ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ Παράδοση 7 ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ

Συνεπής επιλογή σε συνθήκες βεβαιότητας Αν οι προτιμήσεις ικανοποιούν Πληρότητα Αντανακλαστικότητα (Aυτοπάθεια) Μεταβατικότητα Συνέχεια μπορούν να απεικονιστούν από μια συνεχή συνάρτηση χρησιμότητας u(x) Τακτική συνάρτηση 2

Τα αξιώματα Πληρότητα x και y στο σύνολο X, είτε x y είτε y x ή και τα δύο Αντανακλαστικότητα x στο σύνολο X, x x 3

Μεταβατικότητα Τα αξιώματα x, y και z στο σύνολο X, αν x y και y z, τότε x z Συνέχεια y στο X, τα σύνολα {x: x y} και {x: x y} είναι κλειστά. Τότε {x: x>y} και {x: x<y} είναι ανοιχτά σύνολα. δηλ. αν y>z και x είναι αρκετά κοντά στο y, τότε x>z (δηλ. πρέπει να διατηρώ την ταξινόμηση των προτιμήσεών μου ακόμα και στο όριο) 4

Συνάρτηση χρησιμότητας Αυτή η συνάρτηση χρησιμότητας δεν είναι μοναδική Κάθε μονοτονικός μετασχηματισμός είναι εξίσου καλός u(x) και f(u(x)) απεικονίζουν τις ίδιες προτιμήσεις 5

Συνεπής επιλογή σε συνθήκες κινδύνου Όταν ένα άτομο παίρνει μια απόφαση σε περιβάλλον όπου η αντιστοιχία ανάμεσα σε δράσεις και συνέπειες δεν είναι αιτιοκρατική αλλά στοχαστική η επιλογή μιας δράσης είναι σαν να επιλέγει ένα λαχείο (λοταρία) όπου τα κέρδη είναι οι συνέπειες p x (1 p ) y «Το άτομο λαμβάνει κέρδος x με πιθανότητα p και κέρδος y με πιθανότητα (1-p)» 6

Κατανομή πιθανοτήτων Κάθε δράση έχει διάφορα πιθανά αποτελέσματα, καθένα από τα οποία έχει κάποια πιθανότητα να συμβεί Κατανομή πιθανοτήτων: κατάλογος διαφορετικών ενδεχομένων και πιθανότητας που συνδέεται με κάθε ενδεχόμενο 7

Ποια συνάρτηση χρησιμότητας Όταν δεν γνωρίζουμε εξαρχής ποια ωφέλεια θα αποκομίσουμε ακριβώς από τις εναλλακτικές δράσεις που εξετάζουμε, η ορθολογική δράση εξηγείται όπως και σε συνθήκες βεβαιότητας, δηλ. ως προσπάθεια ικανοποίησης των προτιμήσεων μας, η οποία παίρνει τη μορφή μεγιστοποίησης κάποιας συνάρτησης ωφέλειας μόνο που τώρα πρόκειται για συνάρτηση προσδοκώμενης ωφέλειας 8

Αξιώματα Αν οι προτιμήσεις ικανοποιούν Πληρότητα Αντανακλαστικότητα Μεταβατικότητα Συνέχεια Η προτίμηση αυξάνει με την αύξηση της πιθανότητας του προτιμότερου αποτελέσματος Ανεξαρτησία το άτομο που ενεργεί σύμφωνα με τη διάταξη των προτιμήσεών του, δρα σαν να μεγιστοποιεί την συνάρτηση προσδοκώμενης χρησιμότητας 9

Αξιώματα Συνέχεια { p [0,1]: p x (1 p) y z} και { p [0,1]: z p x (1 p) y} είναι κλειστά σύνολα x, y και z στο σύνολο των λοταριών 10

