπων: τα Α, Β και Γ, για να εκτελεί ναυλωμένες πτήσεις σε συγκεκριμένες αεροπορικές διαδρομές με αντίστοιχους κωδικούς αριθμούς 001, 002 και 003. Τα αεροσκάφη τύπου Α δεν πραγματοποιούν τη διαδρομή 003, ενώ τα αεροσκάφη τύπου Γ δεν πραγματοποιούν τη διαδρομή 001. Όσον αφορά στον προγραμματισμό των πτήσεων της επόμενης εβδομάδας, η εταιρία έχει προβλέψει την ελάχιστη ζήτηση (σε αριθμό επιβατών) για καθεμιά από τις τρεις διαδρομές. Τα στοιχεία αυτά, καθώς και το αντίτιμο του εισιτηρίου κάθε διαδρομής, περιέχονται στον Πίνακα 1. Η οικονομική υπηρεσία της εταιρίας έχει υπολογίσει αναλυτικά το κόστος μεταφοράς ενός επιβάτη για κάθε διαδρομή και για τα αεροσκάφη που μπορούν να τις καλύψουν. Τα μοναδιαία αυτά κόστη, εκφρασμένα σε ευρώ, δίνονται στον Πίνακα 2. Πίνακας 1: Ζήτηση θέσεων και τιμές εισιτηρίων Διαδρομή Ελάχιστος αριθμός Τιμή εισιτηρίου ( ) επιβατών 001 320 150 002 170 150 003 190 80 Πίνακας 2: Κόστη μεταφοράς Διαδρομή Μοναδιαίο κόστος μεταφοράς ( ) Α Β Γ 001 120 130-002 120 130 150 003-110 140
Άσκηση 1: Ανάθεση αεροπορικών πτήσεων Το κάθε αεροσκάφος μπορεί να εκτελέσει το πολύ 3 πτήσεις (σε 3 διαδρομές) την εβδομάδα και έχει διαφορετική χωρητικότητα ανάλογα με τη διαδρομή στην οποία θα χρησιμοποιηθεί, λόγω των ισχύοντων διεθνών κανόνων ασφαλείας. Τα τεχνικά αυτά δεδομένα καθώς και ο διαθέσιμος αριθμός αεροσκαφών κάθε τύπου, φαίνονται στον Πίνακα 3. Πίνακας 3: Χωρητικότητα αεροσκαφών Διαδρομή Χωρητικότητα αεροσκάφους (αριθμός επιβατών) Α Β Γ 001 20 15-002 18 13 10 003-14 8 Διαθέσιμα αεροσκάφη 15 14 18 Η εταιρία επιδιώκει να καθορίσει εκείνη την ανάθεση των πτήσεων αεροσκαφών που μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος της. Καλείστε να μοντελοποιήσετε το πρόβλημα με Γραμμικό Προγραμματισμό και να το επιλύσετε, χρησιμοποιώντας κατάλληλο εργαλείο.
