ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων. Μια ακολουθία συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο ν συμβολίζεται με και διαβάζεται α με δείκτη ν. Οι τιμές της,, κ.τ.λ. λέγονται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της ακολουθίας Ο όρος λέγεται νιοστός όρος ή γενικός όρος της ακολουθίας. Μια ακολουθία είναι πλήρως ορισμένη όταν μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο της. Αυτό συμβαίνει όταν γνωρίζουμε: α. Τον νιοστό όρο της ακολουθίας Για παράδειγμα αν ο νιοστός όρος είναι, τότε,, 5,... β. Έναν αναδρομικό τύπο της ακολουθίας Για παράδειγμα, έστω ότι, και Τότε θα έχουμε: 4 4 4 7 5 4 7 4 Μειονέκτημα του αναδρομικού τύπου είναι ότι για να βρούμε π.χ. τον 00 πρέπει να γνωρίζουμε τους 99 προηγούμενους όρους. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Α.Π) Αριθμητική πρόοδος (Α.Π) ονομάζουμε μια ακολουθία αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, αν και μόνο αν ισχύει: ή Ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ω είναι: ( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: 4.. Προσθέτοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε ( ) Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α, γ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε ισχύει: και, επομένως Αντίστροφα, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει, τότε έχουμε:, που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α, γ. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με διαφορά ω το συμβολίζουμε με: S... και δίνεται από τους τύπους: S ή S ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Αν,,,..., είναι όροι μιας Α.Π με διαφορά ω τότε οι όροι,,...,, είναι Α.Π με διαφορά - ω.. 4.... Ακόμη, 5 και γενικά:, ν > κ. Μια Α.Π καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τον πρώτο της όρο και την διαφορά της ω. 4. Οι δύο τύποι: ( ) πέντε αγνώστους τους: S ) περιέχουν και (,,,, S. Αν λοιπόν μας δοθούν οι τιμές των τριών εξ αυτών τότε οι δυο παραπάνω τύποι αποτελούν σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους. Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους δυο άλλους αγνώστους. 5. Πολύ συχνά στην πορεία λύσης μιας άσκησης στις προόδους χρειάζεται να υπολογίσουμε το πλήθος κάποιων όρων της. Πρέπει να γνωρίζουμε τα παρακάτω: Έστω,,...,,...,,..., οι όροι μιας προόδου όπου κ, λ φυσικοί με κ < λ. Τότε το πλήθος των όρων: Μεταξύ των,..., (χωρίς τους άκρους όρους) είναι λ κ Μεταξύ των,..., και ένας από τους άκρους όρους είναι λ κ Μεταξύ των,..., μαζί με τους άκρους όρους είναι λ κ +.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Τεχνικές στην λύση ασκήσεων στις προόδους. Σε ορισμένες ασκήσεις δίνεται το άθροισμα και το γινόμενο τριών ή τεσσάρων ή πέντε, κ.λ.π. διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου και ζητείται να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Η λύση τέτοιου είδους ασκήσεων απαιτείται να ορισθούν οι διαδοχικοί όροι με έναν συγκεκριμένο τρόπο. α. Όταν δίνεται περιττό πλήθος διαδοχικών όρων (,5, ) υπάρχει πάντα ένας μεσαίος όρος και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,.,,... όπου ω είναι η διαφορά της Α.