ΕΙΣΑΓΩΓΗ: AΝAΠAΡAΣΤAΣΗ AΡΙΘΜΩΝ ΚAΙ ΣΦAΛΜAΤA

ΚΕΦAΛAΙΟ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ: AΝAΠAΡAΣΤAΣΗ AΡΙΘΜΩΝ ΚAΙ ΣΦAΛΜAΤA Στο κεφάλαιο αυτό δίνουµε µια ανασκόπηση των τρόπων αναπαράστασης των αριθµών στα συστήµατα υπολογιστών και της αριθµητικής τους. Συζητάµε επίσης τους τύπους σφαλµάτων που υπεισέρχονται στους αριθµητικούς υπολογισµούς, και εξετάζουµε τις πηγές τους και την µετάδοσή τους. Ι.1 Aναπαράσταση Aκεραίων Aριθµών Ολοι τα συστήµατα Η/Υ που χρησιµοποιούνται στις επιστηµονικές εφαρµογές χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα για την αναπαράσταση των αριθµών. Ειδικότερα, ένας µη αρνητικός αριθµός k παριστάται στο δυαδικό σύστηµα σαν ένα πολυώνυµο: k = (a a -1...a 1 a 0 ) 2 = a 2 +a -1 2-1 +...+a 1 2 1 +a 0 2 0 (Ι.1.1) όπου a k είναι 0 ή 1. Είναι λοιπόν χρήσιµο να έχουµε κάποιο τρόπο µετάβασης από τη δεκαδική αναπαράσταση στη δυαδική, κατά την εισαγωγή της πληροφορίας στον Η/Υ, και από την δυαδική στη δεκαδική αναπαράσταση, για τους σκοπούς της εξόδου. Η µετατροπή από τη δυαδική στη δεκαδική αναπαράσταση µπορεί να γίνει άµεσα από τον ορισµό (Ι.1.1), αλλά όχι "οικονοµικά". Οµως ένας πιο γρήγορος και τυπικός τρόπος µετατροπής δίνεται από τον αλγόριθο του Ηοrer, που υπολογίζει τη τιµή ενός πολωνύµου σε ένα σηµείο β : Aλγόριθµος Ι.1 (σχήµα Ηοrer) Ιput: Συντελεστές a,a -1,..., a 0 του p(x) = a x +...+a 1 x 1 +a 0, ακέραιος β >1 Οutput: b 0 =p(β ), ή τιµή του πολυωνύµου στο σηµείο β. b := a ; For k := -1 dowto 0 do b k := a k + b k+1 * β ; Το δεκαδικό ισοδύναµο του (a a -1...a 1 a 0 ) 2 δίνεται από τη τιµή του b 0 που υπολογίζεται στην τελευταία επανάληψη του αλγορίθµου Ι.1, για β=2. Το ίδιο σχήµα µπορεί φυσικά να εφαρµοσθεί και για τη µετατροπή στο δεκαδικό σύστηµα, ξεκινώντας από οποιαδήποτε βάση αρίθµησης β. Για τη µετατροπή από τη δεκαδική στη δυαδική αναπαράσταση, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και πάλι τον αλγόριθµο Ι.1, κάνοντας όµως χρήση δυαδικής αριθµητικής. Aν k=(a a -1...a 1 a 0 ) 10, τότε k=p(10). Για να υπολογίζουµε λοιπόν τη δυαδική αναπαράσταση του k, µετατρέπουµε τους συντελεστές a i σε δυαδικούς ακέραιους και εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο Ι.1 για β=10=(1010) 2. Για παράδειγµα, αν k=187, τότε παίρνουµε: (187) 10 = 1. 10 2 + 8. 10 1 + 7. 10 0 = = (1). 2 (1010) 2 2 + (1000)2. (1010) 1 2 + (111). 2 (1010) 0 2 b 2 = (1) 2 b 1 = (1000) 2 + (1). 2 (1010) 2 = (1000) 2 + (1010) 2 = (10010) 2 b 0 = (111) 2 + (10010). 2 (1010) 2 = (111) 2 + (10110100) 2 = (10111011) 2

I-2 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα και εποµένως 187 = (10111011) 2. Το δεκαδικό σύστηµα απαιτεί πολύ λιγότερα ψηφία για την αναπαράσταση ενός αριθµού σε σύγκριση µε το δυαδικό. Για το λόγο αυτό, το οκταδικό σύστηµα αποτελεί ένα είδος συµβιβασµού µεταξύ των δύο παραπάνω συστηµάτων. Επιπλέον, η µετατροπή ενός δυαδικού σε οκταδικό καθώς και ενός οκταδικού σε δυαδικό γίνεται εύκολα. Για παράδειγµα: (100110111) 2 = (100 110 111) 2 = (467) 8 (345) 8 = (011 100 110) 2 = (11100110) 8 Η µετατροπή λοιπόν ενός δεκαδικού ακέραιου σε δυαδικό µπορεί να γίνει ταχύτερα αν µετατραπεί πρώτα ο δεκαδικός σε οκταδικό, µε χρήση του αλγορίθµου Ηοrer, και στη συνέχεια o οκταδικός σε δυαδικό. Π.χ. για τον (187) 10 παίρνουµε (187) 10 = (1) 8 (12) 8 2 + (10)8 (12) 8 1 + (7)18 (12) 8 0 Εφαρµόζοντας τώρα τον Aλγόριθµο Ι.1, µε β =10=(12) 8, και οκταδική αριθµητική παίρνουµε: b 2 = (1) 8 b 1 = (10) 8 + (1) 8 (12) 8 = (22) 8 b 2 = (7) 8 + (22) 8 (12) 8 = (7) 8 + (264) 8 = (273) 8 και άρα 187 = (273) 8 = (010 111 011) 2 = (010 111 011) 2. Ι.2 Aναπαράσταση Πραγµατικών Aριθµών Aν x είναι ένας θετικός πραγµατικός αριθµός στο δεκαδικό σύστηµα, τότε το ακέραιο µέρος του είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος x Ι x, ενώ το κλασµατικό µέρος του είναι ο x F =x-x Ι. Τo κλασµατικό µέρος µπορεί επίσης να γραφτεί: x F = Σ k=1 b k 10 -k, όπου 0 < b k <10 (Ι.2.1) Aν υπάρχει ακέραιος m τέτοιος ώστε b k =0 για κάθε k>m, τότε λέµε ότι το κλάσµα τερµατίζεται. Για παράδειγµα, το 1/2 = 0.5 = 5. 10-1 είναι ένα τερµατίζον δεκαδικό κλάσµα, ενώ το 1/3 = 0.333... = 3. 10-1 + 3. 10-2 + 3. 10-3 +... είναι ατέρµον κλάσµα. Ενας συνήθης συµβολισµός για ένα πραγµατικό αριθµό x, µε ακέραιο µέρος x Ι =(a...a 1 a 0 ) 10 και κλασµατικό µέρος όπως δίνεται από την (Ι.2.1), είναι: x = (a a -1...a 1 a 0.b 1 b 2...) 10 (Ι.2.2) Εντελώς ανάλογα, εκφράζοντας τον x σε δυαδική αναπαράσταση γράφουµε x = (a a -1...a 1 a 0.b 1 b 2...) 2 (Ι.2.3) όπου το ακέραιο µέρος του x δίνεται από το δυαδικό ακέραιο x Ι =(a a -1...a 1 a 0 ) 2 και το κλασµατικό µέρος του από το δυαδικό κλάσµα : x F = Σ k=1 b k 2 -k, όπου b k =1 ή 0 (Ι.2.4)