Άσκηση 2: Καθορισμός παραγωγής σοκολάτας Μια εταιρία γαλακτοκομικών προϊόντων, παράγει 3 ειδών σοκολάτες (Α, Β και Γ) έχοντας ως βασικές πρώτες ύλες το γάλα και την κακαόμαζα κι επιθυμεί να αριστοποιήσει την παραγωγική της διαδικασία. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η σύνθεση των 3 προϊόντων, το μοναδιαίο κόστος πρώτων υλών και η διαθέσιμη ποσότητα τους, η τιμή πώλησης κάθε προϊόντος, οι απαιτήσεις επεξεργασίας των αντίστοιχων πρώτων υλών στα δύο διαδοχικά στάδια επεξεργασίας και η αντίστοιχη δυναμικότητα τους. Το κόστος της ανθρωποώρας είναι 6. Περιεκτικότητα Α Β Γ Τιμή αγοράς Διαθέσιμοι πόροι Γάλα 65% 70% 80% 0.6 /kg 6,000 tn/year Κακαόμαζα 35% 30% 20% 6.5 /kg 2,600 tn/year Ανθρωποώρες 1 ου σταδίου mh/tn 4 5 7 35,000 mh/year Ανθρωποώρες 2 ου σταδίου mh/tn 1 1.5 2 12,000 mh/year Τιμή πώλησης ( /kg) 5 4 3 Για τη διαμόρφωση του προγράμματος παραγωγής λαμβάνεται υπόψη ότι η παραγωγή της σοκολάτας Γ πρέπει να μην ξεπερνάει το άθροισμα των άλλων δύο, ενώ η παραγωγή της Α πρέπει να είναι τουλάχιστον 1,000 τόνοι ετησίως. Η εταιρίας επιδιώκει να καθορίσει την παραγωγή εκείνη που μεγιστοποιεί τα κέρδη της. 1. Καλείστε να μοντελοποιήσετε το πρόβλημα με Γραμμικό Προγραμματισμό και να το επιλύσετε, χρησιμοποιώντας κατάλληλο εργαλείο. 2. Προσθέστε και την ακόλουθη συνθήκη και επιλύστε ξανά το πρόβλημα: Αν παραχθεί σοκολάτα Β τότε η ποσότητά της πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 500 tn/έτος και μικρότερη από 1,500 tn/έτος.
Άσκηση 3: Σχεδιασμός φόρτωσης ενός πλοίου Ένα φορτηγό πλοίο, του οποίου αναζητείται ο βέλτιστος τρόπος φόρτωσης για ένα συγκεκριμένο δρομολόγιο, διαθέτει 3 αμπάρια (πλώρη, μέσο, πρύμνη) με χωρητικότητα σε βάρος και όγκο που δίνονται στον Πίνακα 1. Αμπάρια Μέγιστο βάρος Μέγιστος όγκος (τόνοι) (κυβικά πόδια) Πλώρη 2,000 100,000 Μέσο 3,000 160,000 Πρύμνη 1,700 60,000 Πίνακας 1: Χωρητικότητα πλοίου Για λόγους ασφάλειας και ευστάθειας του πλοίου, η φόρτωση οφείλει να ικανοποιεί τους παρακάτω περιορισμούς: Το συνολικό μεταφερόμενο βάρος της πλώρης πρέπει να υπερβαίνει το αντίστοιχο της πρύμνης κατά 30% ακριβώς. Το συνολικό βάρος του φορτίου του μέσου πρέπει να είναι τουλάχιστον 30% μεγαλύτερο από αυτό της πρύμνης, τουλάχιστον 30% μεγαλύτερο από αυτό της πλώρης, αλλά το πολύ ίσο με το 90% του συνολικού μεταφερόμενου φορτίου. Τα χαρακτηριστικά των δύο υπό φόρτωση προϊόντων (Α και Β) παρουσιάζονται στον Πίνακα 2. Πίνακας 2: Βάρος και όγκος φορτίου Προϊόν Ποσότητα υπό φόρτωση (τόνοι) Όγκος 1 τόνου (κυβικά πόδια) Κέρδος / τόνο ( ) Α 5,000 60 8 Β 3,000 50 7 Η αρμόδια ναυτιλιακή εταιρία αναζητεί ένα βέλτιστο τρόπο φόρτωσης του πλοίου, ώστε να μεγιστοποιούνται τα συνολικά κέρδη της από τις μεταφορές των δύο προϊόντων. Καλείστε να μοντελοποιήσετε το πρόβλημα με Γραμμικό Προγραμματισμό και να το επιλύσετε, χρησιμοποιώντας κατάλληλο εργαλείο. Να σημειωθεί ότι η εταιρία δεν είναι υποχρεωμένη να φορτώσει στο πλοίο όλες τις διαθέσιμες ποσότητες των δύο προϊόντων.