Π. β. Όταν μας δίνεται άρτιο πλήθος διαδοχικών όρων (4,6, ) υπάρχουν δυο μεσαίοι και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,,,... όπου (α + ω) (α ω) = ω είναι η διαφορά της προόδου.. Όταν δίνεται ο γενικός όρος μιας ακολουθίας και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητική πρόοδος, πρέπει να δείξουμε ότι η διαφορά: είναι σταθερή. Για παράδειγμα, αν ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι 4, η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, διότι: 4( ) ( 4) 4 4 4 4 Άρα (α ν ) είναι Α.Π. με διαφορά ω = -4 και πρώτο όρο 4 8.. Όταν δίνεται το άθροισμα S ν των πρώτων ν όρων (ν є Ν*) μιας ακολουθίας ( ) και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος εργαζόμαστε ως εξής: Είναι S... () και S... () Αφαιρούμε την () από την () και έχουμε: S S άρα έχουμε τον ν- οστό όρο της ακολουθίας ( ) Κατόπιν, εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση () για να δείξουμε ότι είναι αριθμητική πρόοδος.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Για παράδειγμα, αν για κάθε ν є Ν* το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( ) δίνεται από τον τύπο S, τότε: 4 5 S S ( ) ( )... 4 4 4 5 Δηλαδή είναι ο ν οστός όρος της ακολουθίας και 4 5 5 5 5 ( ), 4 4 4 4 σταθερή. Άρα είναι αριθμητική πρόοδος. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν ο 4 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι - και ο ος είναι -58 να βρεθεί το άθροισμα των 50 πρώτων όρων της. Για να προσδιορίσουμε την Α.Π. πρέπει να βρούμε τους αριθμούς και ω. Επειδή έχουμε δύο αγνώστους θα πρέπει να έχουμε δυο εξισώσεις. Αυτές θα προκύψουν με εφαρμογή του τύπου: Είναι: 4 ( ) 8 58 58 9 7 S ( ) θα βρούμε το άθροισμα των 50 όρων Από τον τύπο της Α.Π. 50 Είναι: S 8 (50 ) ( ) 5(6 47) 5( ) 75 50. Σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο και διαφορά ω ισχύει: 7 7 0 και 9 0 40. Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 0 ου και 7 ου όρου. Με χρήση του τύπου ( ) και των σχέσεων που δίνονται θα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 βρούμε τους και ω. Έχουμε: 7 7 0 6 6 0 9 0 40 8 9 40 5 7 7 40 0 0 7 40 Έστω S... 6 το ζητούμενο άθροισμα. Είναι S 6... 0... 6 S0 S S S6 S0 6 0 S ( 7) 5 ( 7) 9 S ( 4 50) 5( 4 8) S 6 5 4 448 Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του αθροίσματος βασίζεται στο ότι οποιοδήποτε πλήθος διαδοχικών όρων Α.Π είναι επίσης Α.Π με την ίδια διαφορά άλλο όμως πρώτο όρο. Εδώ έχουμε Α.Π. με διαφορά, πρώτο όρο α = -7 +0 = και πλήθος όρων 6 + = 6, οπότε: 6 S 5 8 56 448. Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι οι αριθμοί x, y, είναι επίσης διαδοχικοί όροι Α.Π. Επειδή οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. ισχύει: β = α + γ () Για να είναι οι x, y, ω διαδοχικοί όροι Α.Π. αρκεί: y = x + ω Είναι: y x () 4 που ισχύει. ()

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 4. Να υπολογίσετε το άθροισμα: -7 0 - - 09 Ελέγχουμε αν οι όροι του αθροίσματος είναι όροι αριθμητικής προόδου. Έχουμε: (-0) (-7 ) = - 0 + 7 = - (-) (-0) = - + 0 = - Επομένως είναι Α.Π με πρώτο όρο -7 και διαφορά -. Κατόπιν πρέπει να βρούμε το πλήθος των προσθετέων μέχρι και τον αριθμό -09. Δηλαδή το ν ώστε ( ) 09 Είναι: ( ) 09 ( ) 09 7 ( )( ) 09 7 09 05 5 5 5 Άρα S ( 7) 4 ( ) ( 4 0) ( 6) 5 ( 58) 00 5 5 5. Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου,,5. Που απαιτούνται, ώστε το άθροισμά τους να ξεπερνά τον αριθμό 4000. Η πρόοδος έχει και ω = (ακολουθία περιττών αριθμών) 4000 4000 ) 4000 4000 4000 4000 6, Έχουμε: S ( ) 4000 ( ) ( Επειδή ο ν είναι θετικός ακέραιος θα είναι ν = 64. 6. Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς που να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενό τους είναι 680.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9 Σε ασκήσεις όπου ζητείται να βρούμε διαδοχικούς όρους Α.Π η χρήση ειδικού τρόπου συμβολισμού των όρων διευκολύνει πολύ. Στην περίπτωση (όπως εδώ) που έχουμε άρτιο πλήθος όρων τους γράφουμε ως εξής:,,, η διαφορά της προόδου είναι ω με ω ακέραιο. Έχουμε: 4 8 Ακόμη: ( )( )( )( ) 680 (8 )(8 )(8 )(8 ) 680 (64 9 )(64 ) 680 9 4 640 46 0 Η παραπάνω εξίσωση είναι διτετράγωνη και για να την επιλύσουμε θέτουμε ω = κ >0 με κ θετικό ακέραιο. Έχουμε 9k 640k 46 0 από όπου παίρνουμε κ = 67, που απορρίπτεται και κ = 4. Άρα 4 ή Για ω = έχουμε την πρόοδο,6,0,4 Για ω = - έχουμε την πρόοδο 4,0,6,. 7. Μεταξύ των αριθμών και 80 να βρεθούν άλλο 0 φυσικοί που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. (Το πρόβλημα της παρεμβολής) Θεωρούμε ότι ο μικρότερος από τους δοθέντες αριθμούς είναι ο πρώτος όρος της Α.Π. Για να βρούμε τους αριθμούς που μας ζητάνε αρκεί να βρούμε την διαφορά ω. Αν συμβολίσουμε με x, x,..., x 0 τους αριθμούς που μας ζητάνε έχουμε την Α.Π., x, x,..., x0, 80 με, ω η διαφορά και ο αριθμός 80 είναι ο ος όρος της προόδου. Άρα 80 80 80 77 7 Έτσι: x 7 0, x 0 7 7,..., x 0 7 7 0

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 8. Ένας αγρότης για να κάνει μια γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώνησε τα εξής με τον ιδιοκτήτη του γεωτρύπανο: Το ο μέτρο θα κοστίσει 6 ευρώ και αυξανομένου του βάθους, θα αυξάνεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά,5 ευρώ. Ο αγρότης διαθέτει 40 ευρώ. Σε πόσο βάθος μπορεί να φθάσει η γεώτρηση στο κτήμα του. Βάσει της συμφωνίας: το ο μέτρο κοστίζει 6 το ο μέτρο κοστίζει 7,5 το ο μέτρο κοστίζει 9 Άρα το κόστος κάθε μέτρου είναι όροι Α.Π με 6 και ω =,5. Το συνολικό κόστος της γεώτρησης θα είναι το άθροισμα S Αφού ο αγρότης διαθέτει 40 ζητάμε το μεγαλύτερο φυσικό ν ώστε S 40 40 40,5,5 40,5 0,5 80 Έχουμε: S ( ) 40 6 ( ),5 7 880 0 47 40 και επειδή ν φυσικός 0 40. Άρα το μεγαλύτερο βάθος που μπορεί να φτάσει η γεώτρηση, με τα χρήματα που διαθέτει είναι 40m.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο ος και ο 8 ος όρος διαφέρουν κατά 4, ενώ το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είναι 70. α. Να βρείτε την πρόοδο αν είναι γνωστό ότι η διαφορά της προόδου είναι θετική. β. Ποιο είναι το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 8 ου και του 5 ου όρου της. (Απ. α. α =7, ω = 4 β. S =04). Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 9 5 και S 65 α. Να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου και β. Το άθροισμα των 8 πρώτων όρων. (Απ. α. α 5 = β. S 8 =497). Αν σε Α.Π. ισχύει και 6 να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων της που το άθροισμά τους δεν υπερβαίνει το 0. (Απ. ν = 0) 4. Μεταξύ των αριθμών 4 και 4 να παρεμβάλλετε άλλους αριθμούς, ώστε να δημιουργηθεί μια αριθμητική πρόοδος με όρους. 5. Να λύσετε την εξίσωση: ( x ) ( x 5) ( x 8)... ( x 9) 65 (Απ. x = ) 6. Ο ν- οστός όρος μιας ακολουθίας είναι 4 α. Να βρείτε τον επόμενο όρο της. β. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι Α.Π. γ. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. δ. Να βρείτε την τάξη του όρου που είναι ίσος με 98. (Απ. β. ω = 4 γ. S 0 =00 δ. ν = 5) 7. Να δείξετε ότι για κάθε x є ο x είναι αριθμητικός μέσος των x και x. 8. Αν για κάθε ν є Ν*, το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( ) είναι: S ( 4 ), να δείξετε ότι η ( ) είναι Α.Π. και να βρείτε τους και ω. 9. Να βρεθούν τρεις αριθμοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενο τους 87. (Απ. 9,,)

