Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a 0 r 0 +a -1 r -1 +a -2 r -2 + +a -m r -m Αν r = 10 (Δεκαδικο) a i =0,1,2,,9 (345) 10 =3 10 2 + 4 10 1 + 5 10 0 Aν r = 2 (Δυαδικο) a i = 0,1 (binary digits ή bits) (1001) 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = (9) 10 Aν r = 8 (Οκταδικο) a i = 0,1,,7 (345) 8 =3 8 2 + 4 8 1 + 5 8 0 = (229) 10 Aν r=16 (Δεκαεξαδικο) a i = 0,1,,9,A,B,C,D,E,F (5AD) 16 =5 16 2 +10 16 1 +13 16 0 = (1453) 10

Γιατι δυαδικο συστημα?? Πλεονεκτηματα του δυαδικου συστηματος: Ευκολη η αποθηκευση (δυο καταστασεις) Απληηεπεξεργασια Μεγαλύτερη ανοχή στο θόρυβο Μειονεκτημα Το μεγαλυτερο πληθος ψηφιων για την παρασταση δεδομενου αριθμου

Μετατροπη Δυαδικου Δεκαδικο Ακεραιος δυαδικος (a n a n-1 a 1 a 0 ) 2 = a n 2 n +a n-1 2 n-1 + +a 0 2 0 (11010) 2 = 1 2 4 + 1 2 3 +0 2 2 +1 2 1 + 0 2 0 = (26) 10

Μετατροπη Δυαδικου Δεκαδικο Κλασματικος δυαδικος (0.a -1 a -2 a -m ) 2 = a -1 2-1 + +a -m+1 2 -m+1 +a -m 2 -m (0.1101) 2 =1 2-1 +1 2-2 +0 2-3 + 1 2-4 =1/2 +1/4 +1/16 =13/16 =0.8125

Μετατροπη Δεκαδικου Δυαδικο Ακεραιος δεκαδικος (11) 10 = (a n a n-1 a 0 ) 2 = =a n 2 n + a n-1 2 n-1 + +a 1 2 1 + a 0 2 0 = =(((a n 2+a n-1 ) 2+a n-1 )2 +a 1 )2 + a 0 11/2: πηλικο=5, υπολοιπο=1, 5/2: πηλικο=2, υπολοιπο=1, 2/2: πηλικο=1, υπολοιπο=0, 1/2: πηλικο=0, υπολοιπο=1. (11) 10 = (1 0 1 1) 2

Μετατροπη Δεκαδικου Δυαδικο Κλασματικος δεκαδικος (0.81) 10 =(0.a -1 a -2 a -m ) 2 = =a -1 2-1 +a -2 2-2 + +a -m 2 -m = = (a -1 + (a -2 +a -3 (a -4 + +(a -m 2-1 ) 2-1 )2-1 ) ) 2-1 0.81x2= 1.62 1 0.62x2= 1.24 1 0.24x2= 0.48 0 0.48x2= 0.96 0 0.81=0. 1 1 0 0 1 1 1 1 0.96x2= 1.92 1 0.92x2= 1.84 1 0.84x2= 1.68 1 0.68x2= 1.36 1

Γενικος τυπος μετατροπης μεταξυ αριθμητικων συστηματων (a n a n-1 a 1 a 0 ) r = (b m b m-1 b 1 b 0 ) ρ a n r n +a n-1 r n-1 + + a 1 r 1 +a 0 = b m ρ m +b m-1 ρ m-1 + +b 1 ρ 1 +b 0 a 0 +r ( a 1 + r(a n-1 +r a n ))) = b 0 +ρ( b 1 + +ρ( b m-1 +ρ b m ))))