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-3 Για να υπολογίσουµε τώρα το ισοδύναµο δυαδικό κλάσµα ενός δεκαδικού αριθµού x µε 0<x F <1 παρατηρούµε: ( ) k k x = b 2 ή 2x = b + b 2 = 2x F k F 1 k+ 1 k= 1 k = 1 F I Οµοίως λαµβάνουµε b 2 =(2(2x F ) F ) Ι, b 3 =(2(2(2x F ) F ) F ) Ι κ.λ.π. Για παράδειγµα, αν x=x F =0.625, έχουµε : 2(0.625) = 1.25 b 1 = 1 2(0.25) = 0.50 b 2 = 0 2(0.50) = 1.0 b 3 = 1 και b k =0 για k>3. Εποµένως 0.625 =(0.101) 2. Στο παραπάνω παράδειγµα φθάσαµε σε τερµατίζον δυαδικό κλάσµα. Aυτό δεν συµβαίνει όµως πάντα. Ενα τερµατίζον δεκαδικό κλάσµα µπορεί να αντιστοιχεί σε ατέρµον δυαδικό κλάσµα, και αυτό οφείλεται στο ότι το δυαδικό κλάσµα για το δεκαδικό αριθµό x F =0.1 είναι ατέρµον (0001100110011...). Ο παρακάτω αλγόριθµος ανακεφαλαιώνει τη διαδικασία µετατροπής ενός δεκαδικού κλάσµατος σε ένα κλάσµα µε βάση αρίθµησης β Aλγόριθµος Ι.2 : Μετατροπή δεκαδικού κλάσµατος Ιput: δεκαδικός αριθµός x µε 0<x<1, ακέραιος β >1 Οutput: ισοδύναµο του x µε βάση β. i=0 ; c i = x ; loop i := i+1 ; b i = (β c i-1 ) Ι ; c i = (β c i-1 ) F ; if c i =0 the exit forever Σ Write (b 1,b 2,...) {x = (0.b 1 b 2...) = β k2 -k k=1 Ετσι η παραπάνω διαδικασία τερµατίζεται όταν το κλασµατικό µέρος γίνει 0 (τερµατίζον δυαδικό κλάσµα). ιαφορετικά το λαµβανόµενο δυαδικό κλάσµα θα είναι ατέρµον. Για β = 2 ο παραπάνω αλγόριθµος µετατρέπει ένα δεκαδικό κλάσµα σε δυαδικό. Για β=8 ο αλγόριθµος Ι.2 µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την µετατροπή πρώτα σε οκταδικό κλάσµα και µετά για µετατροπή από οκταδικό σε δυαδικό. Ο ίδιος αλγόριθµος µπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί για την µετατροπή ενός δυαδικού ή οκταδικού κλάσµατος σε δεκαδικό (θέτοντας β=8 και µε χρήση δυαδικής ή οκταδικής αριθµητικής). Παράδειγµα Ι.2.1 Να µετατραπεί ο αριθµός (87.625)10 στο δυαδικό και οκταδικό σύστηµα αρίθµησης. υαδικό Σύστηµα } Οκταδικό σύστηµα x Ι =87 87 = 2. 43 + 1 87 = 8. 10 + 7 43 = 2. 21 + 1 10 = 8. 1 + 2 21 = 2. 10 + 1 1 = 8. 0 + 1 10 = 2. 5 + 0 5 = 2. 2 + 1 2 = 2. 1 + 0 1 = 2. 0 + 1 Aρα x Ι =(1010111) 2 =(1 010 111) 2 = (127) 8 x 8 =(127) 8 = (001 010 111) 2 =(1010111) 2 x F =0.625 2. 0.625 = 1.25 b 1 = 1 8. 0.625 = 5.0 b 1 = 5 2. 0.25 = 0.50 b 2 = 0 2. 0.50 = 1.00 b 2 = 1 Aρα (87.625) 10 = (1010111.101) 2 = (127.5) 8 Aρα (87.625) 10 =(127.5) 8 =(1010111.101) 2

I-4 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα Ι.3 Aριθµητική Κινητής Υποδιαστολής Ενας διαδεδοµένος τρόπος εκτέλεσης επιστηµονικών υπολογισµών είναι η αριθµητική κινητής υποδιαστολής (floatig poit arithmetic). Την αριθµητική αυτή υποστηρίζουν τα συστήµατα Η/Υ για την αναπαράσταση των δεκαδικών (πραγµατικών) αριθµών και την εκτέλεση υπολογισµών µεταξύ τους. Παράλληλα υποστηρίζουν και την ακέραια αριθµητική, για τους υπολογισµούς που δίνουν ακέραιες τιµές. Ενας -ψήφιος αριθµός κινητής υποδιαστολής (α.κ.υ.) στη βάση β έχει τη µορφή: x = + (0.d 1 d 2... d ) β β e (ΙΙ.3.1) όπου (d 1 d 2... d ) β είναι ένα β-κλάσµα που καλείται matissa, και e ένας ακέραιος που καλείται εκθέτης. Ο αριθµός αυτός λέγεται κανονικοποιηµένος όταν d 1 0 ή όταν d 1 =d 2 =...=d =0. Τα d 1,...,d λέγονται σηµαντικά δεκαδικά ψηφία (σ.ψ.). Το καλείται επίσης µήκος ή µέγεθος ενός α.κ.υ. Για παράδειγµα, η παράσταση του δεκαδικού αριθµού x=2/3=0.666666... σε κανονικοποιηµένο δεκαδικό α.κ.υ. µε =4 είναι x=(0.6666)10 0. Για το δεκαδικό σύστηµα είναι 0.1 matissa<1.0, ενώ για το δυαδικό, 0.5 matissa<1.0. Τα συστήµατα Η/Υ αναπαριστούν τους πραγµατικούς σαν κανονικοποιηµένους α.κ.υ. µε β=2. Το µήκος ενός α.κ.υ. καθορίζεται από το µήκος της λέξης σε ένα δεδοµένο σύστηµα Η/Υ (π.χ. =27 στον ΙΒΜ 360). Ο εκθέτης e βρίσκεται σε µια περιοχή m<e<μ όπου τα όρια m, Μ εξαρτώνται από τον υπολογιστή. Συνήθως χρησιµοποείται 1 byte για τον εκθέτη (το πρώτο bit χρησιµοποιείται για το πρόσηµό του) και k bytes για την matissa (σχ. Ι.3.1). Ετσι για τους υπολογιστές που χρησιµοποιούν 6 bytes για την αναπαράσταση πραγµατικών απλής ακρίβειας, είναι -128 e 127, και εποµένως µπορούν να αναπαρασταθούν οι αριθµοί του διαστήµατος [2-128, 2 127 ] = [2.9387358771Ε-39, 1.7014118346Ε+38], µε ακρίβεια 11 δεκαδικών ψηφίων (γιατί 2 39 =0.18x10-11 ). Πρόσηµο Πρόσηµο (1 bit) εκθέτη (1 bit) Εκθέτης (7 bits) Matissa (k bytes) Σχήµα Ι.3.1 Aναπαράσταση στη µνήµη ενός α.κ.υ. Η αποθήκευση των πραγµατικών από τα συστήµατα Η/Υ βασίζεται στη περικοπή τους σε α.κ.υ., η οποία γίνεται µε δύο τρόπους: στρογγύλευση (roudig) και αποκοπή (trucatio). Aν x είναι ο πρός αποθήκευση αριθµός και fl(x) η αναπαραστασή του σε α.κ.υ., τότε κατά την στρογγύλευση ο fl(x) ορίζεται σαν ο πλησιέστερος του x κανονικοποιηµένος α.κ.υ. Κατά την αποκοπή, ο fl(x) είναι ο πλησιέστερος κανονικοποιηµένος α.κ.υ. τέτοιος ώστε 0<fl(x)<x. Πιο συγκεκριµένα, στο δεκαδικό σύστηµα και µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής σηµαντικών ψηφίων (α.κ.υ. σ.ψ.), είναι x = +(0.d 1 d 2...d d +1...) 10 10 e και ισχύουν οι µετατροπές: d 1 d 2...d d +1 d 1 d 2...d d +1 στρογγύλευση αποκοπή d 1 d 2...d (d 1 d 2...d d +1 )+0.5 10 Για παράδειγµα, έχουµε: αν =2 fl(8/9) = (0.89)10 0 στρογγύλευση fl(8/9) = (0.88)10 0 αποκοπή fl(-567) = -(0.57)10 3 στρογγύλευση

