ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού και πράξεις στο σύνολο των Μιγαδικών Ερωτήσεις θεωρίας Ποια ανάγκη οδήγησε στον ορισμό του συνόλου των Μιγαδικών Αριθμών και πως ορίστηκε το ; Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Ειδικότερα η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός Για να ξεπεράσουμε την αδυναμία αυτή, διευρύνουμε το σύνολο σε ένα σύνολο, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το, τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή ένα στοιχείο, τέτοιο, ώστε Ποιες ιδιότητες έχει το διευρυμένο σύνολο και τι γνωρίζετε γι αυτό; Το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής β, που είναι γινόμενα των στοιχείων του με το και Όλα τα αθροίσματα της μορφής α β, με α και β πραγματικούς αριθμούς Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Επομένως: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο τέτοιο, ώστε, Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή α β, όπου α, β

Τι ονομάζουμε μιγαδικό αριθμό, τι φανταστικό αριθμό, τι πραγματικό μέος και τι φανταστικό μέρος; Η έκφραση α β, α, β είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό Είναι η σύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του β, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του και σημειώνεται Re( ), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του και σημειώνεται Im( ) Επιπλέον, στο κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α 0, ενώ κάθε φανταστικός αριθμός β εκφράζεται ως 0 β Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός α β, εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα Πως ορίζεται η ισότητα Μιγαδικών Αριθμών ; Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α β, δύο μιγαδικοί αριθμοί α β και γ δ είναι ίσοι, αν και μόνο αν α γ και β δ Δηλαδή ισχύει: α β γ δ α γ και β δ Επομένως, επειδή 0 0 0, έχουμε α β 0 α 0 και β 0 5 Επεκτείνονται οι πράξεις και η διάταξη του στο ; Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα αν διατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί Στην επέκταση, όμως, από το στο, ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο εξακολουθούν να ισχύουν και στο, εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέρονται 6 Τι γνωρίζεται για την γεωμετρική παράσταση των Μιγαδικών Kάθε μιγαδικό αριθμό α β μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M ( α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου Αλλά και M(α,β) ή Μ() β αντιστρόφως, κάθε σημείο M ( α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α β Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α β Aν θέσουμε α β, τότε το σημείο Ο a M ( α, β) μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M () Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο Ο άξονας λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M (α,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α α 0, ενώ ο άξονας λέγεται

φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M ( 0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών β 0 β Ένας μιγαδικός α β παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, OM, του σημείου M ( α, β) 7 Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης στους μιγαδικούς; Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α β και γ δ ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) έχουμε: Για παράδειγμα, ( ) (5 6 ) ( 5) ( 6) 8 Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ δ από τον α β, επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ δ είναι ο μιγαδικός γ δ, έχουμε: Δηλαδή Για παράδειγμα ( α β) ( γ δ) ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) ( ) (5 6) ( 5) ( 6) 0 8 Ποια η σχέση της διανυσματικής ακτίνας του αθροίσματος δύο μιγαδικών με τις διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών αυτών; Αν M ( α, β) και M ( γ, δ) είναι οι εικόνες των α β και γ δ αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα M (γ,δ) M(α+γ, β+δ) ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) παριστάνεται με το σημείο M( α γ, β δ) M (α,β) Επομένως, OM OM OM, δηλαδή: Ο Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α β και γ δ είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους 9 Ποια η σχέση της διανυσματικής ακτίνας της διαφοράς δύο μιγαδικών με τις διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών αυτών; 5

Μ (γ,δ) Η διαφορά ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) παριστάνεται με το σημείο N( α γ, β δ) Επομένως, ON OM OM, δηλαδή: Ο Μ (γ,δ) Μ (α,β) Ν(αγ,βδ) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α β και γ δ είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 0 Πως ορίζονται η πράξη του πολλαπλασιασμού, ο συζυγής ενός μιγαδικού και πως η πράξη της διαίρεσης στους μιγαδικούς; Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών ( α β)( γ δ) α( γ δ) β( γ δ) αγ αδ βγ ( β)( δ) Δηλαδή, Για παράδειγμα, α β και γ δ έχουμε: αγ αδ βγ βδ αγ αδ βγ βδ ( αγ βδ) ( αδ βγ) ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( αδ βγ) ( ) (5 6) 5 8 0 (5 ) (0 8) 9 Ειδικότερα, έχουμε: ( α β)( α β) α β Ο αριθμός α β λέγεται συζυγής του α β και συμβολίζεται με α β Δηλαδή, α β α β Επειδή είναι και α β α β, οι α β, α β λέγονται συζυγείς μιγαδικοί α β Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ δ 0, στη μορφή κ λ, γ δ πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: Δηλαδή, Για παράδειγμα: α β ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( βγ αδ) αγ βδ βγ αδ γ δ ( γ δ)( γ δ) γ δ γ δ γ δ α β αγ βδ βγ αδ γ δ γ δ γ δ ( )( ) 6 ( )( ) 9 7 0 0 7 0 6

