Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ] Εύρεση για τριγωνίσιμο πίνακα Α, αντιστρέψιμου πίνακα P με Εφαρμογή: Θεώρημα φασματικής απεικόνισης Θεώρημα των Cayley-Hamlton Συνιστώμενες ασκήσεις: -5, 7-9,, 3, 4, 3-5, 8, 3-36 P P τριγωνικό () Αποδείξτε ότι αν ο έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή, τότε ο είναι τριγωνίσιμος () a Έστω 4 Αφού δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο U με U U τριγωνικό 3 4 5 33 b Έστω Αφού δείξτε ότι ο είναι τριγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο 4 33 U με U U τριγωνικό 33 c Έστω 5 Αφού δείξτε ότι ο είναι τριγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο 5 33 U με U U τριγωνικό 3 () Να βρεθούν οι τιμές του a για τις οποίες ο πίνακας 4 a 3 3 είναι τριγωνίσιμος αλλά όχι διαγωνίσιμος 4 () Έστω 33 3 a Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις διαστάσεις των ιδιόχωρων του b Αληθεύει ότι ο είναι διαγωνίσιμος; c Αληθεύει ότι ο είναι τριγωνίσμος; Αν ναι, να βρεθεί αντιστρέψιμος U με U U τριγωνικό 3 3 3 5 () Έστω { v, v, v 3} μια βάση του, a και : η γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε ( v ) v, ( v ) v v v, 3 ( v3) av v3 Δείξτε ότι η είναι τριγωνίσιμη αν και μόνο αν a 6 () Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι το πλήθος πίνακες 7 () Έστω 33 με 3 ( x) x x τέτοιοι ώστε Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο I 5 6
Ασκήσεις4 49 a ο είναι διαγωνίσιμος, και b και 8 () a Έστω με ιδιοτιμές,, Τότε για κάθε, ισχύει Tr( ) b Έστω ένας τριγωνίσμος πίνακας τέτοιος ώστε Tr( ) Δείξτε ότι c (3) Έστω τέτοιος ώστε Tr Tr( ) Tr( ) Δείξτε ότι αν Tr( ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος και αντιστρέψιμος 9 (3) Έστω Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα a Κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με b για κάποιο θετικό ακέραιο c d Tr( ) Tr( ) Tr( ) (3) Έστω, τέτοιοι ώστε Αποδείξτε ότι () Έστω αντιστρέψιμος Δείξε ότι αν ( x ) ( x )( x ),, τότε ( x) ( x)( x) () Έστω dmv και : V V γραμμική απεικόνιση a Δείξτε ότι η είναι τριγωνίσιμη αν και μόνο αν για κάθε,, υπάρχει υπόχωρος W V με dmw, W W W και ( W ) W b Αληθεύει ότι η είναι τριγωνίσιμη αν για κάθε,, υπάρχει υπόχωρος W V με dmw και ( W ) W ; 3 () Έστω a Δείξτε ότι αν ο δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει ( x) [ x] βαθμού τέτοιο ώστε ( ) b Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει ( x) [ x] βαθμού τέτοιο ώστε 4 () Έστω ( ) a Να παρασταθεί ο 3 ως γραμμικός συνδυασμός των I 33 3,, n n b Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n c Να βρεθεί ένα πολυώνυμο ( x) [ x] βαθμού το πολύ έτσι ώστε 5 4 I3 3 ( ) 5 () Έστω τέτοιος ώστε ( x ) ( ) ( x x x ), όπου Δείξτε ότι n υπάρχει θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε ο να είναι τριγωνίσιμος 6 () Έστω μη διαγωνίσιμος πίνακας Τότε ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 7 () Έστω, τέτοιοι ώστε Δείξτε ότι ( ) ( ) (det ) I 8 () Αν ( a j ), θέτουμε h( ) aja j, j