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-5 fl(-567) = -(0.56)10 3 αποκοπή αν =4 fl(299999) = (0.3) 10 6 στρογγύλευση fl(299999) = (0.29999) 10 6 αποκοπή fl(24.63501) = (0.2464). 10 2 στρογγύλευση fl(24.63501) = fl(0.2463). 10 2 ) αποκοπή Οταν x β Μ (οverflow) ή x β m (uderflow), o fl(x) δεν ορίζεται και είτε εξάγεται µήνυµα overflow ή uderflow κατά περίπτωση, είτε αποθηκεύεται ένας ειδικός αριθµός, όπως το συµπλήρωµα του x ως προς 2. Η διαφορά x-fl(x) λέγεται σφάλµα στρογγύλευσης (roud-off error) και εξαρτάται από το µέγεθος του x. Για το λόγο αυτό µελετάµε το σχετικό σφάλµα : δ = fl( x) x, ή fl( x) = x( 1+ δ ) x Μπορούµε να φράξουµε τα σφάλµατα στρογγύλευσης και αποκοπής ανεξάρτητα από τον θεωρούµενο α.κ.υ. Συγκεκριµένα ισχύει η παρακάτω πρόταση: Πρόταση Ι.3.1 Το σχετικό σφάλµα δ ενός α.κ.υ. x, σε α.κ.υ. σ.ψ., οριοθετείται ανεξάρτητα από το x και φράσσεται ως εξής: δ 0.5 β 1- για τη στρογγύλευση (Ι.3.2) δ β 1- για την αποκοπή Aπόδειξη Για την αποκοπή έχουµε: δ = fl(x ) x x = (0. d 1 d 2... d ) 10e (0. d 1 d 2... d d +1...) 10 e (0. d 1 d 2... d d +1... ) 10 e = (0. d +1 d +2... ) (0.d 1 d 2... d d +1...) 10 1 0.1 10 +1 = 10 Παρόµοια είναι η απόδειξη και για την περίπτωση της στρογγύλευσης (άσκηση). Aπό τις σχέσεις (Ι.3.2) παρατηρούµε ότι το σφάλµα στρογγύλευσης φράσσεται σε στενότερο διάστηµα από ότι το σφάλµα αποκοπής. Για το λόγο αυτό, οι αρχιτεκτονικές των συστηµάτων Η/Υ συνήθως υποστηρίζουν τον πρώτο τρόπο αποθήκευσης. Οι αριθµητικές πράξεις µεταξύ α.κ.υ. δεν δίνουν συνήθως α.κ.υ. του ίδιου µήκους. Στις περιπτώσεις αυτές χάνονται σηµαντικά ψηφία. Π.χ. αν θεωρήσουµε =2 και στρογγύλευση και x=(0.30)10 1, y=(0.66)10-5, z=(0.20)10 3, τότε : x+y = (0.30000066)10 1 fl(x+y) = (0.30)10 1 x * y = (0.198)10-4 fl(x*y) = (0.20)10-4 z / x = 66.6666... fl(z/x) = (0.67)10 2 y * z = 0.00132 fl(y*z) = (0.13)10-2 x+z =203 fl(x+z) = (0.20)10 3 y+z =200.0000066 fl(y+z) = (0.20)10 3 y-x =-2.9999934 fl(y-x) = -(0.30)10 1 x-z = -197 fl(x-z) = -(0.20)10 3 y-z = 199.9999934 fl(y-z) = (0.20)10 3

I-6 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα Εποµένως αν θεωρήσουµε ότι οι πράξεις γίνονται σε ένα σύστηµα Η/Υ µε α.κ.υ. σ.ψ., έχουµε σφάλµατα οφειλόµενα στην απώλεια σηµαντικών ψηφίων λόγω στρογγύλευσης. Ετσι, αν συµβολίσουµε µε Τ µια στοιχειώδη αριθµητική πράξη, και µε Τ * την αντίστοιχη πράξη α.κ.υ. που εκτελείται από την CΡU, τότε συνήθως θα είναι xτy xτ * y. Σηµειώνουµε όµως, ότι οι τέσσερες βασικές πράξεις µεταξύ α.κ.υ. συνήθως υλοποιούνται στους υπολογιστές έτσι ώστε x Τ * y = fl(x Τ y) Εποµένως ισχύει x Τ * y = (x Τ y)(1+δ), όπου δ το σχετικό σφάλµα, δηλαδή το αποτέλεσµα της πράξης µεταξύ δύο αριθµών κινητής υποδιαστολής είναι ίσο µε τον α.κ.υ. που αναπαριστά την ακριβή πράξη µεταξύ των αριθµών αυτών. Aυτό ενδεικτικά συµβαίνει στη περίπτωση που ο υπολογιστής εκτελεί τις πράξεις µε ακρίβεια σ.ψ. και στη συνέχεια περικόπτει τα αποτελέσµατα σε σ.ψ. Παράδειγµα Ι.3.1 Εστω a=1/3=0.333333..., b=0.3452678. Τότε σε α.κ.υ. 6 σ.ψ. και στρογγύλευση ένα σύστηµα Η/Υ θα εκτελέσει τις πράξεις α.κ.υ. ως εξής: fl(a) = 0.333333 fl(b) = 0.345268 fl(a+b) = fl(0.333333 + 0.345268) =fl(0.678601)=0.678601 fl(a - b) = fl(0.333333-0.345268) =fl(-0.011935)=-0.011935 fl(a*b) = fl(0.333333 * 0.345268) =fl( 0.115089218244 )=0.115089 fl(a/b) = fl(0.333333 / 0.345268) = fl(0.96543264942016)=0.965433 Aν χρησιµοποιώντας µεγαλύτερη ακρίβεια δεχθούµε τότε επαληθεύουµε: a*b=0.33333333*0.3452678 = 0.11508926551577 δ = (a*b- fl(a*b) / a*b = 0.00000026551577 / 0.11508926551577 = 0.0000023070420061 0.5 10-5 = 0.5 10 1-6 Ι.4 Σφάλµατα και Aκρίβεια ιακρίνουµε δύο είδη σφαλµάτων που υπεισέρχονται στους αριθµητικούς υπολογισµούς σε ένα υπολογιστή. Σφάλµατα οφειλόµενα στην αναπαράσταση των πραγµατικών (σφάλµατα στρογγύλευσης), και σφάλµατα οφειλόµενα στην απώλεια ακρίβειας στους αριθµητικούς υπολογισµούς µεταξύ α.κ.υ. (λόγω στρογγύλευσης). Ορισµός Ι.4.1Aν x είναι ένας αριθµός και x * µια προσέγγιση του x, θα ονοµάζουµε απόλυτο σφάλµα του x, την ποσότητα εα(x)= x-x *, και απόλυτο σχετικό σφάλµα, την εσ(x)=( x-x * )/ x. Για παράδειγµα, αν x=(0.5416)10 1 και x * =(0.5415)10 1, τότε εα(x)=10-3 και εσ(x)= (0.18463811)10-3. Συνήθως επιδιώκουµε να δώσουµε εκτιµήσεις της µεγέθους του απόλυτου και σχετικού σφάλµατος. Προσδιορίζουµε έτσι ένα άνω φράγµα δx για το απόλυτο σφάλµα, εα(x) δx, που δίνει την µέγιστη τιµή της τάξης µεγέθους του εα(x). Τότε το σχετικό σφάλµα φράσσεται: εσ(x) δx/ x δx/( x * -δx) (Ι.4.1) και η ποσότητα δx/( x * -δx) αποτελεί ένδειξη της µέγιστης τιµής της τάξης µεγέθους του εσ(x). Aν δx<<x *, τότε εσ(x) δx/ x *, δηλαδή το δx/ x * είναι ένα άνω φράγµα για το σχετικό σφάλµα. Οταν δίνεται µια προσέγγιση x * του x είναι σηµαντικό να γνωρίζουε πόσα από τα ψηφία του x * έχουν νόηµα για την περιγραφή του x. Π.χ. αν για τον αριθµό 2/3 δοθούν οι προσεγγίσεις x * 1=0.66667 και

