Ψηφιακές Επικοινωνίες Baseband ransmission Antipodal Signalling - Binary Orthogonal Signalling Probability of Error M-ary Orthogonal Signalling Waveforms Detection M-PAM detection Probability of error
Ανίχνευση υαδικού Σήµατος σε Gaussian Noise s i ( t) x n( t) r( t) (AWGN) h(t) z( t) t= Η ανάκτηση του σήµατος στο δέκτη αποτελείται από δύο µέρη Signal correlator ή Matched filter z( ) s i ( t) µετατρέπει το σήµα λήψης σε µία µεταβλητή z() z()ονοµάζεται test statistics Ανιχνευτής (Detector) (ή decision circuit) συγκρίνει το z()µε κάποιο κατώφλι (threshold)γ, z( ) H 1 > < H γ όπου H 1 και H είναι οι δύοδυνατές υποθέσεις (binary likelihoods) H 1 H Page 349
Οι λειτουργίες του Signal correlatorκαιτου detectorείναι ανεξάρτητες η µία από την άλλη. Αφού το r(t)έχει µετασχηµατιστεί σε z(),η µορφή της κυµατοµορφής δεν έχει πλέον σηµασία! Αυτό σηµαίνει ότι κάθε κυµατοµορφήεκποµπής µετασχηµατίζεται σε z() για τη διαδικασία της ανίχνευσης. Εποµένως, detection για baseband και bandpass είναι το ίδιο!! Ένας δηµοφιλής detector που ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλµατος (probability of error) είναι γνωστός ως maximum likelihood detector (MLD). Page 35
Για antipodal signaling (polar NRZ ή -PAM ή BPSK) x(t) A -A 1 1 1 t 3 5 η έξοδος από το matched filter z(t) [z = conv(x, h)] είναι: z(t) A -A και κατά τις στιγµές δειγµατοληψίας z(k), k=1,, παίρνουµε (απουσία θορύβου) τις τιµές (test statistics ή decision variables) Α Τ, -Α Τ, -Α Τ, Α Τ, Α Τ,... 1 1
Orthogonal signalling Έστω ότι ένα δυαδικό ορθογώνιο σύστηµα σηµατοδοσίας χρησιµοποιεί δύο κυµατοµορφές, για τις οποίες ισχύει η συνθήκη ορθογωνιότητας: Παράδειγµα: b s ( τ ) s ( τ ) dτ= 1
Binary orthogonal signalling Ο δέκτης προσαρµοσµένου φίλτρου για την µετάδοση µε δύο ορθογώνιες κυµατοµορφές δίνεται Για το παράδειγµα:
Binary orthogonal signalling - Correlator-ype Receiver Ισοδύναµα, ο συσχετιστής (correlator) cross-correlates το σήµα λήψης, r(t), µε τα δύο πιθανά σύµβολα εκποµπής s (t)και s 1 (t) x r( t) s t ( ) x z () dt z () dt z ( t ) z t 1 ( ) t = z ( ) z 1 ( ) Maximum Detector ( ) s t i s t 1 ( ) Η έξοδος του συσχετιστήτη στιγµή t= για το z ή για το z 1 δίνεται: =z z ( ) r( t) s ( t) dt z 1( ) r( t) s1( t) dt =z Page 375
Binary orthogonal signalling - Correlator-ype Receiver Μία άλλη εκδοχή του correlator receiver δίνεται στο παρακάτω διάγραµµα Ο Detector συγκρίνει την είσοδο z() µε το r( t) z x () dt z ( t ) s ( t ) Σ t = x s t 1 ( ) z () dt - + z t 1 ( ) z( ) s ( t) i Page 378