Συνέχεια δηλ. έστω τρεις προοπτικές x, z, y, και το άτομο προτιμά την 1 η από τη 2 η και τη 2 η από την 3 η τότε υπάρχει κάποιο p ώστε αν του δινόταν η προοπτική x με πιθανότητα p και η προοπτική y με πιθανότητα (1-p), το άτομο θα ήταν εξίσου ικανοποιημένο με μια εναλλακτική κατάσταση όπου θα δινόταν η προοπτική z με σιγουριά 11

Αξιώματα Η προτίμηση αυξάνει με την αύξηση της πιθανότητας του προτιμότερου αποτελέσματος Αν b είναι η καλύτερη προοπτική λοταρίας και w η χειρότερη, p b (1 p) w προτιμάται από q b (1 q) w αν και μόνο αν p>q 12

Αξιώματα Ανεξαρτησία Για τρεις προοπτικές x, y, z στο σύνολο L, αν x προτιμότερη από y, τότε υπάρχει μια πιθανότητα λ (0,1) ώστε ένα πιθανοτικό μείγμα (λ, 1-λ) των x και z να είναι τουλάχιστον εξίσου καλό όσο ένα πιθανοτικό μείγμα (λ, 1-λ) των y και z x y iff λ x (1 λ) z λy (1 λ) z 13

Προσδοκώμενη ωφέλεια Οι δράσεις των ατόμων δεν συνδέονται μοναδικά με ένα αποτέλεσμα - τα άτομα δρουν σαν να σχημάτιζαν μια συγκεκριμένη ποσοτική προσδοκία για κάθε δράση Η ιδιότητα της προσδοκώμενης ωφέλειας λέει ότι η ωφέλεια από μια λοταρία είναι η προσδοκία χρησιμότητας από τα κέρδη της Η ωφέλεια είναι αθροιστικά διαχωρίσιμη στα αποτελέσματα και γραμμική στις πιθανότητες 14

Προσδοκώμενη ωφέλεια Η ωφέλεια μπορεί να παρασταθεί ως σταθμισμένο άθροισμα συναρτήσεων χρησιμότητας σε κάθε ενδεχόμενο Συνάρτηση προσδοκώμενης ωφέλειας ή συνάρτηση ωφέλειας von Neumann- Morgenstern u( p x (1 p) y) = pu( x) + (1 p) u( y) 15

Συνάρτηση προσδοκώμενης ωφέλειας Είναι αυτή η συνάρτηση μοναδική; Μόνο οι μονοτονικοί μετασχηματισμοί οι οποίοι διατηρούν την ιδιότητα της προσδοκώμενης χρησιμότητας είναι εξίσου καλοί δηλ. μόνο οι συναφείς μετασχηματισμοί (affine transformations) αυτής π.χ. u(.) και v(.)= αu(.)+c α>0 16

Συναφής μετασχηματισμός Κάθε συναφής μετασχηματισμός μιας προσδοκώμενης συνάρτησης χρησιμότητας είναι επίσης μια προσδοκώμενη συνάρτηση χρησιμότητας u( p x (1 p) y) = au( p x (1 p) y) + c = apux [ ( ) + (1 puy ) ( )] + c = p[ au( x) + c] + (1 p)[ au( y) + c] = pv x + (1 p) v( y) ( ) 17

Προσδοκώμενη ωφέλεια Ο υπολογισμός της προσδοκώμενης ωφέλειας απαιτεί να γνωρίζουμε όχι μόνο τη διάταξη των προτιμήσεων αλλά και την έντασή τους π.χ. αν σε ελκύει πολύ περισσότερο η ιδέα του να περπατήσεις στη βροχή απ ό,τι σε τρομάζει η ιδέα ότι μπορεί να βραχείς, τότε μπορεί να το διακινδυνεύσεις να πας περίπατο 18

Απόλυτη συνάρτηση ωφέλειας Η απόφαση ανάμεσα σε δυο δράσεις εξαρτάται από Ένταση προτίμησης μεταξύ πιθανών αποτελεσμάτων, και Πιθανότητα αποτελεσμάτων Όταν ένα άτομο επιλέγει σε συνθήκες αβεβαιότητας, η συνάρτησηπουεκφράζειτη διάταξη των αποτελεσμάτων πρέπει να είναι μια απόλυτη και όχι τακτική συνάρτηση ωφέλειας 19