Δυαδικο σε Οκταδικο a 0 +a 1 2 1 +a 2 2 2 +a 3 2 3 +a 4 2 4 +a 5 2 5 +a 6 2 6 +a 7 2 7 +a 8 2 8 +a 9 2 9 + = = a 0 +a 1 2 1 +a 2 2 2 +2 3 (a 3 +a 4 2 1 +a 5 2 2 ) + 2 6 (a 6 +a 7 2 1 +a 8 2 2 )+2 9 ( = = (a 0 +a 1 2 1 +a 2 2 2 ) + (a 3 +a 4 2 1 +a 5 2 2 ) 8 1 + (a 6 +a 7 2 1 +a 8 2 2 )8 2 + = = b 0 8 0 +b 1 8 1 +b 2 8 2 (11101) 2 = [(011) 2 (101) 2 ] 8 = (35) 8 =(29) 10 3 5 (0.11001111) 2 =[ 0. (110) 2 (011) 2 (110) 2 ] 8 = (0.636) 8 = (0.81) 10 6 3 6 (35) 8 = [(011) 2 (101) 2 ] 8 = 011101 (0.636) 8 = 0.110 011 110

Δυαδικο σε Δεκαεξαδικο a 0 +a 1 2 1 +a 2 2 2 +a 3 2 3 +a 4 2 4 +a 5 2 5 +a 6 2 6 +a 7 2 7 +a 8 2 8 +a 9 2 9 + = = (a 0 +a 1 2 1 +a 2 2 2 +a 3 2 3 ) + (a 4 +a 5 2 1 +a 6 2 2 +a 7 2 3 ) 16 1 + (a 8 +a 9 2 1 +a 10 2 2 +a 11 2 3 )16 2 + = = b 0 16 0 +b 1 16 1 +b 2 16 2 (101101) 2 = [(0010) 2 (1101) 2 ] 16 = (2D) 8 =(45) 10 2 D (0.11001111) 2 =[ 0. (1100) 2 (1111) 2 ] 16 = (0.CF) 16 = (0.808..) 10 C F

Δυαδικη Αριθμητικη Προσθεση : 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 1+1 = 10 (Αθροισμα =0, κρατουμενο=1) 1+1+1 = 11 (Αθροισμα=1, κρατουμενο =1) 1 1 1 1 κρατουμενα 95 1 0 1 1 1 1 1 +20 + 0 0 1 0 1 0 0 115 1 1 1 0 0 1 1

Δυαδικη Αριθμητικη Αφαιρεση: 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1= υπολοιπο 1, δανεικο =1-1 δανεικο -1-1 5 1 0 1 17 1 0 0 0 1-3 - 1 1-9 - 1 0 0 1 2 0 1 0 08 0 1 0 0 0-1 -1 46 1 0 1 1 1 0-17 - 1 0 0 0 1 29 0 1 1 1 0 1

Δυαδικη Αριθμητικη Πολλαπλασιασμος: 0 x 0 = 0, 0 x 1= 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1 109 1101101 x 11 x 1011 109 1101101 109 1101101 1199 1101101 10010101111

Παρασταση αρνητικων αριθμων Η παρασταση των θετικων αριθμων ειναι ιδια σε ολα τα αριθμητικα συστηματα που θα εξετασουμε στην συνεχεια. Η κυρια διαφορα των αριθμητικων συστηματων εγκειται στον τροπο παραστασης των αρνητικων αριθμων. Τρια ειναι τα πιο διαδεδομενα συστηματα παραστασης αρνητικων αριθμων 1. Προσημο και μετρο 2. συμπληρωμα ως προς ΕΝΑ, και 3. συμπληρωμα ως προς ΔΥΟ. Παραδοχες: Υποθετουμε οτι το συστημα μας χειριζεται αριθμους με 4 δυαδικα ψηφια Μπορουμε να παραστησουμε 16 διαφορετικες τιμες με τα 4 bits. Περιπου οι μισες τιμες ειναι θετικες, καιοιυπολοιπεςαρνητικες

Παρασταση αρνητικων με μετρο και προσημο Δυο παραστασεις για το 0 +0=0000, -0=1000 Το περισσοτερο σημαντικο ψηφιο (MSB) ειναι το προσημο: 0= θετικος, 1=αρνητικος Τα τρια τελευταια bits ειναι το μετρο: απο το 0 (000) εως το 7 (111) Η περιοχη τιμων που παριστανονται με 4 bits= ± 2 3 1 = ± 7. Η περιοχη τιμων που παριστανονται με n bits= ± 2 n-1 1. Δυσκολια στην εκτελεση της προσθεσης και της αφαιρεσης