Πως ορίζεται η Δύναμη Μιγαδικού και την γνωρίζετε γι αυτή; Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:,,, ν ν και γενικά, για κάθε θετικό ακέραιο ν, με ν Επίσης, αν 0, ορίζουμε 0, ν για κάθε θετικό ακέραιο ν ν Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του έχουμε: 0,,, Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι: 5 6 7,,,, ν δηλαδή, μετά το οι τιμές του επαναλαμβάνονται Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του, γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή ν ρ υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το, οπότε έχουμε: Για παράδειγμα: ν ρυ ( ρ υ ) ρ υ 6 9 ρ 0 υ υ 0 5 Ποιες είναι οι ιδιότητες των συζυγών; -,,,, αν αν αν αν υ 0 υ υ υ Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M ( α, β) και M ( α, β) δύο συζυγών μιγαδικών α β και α β είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα M() Ο M () Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς α β και α β μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι: 7

α β Αν α β και γ δ είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων Για παράδειγμα έχουμε: ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) ( α γ) ( β δ) ( α β) ( γ δ) Οι παραπάνω ιδιότητες και ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς Είναι δηλαδή: ν ν ν ν Ιδιαίτερα, αν είναι ν, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ( ν ν ) ( ) Για παράδειγμα, 5 5 5 Να λυθούν οι εξισώσεις και Επειδή και ( ), η εξίσωση έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις και Ομοίως, η εξίσωση έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις και, αφού () ή Επίλυση της Εξίσωσης α β γ0 με α, β,γ και α 0 Εύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C Πράγματι, έστω η εξίσωση 8

α β γ0, με α, β, γ και α 0 Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: β Δ, α α όπου Δ β αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ 0 Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: Δ 0 Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: Δ 0 Tότε, επειδή β α αδ Άρα οι λύσεις της είναι: β α Δ ( )( Δ) ( Δ) ( ) ι Δ α α α α,, β α Δ, η εξίσωση γράφεται: β Δ, () α οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί Για παράδειγμα, η εξίσωση 5 6 0 έχει Δ 5 0 και οι λύσεις της 5 5 είναι:, Όμως, η εξίσωση 0 έχει Δ 8 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί:, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: β και α γ α 5 Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το άθροισμα S ν Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο επίσης Επομένως, ν S, οπότε, λόγω της ισότητας ν ρ υ της ευκλείδειας διαίρεσης του με το, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: υ 0 Τότε, οπότε S 0 9

υ Τότε, οπότε S υ Τότε, οπότε S υ Τότε, οπότε S ( ) 6 Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός β) πραγματικός Αν, τότε: Επομένως: α) Ο αριθμός ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) είναι α) φανταστικός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν 0, ( ) δηλαδή, αν και μόνο αν 0 και ( ) 0 ή, ισοδύναμα, 5 ( ) και (, ) ( 0, ) Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο 5 K, και ακτίνα, με εξαίρεση το σημείο A(, ) 0 β) Ο αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 0, δηλαδή, ( ) αν και μόνο αν 0 και ( ) 0 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 0, με εξαίρεση το σημείο A( 0, ) 0

Α ΟΜΑΔΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε ο (λ + )( ) να είναι : α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός λ λ + 6 + (λ + ) + (6 λ) α) πραγματικός 6 λ 0 λ 6 β) φανταστικός λ + 0 λ λ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει : α) ( + ) + ( ) β) 6 + ( γ) 9 7 ( + ) ) + α) ( + ) + ( ) + () και () () + () προκύπτει () () προκύπτει β) 6 + ( ) + 6 () και () () ή Για, η () γίνεται 6 8 άτοπο Για, η () γίνεται ( ) 6 που ισχύει Άρα η ζητούμενη τιμή του είναι γ) 9 7 ( + ) 9 + και 7 9 + 5 και 7 5 και 7 5 και 7 Στο μιγαδικό επίπεδο να σημειώσετε τις εικόνες και τις διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών αριθμών : +,,,, +,, 5, 0