Θεωρία προσδοκώμενης ωφέλειας Η θεωρία της προσδοκώμενης ωφέλειας είναι αναλυτικά εύχρηστη: Μεγιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης η οποία αποτελείται από τιμές υποκειμενικής ωφέλειας και μια κατανομή υποκειμενικών πιθανοτήτων 20

Συναρτήσεις ωφέλειας και αποστροφή κινδύνου Όταν ένα άτομο λαμβάνει ριψοκίνδυνες αποφάσειςαπότιςοποίεςθαπροκύψουν χρηματικά αποτελέσματα, οι αριθμητικές τιμές της απόλυτης ωφέλειας, που συνδέονται με αυτά τα αποτελέσματα, αντανακλούν τη στάση του ατόμου απέναντι στον κίνδυνο 21

Στάση απέναντι στον κίνδυνο Ας υποθέσουμε ότι ένα άτομο έχει 10 και δυνατότητα συμμετοχής σε λοταρία με πιθανότητα 50% να κερδίσει 5 και πιθανότητα 50% να χάσει 5 Προσδοκώμενη αξία του τυχερού παιχνιδιού είναι 0.5(15) + 0.5(5) = 10 Αν συμμετέχει άτομο που αγαπά τον κίνδυνο (risk lover) 22

Στάση απέναντι στον κίνδυνο Αν δεν συμμετέχει άτομο που αποστρέφεται τον κίνδυνο (η λοταρία δεν προσφέρει τίποτα κατά μέσο όρο, παρά μόνο κίνδυνο ο οποίος το απωθεί ) (risk averse) Αν είναι αδιάφορο άτομο ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο (risk neutral) 23

Η προσδοκώμενη αξία του τυχερού παιχνιδιού είναι 0.5(15) + 0.5(5) = 10 Και η προσδοκώμενη ωφέλεια 0.5 u(15) + 0.5 u(5) 24

Αποφυγή κινδύνου Κοίλη συνάρτηση προσδοκώμενης ωφέλειας u(15) u(10) 0.5u(5)+0.5u(15) u(5) Προσδοκώμενη ωφέλεια : 0.5u(5)+0.5u(15) Προσδοκώμενη αξία: 10 Ωφέλεια προσδοκώμενης αξίας: u(10) u(10)>0.5u(5)+0.5u(15) 5 10 15 25

Αγάπη προς τον κίνδυνο Κυρτή συνάρτηση προσδοκώμενης ωφέλειας u(15) 0.5u(5)+0.5u(15) u(10) u(5) u(10)<0.5u(5)+0.5u(15) 5 10 15 26

Ουδετερότητα απέναντι στον κίνδυνο Γραμμική συνάρτηση ωφέλειας u(15) U(10)=0.5u(5)+0.5u(15) u(5) u(10)=0.5u(5)+0.5u(15) 5 10 15 27

Στάση απέναντι στον κίνδυνο Η καμπυλότητα της συνάρτησης προσδοκώμενης ωφέλειας περιγράφει τη στάση απέναντι στον κίνδυνο Αν είναι κοίλη (κλίση όλο και πιο επίπεδη καθώς αυξάνεται ο πλούτος), το άτομο αποφεύγει τον κίνδυνο προτιμά την προσδοκώμενη αξία του παιχνιδιού από το ίδιο το τυχερό παιχνίδι Αν είναι, κυρτή επιδιώκει τον κίνδυνο 28

Μέτρηση αποστροφής κινδύνου Όσο πιο κοίλη η συνάρτηση, τόσο περισσότερο το άτομο αποστρέφεται τον κίνδυνο μπορούμε να μετρήσουμε την αποστροφή απέναντιστονκίνδυνομετηδεύτερηπαράγωγο της συνάρτησης προσδοκώμενης χρησιμότητας; 29

