ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. / sin ( ) ( ) ( ) ln i ii e iii. Να βξεζνύλ ηα αθόινπζα όξηα (αλ ππάξρνπλ). tan( ) ( i) lim ( ii) lim ( iii) lim 0 (4 ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( iv) lim ( v) lim ( vi) lim 5 4 ( vii) lim ( viii) lim ( i) lim 8 t ( ) lim ( i) lim 4 ( ii) lim t t 4. Να κειεηεζνύλ νη αζπλέρεηεο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ (αλ ππάξρνπλ). ln 1 ( i) e ( ii) ( iii) sin 1 / 1 ( iv) ( v) ( vi) sin 5. Να βξεζνύλ ηα a,b ώζηε νη παξαθάησ ζπλάξηεζεηο λα είλαη παληνύ ζπλερείο. sin, sin( a), 0 b f ( ) a b,, g( ), 0 a 1, 1 cos, b
6. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε κπνξεί λα γξαθηεί ζηε κνξθή 5 1 0 έρεη ιύζε ζην δηάζηεκα (1,). Σηε ζπλέρεηα λα δείμεηε όηη 1 / θαη λα βξείηε ηε ιύζε ηεο κε αθξίβεηα δεθαδηθώλ ςεθίσλ. 7. Να βξεζεί ε πξώηε παξάγσγνο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. 1 ( i) sin ( ii) ( iii) e / 1 sin( ) ( iv) ( v) sin(cos(ln )) ( vi) 8. Κακπύιε νξίδεηαη από ηηο παξακεηξηθέο εμηζώζεηο t t e sin( t) y e cos( t) Να δείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο επζείεο ζηελ θακπύιε ζηα ζεκεία t=π/ θαη t=π είλαη παξάιιειεο. 9. Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα. sin( ) 1 ln ( i) lim ( ii) lim ( iii) lim( ln ) 0 0 1/ tan( ) e ( iv) lim( e ) ( v) lim ( e ) ( vi) lim( ln ) 0 ln e 1 ( vii) lim ( viii) lim cot ln ( i) lim / 0 0 0 sin( ) 1 a ( ) lim ( ) tan( ) ( i) lim 1 ( ) lim 1 ii a 0 / ( iii) lim( ln( )) ( iv) lim(ln ln( )) ( v) lim 1 a (1 ) 1 1 ( vi) lim ( vii) lim ( viii) lim(ln ) 0 1/ln 1 1 ( i) lim ( ) lim 0 e 1 b b 1/ a
10. Να βξείηε ηα ηνπηθά αθξόηαηα θαη ηα ζεκεία θακπήο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. ( i) 6 5 ( ii) 4 4 ( iii) ( ) 4 4 11. Να βξείηε ην Π.Ο., ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο θαη ηηο αζύκπησηεο γηα ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο. Επίζεο λα θάλεηε ην γξαθεκά ηνπο κε βάζε (κόλν) ηελ παξαπάλσ πιεξνθνξία. 1 ( i) ( ii) ( iii) ( iv) ( )( ) 4 4 4 ( v) ( vi) ( vii) ( viii) 1. Να βξείηε ην Π.Ο., ηα ζεκεία ηνκήο κε ηνπο άμνλεο, νη αζύκπησηεο, ηα αθξόηαηα θαη ηα ζεκεία θακπήο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. Επίζεο λα θάλεηε ην γξαθεκά ηνπο κε βάζε απηέο ηηο πιεξνθνξίεο. e ( i) e ( ii) ( ) e ( iii) e ( ) ( iv) ln ln ln ( v) ln ( vi) ( vii) ( viii) 1. Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε a b y c Τν γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε, πεξλάεη από ην ζεκείν (0,1/) θαη έρεη αθξόηαην ζην ζεκείν (1,1/). Να βξεζνύλ νη ζηαζεξέο a,b,c. 14. Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε a b, f( ), 1 Να ππνινγηζηνύλ νη ζηαζεξέο a,b ώζηε ε f θαη ε f λα είλαη παληνύ ζπλερείο.