Ασκήσεις4 5 a Δείξτε ότι αν οι, είναι όμοιοι, τότε h( ) h( ) b Έστω Δείξτε ότι h( ) είναι οι ιδιοτιμές του, όπου,, 9 () Δείξτε ότι κάθε άνω τριγωνικός πίνακας είναι όμοιος με κάτω τριγωνικό πίνακα Στη συνέχεια δείξτε ότι κάθε πίνακας είναι όμοιος με κάτω τριγωνικό πίνακα () Έστω τέτοιος ώστε I Δείξτε ότι Tr () Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε g g Δείξτε τα εξής a Αν είναι μια ιδιοτιμή της, τότε g( V ( )) V ( ) b Οι, g έχουν κοινό ιδιοδιάνυσμα c (3) Υπάρχει διατεταγμένη βάση του V τέτοια ώστε οι αντίστοιχοι πίνακες των, g είναι άνω τριγωνικοί (Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του Θεωρήματος 33) d Για κάθε ιδιοτιμή της g υπάρχει ιδιοτιμή της και ιδιοτιμή g της g τέτοιες ώστε () Έστω, g Θεωρούμε τις γραμμικές απεικονίσεις L :, L ( X ) X R :, R ( X ) X a Δείξτε ότι L R R L b Δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση L έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πίνακα και ότι η γραμμική απεικόνιση R έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πίνακα c Έστω ότι οι, δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή Δείξτε ότι για κάθε C υπάρχει μοναδικός D τέτοιος ώστε D D C 3 () Έστω και W ο υπόχωρος του που παράγεται από τα I,,, Δείξτε ότι για κάθε, I,,,, και άρα dmw 4 () Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας 44 n a Έστω με ( x) ( x )( x ) Τότε ο πίνακας είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ο n είναι άρτιος b Για κάθε υπάρχει πολυώνυμο ( x) [ x] θετικού βαθμού τέτοιο ώστε ( ) 5 () Έστω με ran Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a Tr( ) b Tr( ) c Ο είναι τριγωνίσιμος d Tr( ) ο Α είναι διαγωνίσιμος (βλ άσκηση 36) 6 (3) Έστω,, C, D τέτοιοι ώστε C D για κάθε Αποδείξτε ότι αν οι, είναι αντιστρέψιμοι, τότε C D 7 (3) Έστω και : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από ( ) Δείξτε ότι αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με, τότε κάθε ιδιοτιμή της είναι ίση με 8 () Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος διάστασης 3, ˆ { v, v, v3} μια διατεταγμένη βάση του V και c Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : V V που ορίζεται από τις σχέσεις ( v ) v, ( v) v 3 v, ( v3) cv v v3 a Βρείτε όλες τις τιμές του c για τις οποίες η είναι τριγωνίσιμη I
Ασκήσεις4 5 b Βρείτε όλες τις τιμές του c για τις οποίες η είναι διαγωνίσιμη c Για c βρείτε μια βάση κάθε ιδιόχωρου της και μια βάση του υπόχωρου του V που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα της 3 4 9 (3) Αν είναι τριγωνίσιμος και Tr( ) Tr( ) Tr( ) c, τότε c και Tr( ) c για κάθε θετικό ακέραιο 3 (3) Έστω και, που δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή Δείξτε ότι δεν υπάρχει μη μηδενικό X με X X 33 33 m 3 () Έστω Δείξτε ότι για κάθε m 3 δεν υπάρχει με 3 3 3 () Έστω : η γραμμική απεικόνιση με ( x, y, z) ( x, y,) Αφού δείξετε ότι ο υπόχωρος 3 W του που παράγεται από τα (,,),(,,) είναι -αναλλοίωτος, βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο του περιορισμού W : W W της στο W n 33 () Έστω, με ( ), n Τότε ( ) 34 () Αν ο έχει το πολύ μία μη μηδενική ιδιοτιμή, τότε det( I ) Tr( ) 35 () Έστω, Δείξτε ότι ο πίνακας ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν οι, δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή 36 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Έστω Α ένας αντιστρέψιμος πίνακας Τότε ο Α είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ο είναι τριγωνίσιμος b Αν ο είναι τριγωνίσιμος, τότε ο ( ) είναι τριγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] c Έστω Αν ο είναι τριγωνίσιμος, τότε ο είναι τριγωνίσιμος 33 33 d Αν τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U = άνω τριγωνικός 33 33 e Αν τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με * * U U * * * * 33 Αν της μορφής * * * 5 * * * 33 τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με 5 * * U U * * * * 44 g Έστω με ( x) ( x) ( x)( x 3) Τότε ο είναι τριγωνίσιμος και όχι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν dm V () h Έστω : V V μια τριγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση και U V ένας υπόχωρος τέτοιος ώστε ( U ) U Τότε ό περιορισμός της στο U είναι τριγωνίσιμη απεικόνιση