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-7 x * 2=0.6669953218, τότε το x * 1 αν και έχει λιγότερα σ.ψ., είναι καλύτερη αναπαράσταση από ότι το x * 2 (του οποίου τα τελευταία ψηφία δεν συνεισφέρουν καθόλου στην αναπαράσταση του x). Ορισµός Ι.4.2 Aν ένας αριθµός x * =(d1d2... dr.dr+1dr+2... dr+m) β δίνεται σε µορφήσταθερής υποδιαστολής (όχι κανονικοποιηµένος), θα λέµε ότι ένα σ.ψ. στη θέση k του x * είναι ακριβές, αν µετά τη στρογγύλευση του x * στις k πρώτες θέσεις, το απόλυτο σφάλµα είναι µικρότερο ή ίσο από το µισό της µονάδας στην k θέση. Παράδειγµα Ι.4.1 Για τους αριθµούς x * 1 =0.66667 και x* 2 =0.6669953218, και τα 5 ψηφία του x* 1 είναι ακριβή, ενώ ο x* 2 είναι ακριβής µόνον στα 3 πρώτα. Π.χ. για το πέµπτο σ.ψ. του x * 1, έχουµε: fl(0.66667) =5 = 0.66667 ε α (x) = 0.66667-2/3 0.000003333333333 0.000005 = 5 x 10-6 ενώ για το τέταρτο και τρίτο σ.ψ.του x * 2 παίρνουµε αντίστοιχα: fl(0.6669953218) =4 = 0.6670 ε α (x) = 0.6670-2/3 0.00033333333333 0.00005 = 5 x 10-5 fl(0.6669953218) =3 = 0.667 ε α (x) = 0.667-2/3 0.00033333333333 0.0005 = 5 x 10-4 Aµέσως προκύπτει ότι αν ο x * είναι α.κ.υ., για να είναι ακριβές ένα σ.ψ. τάξης k θα πρέπει x - fl(x * )=k 0.5 x β - (k+e) όπου e εκθέτης του α.κ.υ. και fl(x * )=k η στρογγύλευση του x * στα πρώτα k σ.ψ. Aν γνωρίζουµε τον αριθµό των σ.ψ. στα οποία είναι ακριβής µια προσέγγιση x * µπορούµε να εκτιµήσουµε το σχετικό σφάλµα. Aυτό φαίνεται στο παρακάτω παράδειγµα. Παράδειγµα Ι.4.2 Aν ο x * =23.151 είναι ακριβής σε 5 σ.ψ. θα προσδιορίσουµε µια εκτίµηση (άνω φράγµα) για το σχετικό σφάλµα. Aφού ο x είναι ακριβής και στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, από τον ορισµό του ακριβούς σ.ψ. είναι δx 0.5*10-3, και από την (Ι.4.1) παίρνουµε την εκτίµηση: εσ(x) δx/( x * -δx) = 0.0005/(23.151-0.0005) = 2.15978056629 x 10-5 δηλαδή το σχετικό σφάλµα είναι της τάξης µεγέθους του 10-5. Για πρακτικούς λόγους µπορούµε να αρκεσθούµε στο να γνωρίζουµε µόνο την τάξη µεγέθους του φράγµατος και µάλιστα µε τρόπο πιο άµεσο και απλό. Θεώρηµα Ι.4.1 Aν ένας αριθµός x * έχει ακρίβεια r σηµαντικών ψηφίων τότε είναι εσ(x) 5 x 10 -r, εκτός από και αν x * =10 r-1. Aν x * =10 r-1 είναι εσ(1)=1 και εσ(10 r-1 )=1/(1.99...9 x 0 r-1 ) (το 9 r-1 φορές), για r=2,3,... Aπόδειξη: αφήνεται σαν άσκηση. Ισχύει και το αντίστροφο (έπεται από τον ορισµό του ακριβούς σ.ψ.): Θεώρηµα Ι.4.2 Aν το σχετικό σφάλµα σε µια προσέγγιση x * είναι εσ(x) 5 x 10 r και r είναι ο µεγαλύτερος τέτοιος ακέραιος, τότε ο x * είναι ακριβής σε r σ.ψ.