+ + 0 5 - - - - Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, που ικανοποιούν τις σχέσεις : α) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν β) Το φανταστικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν γ) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος α) Είναι τα σημεία του άξονα β) Είναι τα σημεία του άξονα γ) Είναι τα σημεία της διχοτόμου ης ης γωνίας των αξόνων 5 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α + β α) ( + 6) + (7 ) β) ( ) (6 + ) γ) ( + ) + ( 8 7) + (5 + ) δ) ( + )( + 5) ε) (6 + ) στ) ( + ) ( ) ζ) ( + )( ) α) ( + 6) + (7 ) + 6 + 7 + β) ( ) (6 + ) 6 6 γ) ( + ) + ( 8 7) + (5 + ) + 8 7 + 5 + I 0 + 0 δ) ( + )( + 5) + 5 + 8 0 +

ε) (6 + ) 8 + 8 στ) ( + ) ( ) 6 + 9 5 + 0 ζ) ( + )( ) ( )( ) 6 + + + 7 6 Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή α + β α) 6 β) γ) + + δ) ( + ) ε) α) ( ) ( )( ) + β) 6 ( ) + 0 στ) 6 γ) + + + + 0 + δ) ( + ) + + ε) ( )( ) ( )( ) 6 5 5 5 + στ) 6 (6 )( ) ( )( ) 6 6 7 7 7 Να βρείτε τους,, για τους οποίους ισχύει : α) ( ) ( + ) β) + + γ) ( )( ) ( ) + α) ( ) ( + ) 9 5 5 και 0 αδύνατο β) Είναι ( )( ) ( )( ) Η δοσμένη ισότητα γίνεται + + + +

+ + + ( )( ) + + 5 5 I 5 και 5 γ) ( )( ) ( ) + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και 0 και 0 8 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 56 β) + 75 0 α) Είναι 6 + άρα 6 6 + 0 άρα 6 0 6 6 + άρα 6 9 + 0 άρα 6 + άρα 56 + 0 άρα 6 6 6 56 0 0 Επομένως 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 56 + + + 0 β) Είναι + άρα 0 + άρα 75 8 + άρα 75 Άρα 0 55 + άρα + 75 0 0 +

9 Ποιος είναι ο, όταν : α) 5 + 7 β) 9 γ) δ) ε) στ) 0 α) 5 7 β) + 9 γ) δ) ε) στ) 0 0 Με ποιες συμμετρίες μπορούν να προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικού + οι εικόνες των μιγαδικών, και Η εικόνα του είναι συμμετρική της εικόνας του ως προς τον άξονα Η εικόνα του είναι συμμετρική της εικόνας του ως προς την αρχή Ο Η εικόνα του είναι συμμετρική της εικόνας του ως προς τον άξονα Αν 5 9 και 5 9, να δείξετε ότι ο + είναι 7 7 πραγματικός αριθμός, ενώ ο φανταστικός αριθμός Παρατηρούμε ότι, άρα + + Re( ) που είναι πραγματικός και Im( ) που είναι φανταστικός Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις : α) 6 β) γ) Έστω + α) 6 6 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της ευθείας που έχει εξίσωση β) ( + ) ( ) δ) + 0 0 0 ή 0 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των δύο αξόνων και γ) ( ) ( + ) 5

( + + ή Άρα οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των δύο διχοτόμων των τεσσάρων τεταρτημορίων δ) ( + ) Άρα οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της ευθείας που έχει εξίσωση ) Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις : α) + 0 β) α) Δ 9 8, + 0 γ) + ή β) Δ 8, 8 γ) Περιορισμός : 0 + + + 0 Δ, Αν μια ρίζα της εξίσωσης + β + γ 0, όπου β, γ, είναι +, να βρείτε τις τιμές των β και γ + ρίζα της εξίσωσης ( + ) + β( + ) + γ 0 (9 + ) + β + β + γ 0 0 + + β + β + γ 0 (0 + β + γ) + ( + β)i 0 0 + β + γ 0 και + β 0 0 + β + γ 0 και β 0 + γ 0 και β γ 6 και β 6

