ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το Α λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Γράφω: =f() (ί ίσον µε εφ του ί) Το f() είναι η τιµή της f στο. Το είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή της f. Το (=f()) η εξαρτηµένη µεταβλητή της f. Το σύνολο που περιέχει τις τιµές της f σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιµών της f και συµβολίζεται συνήθως µε f(a). Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f()=+, 0 f:ir IR: f()=, > 0 Γενικά: f:a B:f()=.. Η εύρεση πεδίου ορισµού (A) µίας συνάρτησης f στηρίζεται στους παρακάτω κανόνες: α. Αν η συνάρτηση είναι ακέραιο πολυώνυµο του το πεδίο ορισµού της είναι Α=IR. β. Αν η συνάρτηση είναι ρητή (κλάσµα) το πεδίο ορισµού της είναι Α=IR- {,, } όπου,, το σηµείο που µηδενίζεται ο παρανοµαστής. γ. Αν η συνάρτηση είναι άρρητη (έχει ρίζα στον τύπο της) το πεδίο ορισµού αποτελείται από τις τιµές εκείνες του που το υπόριζο είναι µη αρνητικό. ηλαδή αν f()= P() τότε Α={ IR/P() 0}. π.χ. f()= + + Πρέπει {- 0 και + 0} και - Άρα Α={ IR/ - και }.3. Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης γίνεται σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Σε ένα τέτοιο σύστηµα: ύο σηµεία Μ(α,β) και Μ (α β ) είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα αν έχουν ίδια τετµηµένη και αντίθετες τεταγµένες δηλαδή α =α και β =β. Τα ανωτέρω σηµεία είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα αν έχουν ίδια τεταγµένη και αντίθετες τετµηµένες δηλαδή α =α και β =β. Συµµετρικά ως προς την αρχή αν έχουν αντίθετες τις συντεταγµένες τους δηλαδή α =α και β =-β. Συµµετρικά ως προς την πρώτη και τρίτη διχοτόµο των γωνιών των αξόνων αν η τετµηµένη του ενός είναι ίση µε την τεταγµένη του άλλου δηλαδή: α =β και β =α. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 0 - ΚΕΦΑΛΑΙ.. Απόσταση σηµείων ύο σηµεία Α(, ) και Β(, ) ενός συστήµατος έχουν απόσταση µεταξύ τους που υπολογίζεται από τον τύπο: (ΑΒ)= του βιβλίου).5. ρισµοί - Μονοτονία συνάρτησης f/ : Αν, τότε: α. Η f είναι γνησίως αύξουσα αν < τότε f( )<f( ). β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα αν < τότε f( )>f( ). ( ) + ( ) (Απ. σελ.7 Σηµείωση: Μία συνάρτηση που είναι γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα λέγεται γνησίως µονότονη. - Ακρότατα συνάρτησης f/ : Η f έχει ελάχιστο στο 0 όταν: f() f( 0 ) για κάθε Α. Η τιµή f( 0 ) λέγεται ελάχιστο της f. Η f έχει µέγιστο στο 0 όταν: f() f( 0 ) για κάθε Α. Η τιµή f( 0 ) λέγεται µέγιστο της f. Σηµείωση: Το µέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ακρότατα της f στο 0..6. Άρτια συνάρτηση - Μία συνάρτηση f/a λέγεται άρτια αν για κάθε Α ισχύει: - A και f(-)=f() Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας τον. π.χ. - Περιττή συνάρτηση Μία συνάρτηση f/a λέγεται περιττή αν για κάθε Α ισχύει: - A και f(-)=-f() Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων (0,0). π.