I-8 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα Τα παραπάνω θεωρήµατα µας οδηγούν στον ακόλουθο ορισµό: Ορισµός Ι.4.3 Θα λέµε ότι µια προσέγγιση x * προσεγγίζει τον αριθµό x µε r σηµαντικά ψηφία, ή, ισοδύναµα, ότι ο x * έχει ακρίβεια r σηµαντικών ψηφίων, αν ο r είναι ο µεγαλύτερος µη αρνητικός ακέραιος, για τον οποίο: εσ(x) 0.5 x β 1-r (Ι.4.2) Με άλλα λόγια, όταν ο x * έχει ακρίβεια r σηµαντικών ψηφίων, τότε το απόλυτο σχετικό σφάλµα του x είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε αυτό που θα παίρναµε δουλεύοντας µε α.κ.υ. µήκους r. Στο δεκαδικό σύστηµα παίρνουµε εσ(x) 5. 10 -r. Παράδειγµα Ι.4.3 Για το x * =23.151 του Παραδείγµατος Ι.4.1 είναι εσ(x) 5 x 10-5 2.15978056629 x 10-5 Παράδειγµα Ι.4.4 Aν x * =57.245753 και εσ(x * ) 10-5, πόσα είναι τα ακριβή σ.ψ. του x * ; Επειδή εσ(x) 10-5 5 x 10-5 ο x * έχει τουλάχιστον 5 σ.ψ. Παράδειγµα Ι.4.5 Οι αριθµοί που προσεγγίζουν τον αριθµό 50 µε ακρίβεια 3 ψηφίων πληρούν την x- 50 /50 5. 10-3 x-50 250. 10-3 50-250. 10-3 x 50 +250. 10-3 49.75 x 50.25, και εποµένως είναι οι αριθµοί του διαστήµατος [49.75, 50.25]. Επίσης, ο x * =151.1210 προσεγγίζει τον x=151.1256 µε 5 σηµαντικά ψηφία, αφού x-x * / x = 0.0046/151.1256= 3.0438258 10-35 0.5. 10 1-5. Τέλος, όλοι οι αριθµοί που προσεγγίζουν τον x=151.1256 µε την ίδια ακρίβεια βρίσκονται στο διάστηµα [151.11804372, 151.13315628], αφού από την x * -151.1256 /151.1256 0.5. 10-4 λαµβάνουµε -0.00755628 x * - 151.1256-0.00755628, ή 151.11804372 x * 151.13315628. Ι.5 Μετάδοση Σφαλµάτων Τα σηµαντικώτερα σφάλµατα κατά τους υπολογισµούς οφείλονται στην απώλεια σηµαντικών ψηφίων, ή όπως λέµε, απώλεια ακρίβειας. Τα σφάλµατα αυτά µπορούν στη συνέχεια να µεταδοθούν και να αλλοιώσουν δραστικά τα τελικά αποτελέσµατα. Aς θεωρήσουµε τη πράξη x=a-b, και ότι έχουµε τις αντίστοιχες προσεγγίσεις fl(a) και fl(b) µε ακρίβεια k σ. ψ. Aν τα fl(a) και fl(b) συµφωνούν σε ένα ή περισσότερα ψηφία, τότε, λόγω στρογγύλευσης, η υπολογιζόµενη προσέγγιση fl(x)=fl(a)-fl(b) θα είναι ακριβής σε λιγότερα από k σ.ψ. Το γεγονός αυτό σηµαίνει απώλεια σ. ψ. Συνήθως, µεγάλες απώλειες σ.ψ. δηµιουργούνται κατά την αφαίρεση δύο σχεδόν ίσων αριθµών και κατά τη διαίρεση µε πολύ µικρούς αριθµούς, µε δυσάρεστα και απρόσµενα επακόλουθα στα τελικά αποτελέσµατα. Παράδειγµα Ι.5.1 Θεωρούµε σε αριθµητική κινητής υποδιαστολής 8 ψηφίων, τις προσεγγίσεις a * =(0.46853452)10 1 και b * =(0.46852100)10 1, και υποθέτουµε ότι είναι ακριβείς, σε σχέση µε τα a και b, στα πρώτα 7 ψηφία. Τότε x * =a * -b * =(0.13520000)10-4. Τo αποτέλεσµα είναι ακριβές σε 3 µόνον σ. ψ., αφού το τέταρτο ψηφίο (2) προήλθε από τα τελευταία ψηφία τα οποία µπορεί να είναι εσφαλµένα. Παρατηρούµε ότι, ενώ το απόλυτο σφάλµα για το x είναι µικρό (το πολύ ίσο µε το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων των a και b), το αντίστοιχο σχετικό σφάλµα είναι περίπου 10 4 µεγαλύτερο από τα σχετικά σφάλµατα των a και b.

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-9 Παράδειγµα Ι.5.2 Υποθέτουµε ότι για ένα υπολογιστή είναι -3 e 4 (3bits για τον εκθέτη), =4 και ότι οι µετατροπές γίνονται µε στρογγύλευση. Μπορούν να αναπαρασταθούν συνολικά 64 α.κ.υ., αφού υπάρχουν 8 επιλογές για τον εκθέτη και 8=2 3 για την matissa (0.1000, 0.1001, 0.1010, 0.1011, 0.1100, 0.1101, 0.1110, 0.1111). Θα υπολογίσουµε τη πράξη 7/10+1/5+1/6 (=7/15) µε χρήση δυαδικής αριθµητικής. Είναι fl(1/10)=(0.1101)22-3, fl(1/5)=(0.1101)22-2 και fl(1/5)=(0.1011)22-2. Aρχικά γίνεται η πράξη: fl(1/10) + fl(1/5) = (0.1101)2 2-3 + (0.1101)2 2-2 = (0.01101)2 2-2 + (0.01101)2 2-2 = fl[(1.00111)2 2-2 ] Μετά από στρογγύλευση γίνεται η µετατροπή: fl[(1.00111)2 2-2 ] = (0.1010)2 2-1. Στη συνέχεια εκτελείται: (0.1010)2 2-1 +fl(1/6) = (0.1010)2 2-1 +(0.1011)2 2-2 = (0.1010)2 2-1 +(0.01011)2 2-1 = fl[(0.11111)2 2-1 ] Μετά από στρογγύλευση έχουµε: fl[(0.11111)2 2-1 ] = (0.1000)2 2 0, και εποµένως 7/15 (0.1000)2. Το απόλυτο σφάλµα του υπολογισµού είναι: εα(x) = 7/15 - (0.1000)2 = 0.466667-0.500000-0.033333 = 0.033333 ενώ το απόλυτο σχετικό σφάλµα δίνεται: εσ(x) = 15/7 x 0.033333 0.0714285 Ενας τρόπος για να αποφευχθούν οι απώλειες σηµαντικών ψηφίων είναι συνήθως µια κατάλληλη αναδιάταξη των πράξεων. Aφαιρέσεις σχεδόν ίσων ποσοτήτων, καθώς και διαιρέσεις µε µικρά µεγέθη πρέπει να αποφεύγονται και να αντικαθίστανται µε άλλες πράξεις. Παράδειγµα Ι.5.3 ίνουµε εδώ µια ακραία περίπτωση που όλα τα σ.ψ. χάνονται. Εστω x=1.00020000, y=1.00010000, z=0.00020001 και ζητείται να υπολογισθεί η ποσότητα a:=x 2 -y 2 -z µε α.κ.υ. 7 σ.ψ. Είναι fl(x)=0.1000200x10 1, fl(y)=0.1000100x10 1, fl(z)=0.20000100x10-3. Εχουµε τους υπολογισµούς x 2 =0.1000400x10 1 y 2 =0.10002000x10 1 x 2- -y 2 =0.0000200x10 1 =0.200000x10 1 x 2 -y 2 -z=-0.0000100x10-3 =-0.1000000x10-7 =-0.0000001 Aν δουλεύαµε µε α.κ.υ. διπλής ακρίβειας, δηλ. µε 14 σ.ψ., θα παίρναµε: x 2 =0.10004000400000x10 1 y 2 =0.10002000100000x10 1 x 2- -y 2 =0.00002000300000x10 1 =0.20003000000000x10-3 x 2 -y 2 +z=-0.00002x10-3 =-0.2x10-7 =0.0000002 Το πρώτο αποτέλεσµα δεν είναι ακριβές σε κανένα σ.ψ. και επιπλέον έχει λανθασµένο πρόσηµο. Με απλή ακρίβεια µπορούµε να πάρουµε το ακριβές αποτέλεσµα αναδιατάσσοντας τους υπολογισµούς: x 2 - y 2 - z = (x - y) (x + y) - c = = 0.2000300x10 1 x 0.0000100x10 1-0.00020001 = 0.0000200x10-3 = 0.2x10-7 Aς σηµειωθεί ότι το αποτέλεσµα είναι το ίδιο µε αυτό που πήραµε µε διπλή ακρίβεια. Παράδειγµα Ι.5.4 Aς θεωρήσουµε τον υπολογισµό της συνάρτησης f(x) = 1-cosx µε αριθµητική 5 σ.ψ. και για τιµές του x κοντά στο 0. Aν υπολογίσουµε πρώτα την cosx και µετά κάνουµε την πράξη 1-cosx, θα χάσουµε σηµαντικά ψηφία (cosx»1 για x»0). Για το σχετικό σφάλµα θα είναι εσ(x) 5 10-6, δηλαδή της τάξης του f(x). Για να πάρουµε ακρίβεια 5 σ.ψ. µπορούµε εναλλακτικά να εφαρµόσουµε τον τύπο: f(x) = 1- cosx = si 2 x/(1+cosx) που παρέχει πολύ καλύτερη ακρίβεια για x»0.