Αποφυγή κινδύνου g = px (1 p) x 1 2 Προσδοκώμενη ωφέλεια : Eu(g) =pu(x 1 )+(1-p)u(x 2 ) u(x 2 ) u(e(g)) Eu(g) u(x 1 ) Προσδοκώμενη αξία: E(g)=px 1 +(1-p)x 2 Ωφέλεια προσδοκώμενης αξίας: u(e(g)) x 1 E(g) x 2 30

Αποφυγή κινδύνου u(x 2 ) u(e(g) CE(g) : Ισοδύναμο βεβαιότητας (certainty equivalence) της λοταρίας g Eu(g) u(x 1 ) x 1 CE(g) E(g) x 2 31

Αποφυγή κινδύνου R(g): ασφάλιστρο κινδύνου (risk premium) του g u(x 2 ) u(e(g) Eu(g) R(g) = E(g) - CE(g) Risk averse iff R(g)>0 u(x 1 ) R(g) x 1 CE(g) E(g) x 2 32

Αποφυγή κινδύνου u 1 (x 2 )=u 2 (x 2 ) Eu 1 (g)=eu 2 (g) u 1 (x 1 )=u 2 (x 1 ) u 1 u 2 R 2 (g) Ο 1 αποστρέφεται τον κίνδυνο περισσότερο R 1 (g) CE 2 (g) CE x 1 (g) E(g) 1 x 2 33

Μπορούμε να μετρήσουμε την αποστροφή απέναντιστονκίνδυνομετοβαθμό καμπυλότητας της συνάρτησης προσδοκώμενης χρησιμότητας; Όχι καλή μέτρηση, γιατί η δεύτερη παράγωγος δεν είναι αμετάβλητη σε ένα θετικό συναφή μετασχηματισμό 34

Η απόλυτη αποστροφή κινδύνου: Ο συντελεστής Arrow-Pratt Έστω u 1 και u 2 vnm συναρτήσεις χρησιμότητας για 1 και 2 αντίστοιχα. Ο 1 αποστρέφεται περισσότερο τον κίνδυνο αν r ( x) r ( x) x όπου 2 1 r i ( x) = u u i ( x) ( x) i Ο 2 θα αναλάβει περισσότερα μικρά στοιχήματα από τον 1 σε ένα αρχικό επίπεδο πλούτου 35

Η σχετική αποστροφή κινδύνου: Ο συντελεστής Arrow-Pratt Πώς αντιδρά ένα ο καταναλωτής σε στοιχήματα αναλογικά του πλούτου του; (π.χ. απόδοση σε επενδύσεις σχετίζεται με αρχικό επίπεδο επένδυσης) μ( x) u ( x) x = u ( x) 36

Η αποστροφή κινδύνου και ο πλούτος Πώς μεταβάλλεται η απόλυτη και η σχετική αποστροφή στον κίνδυνο με το επίπεδο πλούτου; Λογικό να υποθέσουμε ότι η απόλυτη αποστροφή στον κίνδυνο μειώνεται με τον πλούτο: καθώς γινόμαστε πιο πλούσιοι, είμαστε πρόθυμοι να δεχθούμε περισσότερα στοιχήματα (σε απόλυτες μονάδες χρήματος) Η σχετική αποστροφή στον κίνδυνο πιο προβληματική: καθώς ο πλούτος μας αυξάνεται, είμαστε περισσότερο ή λιγότερο πρόθυμοι να κινδυνεύσουμε να χάσουμε ένα μέρος του; 37

Κριτική της θεωρίας της προσδοκώμενης ωφέλειας (α) Εμπειρικά δεδομένα Η πραγματική ατομική συμπεριφορά φαίνεται να παραβιάζει συστηματικά κάποια από τα αξιώματα της θεωρία της προσδοκώμενης ωφέλειας π.χ. Allais paradox 38