χ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - - ΚΕΦΑΛΑΙ - Μεθοδολογία ασκήσεων που βασίζονται πάνω στους ορισµούς.5 και.6 α. Για να µελετήσω ως προς την µονοτονία µία συνάρτηση f/a, εκλέγω, Α µε < και βρίσκω το πρόσηµο της διαφοράς f( )-f( ). Έτσι: Αν f( )-f( )<0 η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν f( )-f( )>0 η f είναι γνησίως φθίνουσα. Παράδειγµα: Για την f:f()= Έστω, 0 µε < τότε f( )-f( )= - = =- Επειδή - <0 τότε: Ι. Αν <0 >0 οπότε f( )-f( )>0. Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (-,0). ΙΙ. Αν <0 >0 οπότε f( )-f( )>0. Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ). Άρα f γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (-,0) και (0,+ ). β. Για να µελετήσω ως προς τα ακρότατα µία συνάρτηση f/a, ενισχύω από δεξιά ή αριστερά τον τύπο της µε τη βοήθεια ανισότητας και τελικά καταλήγω σε ανισότητα της µορφής: f() f( 0 ) ή f() f( 0 ). Τότε στο 0 έχω ελάχιστο ή µέγιστο αντίστοιχα για την f. Παράδειγµα: α. f()= +3 0+3=3=f(0) δηλαδή f() f(0) Άρα η f έχει ελάχιστο στο 0 το f(0)=3. β. - +3=f() f()=- +5 0+5=5=f(0) Άρα f() f(0) η f έχει µέγιστο στο 0 το f(0)= Σηµείωση: Η µελέτη ως προς τα ακρότατα µιας συνάρτησης µπορεί να γίνει και εµπειρικά έχοντας υπόψη την γραφική παράσταση της f. γ. Για να εξετάσω αν µία συνάρτηση f/a, είναι άρτια ή περιττή εξετάζω δύο πράγµατα: i. Αν για κάθε A είναι και - A ( ηλαδή αν το Α είναι σύνολο συµµετρικό ως προς το ). ii. Σχηµατίζω το f(-) και κατόπιν µε πράξεις καταλήγω να έχω: f()=-f() (οπότε η f είναι άρτια) ή f(-)=-f() (οπότε η f είναι περιττή) Παράδειγµα: α. f()= -3 Είναι A=IR οπότε αν IR και - IR. Επίσης: f(-)=(-) -3 - = -3 =f() f(-)=f() Άρα η f είναι άρτια. β. f()= + Είναι A=IR-{0} Άρα: Αν IR-{0} τότε και - IR-{0} f(-)= (-) = - + - + - = + - = f() ηλαδή f(-)=-f(). Άρα η f είναι περιττή. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - - ΚΕΦΑΛΑΙ Σηµείωση: Η µελέτη της άρτιας ή περιττής συνάρτηση γίνεται και εµπειρικά από την γραφική παράστασή της όπως αναφέρουν και οι παρατηρήσεις στους ορισµούς..7. Ειδικές συναρτήσεις α. Η συνάρτηση f()=α+β (Ευθεία) Γραφική παράσταση της =α+β ω α>0 α<0 ω α=0 =β α=εφω λέγεται συντελεστής διευθύνσεως της =α+β. β. Η συνάρτηση =α (Ευθεία) Γραφική παράσταση της =α α>0 α<0 - Ευθείες παράλληλες - κάθετες ι ευθείες ε : =α +β και ε : =α +β είναι: I. Παράλληλες αν α =α Απόδειξη: ε //ε ω =ω εφω =εφω α =α ω =α +β ω =α +β ΙI. Κάθετες αν α.α =- =α Α(,α ) Απόδειξη: Θεωρώ τις κάθετες ευθείες =α και =α. Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο άρα έχω: (Α) +(Β) =(ΑΒ) α + +α + =(α -α ) +(- ) α ++α +=α +α -α α =-α α α α =- Β(,α ) =α Σαν παράδειγµα να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()=, +, f()=+ -f - +3 και f()=, <., ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 3 - ΚΕΦΑΛΑΙ γ. Η συνάρτηση f()=α, α 0 (Παραβολή) Γραφική παράσταση α>0 Για την =α (α 0) παρατηρώ ότι: Ι. Είναι άρτια (έχει άξονα συµµετρίας τον ). ΙΙ. Αν α>0 η f είναι στο (-,0] και [0,+ ) ενώ για =0 έχει ελάχιστο το f(0)=0. IΙΙ. Αν α<0 η f είναι στο (-,0] και [0,+ ) ενώ για =0 έχει µέγιστο το f(0)=0. IV. Καθώς η α µεγαλώνει η παραβολή πλησιάζει τον άξονα (βλέπε σχήµα (α)). V. Για αντίθετες τιµές του α έχω δύο παραβολές συµµετρικές ως προς τον άξονα, (βλέπε σχήµα (β)). = = = α<0 = α= Σχήµα (α) Σχήµα (β) =- α=- δ. Η συνάρτηση f()= α, α 0 (Ισοσκελής υπερβολή) Γραφική παράσταση α>0 α = α<0 α = Για την = α (α 0) παρατηρώ ότι: Ι. Είναι περιττή (έχει το σαν κέντρο συµµετρίας). ΙΙ. Αν α>0 η f είναι σε κάθε ένα από τα διαστήµατα (-,0) και (0,+ ). IΙΙ. Αν α<0 η f είναι σε κάθε ένα από τα διαστήµατα (-,0) και (0,+ ). IV. Η f= α δεν έχει ακρότατα. V. Έχει ασύµπτωτες τους τέσσερις ηµιάξονες. VI. H f()= α έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες = και =-, (βλέπε σχήµατα). α>0 =- = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667 α<0 =- =
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - - ΚΕΦΑΛΑΙ.8. Μελέτη συνάρτησης Η διαδικασία της µελέτης µιας συνάρτησης είναι η εξής:. Βρίσκω το πεδίο ορισµού της.. Αναζητώ συµµετρίες (άρτια - περιττή ή όχι). 3. Εξετάζω τη µονοτονία της.. Αναζητώ ακρότατα (αν υπάρχουν) 5. Εξετάζω τη συµπεριφορά της f για απόλυτα µεγάλες τιµές του. 6. Κάνω πίνακα τιµών και σχεδιάζω την γραφική παράστασή της. Παράδειγµα: Να µελετηθεί η συνάρτηση f()=., (άσκηση 8 σελίδα 95). - Το πεδίο ορισµού της f είναι το Α=IR. - Η f είναι περιττή γιατί: (έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0)). α. Για κάθε IR - IR. β. f(-)=-. - =-. =-f() f(-)=-f() - Με απαλοιφή της απόλυτης τιµής η f γίνεται: f()=, αν < 0, αν 0 Άρα ως προς τη µονοτονία (µε βάσει όσα ξέρω για την f()=α ) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-,0) όπως επίσης και στο [0,+ ). - εν υπάρχουν ακρότατα. - µεγαλώνει προς το +. 00 000 0 6 0 0 0 00 f() 0000 000000 0 0 0 0 00 Άρα η f()= τείνει προς το +. τείνει προς το -. -00-000 -0 6-0 0-0 00 f() -0000 - -0-0 0-0 00 000000 Άρα η f()=- τείνει προς το -. Πίνακας τιµών - - 0 f() - - 0 Γραφική παράσταση 3 = - - - - - -3 - - ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 5 - ΚΕΦΑΛΑΙ. ίνεται η συνάρτηση f()= Ασκήσεις ου Κεφαλαίου -, αν 0. Υπολογίστε το f(-)-f(-) και, αν < 0 f(α )+f(β )-f(-3).. Βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων. α) f()= β) f()= - 3 γ) f()= - + + δ) f()= + + ε) f()= ζ) f()= + 3 η) f()= + θ) f()= 3 + 3,, αν < 0 αν 0 3. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: + α) f()= 3 3 β) f()= 5 + γ) f()= + ε) f()= + 3 ζ) f()= + + + η) f()= ι) f()= 3 -, [0,6] +, [6,7] + θ) f()= δ) f()= +, [-3,3] - 3, [-3,3] 3+ +. Βρείτε τις αποστάσεις των σηµείων: α. Α(,-) και Β(-,-) β. (0,0) και Μ(-,) γ. Α(,) και Β(,) 5. Υπολογίστε τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ όπου Α(-,), Β(,-3) και Γ(0.). 