ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες
Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής μεταβλητής, εκφράζεται ως συνάρτηση των προηγούμενων τιμών της. Η ανάπτυξη τέτοιων υποδειγμάτων υπήρξε ραγδαία τα τελευταία χρόνια.
Η χρησιμοποίηση της προσέγγισης των τεχνικών αναλύσεων των χρονικών σειρών έδωσε νέα διάσταση στο πρόβλημα της κίβδηλης (νόθου) παλινδρόμησης (spurious regression). Η συνέπεια των εξελίξεων αυτών, ήταν να υπάρξει μια σύνθεση (πάντρεμα) της οικονομετρικής θεωρίας με την τεχνική ανάλυση των χρονικών αυτών σειρών. Στη συνέχεια δίνουμε ορισμένες βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται για την κατανόηση των θεμάτων που αναπτύσσονται.
Στοχαστική διαδικασία Μια χρονική σειρά είναι ένα δείγμα με ισαπέχοντα χρονικά σημεία (έτη, τρίμηνα, μήνες, κ.λ.π), ήισαπέχοντα χρονικά διαστήματα. Αν οι παρατηρήσεις είναι συγκεκριμένες τιμές των τυχαίων μεταβλητών Χ 1, Χ 2,.Χ η και οι τυχαίες αυτές μεταβλητές είναι υποσύνολο μιας άπειρης σειράς τυχαίων μεταβλητών (ακολουθία τυχαίων μεταβλητών), τότε λέμε ότι η άπειρη αυτή ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται στοχαστική (stochastic process) και παριστάνεται ως Χ t.
Στασιμότητα Τα χαρακτηριστικά μιας κατανομής πιθανότητας περιορίζονται στο μέσο και στη διακύμανση. Σε μια συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας εκτός από το μέσο και τη διακύμανση έχουμε και τη συνδιακύμανση. Επομένως από ένα μόνο δείγμα (παρατηρήσεων) δεν μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραπάνω παραμέτρους. Το πρόβλημα που δημιουργείτε μπορεί να απλοποιηθεί με την υπόθεση της στασιμότητας (stationarity).
Επομένως μια στοχαστική διαδικασία είναι στάσιμη όταν οι ιδιότητές της δεν επηρεάζονται από μία αλλαγή μέτρησης της χρονικής περιόδου, δηλαδή η συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας με αρχή τη χρονική περίοδο t είναι ακριβώς ίδια με τη συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας με αρχή τη χρονική περίοδο t+ k. Όπου k είναι μια τυχαία χρονική περίοδος κατά μήκος του άξονα του χρόνου. Άρα σύμφωνα με τα παραπάνω λέμε ότι σε μια συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας ο μέσος και η διακύμανση δε μεταβάλλονται, ενώ η συνδυακύμανση είναι συνάρτηση μόνο χρονικών υστερήσεων ή προηγήσεων Mills (1991).
Λευκός θόρυβος Όταν σε μία τυχαία διαδικασία {ε t } ισχύουν οι παρακάτω τρεις υποθέσεις: Ε (ε t ) = 0 V (ε t ) = σ 2 Cov (ε t, ε t+k ) = 0 για όλα τα t και για κάθε k 0 τότε λέμε η διαδικασία αυτή είναι διαδικασία λευκού θορύβου (white noise process).
Τυχαίος περίπατος Έστω μία απλή στοχαστική διαδικασία που ορίζεται από μία αυτοπαλίνδρομη διαδικασία πρώτης τάξης ως εξής: X t = βχ t-1 + ε t όπου η ε t ακολουθεί τη διαδικασία λευκού θορύβου (βλέπε λευκό θόρυβο). Αν β = 1 το παραπάνω υπόδειγμα γίνεται: X t = Χ t-1 + ε t
Το παραπάνω υπόδειγμα είναι γνωστό ως τυχαίος περίπατος (random walk) Όταν στο παραπάνω υπόδειγμα υπάρχει σταθερό όρος δηλαδή είναι της μορφής X t = α + Χ t-1 + ε t Τότε λέμε ότι το υπόδειγμα είναι τυχαίος περίπατος με περιπλάνηση (random walk with drift) Μια στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί τον τυχαίο περίπατο δεν είναι στάσιμη (βλέπε Hamilton 1994)
Χρονική τάση Χρονική τάση λέμε τη μακροχρόνια μεταβολή (αύξηση ή μείωση) που παρατηρείται σε μια μεταβλητή κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου, δηλαδή την τάση που έχει μία μη στάσιμη χρονική σειρά. Έστω το υπόδειγμα X t = α + βt+ γχ t-1 + ε t όπου ε t είναι λευκός θόρυβος και t οχρόνοςωςμία ανεξάρτητη μεταβλητή.