Παρασταση αρνητικων με συμπληρωμα ως προς ενα Αν Ν ειναι ενας θετικος αριθμος, ο [Ν] 1 =(2 n -1) Ν ειναι το συμπληρωμα του ως προς ενα και ειναι ο αρνητικος του Ν. Παραδειγμα: για n=4 συμπληρωμα ως προς ενα του 7 2 4 1 = 1111 7 = 0111 παρασταση του 7 = 1000 = [7] 1 Γρηγορη μεθοδος υπολογισμου του [Ν] 1 Απλα συμπληρωνουμε τα bits του Ν 0111 1000, 0010 1101

Παρασταση αρνητικων με συμπληρωμα ως προς ενα Οι θετικοι και αρνητικοι αριθμοι σε μορφη συμπλ. ως προς 1 για n=4 H αφαιρεση εκτελειται προσθετοντας το συμπλ. ως προς 1 του αφαιρετεου. Και παλι δυο παραστασεις του 0!! Αυτο δημιουργει μερικα προβληματα

Παρασταση αρνητικων με συμπληρωμα ως προς δυο Μοιαζει με το συμπλ. ως προς 1 αλλα οι αρνητικοι εχουν μετατοπισθει μια θεση κατα την ωρολογιακη φορα. Μονο μια παρασταση για το 0 Οι αρνητικοι αριθμοι ειναι κατα εναν περισσοτεροι απο τους θετικους

Παρασταση αρνητικων με συμπληρωμα ως προς δυο Αν Ν ειναι ενας θετικος αριθμος, ο [Ν] 2 =2 n Ν ειναι το συμπληρωμα του ως προς δυο και ειναι ο αρνητικος του Ν στο συστημα αυτο. n=4 2 4 = 10000 Παραδειγμα 1ο: συμπλ. ως προς 2 του 7 7 = 0111 παρασταση του -7 1001 2 4 = 10000 Παραδειγμα 2ο: συμπλ. ως προς 2 του -7 = 1001 παρασταση του +7 0111 Γρηγορη μεθοδος υπολογισμου του συμπλ. ως προς 2 [Ν] 2 =2 n -N=(2 n -1)-N +1= [N] 1 +1 = συμπληρωμα ψηφιων του Ν + 1 [0111] 2 =[0111] 1 +1=1000+1=1001 (παρασταση του 7) [1010] 2 =[1010] 1 +1=0101+1=0110 = 6 => 1010 = 6

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Συστημα αριθμων «Μετρο και προσημο» Το προσημο του αποτελεσματος 4 0 100-4 1 100 συμπιπτει με το προσημο των + 3 0 011 +(-3) 1 011 αριθμων +7 0 111-7 1 111 Εαν διαφερουν τα προσημα 4 0 100-4 1 100 κανουμε αφαιρεση και +(-3) 1 011 +3 0 011 το προσημο του αποτελεσματος +1 0 001-1 1 001 εξαρταται απο το προσημο του αριθμου με την μεγαλυτερη απολυτη τιμη

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Συστημα αριθμων «Συμπληρωμα ως προς ενα» 4 0100-4 1011 +3 0011 +(-3) 1100 7 0111-7 10111 Επαναφορα κρατουμενου +1 1000 + -4 1011 4 0100 +3 0011-3 1100-1 1110 1 10000 Επαναφορα κρατουμενου +1 0001

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Συστημα αριθμων «Συμπληρωμα ως προς ενα» Γιατι γινεται η επαναφορα του κρατουμενου?? Ειναι ισοδυναμη με την αφαιρεση του 2 n και προσθηκη του 1 Για το Μ Ν όπου M > N εχουμε: [M N] 1 = M + [N] 1 = M + (2 n 1 N) = (M N) + 2 n 1 Για το ( Μ)+( Ν) όπου M+N < 2 n-1 [ M + ( N)] 1 = [M] 1 +[N] 1 = (2 n 1 M) + (2 n 1 N) = = 2 n + {2 n 1 (M + N)} 1 = μετα την επαναφορα κρατουμενου = 2 n 1 (M + N) =[(Μ+Ν)] 1 Η τελευταια εκφραση ειναι η σωστη παρασταση του (Μ + Ν) σε μορφη συμπληρωματος ως προς 1.