6. Να βρεθεί ο ώστε η απόσταση των σηµείων Α(,) και Β(,-) να είναι 5. 7. Να βρεθεί το ώστε η απόσταση των σηµείων Α(+, ) και Β(, -) να είναι 0. 8. Να βρεθεί σηµείο Α του άξονα χ χ ώστε µαζί µε τα σηµεία Β0,6) και Γ(8,-), να αποτελούν κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 9. Να βρεθεί το α ώστε το ζεύγος (,) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης: α. f()=α µε (,)=(,) β. f()= +κ µε (,)=(3,0) γ. f()=κ + µε (,)=(,8) 0. Σε ποια σηµεία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέµνουν τους άξονες και. α. f()=+ β. =5- γ. =(-)(-) δ. = 3-9. Να βρεθεί ο λ IR ώστε οι ευθείες: = και =(λ+3)-5 να είναι παράλληλες.. Να βρεθεί ο λ IR ώστε οι ευθείες: =λ+ και =-5 να είναι κάθετες και επίσης και οι ευθείες =(λ-)- και = λ +5. 3. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(-,-), Β(,8) και Γ(3,) είναι συνευθειακά. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 6 - ΚΕΦΑΛΑΙ. Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ευθεία ψ=3-5 µε τους άξονες χ χ και ψ ψ. 5. Η ευθεία ψ=-+κ διέρχεται από το σηµείο Α(,3) και τέµνει τους άξονες χ και ψ στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρεθεί η απόσταση (ΑΒ). 6. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ψ=+β η οποία τέµνει τους άξονες χ χ και ψ ψ στα σηµεία Α και Β ώστε (ΑΒ)= 5. 3 +α, 3 7. ίνεται η συνάρτηση f() =. 3 - +β, >3 i) Να βρείτε τις τιµές των α και β, αν είναι γνωστό ότι τα σηµεία Α(-,-3) και Β(7,-3) ανήκουν στην γραφική παράσταση της f. ii) Nα υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από την γραφική παράσταση της f και τον άξονα χ χ. 8. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f()=+ β) f()=-+5 γ) f()= + δ) f()= - + + ε) f()=- - - + ζ) f()= η) f()= +, < 0 θ) f()=, 3, > 3 ι) f()= κ) f()= ν) f()= -, 0 ξ) f()=, > 0 λ) f()= 3 9 µ) f()=, 0 + 3, > 0 9. Να εξετάσετε ως προς τη συµµετρία τις συναρτήσεις: α) f()= + β) f()= 7 γ) f()=α +β +γ δ) f()= 3 ε) f()= ι) f()= ζ) f()= κ) f()= 3 η) f()=3 + θ) f()= - λ) f()= µ) f()= - + + 0. Εξετάστε ως προς τη µονοτονία τις συναρτήσεις: α) f()=α+β β) f()=-3+ γ) f()= δ) f()= - ε) f()= ζ) f()= + η) f()= + + - θ) f()= 9 - ι) f()= -6 κ) f()= + 3. Μελετήστε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις: α) f()=α β) f()= -5 γ) f()=- δ) f()= + ε) f()= + + ζ) f()=-(-) + η) f()= θ) f()=-(-) + ι) f()= κ) f()= -6 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 7 - ΚΕΦΑΛΑΙ. Μελετήστε και παραστήστε γραφικά τις συναρτήσεις: α) f()= 3 β) f()=- γ) f()= ε) f()= 3 ζ) f()=,, > η) f()=,, 0 = 0 δ) f()=- 3. Εξετάστε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: α) f()=( -) β) g()= ( + ) γ) h()=3-5 δ) φ()= 3 ε) f()= 3 -. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f: f()= γραφικά., -, < 0 > 0 είναι περιττή και να παρασταθεί 5. Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: α) f()= (+ ) β) f()= + γ) f()= ( ) + δ) f()=- +3 ε) f()= + - - ζ) f()= - + + η) f()= - θ) f()=3+ + - Ερωτήσεις αντικειµενικού τύπου Α. Ερωτήσεις τύπου: «ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ». Αν Α(χ,ψ) ένα σηµείο του επιπέδου, τότε το χ είναι η τετµηµένη και το ψ η τεταγµένη του.. Το σηµείο Α(,-3) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ)=χ -3χ-3. 3. ύο σηµεία συµµετρικά ως προς την αρχή των αξόνων έχουν αντίθετες τετµηµένες.. Τα σηµεία Α(-,) και Β(-,-) είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα χ χ. 5. Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης f τέµνει τον άξονα χ χ το πολύ σε ένα σηµείο. 6. ι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων τέµνονται το πολύ σε ένα σηµείο. 7. τύπος d= α + β παριστάνει την απόσταση του σηµείου Α(α,β) από την αρχή των αξόνων. 8. Η απεικόνιση ψ=f(χ) είναι συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β όταν για κάθε ψ του Β αντιστοιχεί ένα και µόνον χ του Α. 9. Το ψ λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή γιατί οι τιµές του εξαρτώνται από τις τιµές του χ. 0. τύπος ψ=χ + παριστάνει συνάρτηση.. τύπος ψ =χ +5 παριστάνει συνάρτηση.. Το πεδίο ορισµού µίας ρητής συνάρτησης είναι όλο το R. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 8 - ΚΕΦΑΛΑΙ 3. Το πεδίο ορισµού µίας άρρητης συνάρτησης είναι όλο το R.. Το πεδίο ορισµού µίας πολυωνυµικής συνάρτησης είναι όλο το R. 5. Κάθε ευθεία του επιπέδου είναι γραφική παράσταση συνάρτησης µε γενικό τύπο ψ=αχ+β. 6. συντελεστής διεύθυνσης µίας ευθείας ισούται µε την γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον χ κατά την θετική φορά διαγραφής. 7. Υπάρχουν ευθείες στο επίπεδο που δεν έχουν συντελεστή διεύθυνσης. 8. Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(-,) και Β(-,00) δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. 9. Η εξίσωση ψ=(λ-3)χ+5 παριστάνει άπειρες ευθείες που όλες διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο. 0. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, σε διαφορετικά χ αντιστοιχούν ίδια ψ.. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, σε αντίθετα χ αντιστοιχούν ίδια ψ.. Σε µία περιττή συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R ισχύει πάντοτε f(0)=0. 3. Mία συνάρτηση που είναι άρτια, δεν µπορεί να είναι γνησίως µονότονη.. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε f(006)>f(007). 5. Aν χ <χ και f(χ )-f(χ )<0, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. f( ) 6. Αν χ <χ και για την συνάρτηση f(χ) ισχύουν: f(χ)>0 και <, τότε η συνάρτηση f είναι f( ) γνησίως φθίνουσα. 7. ι ευθείες ψ=αχ+κ και ψ= χ+λ, µε α 0 είναι κάθετες. α 8. Oι ευθείες ψ=(α+)χ+κ και ψ=(α-)χ+λ είναι κάθετες για α=0 και α=-/. 9. ι ευθείες χ= και ψ=- είναι κάθετες. 30. Τα σηµεία Α(-3,) και Β(9,) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ)=. B. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 3. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() = είναι: Α: { R / }, Β:{ R / < < }, Γ:{ R / ή }, : R {,}, Ε:{ R / < ή > }. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ 3. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() = είναι: / / και 0 Α: { R }, Β: { R }, Γ: { 0,, } : { R / ή }, Ε: κανένα από τα προηγούµενα.. R,, < 33. Αν f() =, =, τότε το f() ισούται µε: 3, > Α: 0, Β: 5, Γ:, :-, Ε: Άλλο. και η παράσταση f(0)+f()+f(5) ισούται µε: Α: 50, Β: 9, Γ: 8, :5, Ε: Άλλο. 3. Το σηµείο Α(-,5) είναι συµµετρικό του σηµείου Α (,-5): Α: ως προς το άξονα χ χ, Β: ως προς τον άξονα ψ ψ, Γ: ως προς την ευθεία ψ=, : ως προς την αρχή των αξόνων. 35. Η απόσταση των σηµείων Α(,5) και Β(-,) είναι ίση µε: Α: 5, Β:, Γ:, : 0, Ε:,5. 36. Η απόσταση των σηµείων Α(α+β,0) και Β(0,-α+β) είναι ίση µε: Α: α+β, Β: (α-β), Γ: + β, : α β, Ε: α +β. ( a ) 37. Μία ευθεία παράλληλη προς την ε: ψ= +5 έχει εξίσωση της µορφής: 3 Α: ψ=-+κ, Β: ψ=-3+κ, Γ: ψ= - 3 +κ, : ψ= +κ, Ε: Άλλη. 3 38. Η ευθεία που είναι κάθετη στην ψ= -3+ στο σηµείο της µε τετµηµένη, έχει εξίσωση: Α: ψ=3+ 3, B: 3 ψ= +, Γ: ψ= +, : ψ= +. 3 3 3 3 39. Αν µια ευθεία δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης και µία άλλη έχει συντελεστή διεύθυνσης 0, τότε οι δυο ευθείες είναι: Α: παράλληλες, Β: κάθετες, Γ: ταυτίζονται, : τέµνονται. 0. συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας +ψ-5=0 είναι: Α: -, Β:, Γ: -, :, Ε: άλλος.. Σε µία περιττή συνάρτηση ισχύει f(-)=6, τότε f()= A: 6, Β: 0, Γ:-6, : δεν ορίζεται, Ε: άλλο.. Σε µια άρτια συνάρτηση ισχύει f()= -. Τότε f(-)= A:, Β: 0, Γ: -, :, Ε: άλλο. 3. Αν το σηµείο Α(,3) ανήκει σε µία περιττή συνάρτηση τότε θα ανήκει και το: Α: (-,3), Β: (,-3), Γ: (,-3), : (0,3), Ε: (3,0).. Η συνάρτηση f()= +(α-) 3 +α +β είναι άρτια όταν: Α: α=β=0, Β: α= και β=0, Γ: α= και β=0, : α=β=. 5. Η συνάρτηση f:[-3, ] R µε f()= +: Α: είναι άρτια γιατί f(-)=f(), B: είναι γν. αύξουσα, Γ: είναι γν. φθίνουσα., : έχει ελάχιστο το, Ε: έχει µέγιστο το. 6. Μία γνησίως µονότονη συνάρτηση τέµνει τον άξονα χ χ σε: Α: ένα σηµείο, Β: κανένα σηµείο, Γ: το πολύ σε ένα σηµείο, : τουλάχιστον σε ένα σηµείο. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 30 - ΚΕΦΑΛΑΙ 7. Αν η συνάρτηση f:[0,] R είναι γν. φθίνουσα τότε: Α: f(0)>f(), Β: f(0)<f(), Γ: f(0) f(), :f(0) f(). 8. Για να βρούµε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα χ χ λύνουµε την εξίσωση: Α: f()=, Β: f()=0, Γ: f()=f(-), : f()=-f(-). 9. Για να βρούµε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των f και g που είναι σχεδιασµένες στο ίδιο σύστηµα αξόνων, λύνω την εξίσωση: Α: f()=0, Β: g()=0, Γ: f()=g(), : f()+g()=0. 50. H συνάρτηση f: [-, 3] R µε f()=- έχει: Α: µέγιστο και ελάχιστο, Β: µέγιστο -3 και ελάχιστο 5, Γ: δεν έχει µέγιστο ούτε ελάχιστο, : έχει µέγιστο και ελάχιστο αλλά διαφορετικά από αυτά των Α και Β απαντήσεων. *************** ********** **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: 0503-697330667