Ασκήσεις4 5 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις 4 Λύση: Έστω, οι ιδιοτιμές του όταν αυτός θεωρηθεί ως στοιχείο του και έστω ότι Από την Πρόταση 7 ξέρουμε ότι Tr και άρα Το ζητούμενο έπεται από το Θεώρημα 34 a Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή και ισχύει dm V () Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα Ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι (πράξεις) το Σύμφωνα με την απόδειξη του a Θεωρήματος 33, ως U μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε πίνακα της μορφής b με b a, πχ το b Λύση: Λαμβάνοντας υπόψη το προηγούμενο υποερώτημα, μια επιλογή είναι U 3 c Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ( x) ( x 4) και επομένως ο Α είναι τριγωνίσιμος Επίσης βρίσκουμε ότι μια βάση του V (4) αποτελεί το 3 Μια βάση του που περιέχει το στοιχείο αυτό είναι η,, (γιατί;) Θέτοντας P, έχουμε ότι ο P είναι αντιστρέψιμος και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε 4 * * P P 3 5 3 Τώρα θα φέρουμε το 5 σε τριγωνική μορφή, πράγμα δυνατό καθώς ( x ) ( x 4) Υπολογίζοντας κατά τα γνωστά, βρίσκουμε ότι μια βάση του V (4) αποτελεί το Μια βάση του που περιέχει το στοιχείο αυτό είναι η, (γιατί;) Θέτοντας P, έχουμε ότι ο P
Ασκήσεις4 53 είναι αντιστρέψιμος και ξέρουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος 33 (χωρίς να υπάρχει ανάγκη 4 * να κάνουμε πράξεις), ότι P P 4 Τώρα θέτοντας U P P, ο U είναι αντιστρέψιμος (ως γινόμενο αντιστρέψιμων) και ξέρουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος 33, ότι 4 * * U U 4 * 4 3 Απάντηση: a (Βλ άσκηση 34) 4 Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ( x ) ( x ) ( x ), V (), V (), dm V (), dm V () Άρα ο είναι τριγωνίσιμος (βλ Θεώρημα 34) και όχι διαγωνίσιμος (βλ Θεώρημα ) Από την απόδειξη του Θεωρήματος 33 έπεται ότι ως U μπορούμε να θέσουμε οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα της μορφής * 3 3 * * 5 Υπόδειξη: Υπολογίστε το ( x) και δείξτε ότι είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] αν και μόνο αν a 6 Λύση: a Κάθε πίνακας της μορφής a 3, όπου a, έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο το x 5x 6 Από το Θεώρημα των Cayley-Hamlton έπεται ότι κάθε πίνακας I 5 6 Το πλήθος των είναι άπειρο a 3 ικανοποιεί b Έστω ( x) [ x] και ( x) ( x) ( x) Τότε ισχύει ( ) ( ) ( ) από το Θεώρημα των Cayley-Hamlton 7 Υπόδειξη: a Ο είναι διαγωνίσιμος γιατί έχει 3 διακεκριμένες ιδιοτιμές (Πόρισμα 9) b Χρησιμοποιήστε επαγωγή και το Θεώρημα των Cayley-Hamlton 8 Λύση a Ξέρουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο, ο είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής *