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Συστημα αριθμων «Συμπληρωμα ως προς δυο» 4 0100-4 1100 +3 0011 +(-3) 1101 7 0111-7 11001 4 0100-4 1100-3 1101 +3 0011 1 10001-1 1111 Η απλουστευμενη προσθεση συντελει ωστε η μορφη του συμπληρωματος ως προς δυο να ειναι η συνηθεστερη μορφη παραστασης αρνητικων αριθμων

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Συστημα αριθμων «Συμπληρωμα ως προς δυο» Γιατι μπορουμε να αγνοησουμε το τελικο κρατουμενο?? Για το Μ Νοταν Μ> Ν [Μ Ν] 2 =Μ + [Ν] 2 = Μ + (2 n Ν) = 2 n + (Μ Ν) Αγνοωντας το κρατουμενο ειναι σαν να αφαιρουμε το 2 n Για το ( Μ) + ( Ν) οταν M+N 2 n-1 [( M)+( N)] 2 = [M] 2 + [N] 2 = (2 n M) + (2 n N) = 2 n (M + N) + 2 n Αγνοωντας το κρατουμενο βρισκουμε την σωστη παρασταση σε μορφησυμπληρωματοςωςπροςδυοτου (Μ + Ν)

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Υπερχειλιση (overflow) εχουμε οταν η προσθεση δυο ομοσημων αριθμων δινει ετεροσημο αριθμο. Παραδειγματα: Συστημα συμπλ. ως προς δυο, n=4 0 1 1 1 1 0 0 0 5 0 1 0 1-7 1 0 0 1 3 0 0 1 1-2 1 1 1 0 OVERFLOW -8 1 0 0 0 7 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 5 0 1 0 1-3 1 1 0 1 2 0 0 1 0-5 1 0 1 1 NO OVERFLOW 7 0 1 1 1-8 1 1 0 0 0

Προσθεση και Αφαιρεση Αριθμων Overflow στο συστημα «συμπληρωμα ως προς δυο» n=4 + 5 + 3 = -8-7 - 2 = +7

Συνοψη τροπων προσθεσης και αφαιρεσης δυαδικων αριθμων ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ Μη προσημα- Προσθετουμε κανονικα Αφαιρουμε τον αφαιρετεο σμενοι αριθμοι Εχουμε υπερχειλιση αν Ν/Α απο τον μειωτεο υπαρχει τελικο κρατουμενο Το αποτελεσμα δεν ειναι αποδεκτο αν εχουμε τελικο δανεικο Προσημο/ Ομοσημοι: προσθετουμε τα Αλλαζουμε το Αλλαζουμε το προσημο /μετρο μετρα. Ιδιο προσημο. προσημο απο του αφαιρετεου, και Υπερχειλιση αν υπαρχει 0 (+) σε 1 (-) προσθετουμε κανονικα τελικο κρατουμενο Ετεροσημοι Αφαιρουμε το μικροτερο μετρο απο το μεγαλυτερο. Προσημο το προσημο του μεγαλυτερου

Συνοψη τροπων προσθεσης και αφαιρεσης δυαδικων αριθμων (2) ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ Προσθετουμε ολα τα ψηφια Προσθετουμε το ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Επανεισαγουμε το τελικο Συμπληρωνουμε συμπληρωμα του ΩΣ ΠΡΟΣ 1 κρατουμενο. ολα τα bits του αφαιρετεου Εχουμε υπερχειλιση αν οι αριθμου. αριθμοι ειναι ομοσημοι και το αποτελεσμα ετεροσημο Προσθετουμε ολα τα ψηφια Προσθετουμε το ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Αγνοουμε το τελικο Συμπληρωνουμε συμπληρωμα του ΩΣ ΠΡΟΣ 2 κρατουμενο. ολα τα bits του αφαιρετεου Εχουμε υπερχειλιση αν οι αριθμου και αριθμοι ειναι ομοσημοι και προσθετουμε 1 το αποτελεσμα ετεροσημο