1. Αν β = 0 και γ = 1 τότε το υπόδειγμα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + Χ t-1 + ε t ήδχ t = α + ε t Στην τελευταία αυτή συνάρτηση η μεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα με το πρόσημο του α. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε στοχαστική τάση και η συνάρτηση ονομάζεται στάσιμη διαδικασία των διαφορών, διότι η μη στασιμότητα στη X t μπορεί να απαλειφθεί όταν πάρουμε τις πρώτες διαφορές αυτής της χρονικής σειράς (βλέπε Nelson and Plosser 1982)
2. Αν β 0 και γ = 0 τότε το υπόδειγμα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + βt+ ε t Στην περίπτωση αυτή η μεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα με το πρόσημο του β οπότε λέμε ότι έχουμε προσδιοριστική τάση και η συνάρτηση ονομάζεται στάσιμη διαδικασία τάσεως, διότι η μη στασιμότητα στη X t μπορεί να απαλειφθεί αν αφαιρέσουμε την τάση (α + βt) από τη χρονική αυτή σειρά.
3. Αν β 0 και γ = 1 τότε το υπόδειγμα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + βt+ γχ t-1 + ε t Στην περίπτωση αυτή η μεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα με το συνδυασμένο αποτέλεσμα και των δύο προσήμων (ακαιβ) οπότε λέμε ότι έχουμε στοχαστική και προσδιοριστική τάση. Για την περίπτωση αυτή δηλαδή της στοχαστικής και προσδιοριστικής τάσης χρησιμοποιούμε διάφορους ελέγχους όπως είναι και ο έλεγχος των Dickey and Fuller (1979).
Ολοκληρωμένη χρονική σειρά Οι περισσότερες οικονομικές χρονικές σειρές είναι μη στάσιμες διαδικασίες. Μπορούν όμως να μετατραπούν σε στάσιμες παίρνοντας τις πρώτες ή ακόμη και τις δεύτερες διαφορές τους. Όταν επομένως μετατρέπουμε σε στάσιμη διαδικασία μία χρονική σειρά παίρνοντας τις πρώτες διαφορές τότε λέμε ότι η χρονική αυτή σειρά είναι ολοκληρωμένη πρώτης τάξης (integrated first order) και συμβολίζεται ως Ι(1).
Αν μετατρέπουμε σε στάσιμη διαδικασία μία χρονική σειρά παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές τότε λέμε ότι η χρονική αυτή σειρά είναι ολοκληρωμένη δεύτερης τάξης και συμβολίζεται ως Ι(2) κ.ο.κ. Στην έρευνα που κάνουμε για τις χρονικές σειρές μας ενδιαφέρει οι χρονικές σειρές να είναι στάσιμες διότι με αυτόν τον τρόπο αποφεύγεται το πρόβλημα της κίβδηλης παλινδρόμησης που αναφέρεται αμέσως μετά.
Κίβδηλες παλινδρομήσεις Μια από τις υποθέσεις που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιμοποιούμε για τις εφαρμογές της μεθόδου της παλινδρόμησης είναι πως οι χρονικές αυτές σειρές είναι στάσιμες (stationary). Αν οι χρονικές αυτές σειρές δεν είναι στάσιμες τότε οι στατιστικοί έλεγχοι που εφαρμόζονται στα υποδείγματα των παλινδρομήσεων δίνουν αναξιόπιστα αποτελέσματα.