Ασκήσεις4 54 Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ίχνος, συμπεραίνουμε ότι * Tr( ) Tr b Επειδή ο είναι τριγωνίσμος, ξέρουμε ότι οι ιδιοτιμές του,, στο είναι όλες πραγματικές Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε Tr( ) Άρα ( ) Tr Συνεπώς ( x ) ( ) x Το ζητούμενο έπεται από το Θεώρημα 4 c Θα δείξουμε ότι ο είναι διαγωνίσιμος Από την υπόθεση και το υποερώτημα a έχουμε Θα δείξουμε ότι τα,,, είναι διακεκριμένα οπότε ο θα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Έστω, για άτοπο, ότι τα,,, δεν είναι διακεκριμένα Έστω,,, τα διακεκριμένα από τα,,, Τότε Από τη σχέση έπεται ότι για κάποιο Για κάθε,, έστω a το πλήθος των j από τα,,, που είναι ίσα με το Τότε έχουμε τις σχέσεις a a a a a a a a a Ισχύει a σύμφωνα με τους ορισμούς Συνεπώς ως προς τους αγνώστους a, το προηγούμενο ομογενές τετραγωνικό γραμμικό σύστημα έχει μη τετριμμένη λύση Άρα η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών του συστήματος είναι ίση με μηδέν Αλλά ξέρουμε ότι αυτή (ορίζουσα Vandermonde) ισούται με ( j ) Άρα j για κάποια j, άτοπο από τον ορισμό j των,,, Θα δείξουμε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος Έστω ότι ( x ) ( ) x a x a x a Από το Θεώρημα Cayley-Hamlton έχουμε
Ασκήσεις4 55 ( ) a a ai οπότε λαμβάνοντας ίχνη παίρνουμε ( ) Tr( ) a Tr( ) a Tr( ) a Tr( I) Λόγω της υπόθεσης, η παραπάνω σχέση δίνει a Αυτό σημαίνει ότι το δεν είναι ιδιοτιμή του (Πόρισμα 6) 9 Λύση a b: Από την υπόθεση έπεται ότι ( x) ( ) x και άρα από το Θεώρημα Cayley- Hamlton b c: πό έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με Άρα ( x) ( ) x και όπως πριν c d : πό έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με To ζητούμενο έπεται από την άσκηση 48a d a : ος τρόπος Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε ένα επιχείρημα με γραμμικά συστήματα και την ορίζουσα Vandermonde για να δείξετε ότι κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με (βλ λύση της άσκησης 48c) ος τρόπος (Για ποικιλία ας δούμε αναλυτικά μια άλλη λύση) Με επαγωγή στο θα δείξουμε ότι κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με Η περίπτωση είναι άμεση Έστω ότι ( x ) ( ) x a x a x a Από το Θεώρημα Cayley-Hamlton έχουμε ( ) a a ai οπότε λαμβάνοντας ίχνη παίρνουμε ( ) Tr( ) a Tr( ) a Tr( ) a Tr( I) Λόγω της υπόθεσης, η παραπάνω σχέση δίνει a Αυτό σημαίνει ότι το είναι ιδιοτιμή του (Πόρισμα 6) Τότε, από το Θεώρημα 33 συμπεραίνουμε ότι ο είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής * Άρα για κάθε θετικό ακέραιο, ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής * Συνεπώς Tr( ) Tr( C ), ( ) ( ) όπου C είναι ο πίνακας που προκύπτει από το κατόπιν διαγραφής της πρώτης γραμμής και πρώτης στήλης Τώρα η υπόθεση Tr( ) Tr( ) Tr( ) δίνει Tr( C) Tr( C ) Tr( C ) Από την επαγωγική υπόθεση παίρνουμε ότι κάθε ιδιοτιμή του C στο ισούται με Άρα κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με, δηλαδή κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με
Ασκήσεις4 56 3 ος τρόπος (έχει κοινά σημεία με τον προηγούμενο τρόπο) Από την άσκηση 48a αρκεί να δείξουμε ότι αν,, ικανοποιούν για κάθε,, () τότε Χρησιμοποιούμε επαγωγή Η περίπτωση είναι σαφής Έστω Από την () έπεται ότι για κάθε ( x) [ x] με () και deg ( x) έχουμε ( ) ( ) Έστω ( x) ( x )( x )( x ) ( ) Από ( ) ( ) παίρνουμε ( ) και άρα κάποιο Έστω Τότε από τη () έχουμε για κάθε,, Από την επαγωγική υπόθεση παίρνουμε m m m m Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) ( ) για κάθε θετικό ακέραιο m Άρα Tr( ) και το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη άσκηση Υπόδειξη: Αν ο * είναι άνω τριγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας, τότε ο αντίστροφός του είναι άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής # a Υπόδειξη: Αν ( : ˆ, ˆ ) είναι άνω τριγωνικός, όπου