Allais paradox Έχεις να διαλέξεις ανάμεσα σε δυο στοιχήματα Α: 100% πιθανότητα να κερδίσεις 1 εκατ. Β: 10% πιθανότητα να κερδίσεις 5 εκατ., 89% πιθανότητα 1 εκατ. και 1% πιθανότητα 0. Τι επιλέγεις; 39

Allais paradox Τώρα έχεις να διαλέξεις ανάμεσα στα δυο στοιχήματα Γ: 11% πιθανότητα να κερδίσεις 1 εκατ. και 89% πιθανότητα 0 Δ: 10% πιθανότητα να κερδίσεις 5 εκατ., και 90% πιθανότητα 0. Τι επιλέγεις; 40

Α: 100% πιθανότητα να κερδίσεις 1 εκατ. Β: 10% πιθανότητα να κερδίσεις 5 εκατ., 89% πιθανότητα 1 εκατ. και 1% πιθανότητα τίποτα. Γ: 11% πιθανότητα να κερδίσεις 1 εκατ. και 89% πιθανότητα τίποτα Δ: 10% πιθανότητα να κερδίσεις 5 εκατ., και 90% πιθανότητα τίποτα Πολλοί επιλέγουν Α από Β και Δ από Γ. Αυτές οι επιλογές παραβιάζουν τα αξιώματα της προσδοκώμενης χρησιμότητας: Αν Α Β u(1)>0.1u(5)+0.89u(1)+0.01u(0) 0.11u(1)>0.1u(5)+0.01u(0) 0.11u(1)+0.89u(0)>0.1u(5)+0.01u(0)+0.89u(0) 0.11u(1)+0.89u(0)>0.1u(5)+0.90u(0) Αν κάποιος μεγιστοποιεί την προσδοκώμενη χρησιμότητα, πρέπει να προτιμήσει Γ από Δ 41

Κριτική της θεωρίας της προσδοκώμενης ωφέλειας (β) Προέλευση προσδοκιών Πώς σχηματίζονται οι υποκειμενικές πιθανότητες; Αν η ατομική συμπεριφορά ικανοποιεί περιορισμούς οι οποίοι εγγυώνται την ύπαρξη υποκειμενικών πιθανοτήτων, αυτές οι πιθανότητες πρέπει να ικανοποιούν τον κανόνα του Bayes δείχνει πώς ένα ορθολογικό άτομο πρέπει να ενημερώνει τις πιθανότητές του όταν υπάρχουν νέες πληροφορίες 42

Ο κανόνας του Bayes Η πιθανότητα να έχει συμβεί το γεγονός Α, δεδομένου ότι έχει μόλις παρατηρηθεί το γεγονός Β, εκφράζεται ως Pr(A B) (δεσμευμένη πιθανότητα) και είναι ίση με Pr( AB) = Pr( BA)Pr( A) Pr( BA)Pr( A) + Pr( Bοχι A)Pr( οχι Α) 43

Ο κανόνας του Bayes Ο κανόνας συνδέει την αρχική πιθανότητα Pr(A), δηλ. την πιθανότητα ότι η υπόθεση είναι αληθινή πριν παρατηρηθεί το γεγονός, με τη μεταγενέστερη πιθανότητα, δηλ. την πιθανότητα ότι η υπόθεση είναι αληθινή αφού παρατηρηθεί το γεγονός Αλλά 44

Αρχικές πιθανότητες Από πού προέρχονται οι αρχικές πιθανότητες (prior beliefs); Τα άτομα αναζητούν πληροφορίες με βάση τον οριακό κανόνα: εξισώνοντας οριακό όφελος με οριακό κόστος Καθαρά υποκειμενικές 45

Ellsberg paradox έστω δοχείο με 90 σφαιρίδια, από τα οποία 30 είναι κόκκινα και 60 είτε μαύρα είτε κίτρινα Έχεις τις ακόλουθες επιλογές κόκκινο μαύρο κίτρινο Επιλογή 1 100 0 0 Επιλογή 2 0 100 0 Τι επιλέγεις; 46