Στις κίβδηλες παλινδρομήσεις ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 είναι πολύ υψηλός (τείνει στη μονάδα) ενώ η τιμή του στατιστικού των Durbin- Watson είναι πολύ χαμηλή R 2 >DW. Το πρόβλημα της κίβδηλης παλινδρόμησης μπορεί να συμβεί επίσης και όταν δύο χρονικές σειρές σε μια παλινδρόμηση έχουν σε μεγάλο βαθμό υψηλή συσχέτιση, ενώ δεν έχουν καμιά πραγματική σχέση μεταξύ τους.
Η υψηλή συσχέτιση οφείλεται στην ύπαρξη χρονικών τάσεων και στις δύο χρονικές σειρές Granger and Newbold (1974). Για να εξαλείψουμε το πρόβλημα της κίβδηλης παλινδρόμησης εκτιμούμε τις πρώτες διαφορές των χρονικών σειρών και όχι τα επίπεδά τους. Ο λόγος που μας οδηγεί στην χρησιμοποίηση των πρώτων διαφορών είναι ότι πολλές οικονομικές χρονικές σειρές έχουν τα χαρακτηριστικά του τυχαίου περιπάτου.
Στασιμότητα των χρονικών σειρών Για να εφαρμόσουμε την ανάλυση της παλινδρόμησης στις χρονικές σειρές θα πρέπει τα δεδομένα που χρησιμοποιούνται να προέρχονται από στάσιμες διαδικασίες. Οι περισσότερες οικονομικές σειρές είναι μη στάσιμες. Άρα πριν εφαρμόσουμε την παλινδρόμηση σ αυτές τις χρονικές σειρές θα πρέπει να κάνουμε τους ελέγχους για τη στασιμότητα των χρονικών αυτών σειρών.
Μια χρονική σειρά λέγεται στάσιμη όταν η τιμή της ταλαντεύεται γύρω από το μέσο, δηλαδή οι τιμές που αυτή παίρνει στα διάφορα χρονικά διαστήματα έχουν τον ίδιο μέσο, την ίδια διακύμανση και η τιμή της συνδιακύμανσής της μεταξύ δύο χρονικών περιόδων εξαρτάται μόνον από την υστέρηση μεταξύ των δύο χρονικών περιόδων δηλαδή από την απόσταση ανάμεσα στα δύο αυτά χρονικά σημεία και όχι από την πραγματική χρονική περίοδο που υπολογίζεται η συνδιακύμανση.
Μια χρονική σειρά Y t είναι στάσιμη όταν: Μέσος: Διακύμανση: Ε(Y t ) = μ Συνδιακύμανση: Var(Y t ) = E(Y t - μ) 2 = σ 2 Cov(Y t, Y t+k ) = E[(Y t - μ) (Y t+k - μ)] = γ κ
Αν μία τουλάχιστο από τις παραπάνω σχέσεις δεν ισχύει, τότε η χρονική σειρά Y t χαρακτηρίζεται μη στάσιμη. Δηλαδή σε μία μη στάσιμη χρονική σειρά τόσο ο μέσος, όσο και η διακύμανση είναι συνάρτηση του χρόνου Στην πράξη είναι πολύ δύσκολο να βρούμε στάσιμες χρονικές σειρές ιδιαίτερα δε στην οικονομική επιστήμη. Μια χρονική σειρά δεν είναι στάσιμη όταν παρουσιάζει τάση (ανοδική ή καθοδική), όταν μεταβάλλεται η μεταβλητικότητά της σε συνάρτηση με τον χρόνο ή όταν παρουσιάζει εποχικότητα.
Έλεγχοι της στασιμότητας Τους ελέγχους της στασιμότητας μπορούμε να τους χωρίσουμε σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία αναφέρονται οι έλεγχοι των γραφικών παραστάσεων, καθώς και των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης, ενώ στη δεύτερη κατηγορία αναφέρονται όλοι οι έλεγχοι των μοναδιαίων ριζών.