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Το άθροισμα των 9 πρώτων όρων Α.Π είναι μεγαλύτερο από 40 και μικρότερο από 60. Αν είναι 8, να βρεθεί η πρόοδος όταν όλοι οι όροι της είναι φυσικοί αριθμοί. (Απ. α. α = 5, ω = ). Σε μια οικοδομή ορόφων με κατάστημα στο ισόγειο οι τιμές καθορίστηκαν ως εξής: Το ισόγειο κατάστημα 500 /m, ο πρώτος όροφος 000 /m και για κάθε επόμενο όροφο επί πλέον 50 /m. α. Πόσο πωλείται ένα διαμέρισμα του 0 ου ορόφου; (ανά m ) β. Πόσο πωλείται ένα διαμέρισμα 00m στο 7 ο όροφο; γ. Αν κάθε όροφος (και το ισόγειο) είναι 80m πόσα χρήματα θα εισπράξει ο κατασκευαστής εργολάβος από την πώληση ολόκληρης της οικοδομής; (Απ. α. 450 /m β. 0.000 /m γ. 4,984,000 /m )

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Γ.Π) Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π) ονομάζουμε μια ακολουθία αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον ονομάζουμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε πάντα ότι 0 οπότε αφού είναι και λ 0 ισχύει ( ) 0, για κάθε ν є Ν*. Επομένως μια ακολουθία ( ) είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει: ή Ο νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ είναι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε: 4.. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει. Ο θετικός αριθμός β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α, γ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου λόγο λ, τότε ισχύει: με και, επομένως Αντίστροφα, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει, τότε έχουμε:, που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός λέγεται γεωμετρικός μέσος των α, γ. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου ( ) με λόγο λ είναι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ S Είναι:... S () Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της () με λ έχουμε:... S () Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: S S S Επομένως αφού λ θα είναι S

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Σχόλιο: Στην περίπτωση που λ = τότε το άθροισμα των όρων της είναι S, αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Αν,,,..., είναι όροι μιας Γ.Π με λόγο λ τότε οι όροι,,...,, είναι Γ.Π με λόγο.. 4 5... Ακόμη, και γενικά:, ν > κ.. Μια G.Π καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τον πρώτο της όρο και τον λόγο λ.. 4. Οι δύο τύποι: και S περιέχουν πέντε αγνώστους τους:,,,, S. Αν λοιπόν μας δοθούν οι τιμές των τριών εξ αυτών τότε οι δυο παραπάνω τύποι αποτελούν σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους. Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε τους δυο άλλους αγνώστους. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Τεχνικές στην λύση ασκήσεων στις προόδους. Σε ορισμένες ασκήσεις δίνεται το άθροισμα και το γινόμενο τριών ή τεσσάρων ή πέντε, κ.λ.π. διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου και ζητείται να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Η λύση τέτοιου είδους ασκήσεων απαιτείται να ορισθούν οι διαδοχικοί όροι με έναν συγκεκριμένο τρόπο. α. Όταν δίνεται περιττό πλήθος διαδοχικών όρων (,5, ) υπάρχει πάντα ένας μεσαίος όρος και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,,,,... όπου λ είναι ο λόγος της Γ.Π.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 β. Όταν μας δίνεται άρτιο πλήθος διαδοχικών όρων (4,6, ) υπάρχουν δυο μεσαίοι και τους συμβολίζουμε ως εξής:...,,,,,... όπου είναι ο λόγος της προόδου.. Όταν δίνεται ο γενικός όρος μιας ακολουθίας και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι γεωμετρική πρόοδος, πρέπει να δείξουμε ότι ο λόγος είναι σταθερός. Για παράδειγμα, αν ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι, η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, διότι: Άρα (α ν ) είναι Γ.Π. με λόγο και πρώτο όρο 9.. Όταν δίνεται το άθροισμα S ν των πρώτων ν όρων (ν є Ν*) μιας ακολουθίας ( ) και ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος εργαζόμαστε ως εξής: Είναι S... () και S... () Αφαιρούμε από την () την () και έχουμε: S S άρα έχουμε τον ν- οστό όρο της ακολουθίας ( ) Κατόπιν, εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση () για να δείξουμε ότι είναι γεωμετρική πρόοδος. Για παράδειγμα, αν για κάθε ν є Ν* το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας ( ) δίνεται από τον τύπο S, να δείξετε ότι είναι γεωμετρική πρόοδος. Είναι: S S

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 Δηλαδή ( ) είναι ο ν οστός όρος της ακολουθίας και 0 Άρα είναι γεωμετρική πρόοδος με λ = και. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί ο νιοστός όρος της Γ.Π.,,,... 4 8 6 Αφού μας δίνεται ότι είναι γεωμετρική πρόοδος βρίσκουμε τον και λ. Είναι: 4 και 8 4 άρα από τον τύπο έχουμε: 8 4 4 9. Να βρεθεί ο 8 της γεωμετρικής προόδου,,,... 4 Έχουμε Γ.Π. με και Εφαρμόζοντας τον τύπο για ν = 8 έχουμε: 8 8 7 7. Να βρεθεί ο λόγος και ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο ος 8 όρος είναι και ο 5 ος 64 είναι. 8

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Για να προσδιορίσπυμε τους αριθμούς και λ πρέπει να έχουμε δυο εξισώσεις ώστε να λύσουμε σύστημα. Αυτές θα προκύψουν από την εφαρμογή του τύπου Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: 5 4 8 64 8 4 8 64 8 64 8 8 8 7 8 8 Οπότε 4. Με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: 4. Έστω η γεωμετρική πρόοδος,6,,. Να βρεθεί το πλήθος των όρων της μέχρι και τον όρο που ισούται με 768. Έχουμε Γ.Π. με και 6 Ζητάμε να βρούμε το πλήθος όρων δηλαδή το ν έτσι ώστε 768. 768 768 768 768 56 8 8 9. Άρα το πλήθος των όρων είναι 9. 5. Να βρεθεί ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου 8,64,, που είναι μικρότερος του 0,5. Είναι 8 και 64 8 Ζητάμε το μικρότερο ν έτσι ώστε 0, 5

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9 5 7 0, 5 0,5 8 00 4 7 8 8 0 Άρα είναι ο ος όρος. 6. Να βρεθεί ο x ώστε οι αριθμοί x 4, x, x 9 να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Για να είναι οι αριθμοί x 4, x, x 9 διαδοχικοί όροι Γ.Π. αρκεί: x x 4x 9 x x x 9x 4x 76 x x 76 5x 75 x. 7. Να υπολογισθεί το άθροισμα: + (-) + 4 + + 56 Ελέγχουμε αν οι όροι του αθροίσματος είναι Γ.Π. 4 Έχουμε,. Επομένως είναι Γ.Π. με και λ = -. Κατόπιν πρέπει να βρούμε το πλήθος των προσθετέων μέχρι και τον αριθμό 56, δηλαδή το ν ώστε 56 8 8 9 56 56 9 ( ) 5 5 Ζητάμε λοιπόν το S 9 7. 