2. Β Εξισώσεις Με Απόλυτες Τιμές I. Εξισώσεις που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) μία από τις παρακάτω μορφές: β, β A(x) = B(x), x Όπου β σταθερός αριθμός και Α(x), B(x) παραστάσεις του x B(x), x i. 2x 1 = 5 ii. 2x = iii. 2x 5 = 0 iv. 2x 1 = x + 1 v. 2x 1 = x 2 vi. x 15 = 5 x vii. 2x 1 = 5 x viii. 15 x = 2x 1 ix. 15 x = 2 x 5 Για να λύσουμε μία εξίσωση με απόλυτες τιμές της παραπάνω μορφής: 1. Παίρνουμε περιορισμούς για το 2 ο μέλος της εξίσωσης, όπου χρειάζεται. Μία απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητική! 2. Βγάζουμε την απόλυτη τιμή χρησιμοποιώντας τις βασικές ιδιότητες: x = θ x = θ ή x = θ θ>0 x = a x = a ή x = a οι οποίες γενικεύονται στις εξής περιπτώσεις, αντίστοιχα: Α(x) = Β(x) B(x)>0 A(x) = B(x) ή A(x) = B(x) Α(x) = B(x) A(x) = B(x) ή A(x) = B(x)
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ a. Να βρείτε τους περιορισμούς, όπου χρειάζεται, για κάθε μία από τις 9 εξισώσεις της προηγούμενης σελίδας. b. Να λυθούν και οι 9 εξισώσεις. Οι περιορισμοί να γραφούν ξανά, ξεχωριστά για την κάθε μία. ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ: 1. Η περίπτωση Α(x) = 0 δεν ανήκει σε κάποια από τις προηγούμενες κατηγορίες. Λύνεται εύκολα ως: Α(x)=0 2. Όταν έχουμε απόλυτο μέσα σε απόλυτο, δουλεύουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, βγάζοντας μία - μία τις απόλυτες τιμές. Ουσιαστικά «τρέχουμε» την ίδια διαδικασία τόσες φορές, όσες και οι απόλυτες τιμές. a. 2 x 1 =, b. 2x + 1 = 5, c. 2x + 1 + x 4 = ή 1, d. 7 2x 6 = 4
ΙΙ. Εξισώσεις που ανάγονται σε μία από τις παραπάνω μορφές, μετά από αναγωγή ομοίων όρων: β, β A(x) = B(x), x Όπου β σταθερός αριθμός και Α(x), B(x) παραστάσεις του x B(x), x i. x +4 x +4 5 = 2 ii. 2 + x 2 1 = x 2 iii. 1 4 x 5 6 2x +1 4 = x 9 21 20 iv. x 2 6 x + 9 = 0 v. x 1 (x 1) 2 = 0 vi. 1 x x 2 + 2x 1 = 0 1. Μετασχηματίζω τις απόλυτες τιμές, όπου χρειάζεται, ώστε σε όλη την εξίσωση να εμφανίζεται η ίδια απόλυτη τιμή, έστω Α(x) Χρήσιμες ιδιότητες με παραδείγματα: Ιδιότητες: α = α αx = a x, αν a > 0 x 2 = x 2 Παραδείγματα x = x x 2 = 2 x x = x = x 6 2x = 2( x) x 2 4x + 4 = (x 2) 2 = 2 x = x 2 2 2. Λύνω την εξίσωση ως προς A(x) βάσει της Μεθοδολογίας I.
III. Εξισώσεις με δύο ή και περισσότερες, διαφορετικές μεταξύ τους, απόλυτες τιμές. Παράδειγμα: x + + 2 x 1 = 5 2 x + x + 5 1. Βρίσκουμε τους απαραίτητους περιορισμούς, όπου είναι αυτό δυνατό. 2. Βρίσκουμε τις τιμές του x στις οποίες μηδενίζονται οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα, και κρατάμε αυτές που ικανοποιούν τους περιορισμούς.. Κάνουμε πινακάκι: Βάζουμε τις τιμές του βήματος 2 στον άξονα των πραγματικών αριθμών, βρίσκουμε το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στις απόλυτες τιμές σε κάθε ένα από τα διαστήματα που δημιουργούνται και λύνουμε την εξίσωση σε καθένα από αυτά τα διαστήματα χωριστά.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Η προσεκτική χρήση των περιορισμών, μπορεί να μας οδηγήσει σε μία πολύ σύντομη λύση, μιας φαινομενικά δύσκολης άσκησης. Παράδειγμα: x 2 + x 2 + x + 1 = x + 1 2. Η καλή γνώση των ιδιοτήτων των απολύτων τιμών είναι απαραίτητη ώστε, αν χρειάζεται, να μετασχηματίσουμε μία εξίσωση σε μία από τις παραπάνω μορφές ή γενικότερα σε επιλύσιμη μορφή. i. x x+ =4 ii. x 1 x 2 = x 1. Η παραπάνω μεθοδολογία είναι ένας οδηγός για μία πρώτη επαφή με τις εξισώσεις με απόλυτες τιμές. Πάντα όμως μπορεί να παρουσιαστούν ασκήσεις που να μην εμπίπτουν σε κάποια κατηγορία. Η ουσιαστική κατανόηση της έννοιας της απόλυτης τιμής, σε συνδυασμό με την προσεκτική χρήση των περιορισμών και των ιδιοτήτων είναι αυτά που θα μας βοηθήσουν στο να μπορούμε να λύνουμε μια πραγματικά ευρεία γκάμα ασκήσεων. i. x 2 4 + x 2 + x + 4 = 0 ii. 2x 1 = 2x 1 iii. 2x 1 = 1 2x