Γραφικές παραστάσεις Γιαναδιαπιστώσουμεανμιαχρονικήσειράπαρουσιάζει στασιμότητα κάνουμε τη γραφική παράσταση των μεταβλητών της. Η γραφική παράσταση είναι συνήθως το πρώτο βήμα για την ανάλυση οποιασδήποτε χρονικής σειράς. Αν διαπιστώσουμε την εμφάνιση κάποιας από τις συνιστώσες που αναφέρονται πιο πάνω, δηλαδή τάση, εποχική μεταβολή, κυκλική διακύμανση ή ακανόνιστη μεταβολή, τότε λέμε ότι η χρονική σειρά δεν παρουσιάζει στασιμότητα.
Η υπόθεση της μη στασιμότητας μπορεί να διαπιστωθεί επίσης και από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της αυτοσυσχέτισης (ACF) των μεταβλητών της χρονικής σειράς (correlogram), ως και της μερικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (PACF) και του αντίστοιχου κορελογράμματος (correlogram). Στη γραφική αυτή παράσταση ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης αρχίζει από πολύ υψηλές τιμές και φθίνει αργά, πράγμα που υποδηλώνει ότι η αντίστοιχη μεταβλητή δεν είναι στάσιμη.
Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης του δείγματος δίνεται από την παρακάτω σχέση:
όπου είναι η συνδιακύμανση του δείγματος (χρονικής σειράς) που εξετάζουμε. είναι η διακύμανση του δείγματος. όπως είναι γνωστό ο εκτιμημένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης παίρνει τιμές από 1 έως +1
Οι έλεγχοι που κάνουμε στην περίπτωση αυτή είναι: Ηο: Δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των διαταρακτικών όρων (λευκών θορύβων) ή δεν υπάρχει σειριακή συσχέτιση ή ρ k = 0 ήηχρονικήσειράείναιστάσιμη. Ηα: Δεν ισχύει η Ηο
Στις παραπάνω υποθέσεις ο συντελεστής ρ k αναφέρεται στο συντελεστή αυτοσυσχέτισης του πληθυσμού. Οι στατιστικοί δείκτες (στατιστικοί έλεγχοι) που χρησιμοποιούμε για τον έλεγχο του συντελεστού αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων (έλεγχος της σημαντικότητας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης των παραπάνω υποθέσεων είναι οι παρακάτω:
Box - Pierce Η στατιστική αυτή των Box and Pierce (1970) χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης είναι μηδέν ορίζεται ως εξής: όπου: Q = Η στατιστική των Box - Pierce m= Βαθμοί ελευθερίας n = Αριθμός παρατηρήσεων = Τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης
Η στατιστική Q ακολουθεί την Χ 2 κατανομή με m βαθμούς ελευθερίας και α επίπεδο σημαντικότητας. Αν Q> Χ 2 (α, m) τότε η χρονική σειρά δεν είναι στάσιμη. Επειδή η στατιστική αυτή των Box and Pierce δεν είναι αξιόπιστη για μικρά δείγματα οι Ljung Box πρότειναν μια παραλλαγή της παραπάνω στατιστικής, την οποία αναφέρουμε παρακάτω.
Ljung - Box Η στατιστική των Ljung Box (1978) αν και ακολουθεί την ίδια κατανομή Χ 2 με αυτή της Q δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την Q όταν εφαρμόζεται κυρίως σε μικρά δείγματα (Harvey 1981, Kendal et al 1983). Η στατιστική αυτή ορίζεται ως εξής: όπου: Q* = Η στατιστική των Ljung Box m = Βαθμοί ελευθερίας n = Αριθμός παρατηρήσεων = Τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης
Αν Q* > Χ 2 (α, m) η υπόθεση της στασιμότητας της χρονικής σειράς απορρίπτεται. Ο αριθμός των αυτοσυσχετίσεων των καταλοίπων που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των παραπάνω στατιστικών ισούται με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των παρατηρήσεων m = n ½
Bartlett test Ο έλεγχος του Bartlett (1946) βασίζεται στην υπόθεση ότι αν η χρονική σειρά είναι στάσιμη τότε οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης του δείγματος ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και διακύμανση 1/η (η = μέγεθος του δείγματος). Άρα σύμφωνα με την υπόθεση αυτή οι συντελεστές συσχέτισης με χρονική υστέρηση s πρέπει να βρίσκονται στο παρακάτω διάστημα εμπιστοσύνης: Τόσο οι γραφικές παραστάσεις όσο και η διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης δεν είναι αξιόπιστες. Για το λόγο χρησιμοποιούμε την διαδικασία μοναδιαίων ριζών.