8. Αν το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι - και το γινόμενο τους είναι - 7 να βρεθούν οι όροι αυτοί.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Αν λ είναι ο λόγος της προόδου και α ο μεσαίος όρος τότε οι όροι μπορούν να γραφούν:,,. Έχουμε ότι: 7 7 7 Για οι όροι γράφονται:,, Έχουμε τώρα: και Δ = 00 6 = 64. Άρα 0 0 8 6, Για έχουμε τους όρους -9, -, -. Για έχουμε τους όρους -, -, -9. 0 0 9. Μια κοινωνία βακτηρίων διπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. Αν αρχικά υπάρχουν βακτήρια, πόσα βακτήρια θα υπάρχουν ύστερα από ώρες; Αρχικά έχουμε βακτήρια Στο τέλος της ης ώρας 6 βακτήρια Στο τέλος της ης ώρας 6 βακτήρια Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των βακτηρίων στο τέλος κάθε ώρας είναι όροι Γ.Π. με και λ =. Επίσης ο αριθμός που δείχνει την τάξη του όρου είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από την αντίστοιχη ώρα. Έτσι ο αριθμός των βακτηρίων στο τέλος της ης ώρας τον δείχνει ο όρος της Γ.Π και είναι: 4096.88 βακτήρια.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε γεωμετρική πρόοδο έχουμε 5 48 και 8 84. Να βρεθεί η τάξη του όρου που είναι ίσος με 07. ( Απ. ν = ). Ποιόν αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρείς διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. ( Απ. x = 5 ). Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος που έχει σαν πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x x 5x 50 0 και σαν λόγο την μεγαλύτερη ρίζα. Κατόπιν να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων όρων της, αν ως ν πάρουμε το τριπλάσιο της τρίτης ρίζας της παραπάνω εξίσωσης. ( Απ. -5,-5,-5,,S = -950 ) x 4. Να βρεθεί ο x є ώστε οι αριθμοί, x, x να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, με την σειρά που δίνονται. 5. Να υπολογίσετε το άθροισμα: 6. Δίνεται η ακολουθία 9.... 79 με ( Απ. 5 x, x k ) 6 6 ( Απ. 984 S ) 79 S. γ. Να βρεθεί ο είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρεθεί ο λ α. Να βρεθεί το S β. Να βρεθεί ο δ. Να δειχτεί ότι η και ο. ε. Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε για να έχουμε άθροισμα 484; ( Απ α. S β. 4 γ. 4 δ. 4, ε. ν = 5) 7. Το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων Γ.Π. είναι και το γινόμενό τους 6. Να βρεθούν οι όροι αυτοί. ( Απ. α.,6 β.,6, ) 8. Αν οι αριθμοί ημβ, ημα, συνα, συνβ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. να δειχθεί ότι: ημ(α + β) =. 9. Να βρεθεί το άθροισμα των 9 πρώτων όρων Γ.Π. στην οποία είναι: 56 και 504 4 6 ( Απ. S = 9 -)

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Ένας παππούς αποταμιεύει τον ο χρόνο γέννησης του εγγονού του, τον ο, 9 τον ο, 7 τον 4 ο κ.ο.κ. Αν συνεχίσει με τον ίδιο ρυθμό να βρεθούν: α. Πόσα θα αποταμιεύσει τον 8 ο χρόνο. β. Πόσα συνολικά ια έχει αποταμιεύσει μέχρι και τον 8 ο χρόνο; ( Απ. α. 87 β. 80 ). Να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο μιας Γ.Π. αν είναι γνωστό ότι: το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι 40, ενώ το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της είναι 80. ( Απ. λ =, α =, λ = -, α = - ). Αν ένα άτομο που γνωρίζει ένα μυστικό το πει σε φίλους του την πρώτη μέρα οι οποίοι στην συνέχεια το πουν σε φίλους τους ο καθένας την επόμενη μέρα κ.ο.κ., πόσοι θα μάθουν το μυστικό μετα από 0 ημέρες; ( Απ. 04 άτομα )