1/ 15. Να θάλεηε κειέηε κνλνηνλίαο γηα ηε ζπλάξηεζε (1 ) γηα λα απνδείμεηε όηη γηα >0 1/ (1 ) 1 16. Να θάλεηε κειέηε κνλνηνλίαο γηα ηε ζπλάξηεζε ln f( ) / γηα λα απνδείμεηε όηη 4 ln e 17. Να εθαξκόζεηε ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ γηα ηε ζπλάξηεζε δείμεηε όηη γηα ηπραίν δηάζηεκα [a,b] (κε 0<a<b<1) ηζρύεη sin 1 γηα λα b a b a 1 1 sin bsin a 1a 1b Σηε ζπλέρεηα λα εθαξκόζεηε ην απνηέιεζκα ζην δηάζηεκα [0,1/] γηα λα δείμεηε όηη 18. Να γίλνπλ ηα παξαθάησ αλαπηύγκαηα Taylor. () i ωρ όποςρ τάξηρ ( ii) ( 7 ) ωρ όποςρ τάξηρ 1/5 (4 5 ) /4 6 e e 4 ln(1 ) ( iii) ωρ όποςρ τάξηρ ( iv) ωρ όποςρ τάξηρ ( v) cos(1 ) ωρ όποςρ τάξηρ ( vi) 1 ln(1 ) ωρ όποςρ τάξηρ sin ( vii) e ωρ όποςρ τάξηρ ( viii) ωρ όποςρ τάξηρ ( i) sin( ) sin( ) ωρ όποςρ τάξηρ ( ) sin cos ωρ όποςρ τάξηρ 4
19. Να επηβεβαηώζεηε όηη ε ηαπηόηεηα ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) πινπνηείηαη επίζεο από ηα αλαπηύγκαηα ηνπ αξηζηεξνύ θαη ηνπ δεμηνύ ηεο κέινπο, γηα όξνπο σο. 0. Να ρξεζηκνπνηήζεηε θαηάιιεια ην αλάπηπγκα ηεο ζπλάξηεζεο ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκό 9 / κε αθξίβεηα 4 δεθαδηθώλ ςεθίσλ. (1 ) / κέρξη όξνπο γηα λα 1. Η ζπλάξηεζε f ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε ( ) 1 ( ( )) γηα θάζε 0 f f αλάπηπγκα Taylor ηεο ζπλάξηεζεο f κέρξη όξνπο ηάμεο. θαη f (0) 1. Να βξεζεί ην. Να γίλεη αλάπηπγκα Taylor γύξσ από ην =0 ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ κέρξη όξνπο ηάμεο. ( i) sin( ) ( ii) log(5 ) ( iii) cos ( 1) ( iv) e 1. Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα / 1/ d e e ( i) d ( ii) ( iii) d ( iv) d 4 1 (ln ) e d sin ( ) ( ) ( ) ( ) sec 1 4ln 1 cos tan v vi d vii e e d viii e d 1 (sin ) d 7 /4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 i d i d ii e d 1 1sin ( iiii) 1 sin 1e 1cos n n d ( ) sin cos d ( i) d ( ii) tan sec d 4. Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα 4 ( i) d ( ii) d ( iii) d ( iv) d ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 ( v) d ( vi) d ( vii) d ( viii) d ( ) 5 6
5. Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα ( i) d ( ii) d ( iii) d ( iv) 1 e 1 1 1 1 ( v) e 1 d ( vi) d ( vii) d ( viii) d 1 (1 ) 1 d 6. Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ νινθιεξώκαηα 1 ( ) sin ( ) ( ) cos( ) ( ) sin( ) i d ii e d iii d iv d n ( ) ln ( ) ln( ) ( ) ln( 1) ( ) sin(ln ) v d vi d vii d viii d sin e i d d i e d ii d 1 ( 1) 1 ( ) sec ( ) ( ) ( ) 7. Να ππνινγίζεηε ηα αθόινπζα νξηζκέλα νινθιεξώκαηα. e 1 ( i) ln d ( ii) e d ( iii) 0 0 0 d 1ln( ) 1 d d ( 1)( ) ( iv) ( v) d ( vi) 0 0 0 / ( )