Παράδειγμα 2ο Τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα αναφέρονται στις καταναλωτικές δαπάνες και στο διαθέσιμο εισόδημα για τη χρονική περίοδο 1983 1992 (υποθετικά στοιχεία) Να βρεθούν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης των μεταβλητών αυτών
Λύση Ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος δίνεται από την παρακάτω σχέση:
όπου είναι η συνδιακύμανση του δείγματος (χρονικής σειράς) που εξετάζουμε. είναι η διακύμανση του δείγματος. όπως είναι γνωστό ο εκτιμημένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης παίρνει τιμές από 1 έως +1 Άρα θα πρέπει να βρω πρώτα τη διακύμανση και τη συνδιακύμανση για κάθε μεταβλητή και στη συνέχεια να υπολογίσω τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης. Για το σκοπό αυτό δημιουργώ τον παρακάτω πίνακα:
Έτος Υ t Y t -Y Y t+1 -Y Y t+2 -Y Y t+3 -Y Y t+4 -Y Y t+5 -Y 1983(1) 70-41 - 46-21 -16-1 4 1984(2) 65-46 -21-16 -1 4 9 1985(3) 90-21 - 16-1 4 9 29 1986(4) 95-16 - 1 4 9 29 44 1987(5) 110-1 4 9 29 44 39 1988(6) 115 4 9 29 44 39 1989(7) 120 9 29 44 39 1990(8) 140 29 44 39 1991(9) 155 44 39 1992(10) 150 39 Άθροισμα 1110
1 1930 5 ˆγ = 193 n ( Yt Y)( Yt + 5 Y) = n t= 1 10 =
Άρα οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης θα είναι: ˆ ρ ˆ γ = ˆ γ 318.8 889 2 2 = = 0 0.359
Από τα αποτελέσματα των συντελεστών αυτών παρατηρώ ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης βρίσκονται εντός των ορίων 1 και +1 Με ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκω και τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης της μεταβλητής Χ.
Διάγραμμα των εκτιμημένων συντελεστών αυτοσυσχέτισης της μεταβλητής Υ
Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα αποτελέσματα από τη συνάρτηση του συντελεστή συσχέτισης, της μερικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, με τις γραφικές τους παραστάσεις, καθώς και του κριτηρίου Box Pierce. Από τα αποτελέσματα του παρακάτω πίνακα παρατηρούμε ότι και από τα τρία κριτήρια (συντελεστή αυτοσυσχέτισης, μερικής αυτοσυσχέτισης, τις γραγικές τους παραστάσεις και του κριτηρίου Box Pierce) ηχρονικήσειράδεν είναι στάσιμη.
Date: 11/06/06 Time: 19:05 Sample: 1961 1980 Included observations: 20 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. *******. ******* 1 0.872 0.872 17.621 0.000. ******. *. 2 0.726-0.146 30.507 0.000. ****. *. 3 0.572-0.113 38.979 0.000. ***. *. 4 0.426-0.059 43.980 0.000. **.. *. 5 0.287-0.077 46.405 0.000. *.. *. 6 0.156-0.081 47.168 0.000... *. 7 0.034-0.077 47.206 0.000. *.. *. 8-0.090-0.133 47.505 0.000.**.. *. 9-0.197-0.058 49.051 0.000.**... 10-0.280-0.040 52.499 0.000 ***.. *. 11-0.350-0.088 58.492 0.000 ***... 12-0.394-0.022 67.016 0.000