Binary orthogonal signalling - Correlator-ype Receiver Μερικές φορές ένας µόνο correlatorχρησιµοποιείται αλλά µε σήµα συσχετισµού (correlating signal) να δίνεται από s 1 (t) - s (t) r( t) x s ( t) s ( t) 1 z () dt t = s ( t) i Page 378
Πιθανότητα λάθους µεταξύ συµβόλων Θα δούµε µία γενική και πολύ σηµαντική σχέση για την πιθανότητα λάθους δύο συµβόλων κάποιας µετάδοσης σε σχέση µε την Ευκλείδεια απόσταση τους στο διάγραµµα αστερισµού. Η σχέση αυτή θα χρησιµοποιείται στη συνέχεια για όλες τις διαµορφώσεις βασική ζώνης και διέλευση ζώνης!!! Έστω δύο ισοπίθανασύµβολα µετάδοσης s 1 (t) και s (t) Η περιοχή ανίχνευσης για το καθένα δίνεται στο παρακάτω σχήµα D 1 n r D s 1 n A s
Πιθανότητα λάθους µεταξύ συµβόλων Έστω ότι το s 1 στέλνεται Λάθος θα συµβεί όταν το r είναι στην περιοχή D το οποίο σηµαίνει ότι η απόσταση µεταξύ της προβολής του r s1 στο s s1 (point A) από το s1, δηλαδή το πλάτος n, είναι µεγαλύτερoαπό την απόσταση d 1 /, όπου d 1 = s-s1 Η απόσταση d 1 δίνεται από τη σχέση ( ( ) ( )) d = s t s t dt 1 1 D 1 n r D s 1 n A s
Πιθανότητα λάθους µεταξύ συµβόλων Με µαθηµατικά έχουµε: Pe= Pr n> d 1 x y 1 1 N = = π N e d d 1 1 N dx e dy π y= N x / dx dy= dx= N / dy N / = Q d 1 N D 1 n r D σ = N n s 1 n A s Pe d = Q σ n
Πιθανότητα Λάθους για Binary Ορθογώνια Σήµατα Unipolar Signaling (orthogonal) s ( t) = A, t, for binary1 1 s ( t) =, t, for binary r( t) x s ( t ) s ( t ) 1 r(t) = s(t) + n(t) z () dt Για s 1 (t): a ( ) = E z( ) 1 z( t) { } t= z( ) ( ) > < γ z o A s ( t) i = A + E An( τ ) dτ = A Για s (t): { } { a ( ) = E z( ) = E [ + n( τ )] Adτ} = 1 1 1 3 5 { } { ( τ ) ( τ ) τ [ ( τ )] τ} = E r s d = E A+ n Ad { } t Page 4
a1+ a A γ = = Επίσης d [ ] 1( ) ( ) E = s t s t dt= A E d A E b P = Q Q Q e = = N N N s o s 1 φ 1 E E E b = + = E γ E = A E b είναι η µέση τιµή ενέργειας για τη unipolar σηµατοδοσία Page 43
Bipolar Signaling (antipodal) s ( t) = A, t, for binary1 1 s ( t) = A, t, for binary A -A 1 1 1 3 5 t r( t) x s t 1 ( ) z () dt z ( t ) - s ( t ) z( ) Σ z ( ) > s ( t) < γ o i + t= z x () dt z ( t ) 1 z( t) = z ( t) z ( t) a a = γ = 1 1 E = A+ A dt= A d z ( ) E d 4A E b Pe = Q Q Q N = = o N o N o Page 44
Οrthogonal signals Antipodal Signals P Q E b N F = H G I b K J o P b F E = Q H G I b N K J o Αφού 1log 1 = 3 db, λέµε ότιηbinary antipodal signaling έχει κατά 3 db καλύτερη επίδοση απότην orthogonal. Probability of Bit Error 1 Othogonal Antipodal 1-1 -4 1-6 1-8 1-1 Q o I HG o K J Q E Nb 4 6 8 1 1 14 16 18 Eb/No (db) F F HG I Eb N K J 3-dB Page 45