Β ΟΜΑΔΑΣ Είναι Άρα, Αν α, β, γ και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο είναι πραγματικός αριθμός ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 0 βγ αδ 0 Αν, να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( ) ( ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( + ) 0 ( ) 0 ( + ) + ( + ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 Άρα ( + ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση + ; Είναι ν κ + υ με υ 0,,, Όταν υ 0, δηλαδή ν κ, τότε 0 Οπότε + + Όταν υ, δηλαδή ν κ +, τότε Οπότε + + + 0 Όταν υ, δηλαδή ν κ +, τότε 7

Οπότε + + Όταν υ, δηλαδή ν κ +, τότε Οπότε + + + + 0 Επομένως, η παράσταση μπορεί να πάρει τρεις διαφορετικές τιμές 5 α) Να λύσετε την εξίσωση α) Έστω + ( + ) ( + + + + + + ) ( + ) 0 0 και + 0 0 και ( + ) 0 0 και ( + ) 0 β) Να λύσετε την εξίσωση 0 () και ( 0 ή + 0) Για 0, η () γίνεται 0 ( ) 0 0 ή Επομένως 0 + 0 0 ή + 0 Για + 0 δηλαδή δηλαδή, η () γίνεται + 0 Επομένως β) Έστω + ( + ) + + ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) 0 + 0 και + ( + ) 0 και ( 0 ) 0 ( 0 ή + 0) και ( 0 ή 0) Όταν 0 και 0, τότε 0 + 0 0 8

Όταν 0 και Επομένως 0 και 0 και 0 0 0 και 0 Όταν + 0 και 0 0 και 0 και 0 και 0 Επομένως + 0 Όταν + 0 και + 0 και +( + ) 0 και +9 + 0 και 0 + 8 + 0 αδύνατη διότι + + 6 Έστω ο μιγαδικός με 0 Να δείξετε ότι ο πραγματικός και ότι + Έστω + + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ( ) + και + + 0 και 0 που ισχύουν είναι 7 Να αποδείξετε ότι (α + β ) 0 + (β α ) 0 0, όπου α, β 9

(α + β ) (β α ) + αβ () βα () Από τις (), () (α + β ) (β α ) [(α + β ) 5 ] [(β α ) (α + β ) 0 (β α ) 0 (α + β ) 0 + (β α ) 0 0 5 ] 8 α) Για ένα μιγαδικό να αποδείξετε ότι : Ο είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και και, να αποδείξετε ότι ο αριθμός u είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός v είναι φανταστικός Έστω + α) + 0 0 πραγματικός + ( ) + + 0 0 φανταστικός β) u ( ) u v 0 u πραγματικός

v ( ) v φανταστικός 9 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει Re 5 Re() β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει Im Im() α) Περιορισμός : 0 Έστω +, τότε + + + + Re 5 Re() + 5 0 ( ) 0 0 ή 0 0 ή Άρα Re 0 ή + 0 ή + Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας εκτός της αρχής Ο, μαζί με τον κύκλο που έχει κέντρο το Ο και ακτίνα β) Περιορισμός : 0 Έστω +, τότε

+ + + Άρα Im Im Im() 0 ( ) 0 0 ή 0 0 ή 0 ή + 0 ή + Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας εκτός της αρχής Ο, μαζί με τον κύκλο που έχει κέντρο το Ο και ακτίνα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μέτρο μιγαδικού Ερωτήσεις θεωρίας 7 Πως ορίζεται το μέτρο μιγαδικού αριθμού και ποιες ιδιότητες προκύπτουν από τον ορισμό αυτό; Έστω M (, ) η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή Για OM παράδειγμα, ( ) 5 Ο a Όταν ο μιγαδικός είναι της μορφής 0, τότε 0, που είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού Αν, τότε και Eπομένως, 8 Ποιες είναι οι ιδιότητες του μέτρου ; Οι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που συνδέουν το γινόμενο και το πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητες των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε β M(,) Πράγματι, έχουμε: ( )( ) και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική

Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα Γενικά, αποδεικνύεται ότι ν ν M ( ) M( + ) 6 και ειδικότερα Τέλος, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος και της διαφοράς δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: ν ν Ο M ( ) M ( ) N( ) Επίσης, είναι φανερό ότι το μέτρο του διανύσματος ON είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος M M Επομένως: Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους Δηλαδή: M M ) ( 9 Ποια είναι η εξίσωση του κύκλου κέντρου Κ( ο ) και ακτίνας ρ ; Γενικά, η εξίσωση: 0 ρ, ρ 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( 0 ) και ακτίνα ρ Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση ( ) επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από την εικόνα του μιγαδικού, δηλαδή από το σημείο K (,), απόσταση μονάδες Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο K (,) και ακτίνα ρ K(,) Ο 0 Ποια είναι η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία A( ) και B( ) ; Γενικά, η εξίσωση: παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A( ) και B( ) Πχ η εξίσωση ( ) ( ) επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να ισαπέχουν από τις εικόνες των μιγαδικών και, δηλαδή από τα σημεία A (, ) και B (, ) Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος K Λ B(,) Ο A(,)

Αν για τους μιγαδικούς,,, ν ισχύει ν, ν να αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός Αν ένας από τους μιγαδικοί κ και,,, ν, για παράδειγμα ο κ, ήταν πραγματικός, τότε οι κ κ θα ήταν συζυγείς και επομένως αφού τα μέτρα δύο συζυγών μιγαδικών είναι ίσα Τότε όμως θα είχαμε κ, κ κ, που είναι άτοπο Αν για το μιγαδικό ισχύει ( ), να βρεθεί: α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του α) Η ισότητα ( ) επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από το σημείο K(, ) σταθερή απόσταση ίση με και μόνο από αυτούς Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα, δηλαδή ο κύκλος ( ) ( ) β) Το είναι η απόσταση της εικόνας M( ) από την αρχή O( 0, 0 ), δηλαδή το μήκος ( OM ) Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία O Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B, τότε ( OA) ( OM) ( OB), που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του είναι το μήκος ( OB ) και η ελάχιστη το μήκος ( OA ) 9 Η εξίσωση, όμως, της ευθείας O Κ είναι η Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A και B θα είναι οι λύσεις του συστήματος A B K(,) Μ() Ο ( ) ( ), που είναι τα ζεύγη (, ) και (, ) Άρα, η μέγιστη τιμή του είναι ίση με και η ελάχιστη ίση με ( ) ( OB) OA 5

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α ΟΜΑΔΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών : +,, +,, 5,, ( ) ( + ), ( )( + ), και, ( ) 5 5 ( ) 5 5 5 5 5 5 (οι +, είναι συζυγείς, άρα έχουν ίδιο μέτρο) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( )( ) 5 5 5 9 6 9 0 5 0 5 Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών : ( + ),, ( ) ( ),, όπου λ, μ με + 0 6

α) Να βρείτε τους μιγαδικούς +, για τους οποίους ισχύει : α) β) γ) 0 0 ( ) 0 0 ή 0 0 ή β) Επειδή 0, ο είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός,, έστω Η δοσμένη εξίσωση ισοδυναμεί ( ) + γ) Επειδή 0, ο είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός, άρα και ο Έστω Η δοσμένη εξίσωση ισοδυναμεί + Να βρείτε που ανήκουν οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει : α) β) γ) δ) < < ε) α) (0 0) ο ανήκει στον κύκλο που έχει κέντρο κέντρο το σημείο Κ(0, ) και ακτίνα 7 την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα β) (0 ) ο ανήκει στον κύκλο που έχει κέντρο το σημείο Κ(0, ) και ακτίνα γ) ( ) ο ανήκει στον κύκλο που έχει

δ) < < < (0 0) < ο ανήκει στο εσωτερικό του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα και στο εξωτερικό του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα ε) (0 0) ο ανήκει στο εξωτερικό του κύκλου, ή πάνω στον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα 5 Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει : α) β) > α) ( 0) (0 ) Οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ, όπου Α(, 0) και Β(0, ) β) > (0 ) > ( 0) Οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη μεσοκάθετο του τμήματος ΓΔ και το σημείο Δ, όπου Γ(0, ) και Δ(, 0) 6 Αν, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ Αρκεί να αποδείξουμε ότι που ισχύει ανήκει 7 Από τους μιγαδικούς, για τους οποίους ισχύει, ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο; (0 ) οι εικόνες του είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0, ) και ακτίνα Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου και Α, Β τα σημεία τομής του κύκλου με την 8