ˆ (,, ), θεωρείστε W,, Αντίστροφα, αν W W W και dmw, εφαρμόστε το θεώρημα επέκτασης βάσης από ΓΑΙ για να συμπεράνετε ότι υπάρχει βάση (,, ) του V τέτοια ώστε για κάθε τα,, αποτελούν βάση του W 3 3 b Δεν αληθεύει Ένα αντιπαράδειγμα είναι η γραμμική : με ( : ˆ, ˆ e e), W e, W e, e, W e, e, e H δεν είναι τριγωνίσιμη καθώς ( x) x( x ) 3 3 3 3 Υπόδειξη: Θεώρημα των Cayley-Hamlton 3 4 Υπόδειξη: a Έχουμε ( x) ( x )( x ) x x x και άρα από το Θεώρημα των Cayley-Hamlton Πολλαπλασιάζοντας με 3 I3 I3 και επομένως I3 b Επαγωγή στο n παίρνουμε
Ασκήσεις4 57 5 4 c Διαιρώντας το πολυώνυμο ( x) x x x 3 με το ( x ), βρίσκουμε (μετά από λίγες πράξεις) a( x) ( x ) ( x) 3x Άρα a( ) ( ) ( ) 3 I3 3 I3 γιατί ( ) από το Θεώρημα των Cayley-Hamlton Άρα ως ( x) μπορούμε να θέσουμε το ( x) 3x 5 Υπόδειξη: Επειδή ( x) ( ) ( x )( x ), κάθε ιδιοτιμή του στο ικανοποιεί ή ( ) Άρα Θεωρείστε n ( ) και εφαρμόστε το Θεώρημα 34 6 Υπόδειξη: Από το Πόρισμα 9 έπεται ότι οι δύο ιδιοτιμές του είναι ίσες Από το Θεώρημα 33 z z έπεται ότι ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής Ισχύει z Δείξτε ότι οι και z είναι όμοιοι υπολογίζοντας έναν αντιστρέψιμο P τέτοιον ώστε P P 7 8 Υπόδειξη: Παρατηρήστε με πράξεις πινάκων ότι h ( ) Tr( ) 9 Υπόδειξη: Αν είναι άνω τριγωνικός, τότε ο είναι κάτω τριγωνικός Ισοδύναμα, αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση με άνω τριγωνικό πίνακα ως προς τη διατεταγμένη βάση ( u, u, u ), τότε ο πίνακας της ως προς τη διατεταγμένη βάση ( u,, u, u ) είναι κάτω τριγωνικός Υπόδειξη: Θεωρείστε την τριγωνική ανισότητα Λύση a Αν v V ( ), τότε Οι ιδιοτιμές του είναι στές ρίζες της μονάδας Εφαρμόστε ( v) v g( ( v)) g( v) g( v) ( g( v)) g( v) g( v) V ( ) b Έστω μια ιδιοτιμή της (υπάρχει ιδιοτιμή αφού εδώ ) Η απεικόνιση της υπόδειξης είναι γραμμική, ο χώρος V ( ) είναι μη τετριμμένος και πεπερασμένης διάστασης και Άρα η απεικόνιση της υπόδειξης έχει ένα ιδιοδιάνυσμα u V ( ) Είναι σαφές ότι το u είναι ένα ιδιοδιάνυσμα και της g και της c Θα αποδείξουμε την εξής ισοδύναμη πρόταση Έστω, τέτοιοι ώστε Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U τέτοιος ώστε οι U U και U U είναι άνω τριγωνικοί (Σημείωση: H μετάβαση αυτή στους πίνακες θα μπορούσε να αποφευχθεί αν είχαμε στη διάθεσή μας την έννοια του χώρου πηλίκου, που δεν είναι στην διδακτέα ύλη) Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο Η περίπτωση είναι άμεση Έστω ότι Από το προηγούμενο ερώτημα υπάρχει X που είναι ιδιοδιάνυσμα και του και του Αφού X υπάρχει διατεταγμένη βάση του της μορφής { X, X,, X } όπου X X Επειδή το X είναι ιδιοδιάνυσμα του και του οι πίνακες U U, U U είναι της μορφής
Ασκήσεις4 58 U U * * C και U U * * C, όπου είναι μια ιδιοτιμή του, είναι μια ιδιοτιμή του και C, C προκύπτει ότι ( U U )( U U ) ( U U )( U U ), δηλαδή * * * * * * * * C C C C οπότε με πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε * * * * CC CC Άρα C C C C Από την υπόθεση της επαγωγής υπάρχει αντιστρέψιμος και U έχουμε C U είναι άνω τριγωνικοί Θέτοντας U U U U U U U U U ( ) ( ) ( ) ( ) U τέτοιος ώστε οι, U Από C U, ο U είναι αντιστρέψιμος και * * * * U C U U CU που είναι άνω τριγωνικός Όμοια και ο U U είναι άνω τριγωνικός d Θα δείξουμε την εξής ισοδύναμη πρόταση Έστω, τέτοιοι ώστε Τότε για κάθε ιδιοτιμή του υπάρχει ιδιοτιμή του και ιδιοτιμή του τέτοιες ώστε Χρησιμοποιώντας τον πίνακα U του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε U ( ) U U U U U Καθένας από τους U U, U U και U ( ) U είναι άνω τριγωνικός και επομένως οι ιδιοτιμές του (αντίστοιχα του, του ) είναι τα διαγώνια στοιχεία του U U (αντίστοιχα του U U, του U ( ) U ) Άρα κάθε διαγώνιο στοιχείο του U ( ) U είναι της μορφής Συνεπώς κάθε ιδιοτιμή του είναι της μορφής Υπόδειξη: c Εφαρμόστε το τελευταίο ερώτημα της προηγούμενης άσκησης για να δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση L R : είναι ένας ισομορφισμός 3 Λύση: Θα δείξουμε με επαγωγή στο ότι για κάθε,
Ασκήσεις4 59 I v,,,, Έστω ότι ( x) ( ) x a x a Έστω Τότε, από το θεώρημα των Cayley- Hamlton, ( ) a a I Άρα Έστω ότι v ( ) ( a a I ) I,,,, v I,,,, για κάποιο b,, bv Έχουμε αφού γιατί ο Τότε b b I για κάποια v ( b b I ) b b b I,,,,, v v I,,,, I,,,, Δείξαμε ότι για κάθε, Επειδή ισχύει και dmw dm I,,,, Συνεπώς έχουμε b b b I,,,,, είναι υπόχωρος του I,,,, W I,,,, v Συνεπώς,,,, Άρα I,,,, I W, έχουμε την ισότητα W I,,,, γιατί ο χώρος I,,,, Άρα παράγεται από στοιχεία Σημείωση Το πρώτο βήμα της απόδειξης θα μπορούσε να γίνει ως εξής Από την Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων υπάρχουν q( x), r( x) [ x] με Από το θεώρημα των Cayley-Hamlton, x q( x) ( x) r( x), deg r( x) q r r I ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 4 Λύση a Σωστή Θεωρώντας ότι 44, οι ιδιοτιμές του είναι οι,,,, οπότε οι ιδιοτιμές του είναι οι n,( ) n,( ) n,( ) n σύμφωνα με το θεώρημα φασματικής απεικόνισης Επειδή n n n n,( ) για άρτιο n και,( ) για περιττό n, από το Θεώρημα 34 έπεται ότι η απάντηση είναι οι άρτιοι n b Σωστή To πολυώνυμο ( x) ( x) έχει τις ζητούμενες ιδιότητες από το θεώρημα των Cayley-Hamlton 5 Υπόδειξη a Από την υπόθεση ran έπεται ότι κάθε δύο γραμμές του είναι γραμμικά εξαρτημένες (ως v στοιχεία του ) Άρα υπάρχουν b,, b, c,, c με b c b c bc bc bc bc b c b c b c b b Δηλαδή έχουμε C, όπου, C c c c Παρατηρούμε ότι C ( Tr( )) b και άρα ( C) C Tr( ) C Tr( ) b Από το a παίρνουμε ( Tr( )),, με επαγωγή στο n
Ασκήσεις4 6 c Από το a έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι μία από τις, Tr( ) που είναι πραγματικοί αριθμοί Άρα το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ] και ο είναι τριγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 34 d Αν Tr( ), δείξτε ότι dm V() v και dm V( Tr( )) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα ) Αντίστροφα, έστω Tr( ) Τότε από το a έχουμε Αν ο ήταν διαγωνίσιμος, από θα είχαμε Αυτό είναι άτοπο αφού ran Σημείωση: Μία άλλη λύση θα μπορούσε να δοθεί ως εξής Το a έπεται από την άσκηση 36 Το b έπεται από το Θεώρημα των Cayley-Hamlton και την άσκηση 33 6 Υπόδειξη: Για κάθε πολυώνυμο ( x ) με () έχουμε ( ) C ( ) D ( x) ( x) ( x) det( ) 7 Υπόδειξη: Παρατηρούμε ότι ( ) L ( ) R ( ), όπου L :, L ( ) Θέτουμε R :, R( ) και εφαρμόζουμε τις 4d και 4b Σημείωση: Μία άλλη λύση μπορεί να δοθεί ως εξής ν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με, τότε m από το Θεώρημα των Cayley-Hamlton Δείξτε με υπολογισμό ότι για κατάλληλο m 8 a Είναι τριγωνίσιμη για κάθε c καθώς ( x) ( x) ( x) b Είναι διαγωνίσιμη αν και μόνο αν c V () :{ v v }, V () :{ v } c 3 4 9 Υπόδειξη: Tr( ) Tr( ) Tr( ) ( ) {,} για κάθε 3 Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) X X( ) για κάθε ( x) [ x] Θεωρείστε ( x) ( x) και δείξτε ότι ο ( ) είναι αντιστρέψιμος 33 m 3 Λύση: Αν υπήρχε με, τότε κάθε ιδιοτιμή του θα ήταν ίση με και άρα m από το Θεώρημα Cayley-Hamlton