Σύγκριση BER Επίδοσης 9. 1 7. 8 1 4 Pro obability of Bit Error 1 1-1 -4 1-6 Othogonal Antipodal 1-8 Για E b /N o = 1 db P b,orthogonal = 9.x1 - P b, antipodal = 7.8x1-4 1-1 4 6 8 1 1 14 16 18 Eb/No (db) Για το ίδιο λαµβανόµενο signal to noise ratio, antipodal δίνει µικρότερο bit error rate από orthogonalσηµατοδοσία Page 46
M-ary orthogonal signalling - Correlator-ype Receiver Έστω ότι έχουµε Mπιθανά σήµαταεκποµπής s i (t), i =, 1,.., M-1. ο σήµα λήψηςµπορεί να συσχετιστεί µε µία bank από correlatorsµε το καθένα προσαρµοσµένο (matched) σε µία από τις δυνατές κυµατοµορφέςκαι επιλέγοντας αυτό που δίνει τη µεγαλύτερη έξοδο αποφασίζουµε για την κυµατοµορφή εκποµπής! x z () dt t = z ( ) s ( t ) r( t) x s t 1 ( ) z () dt z 1 ( ) Selects s i (t) with the max z i (t) s ( t) i x z () dt zm 1( ) sm 1( t)
Matched Filter Receiver για Μ-ary orthogonal Το Matched filter είναι το φίλτρο ανίχνευσης που βελτιστοποιεί το SNR της µεταβλητής απόφασης και είναι ισοδύναµο µε τον correlator receiver (προηγούµενη διαφάνεια). Και τα δύο είναι διαφορετικές υλοποιήσεις του βέλτιστου φίλτρου!!! h ( t ) = s ( t ) b z t ( ) z ( ) r( t) h ( t ) = s ( t ) 1 b z t 1 ( ) z 1 ( ) Selects s i (t) with the max z i (t) s ( t) i h( t) = s ( t) M 1 b zm 1( t) t = zm 1( )
Orthogonal basis functions for Μ-ary orthogonal Γενίκευση σε M-αδικά Ορθογώνια Σήµατα M=4 imedomain Signal Space s( t) = Aφ1( t) s = ( A,,, ) s1( t) = Aφ( t) s1 = (, A,, ) s( t) = Aφ3( t) s = (,, A, ) s ( t) = Aφ ( t) s = (,,, A) 3 4 3 s j ( t) s j ( t) φ j ( t) = = A E όπου {φ 1 (t), φ (t), φ 3 (t) φ 4 (t)} είναι ένα set από ορθοκανονικές basis functions M=8 imedomain Signal Space s( t) = Aφ1( t) s = ( A,,,,,,, ) s1( t) = Aφ( t) s1 = (, A,,,,,, ) s( t) = Aφ3( t) s = (,, A,,,,, ) s3( t) = Aφ4( t) s3 = (,,, A,,,, ) s4( t) = Aφ5( t) s4 = (,,,, A,,, ) s5( t) = Aφ6( t) s5 = (,,,,, A,, ) s6( t) = Aφ7( t) s6 = (,,,,,, A, ) s ( t) = Aφ ( t) s = (,,,,,,, A) 7 8 7 όπου {φ 1 (t), φ (t), φ 3 (t) φ 4 (t), φ 5 (t), φ 6 (t), φ 7 (t) φ 8 (t)} είναι ένα set από ορθοκανονικές basis functions
Orthogonal basis functions for Μ-ary orthogonal General M (M is a power of ) ime Domain Signal Space s ( t) = Aφ ( t) s = ( A,,,,,,, ) 1 s ( t) = Aφ ( t) s = (, A,,,,,, ) 1 1 s ( t) = Aφ ( t) s = (,, A,,,,, ) 3 s ( t) = Aφ ( t) s = (,,, A,,,, ) 3 4 3 s ( t) = Aφ ( t) s = (,,,,,,,, A) M 1 M M 1 όπου {φ 1 (t), φ (t), φ 3 (t) φ M-1 (t)} είναι ένα set απόορθοκανονικές basis functions