6 A ΟΚ Τότε Α(0, 6) και Β(0, ) Από το τρίγωνο MOK έχουμε O K B M 5 (OK) (KM) (ΟΜ) (ΟΚ) + (ΚΜ) (OK) (KB) (ΟΜ) (ΟΚ) + (ΚA) (OB) (ΟΜ) (OA) () Έστω ο μιγαδικός που έχει εικόνα το σημείο Α, οπότε 6 και ο μιγαδικός που έχει εικόνα το σημείο Β, οπότε Η () Επομένως, ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι ο και ο μιγαδικός που έχει το μέγιστο μέτρο είναι ο 6 8 Αν για τους μιγαδικούς ισχύει, να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w + w + w (w ) () () (w ) w w w ( 0) Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών w ανήκουν στον κύκλο που έχει κέντρο το σημείο Κ(, 0) και ακτίνα 9 Για δύο μιγαδικούς και να αποδείξετε ότι + + + ( + )( + ) + ( )( ) + + + + + + + + + 9

Β ΟΜΑΔΑΣ Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό ισχύει : Re() + Im() Έστω + Re() + Im() ( + ) + ) + + 0 + + ( ) 0 που ισχύει Έστω ο μιγαδικός, για τον οποίο ισχύει Να αποδείξετε ότι : Αν, τότε ο w είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρόφως w φανταστικός w w + + + Έστω ο μιγαδικός με 0 Να αποδείξετε ότι : Ο w + είναι πραγματικός, αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός ή w πραγματικός w w + + + + + + + - 0 ( ) ( ) 0 ( )( 0 ή ή ) 0 0 ή 0

Έστω ο μιγαδικός με α, όπου α * Να αποδείξετε ότι : Ο w είναι φανταστικός, αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός w φανταστικός w w ( + α)( + α) ( + α)(α ) + α + α + α α α + φανταστικός α 5 Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού w Για τον, δίνεται ότι Για τον w, αρκεί να δείξουμε ότι w w w w w ( )( + ) ( + )( + ) + + + + που ισχύει 6 Αν για το μιγαδικό ισχύει, να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ ( )( ) ( )( ) + + η εικόνα του ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ

7 Αν για το μιγαδικό ισχύει, να βρείτε την τιμή της παράστασης Π συμπέρασμα + Π + ( + )( + ) + ( )( - ) + + + + - - + + + + Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Γεωμετρική ερμηνεία B(-, 0) O A(, 0) Άρα - M + Οι εικόνες M των μιγαδικών, δίνεται ότι είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα, που τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(, 0) και Β(, 0) ΑΒ διάμετρος τρίγωνο ΜΑΒ ορθογώνιο στο Μ (ΜΑ ) + (ΜΒ ) (ΒΑ ) Αλλά (ΜΑ) + (ΜΒ) και (ΑΒ) O 8 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών, για K τους οποίους ισχύει Ποιο από τα σημεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο(0, 0); Έστω + M ( ) ( + ) + ε : - 8-5 0 + + + ( ) + ( + ) + + 8 + 6 8 5 0 () Αυτή η ευθεία (ε) είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ Φέρνουμε ΟΚ ε και έστω Μ η εικόνα του τυχαίου Τότε (ΟΚ) (ΟΜ), δηλαδή το σημείο της (ε), που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το Ο είναι το Κ 8 Εξίσωση της ευθείας ΟΚ : 0 ( 0) ()

Σύστημα των (), () για να βρούμε τις συντεταγμένες του Κ : () () 8( ) 5 0 + 5 5 () 5 60 Άρα Κ 5, 60 9 Αν και είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως και +, να αποδείξετε ότι : Όταν το κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας, τότε το κινείται σε μια έλλειψη Έστω + και + Δίνεται + 6 + + + 6 () + ( ) + + + ( ) + + + 6 + + + + + + + 5 και και και 5 () 5 + 6 6 5 5 + 6 9 + 6 εξίσωση έλλειψης

0 α) Αν, να δείξετε ότι β) Αν για τους μιγαδικούς,,, ισχύει α) να αποδείξετε ότι : β) ( )