Ellsberg paradox έστω έχεις τώρα τις ακόλουθες επιλογές κόκκινο μαύρο κίτρινο Επιλογή 3 100 0 100 Επιλογή 4 0 100 100 Τι επιλέγεις; 47

Ellsberg paradox Σε αυτό το πείραμα οι περισσότεροι συμμετέχοντες διάλεξαν τις επιλογές 1 και 4 ασυνέπεια στις υποκειμενικές εκτιμήσεις πιθανότητας κόκκινο μαύρο κίτρινο 1 100 0 0 2 0 100 0 Όταν ένα άτομο προτιμά 1 από 2, τότε αποκαλύπτει μια υψηλότερη υποκειμενική εκτίμηση πιθανότητας του κόκκινου από μαύρο Η επιλογή μεταξύ 1 και 2 δεν έχει σημασία αν βγει κίτρινο, παρά μόνο αν βγει κόκκινο ή μαύρο. Από τη στιγμή που τα κέρδη είναι συμμετρικά (100 ), το να επιλέξεις 1 έχει λογική μόνο αν περιμένεις η πιθανότητα κόκκινου να είναι μεγαλύτερη από αυτή του μαύρου 48

Ellsberg paradox Σε αυτό το πείραμα οι περισσότεροι συμμετέχοντες διάλεξαν τις επιλογές 1 και 4 ασυνέπεια στις υποκειμενικές εκτιμήσεις πιθανότητας κόκκινο μαύρο κίτρινο 3 100 0 100 4 0 100 100 Αν επέλεξες 1, τότε γιατί μετά επέλεξες 4; Καιπάλιανβγεικίτρινο, η επιλογή σου δεν έχει σημασία πρέπει να επιλέξεις 3 εφόσον, για κάποιο υποκειμενικό λόγο, περιμένεις η πιθανότητα κόκκινου να είναι μεγαλύτερη από ενός μαύρου 49

Πιθανή ερμηνεία του Ellsberg paradox Μεταξύ 1 και 2, διαλέγεις 1 γιατί Γνωρίζεις την ακριβή πιθανότητα να κερδίσεις 100 (30 κόκκινα σφαιρίδια) Αν διαλέξεις 2, δεν τη γνωρίζεις (δεν γνωρίζεις ποσοστό μαύρων) Από 3 και 4, αν διαλέξεις 4 Γνωρίζεις την ακριβή πιθανότητα να κερδίσεις 100 (60 μαύρα και κίτρινα σφαιρίδια) Αν διαλέξεις 3, δεν τη γνωρίζεις (δεν γνωρίζεις ποσοστό κόκκινων και κίτρινων συνολικά) 50

Πιθανή ερμηνεία του Ellsberg paradox Οι επιλογές 1 & 4 μπορούν να εξηγηθούν με βάση την αποστροφή στην αμφιβολία και την προτίμηση για προοπτικές που συνδέονται με ακριβείς αντικειμενικές πληροφορίες σχετικά με τις πιθανότητες Αυτήηπροτίμησηπαραβιάζειτηθεωρίατης προσδοκώμενης ωφέλειας Το Ellsberg παράδοξο υπονοεί ότι οι εκτιμήσεις πιθανότητας εκφράζουν ανεπαρκώς τον τρόπο με τον οποίο υπεισέρχεται η αβεβαιότητα στη λήψη αποφάσεων. 51

Κριτική της θεωρίας της προσδοκώμενης ωφέλειας (γ) Φιλοσοφικές αντιρρήσεις Η νεοκλασική θεωρία βασίζεται στον ορθολογισμό αλλά και άλλες διαστάσεις της κοινωνικής μας τοποθέτησης και του προσωπικού μας χαρακτήρα επηρεάζουν τις αποφάσεις 52