I-10 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα Παράδειγµα Ι.5.5 Aς θεωρήσουµε την εξίσωση ax 2 +bx+c=0 όπου b>>4ac. Εστω ότι πρέπει να υπολογίσουµε τη µικρότερη σε απόλυτη τιµή ρίζα x1=(-b+(b 2-4ac) 1/2 )/(2a). Επειδή b>>4ac, παρατηρούµε ότι η (b 2-4ac) 1/2 συµφωνεί σε πολλά δεκαδικά ψηφία µε το b, µε αποτέλεσµα ο αριθµητής, και άρα και η x1, να έχει ακρίβεια λίγων σ.ψ., δηλ. b-(b 2-4ac) 1/2 0. Aν π.χ. a=1, b=62.1, c=1, οι ακριβείς λύσεις είναι x1=-0.01610723, x2=-62.08390. Βρίσκουµε x1=-0.2000 (όχι ικανοποιητική προσέγγιση, απώλεια σηµαντικών ψηφίων) και x2=--62.10 (ικανοποιητική προσέγγιση). Για να αποφύγουµε την απώλεια σ. ψ., µπορούµε όµως να χρησιµοποιήσουµε τον εναλλακτικό τύπο: x1=(-2c) / (b + (b 2-4ac) 1/2 ) Στη περίπτωση του παραδείγµατος παίρνουµε την ικανοποιητική προσέγγιση x1=-0.0161. Η εφαρµογή όµως του τύπου x2=(-2c)/(b-(b 2-4ac) 1/2 ) για τον υπολογισµό της x2 είναι λανθασµένη, αφού εδώ θα εκτελεσθεί διαίρεση µε πολύ µικρό αριθµό. Πράγµατι, βρίσκουµε x2=-50.00, που προφανώς δεν είναι ικανοποιητική προσέγγιση. ίνουµε στη συνέχεια µια απλή περίπτωση εκτίµησης σφάλµατος. Aς θεωρήσουµε ότι κατά την εκτέλεση των υπολογισµών υπεισέρχονται µόνον σφάλµατα αναπαράστασης για κάποια δεδοµένα. Τα σφάλµατα αυτά µεταδίδονται κατά τους αριθµητικούς υπολογισµούς, επιδρώντας στα τελικά αποτελέσµατα. Ενδιαφέρον λοιπόν είναι να δώσουµε µια εκτίµηση σφάλµατος, δηλαδή να εκτιµήσουµε το βαθµό επίδρασης του αρχικού σφάλµατος στα τελικά αποτελέσµατα του υπολογισµού. Εστω x ένα δεδοµένο και x * η αποθηκευµένη τιµή του, και ας θεωρήσουµε τον υπολογισµό σαν µια συνάρτηση f(x). Τότε η επίδραση του σφάλµατος µετράται από τα σφάλµατα εα(f(x)) και εσ(f(x)). Aν υποθέσουµε ότι η f έχει συνεχείς παραγώγους µέχρι και τάξης σε ένα διάστηµα που περιέχει τις τιµές x και x *, τότε µπορούµε να εφαρµόσουµε το ανάπτυγµα Τaylor στο σηµείο x * : f(x) = f(x * ) + f'(x * )(x-x * ) + 1 2! f(2) (x * )(x-x * ) 2 +... + 1! f() (x * )(x-x * ) + E (x) (Ι.5.1) Aν θεωρήσουµε ότι το x είναι επαρκώς κοντά στο x *, τότε η (Ι.5.1) µπορεί να δώσει διάφορες προσεγγίσεις για το σφάλµα ε(f(x))=f(x)-f(x * ). Η απλούστερη εξ' αυτών ε(f(x)) = f(x) - f(x * )» f (x * ) (x - x * ) = f'(x * ) ε(x) (Ι.5.2) δείχνει ότι το σφάλµα εα(f(x)) είναι ανάλογο του σφάλµατος δ=x-x *, ως προς τον παράγοντα f (x * ). Η (Ι.5.2) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την κατασκευή εκτιµήσεων µε βάση το σχετικό ή απόλυτο σφάλµα. Aς πάρουµε ένα παράδειγµα. Εστω f(x)= x, µε f (x)=1/(2 x). Τότε η (Ι.5.2) δίνει: * * * 1 f(x) f(x ) f (x ) x x 2 x x x * x x * για x * 1 4 από όπου παίρνουµε εα(f(x)) εα(x) για x > 1/4 (δεχόµαστε x» x * ). Για το σχετικό σφάλµα έχουµε: e (f(x)) = s * f(x) f(x ) f(x) * f (x ) x x f(x) x x * * 2 xx * x x 2 x * 1 2 e (x) d = s = (Ι.5.3) 2 Η σχέση εσ(f(x)) εα(x)/2=δ/2 εκφράζει ότι από την άποψη του σχετικού σφάλµατος, ο υπολογισµός της τετραγωνικής ρίζας είναι ικανοποιητικά ακριβής. Το αντίθετο συµβαίνει για τη συνάρτηση: f(x) = k 1 - x 2, k R-{0}

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-11 Είναι f (x)=2kx/(1-x 2 ) 2, και το σχετικό σφάλµα υπολογίζεται: e (f(x)) = s * f(x) f(x ) f(x) / * f (x ) x x f(x) 2 x x x = 2 1 x x * 2 2x = 1 x e (x) 2 s * 2 Είναι φανερό ότι, αν το x είναι πολύ κοντά στο 1, το σφάλµα εσ(f(x)) γίνεται πολύ µεγαλύτερο του εσ(x). Γενικά, η εκτίµηση του σχετικού σφάλµατος, όπως η (Ι.5.3), είναι πιο χρήσιµη, αφού το σφάλµα εσ(x)=δ µπορεί, όπως είδαµε και στην Παράγραφο. Ι.3 (Πρόταση Ι.3.1), να εκτιµηθεί µέσω φράγµατος. Για την κατασκευή και υλοποίηση των διαφόρων αλγορίθµων των Aριθµητικών Μεθόδων πρέπει να λαµβάνονται υπ' όψη η ύπαρξη, οι πηγές, οι τύποι και η µετάδοση των σφαλµάτων, µε στόχο την επίτευξη της επιθυµητής ακρίβειας των αποτελεσµάτων. Η θεωρία της Aριθµητικής Aνάλυσης δεν παρέχει µόνον µεθοδολογίες για τη κατασκευή αριθµητικών αλγορίθµων, αλλά συγχρόνως δίνει και το αναγκαίο θεωρητικό πλαίσιο για την µελέτη και παραγωγή χρήσιµων φραγµάτων και εκτιµήσεων (error bouds ad estimates) για τα σφάλµατα που υπεισέρχονται στα αποτελέσµατά τους. Μια επιθυµητή ιδιότητα ενός αριθµητικού αλγορίθµου είναι η ευστάθεια. Με τον όρο αυτόν εννοούµε ότι τα αποτελέσµατα ενός αλγορίθµου υφίστανται µικρές αλλαγές, όταν υποστούν µικρές αλλαγές τα αρχικά δεδοµένα του (οφειλόµενες σε σφάλµατα κατά την αναπαράσταση) Οι αλγόριθµοι αυτοί ονοµάζονται ευσταθείς. Η συµπεριφορά της µετάδοσης ενός σφάλµατος προσδιορίζει ένα αριθµητικό αλγόριθµο και αυτό ανεξάρτητα από την υπολογιστική του πολυπλοκότητα (ταχύτητα). Aς θεωρήσουµε ότι ένα σφάλµα e εισάγεται σε κάποια φάση µιας υπολογιστικής διαδικασίας, και ας συµβολίσουµε µε R(e) την αύξηση του e µετά από διαδοχικές πράξεις. Τότε, αν ισχύει: R(e) c e (Ι.5.4) όπου c σταθερά ανεξάρτητη του, η αύξηση του σφάλµατος θα λέγεται γραµµική. Aν πάλι συµβαίνει: R(e) k e (Ι.5.5) για κάποια σταθερά k>1, η αύξηση του σφάλµατος θα λέγεται εκθετική. Ο βαθµός της αύξησης ενός σφάλµατος εξαρτάται από πολλούς παράγοντες και κυρίως από τον αλγόριθµο που χρησιµοποιείται, την υλοποίησή του (πρόγραµµα), καθώς και από τη φύση του προς επίλυση προβλήµατος. Η γραµµική αύξηση είναι ακίνδυνη για τους υπολογισµούς και συνήθως αναπόφευκτη. Οι αλγόριθµοι µε γραµµική αύξηση σφάλµατος είναι ευσταθείς. Aντίθετα, η εκθετική αύξηση είναι καταστροφική για τους υπολογισµούς. Επιφέρει µεγάλες απώλειες σηµαντικών ψηφίων και θα πρέπει να αποφεύγεται. Για το λόγο αυτό, οι αλγόριθµοι µε εκθετική αύξηση σφάλµατος ονοµάζονται ασταθείς. Σχήµα Ι.4.1 Γραµµική και εκθετική αύξηση σφάλµατος