M-ary PAM σηµατοδοσία 4-PAM Κυµατοµορφές ιάγραµµα Αστερισµού
M-ary PAM σηµατοδοσία Πιθανότητα λάθους για 4-PAM Μεταξύ του s και s1 E average 9d + d + d + 9d = = 4 5d 3 d ( d) 1= = 4 d dt d Pe 1 = d 1 4d d = = N N N Q Q Q
M-ary PAM σηµατοδοσία Πιθανότητα λάθους για 4-PAM Μεταξύ του s και s Μεταξύ του s1 και s 3 d ( d) d = dt= 16d d 1 16d Pe = Q = Q N N d ( d) 1 = = 4 d dt d Pe 1 = Q d 1 4d = Q N N
M-ary PAM σηµατοδοσία Πιθανότητα λάθους για 4-PAM ( ) ( ) ( ) ( ) ( s ) ( s error) ( s ) ( s error) Pe4 PAM = Pr s Pr s error + Pr s1 Pr s1 error + Pr Pr + Pr Pr 3 3 Αν θεωρήσουµε λάθος µόνο µε γειτονικά σύµβολα έχουµε 1 d 1 d 1 d 1 d Pe= Q + Q + Q + Q 4 4 4 4 N N N N 3 d = Q N 3 E average = Q 5 N
M-ary PAM σηµατοδοσία Για διαµορφώσεις Μ-PAM µε Mπλάτη εκποµπής A m = (m - M + 1)d, m =, 1,, M-1, η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου του MLD δίνεται από τη σχέση: ( M ) 6 1 E average Pe = ( 1) M PAM Q M M N Αν ορίσουµε ως µέση ενέργεια ανά bit: E b = E average / log (M), θα έχουµε: P ( M ) ( ) 1 6 log b bm PAM = Q ( M M 1) N M E τότε
Είναι η µέθοδος απεικόνισης των symbol states ενός διαµορφωµένου bandpass σήµατος µε γνώµονα το amplitude και phase που έχουν. Με άλλα λόγια, είναι µία γεωµετρική απεικόνιση των σηµάτων. Υπάρχουν 3 κατηγορίες δυαδικών (binary) σηµάτων: Antipodal Binary Signal Constellations ύο σήµατα λέγονται antipodalόταν το ένα είναι το αντίθετο του άλλου s 1 (t) = - s (t) π.χ. s 1 (t)=αcos(w c t + π) και s (t)=αcos(w c t) Τα σήµατα έχουν ίση ενέργεια µε κάθε signal point στην πραγµατική γραµµή s o s 1 E E φ 1 E E avg = + E = E On-Off Keying (OOK) Είναι µονοδιάστατα σήµατα που είναι είτε ON είτε OFF µε σηµεία σηµατοδοσίας πάνω στον πραγµατικό άξονα
Με το OOK, υπάρχουν symbol states που απεικονίζονται στο constellation Orthogonal s (t) = (χωρίς carrier amplitude, δίνει το σηµείο στην αρχή) s 1 (t) = A cosω c t (δίνει το σηµείο σηµατοδοσίας στο θετικό οριζόντιο άξονα σε απόσταση A από την αρχή) s o s 1 E φ 1 E E E avg = + = Έχει µία δι-διάστατη γεωµετρική απεικόνιση επειδή αποτελείται από δύο γραµµικά ανεξάρτητες συναρτήσεις s 1 (t) και s (t) E s o s 1 E E E avg = + = E E Γενικά, ο οριζόντιος άξονας λαβαίνεται ως αναφορά για τασύµβολα που είναι In-phaseµε το φέρον (carrier) cosω c t, ενώ ο κάθετος άξονας εκπροσωπεί την Quadratureσυνιστώσα φέροντος, sinω c t