Καθώς m 3 έχουμε, άτοπο 3 3 Λύση: Παρατηρούμε ότι (,,) (,,) W και (,,) (,,) W και άρα ο W είναι αναλλοίωτος και επίσης (η ταυτοτική απεικόνιση στο W ) Έχουμε dmw Άρα το W W χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο της είναι αντίστοιχα W ( x ) και x n 33 Λύση: Από ( ), n, έπεται ότι ( ) n n ( ) Άρα κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με, οπότε το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα των Cayley-Hamlton Άλλος τρόπος Από την υπόθεση έπεται ότι ( x ) ( ) x Από την άσκηση 7 παίρνουμε ( x) ( ) x, οπότε το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα των Cayley-Hamlton 34 Υπόδειξη: Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι,,,, τότε οι ιδιοτιμές του I είναι οι,,, 35 Υπόδειξη: Από το θεώρημα φασματικής απεικόνισης, οι ιδιοτιμές του ( ) είναι οι ( ), όπου λ διατρέχει τις ιδιοτιμές του 36 Απάντηση:
Ασκήσεις4 6 a Σ Έχουμε τριγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U T, όπου T άνω τριγωνικός Αλλά ( U U ) U U, δηλαδή U U T Ξέρουμε ότι ο αντίστροφος ενός αντιστρέψιμου άνω τριγωνικού πίνακα είναι άνω τριγωνικός, δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός Άρα τριγωνίσιμος Η αντίστροφη συνεπαγωγή είναι παρόμοια b Σ Ξέρουμε ότι αν T είναι άνω τριγωνικός, τότε ο ( T ) είναι άνω τριγωνικός για κάθε ( x) [ x] (βλ Παρατήρηση 4 ) Έχουμε τριγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U T, όπου T άνω τριγωνικός ( U U ) ( T ) U ( ) U ( T) που είναι άνω τριγωνικός Άρα ο ( ) είναι τριγωνίσιμος c Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι Έχουμε ( x ) x και άρα ο δεν είναι τριγωνίσιμος από το Θεώρημα 34, αλλά I που είναι τριγωνίσιμος 3 3 d Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι ο Έχουμε ( x ) x ( x ) και άρα ο δεν είναι τριγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 34 e Σ Το ( x ) είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 38 T έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Άρα το είναι ιδιοτιμή του Α Έστω αντίστιχο ιδιοδιάνυσμα Επειδή u, ξέρουμε από τη ΓΑΙ ότι υπάρχει βάση του 3 u ένα 3 της 33 ( ) μορφής { u, u, u 3} Θεωρούμε τον πίνακα U με U u,,,3 Επειδή το σύνολο { u, u, u 3} είναι βάση του 3, ξέρουμε από τη ΓΑΙ ότι ο U είναι αντιστρέψιμος Από την απόδειξη του Θεωρήματος 34 ξέρουμε ότι η πρώτη στήλη του U U είναι η Σ Το είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -5 Ως U μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα με πρώτη στήλη τη g Σ Από το Θεώρημα 34, ο Α είναι τριγωνίσιμος Έχουμε dm V (), dm V (), dm V (3) (Θεώρημα 3) Από το Θεώρημα ), ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος dm V () dm V () dm V (3) 4 dm V () h Σ Έστω g ο περιορισμός της στο U Από την Πρόταση 4 έπεται ότι το πολυώνυμο ( x ) διαιρεί το ( x) (γιατί;) Από το Θεώρημα 34, το ( x) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων g παραγόντων στο [ x] Άρα το ίδιο ισχύει για το ( x), οπότε η g είναι τριγωνίσιμη σύμφωνα με το Θεώρημα 34 Ο ίδιος ο Cayley στην εργασία Memor on the Theory o Matrces (858), γράφει τα εξής για το θεώρημα που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα των Cayley και Hamlton I obtan the remarable theorem that any matrx whatever satses an algebracal equaton o ts own order, the coecent o the hghest power beng unty, and those o the other powers unctons o the terms o the matrx, the last coecent beng n act the determnant; g