I-12 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα Τέλος, µια κλασική τεχνική για την ελάττωση της επίδρασης του σφάλµατος στρογγύλευσης στη µετάδοση του σφάλµατος, είναι η χρήση αριθµών διπλής ακρίβειας. Η αριθµητική διπλής ακρίβειας λειτουργεί µε τόν ίδιο τρόπο όπως και η αριθµητική απλής ακρίβειας, ενώ δεσµεύει περισσότερα bytes (συνήθως τα διπλάσια) για την αποθήκευση ενός α.κ.υ. Σε πολλά συστήµατα δεσµεύονται 8 bytes για ένα αριθµό διπλής ακρίβειας. Ι.6 Σύγκλιση Επαναληπτικών Aλγορίθµων Μια µεγάλη κατηγορία αριθµητικών µεθόδων εκφράζεται από επαναληπτικούς αλγορίθµους οι οποίοι κατασκευάζουν ακολουθίες προσεγγίσεων {ak} που κάτω από µερικές συνθήκες συγκλίνουν στη λύση του προβλήµατος. Η απλούστερη κατηγορία επαναληπτικών µεθόδων εµπλέκει βαθµωτά µεγέθη και ορίζεται από την ακολουθία: ak=g(ak-1), k=0,1,..., ak R ή ak C (Ι.6.1) Η µορφή (Ι.5.1) εφαρµόζεται για τον υπολογισµό των ριζών µιας εξίσωσης f(x)=0, όπου f πραγµατική ή µιγαδική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής. Οι προσεγγίσεις µπορούν επίσης να είναι διανύσµατα ή πίνακες. Θεωρούµε εδώ την περίπτωση πραγµατικών ακολουθιών της µορφής (Ι.5.1). Κριτήριο για ένα επαναληπτικό αλγόριθµο είναι η σύγκλισή του, οι συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτή ισχύει, καθώς και η ταχύτητα της σύγκλισης. Η κλασική µαθη-µατική θεµελίωση της σύγκλισης µιας ακολουθίας {a} σε ένα αριθµό a "για " διαφοροποιείται πλέον κάτω από την υπολογιστική θεώρηση: το θεωρητικό όριο a προσεγγίζεται µε ένα όρο a µε µια επιθυµητή ακρίβεια ε, και για ένα "αρκετά µεγάλο". Aν και η παραπάνω "προσαρµογή" είναι αναπόφευκτος συµβιβασµός µε την πεπερασµένη αριθµητική των υπολογιστών, σε αρκετές περιπτώσεις δεν δίνει ασφαλείς απαντήσεις: δεν ξέρουµε πάντα πότε το είναι "αρκετά µεγάλο", δηλαδή δεν είναι γνωστό πως υπολογίζεται το 0 από το ε, έτσι ώστε aa < ε, για κάθε 0. Σε µερικές µάλιστα περιπτώσεις, ακόµα και αν µπορεί να προσδιορισθεί το 0, δίνει τιµές για τις οποίες είναι αδύνατο ή ασύµφορο από πλευράς υπολογιστικού χρόνου να υπολογισθεί ένα α µε ικανοποιητική ακρίβεια. Τέλος, ο υπολογισµός της επαναληπτικής συνάρτησης g(a) υπόκειται σε σφάλµατα στρογγύλευσης και έτσι δίνει αποτελέσµατα ακριβή µόνο σε ένα µικρό αριθµό σ.ψ. Ειδική προσοχή πρέπει να καταβάλλεται στο τρόπο υπολογισµού της συνάρτησης g. Παρ' όλη τη σχετικότητα που διακρίνει τον έλεγχο σύγκλισης ενός επαναληπτικού αλγορίθµου, πρέπει να διαµορφώνονται κατάλληλα κριτήρια σύγκλισης, ή συνθήκες τερµατισµού της επανάληψης, τέτοια ώστε να εξασφαλίζουν ως ένα βαθµό ικανοποιητικές προσεγγίσεις. Τα κριτήρια αυτά αποτελούν εκτιµήσεις του απόλυτου και του σχετικού σφάλµατος: εκτίµηση απόλυτου σφάλµατος a k+1 - a k ε (Ι.6.2) εκτίµηση σχετικού σφάλµατος εκτίµηση σχετικού σφάλµατος a a 1 a -1 ε (Ι.6.3) 2 a a 1 a + a -1 ε (Ι.6.4) Aνάλογα µε την περίπτωση εφαρµόζεται µια από τις εκτιµήσεις (Ι.6.2)-(Ι.6.4) σε συνδυασµό µε πρόσθετες συνθήκες. Για παράδειγµα, για τον έλεγχο σύγκλισης της ακολουθίας σε µια ρίζα της f(x)=0, ελέγχουµε τη συνθήκη 2 a a 1 a + a -1 ε ad f(a) δ (Ι.6.5) Οι ανοχές ε και δ ένας µικροί αριθµοί, συνήθως ε=δ=10 -k. Το µέγεθός τους έχει εξαιρετική σηµασία και θα πρέπει να επιλέγεται µε προσοχή. Aν είναι πολύ µικρό µπορεί να οδηγήσει σε ατέρµονα βρόγχο. Συνήθως θα πρέπει να τίθεται ίσο περίπου µε10 -+2, όπου το µήκος ενός α.κ.υ.