Ερωτήσεις κατανόησης Να βάλετε σε κύκλο την σωστή απάντηση ) Αν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει u + v 0, τότε Α u 0 B v 0 Γ u v 0 Δ Τίποτα από τα προηγούμενα ) Ο αριθμός ( + 5) 0 + ( 5) 0 είναι : Α Φανταστικός Β Μηδέν Γ Πραγματικός Δ Τίποτα από τα προηγούμενα Ποιες από τις επόμενες ισότητες αληθεύουν για κάθε μιγαδικό : Γ Α Β Δ Ε Σύμφωνα με την συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί αριθμοί και αναφέρεται στην στήλη Α, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία της δεύτερης στήλης που ανήκει η εικόνα τους : Συνθήκη Ευθεία Α α Β β Γ γ Δ δ ε 5

Γενικές ασκήσεις Δίνεται η συνάρτηση f με f() α) Να αποδείξετε ότι f ( )( ) με και Re() 0 f() β) Έστω α, β δύο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το 0 Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία Μ(, ), με 0, για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί α + β ικανοποιούν τη α) f σχέση Re f () 0 ( )( ) f() β) f() ( )( ) Ref () 0 0 + + + 0 + που είναι έλλειψη Θεωρούμε τους μιγαδικούς, w και w, για τους οποίους ισχύουν : w και w +, όπου * Να δείξετε ότι, αν το μεταβάλλεται στο * και ισχύει w w, τότε η εικόνα Ρ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή 6

Έστω + w w + ( + ) + + ( + ) + ( ) w w w w ( + ) ( ), αλλά w +, άρα + ( + ) ( ) + και ( + )( ) που είναι υπερβολή Θεωρούμε τους μιγαδικούς λ + + (λ ), λ α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w, για τον οποίο ισχύει w + ( + ) γ) Να βρείτε το μιγαδικό που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή Ο(0, 0) α) Έστω + λ + + (λ ) + λ + + (λ ) λ + και λ λ και ( ) 6 7 () Άρα, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία ε : 7 β) Είναι w + ( + ) λ + + (λ ) + + λ + + (λ + ) λ + + λ Έστω w + λ + + λ + λ + και λ λ και ( ) 9 Άρα, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η ευθεία θ : 9 γ) Φέρνουμε ΟΚ ε και έστω Μ η εικόνα του τυχαίου Tότε (ΟΚ) (ΟΜ), δηλαδή το σημείο της (ε), που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το Ο είναι το Κ Εξίσωση της ευθείας ΟΚ : 0 ( 0) () Σύστημα των (), () για να βρούμε τις συντεταγμένες του Κ : 7

(), () 7 9 0 0 () 0 7 0 Άρα Κ, 7 0 0 Να γραμμοσκιάσετε το τμήμα του μιγαδικού επιπέδου που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει : α) < β) + Re() α) Έστω + < ( ) < ( ) < ( ) ( ) () < + + + < + + < 0 + + < 0 ( ) + + + 9 + + < 5 9 + < + 9 < 0 + + + 5 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα εσωτερικά σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο Κ, και ακτίνα 5 β) Έστω + + Re() + Re() ( ) + ( ) + + + + + και ( ) και + 0 και Άρα οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της παραβολής 5Να αποδείξετε ότι αν οι μιγαδικοί,,, έχουν τις εικόνες τους < 0 8

στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο(0, 0), τότε ισχύει + + + 0 Ας δούμε το πρόβλημα για δύο μιγαδικούς, των οποίων οι εικόνες, Ρ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας (ε) που διέρχεται από την αρχή Ο(0, 0) Το άθροισμά τους + έχει διανυσματική ακτίνα, όπου Μ το μέσο του τμήματος, οπότε το πέρας Ρ βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο Άρα + 0, αφού Ρ Ο Ρ Μ Ρ (ε) O Με τον ίδιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι + + 0 και + + + + 0 6 Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης ( ) είναι σημεία της ευθείας ( ) + () Έστω + () ( )( ) + 7 Αν το τριώνυμο α + β + γ με πραγματικούς συντελεστές και α 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι : α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει + βλ + γ) > 0 (α + βκ + γ)( α β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς και 9 διαφορετικούς από τις ρίζες του τριωνύμου ισχύει επίσης (α + β + γ)( α + β + γ) > 0 Θέτουμε f() α + β + γ α) Αφού το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, είναι Δ < 0, άρα f() ομόσημο του α για κάθε, άρα f(κ), f(λ) ομόσημοι, άρα f(κ)f(λ) > 0 β) (α + β + γ)( α + β + γ) (α + β + γ)(α + β +γ) (α + β + γ)(α + β +γ) (α + β + γ)( > 0 )

0