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-13 Η περίπτωση µη υπολογιστικής σύγκλισης, οφείλεται είτε στην απόκλιση του µαθηµατικού µοντέλου, είτε σε παλινδρόµηση λόγω επίδρασης σφαλµάτων στρογγύλευσης, είτε σε "πολύ αργή" σύγκλιση. Θα πρέπει να προβλέπεται µε οριοθέτηση του αριθµού των επαναλήψεων µε µια µέγιστη τιµή Νmax. Για τη εκτίµηση της ταχύτητας µιας επαναληπτικής µεθόδου δίνουµε ένα µέτρο σύγκλισης για την ακολουθία που την υλοποιεί, συγκρίνοντάς την µε άλλες απλούστερες ακολουθίες µε γνωστή σύγκλιση. Ορισµός Ι.6.1 Εστω δύο ακολουθίες {α}, {β} µε lim α =α και β i 0 για κάθε i. Θα λέµε ότι η {α} συγκλίνει στο a µε τάξη σύγκλισης Ο(β), και θα γράφουµε α=a+ο(β), αν για κάθε 0(ε) υπάρχει σταθερά ε>0, τέτοια ώστε a β a ε Aυτό σηµαίνει ότι η τάξη σύγκλισης της {α} στο a είναι ίδια µε την τάξη σύγκλισης της {β}. Ορισµός Ι.6.2 Με τις παραπάνω παραδοχές, θα λέµε ότι η ακολουθία συγκλίνει στο a µετάξη σύγκλισης ο(β), και θα γράφουµε α=a+ο(β), όταν l i m α α β = 0 που ισοδυναµεί µε α=a+ο(β) για κάθε ε>0. Aυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα σύγκλισης της {α} στο a είναι µεγαλύτερη από αυτήν της {β}. Στην πράξη, όταν διαπιστώνουµε ότι α=a+β+ο(β), δηλαδή ότι α»a+β για αρκετά µεγάλο, µπορούµε να δεχθούµε ότι το β είναι µια καλή εκτίµηση για το σφάλµα α-a. Παράδειγµα Ι.6.1 ίνονται η ακολουθίες: 2 + 1 cosx six α = 3, a =, 1 Τότε α 0 και α' 0 για. Aς θεωρήσουµε και τις ακολουθίες β=1/ 2 και β'=1/. ιαπιστώνουµε ότι: (α- 0)/β = 2+1 / 3 και (α'- 0)/β' = cosx + six 2 και εποµένως α= 0+Ο(1/ 2 )=Ο(1/ 2 ) και α'=0+ο(1/)=ο(1/). Συνεπώς, η {α} συγκλίνει στο 0 ταχύτερα από ότι η {α'}. Επίσης εύκολα δείχνεται ότι α=0+ο(1/)=ο(1/) και α=ο(1/log). Παράδειγµα Ι.6.2 Θεωρούµε την γεωµετρική σειρά S: S k 1 r = r = 1 r k = 1 1 r = 1 r 1 r 1 = 1 r k + 1 k + 1 k µε r <1. Ως γνωστόν είναι r k = 0. Επίσης έχουµε

I-14 Κεφ. 1 - Αναπαράσταση Αριθµών και Σφάλµατα 1 r S r r r 1 1 r 2 r = S = 1 1 r 1 r 1 r 1 r που σηµαίνει S= 1/(1-r) + Ο(r ). Η σύγκλιση της σειράς S είναι λοιπόν της ίδιας τάξης µε τη σύγκλιση της φθίνουσας γεωµετρικής προόδου {r }. Τέλος αν πάρουµε p> r, διαπιστώνουµε ότι: S= 1/(1-r) + o(p ) Οι ορισµοί Ι.6.1 και Ι.6.2 επεκτείνονται και για συναρτήσεις. Ορισµός Ι.6.3 Aν lim f (x) x 0 f(x)=w +Ο(g(x)), αν υπάρχει σταθερά ε>0 ώστε: = w, λέµε ότι η τάξη σύγκλισης της f στο w είναι Ο(g(x)) και γράφουµε f ( x) w g( x) ε, για κάθε x x0(ε) Aν αυτό συµβαίνει για κάθε ε, δηλαδή: lim x 0 είναι o(g(x)) και γράφουµε f(x)=w+o(g(x)). f (x) w g(x) = 0, λέµε ότι η τάξη σύγκλισης της f(x) στο w Παράδειγµα Ι.6.3 Εστω η γραµµική συνάρτηση f(x)=ax+b. Επειδή έχουµε lim f (x) = b και (1/ x ) ax+bb = a, θα είναι f(x)=b+ο(x). Εξ' αλλου, θα είναι και f(x) = b + ο(1/ x ), αφού lim x 0 x (ax+b-b) = 0. Παράδειγµα Ι.6.4 ίνονται οι συναρτήσεις σφάλµατος e2(x) και e3(x) oι οποίες φράσσονται e 2 (x) M 1 9 3 h3 και e 3 ( x) M 2 24 h 4 x 0 όπου Μ1, Μ2 σταθερές και h µεταβλητή. Προφανώς είναι e2(x) = Ο(h 3 ) και e3(x) = Ο(h 4 ). Παράδειγµα Ι.6.5 Aν f(x)=six και x είναι κοντά στο 0, έχουµε από το ανάπτυγµα Τaylor: six - x = x 3 /3! + x 5 /5! - x 7 /7! +...= x 3 (-1/6 + x 2 /120 -...) =Ο(x 3 ) six = x +Ο(x 3 ) Aν θεωρήσουµε τώρα την g(x)=six/x, όµοια έχουµε : g(x) = six/x = 1 - x 2 /3! + x 4 /5! - x 6 /7! +... = 1 + x 2 (-1/6 + x 2 /120 -... ) =1 +Ο(x 2 ) Επίσης εύκολα προκύπτει ότι six/x = 1-1/6x 2 + ο(x 2 ). Aσκήσεις Ι.1 Να µετατραπούν οι αριθµοί (1011.1010101)2 και (1101.11011)2 στους αντίστοιχους δεκαδικούς και οκταδικούς αριθµούς.

Y THMATA API MH H KAI ΊA MATA I-15 Ι.2 Να µετατραπούν οι οκταδικοί αριθµοί (23.67)8 και (7634.152)8 στους αντίστοιχους δεκαδικούς και δυαδικούς αριθµούς. Ι.3 Γράψτε ένα πρόγραµµα σε Ρascal και Fortra που να υλοποιεί όλα τα είδη µετατροπών µεταξύ δυαδικού, οκταδικού και δεκαδικού συστήµατος. Ι.4 Επεκτείνατε το πρόγραµµα της άσκησης Ι.3, ώστε να υποστηρίζει µετατροπές από ένα σύστηµα αρίθµησης µε βάση β1 σε ένα άλλο µε βάση β2. Ι.5 Υπολογίστε την ποσότητα x - ( x - a 2 ) 1/2, όταν x>>a, xωρίς να χαθούν σηµαντικά ψηφία. Ι.6 Aν οι αριθµοί 2, 2545.34, 5467.401, 3259 και 0.678672 έχουν ακριβή όλα τα σηµαντικά τους ψηφία, βρείτε φράγµατα για τα σχετικά σφάλµατα. Ι.7 Οι αριθµοί 5.34519 και 0.7869545 έχουν φράγµατα για το σχετικό τους σφάλµα τα 10-4 και 0.5x10-4 αντίστοιχα. Να στρογγυλευθούν στα ακριβή σηµαντικά τους ψηφία. Ι.8 Κάνετε αντίστοιχη θεώρηση µε αυτήν του παραδείγµατος Ι.3.5, για την αντιµετώπιση του σφάλµατος στρογγύλευεσης κατά την επίλυση µιας διτετράγωνης εξίσωσης. Ι.9 Να εκτιµηθεί το σχετικό σφάλµα για τον υπολογισµό τoυ l(1+x) στη περιοχή του 0 όταν το σχετικό σφάλµα του x είναι 10-8. Ι.10 Aποδείξτε ότι (α) cosx = 1 +Ο(x 2 ) και (β) (1 - cosx)/x 2 = 1/2 +Ο(x 2 ) Ι.11 Aποδείξτε το θεώρηµα Ι.4.1 (Υπόδειξη: Aποδείξτε το θεώρηµα για την περίπτωση όπου η δεκαδική υποδιαστολή είναι ακριβώς µετά το τελευταίο σ.ψ. και παρατηρείστε ότι το σχετικό σφάλµα µένει αναλλοίωτο όταν µετακινείται η δεκαδική υποδιαστολή).