4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει την ισότητα F (x) = f(x), x [, b]. Είναι ϕανερό ότι αν µία συνάρτηση F (x) είναι αρχική της f(x), τότε ϑα είναι αρχική και η F (x) + c για κάθε σταθερά c, αφού (F (x) + c) = F (x) = f(x). Επίσης, αν G(x) µία άλλη αντιπαράγωγος της f(x) στο [, b], τότε από τις ισότητες F (x) = f(x) και G (x) = f(x) έχουµε F (x) = G (x), για κάθε x [, b] και άρα c R τέτοιο ώστε G(x) = F (x) + c, x [, b]. Ετσι, το σύνολο όλων των αρχικών της f(x) συναρτήσεων είναι το {F (x) + c, c R}. 43

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός 4.1.2. Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x), λέγεται και συµβολίζεται µε f(x)dx, το σύνολο όλων των αρχικών της f συναρτήσεων. Είναι δηλαδή f(x)dx = F (x) + c, (4.1) όπου F (x) είναι µία αρχική της f και c µία αυθαίρετη σταθερά. Η διαδικασία υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης µιας συνάρτησης F (x) για την οποία F (x) = f(x), λέγεται ολοκλήρωση της συνάρτησης f(x). Στο συµβολισµό, το διαφορικό dx δηλώνει την ανεξάρτητη µεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η ολοκλήρωση. Παρατήρηση: Αν στο πρώτο µέλος της ισότητας (4.1) ϑέσουµε όπου f(x) τη συνάρτηση F (x) έχουµε F (x)dx = F (x) + c, ή Βασικά ολοκληρώµατα df (x) = F (x) + c. 1. x n dx = xn+1 + c, n 1 n + 1 1 2. dx = ln x + c x 3. sin xdx = cos x + c 4. cos xdx = sin x + c 1 5. dx = tn x + c cos 2 x 1 6. sin 2 dx = cot x + c x

4.2. ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 45 7. e x dx = e x + c 1 8. dx = rctn x + c 1 + x2 1 9. dx = rcsin x + c 1 x 2 Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) dx 1 ii) x dx 2 iii) 1 x iv) xdx v) x 3 xdx. 10 dx 4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης Οπώς είδαµε στο κεφάλαιο των παραγώγων, αν k είναι ένα σταθερό στοιχείο του R, τότε έχουµε [kf(x)] = kf (x), δηλαδη οι σταθεροί παράγοντες ϐγαίνουν έξω από το σύµβολο της παραγώγισης. Επειδή η ολοκλήρωση είναι διαδικασία αντίστροφη της παραγώγισης, η παραπάνω ιδιότητα µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. Εποµένως ισχύει kf(x)dx = k f(x)dx, για κάθε συνάρτηση f(x) και k R. Επίσης, όπως γνωρίζουµε, η παράγωγος του αθροίσµατος κάποιων συναρτήσεων ισούται µε το άθροισµα των παραγώγων τους, δηλαδή [f 1 (x) + f 2 (x) +... + f n (x)] = f 1(x) + f 2(x) +... + f n(x). Η ιδιότητα αυτή µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. ηλαδή ισχύει [f 1 (x)+f 2 (x)+...+f n (x)]dx = f 1 (x)dx+ f 2 (x)dx+...+ f n (x)dx. Συνδυάζοντας τους δύο παραπάνω τύπους προκύπτει ότι [k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x) +... + k n f n (x)]dx = k 1 f 1 (x)dx + k 2 +... + k n f n (x)dx f 2 (x)dx +

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ για όλα τα k i R και όλες τις συναρτήσεις f i (x), i = 1, 2,..., n. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα x 3 + bx + c i) dx x 7 ii) (1 x 3 ) 2 dx iii) (2 sin x 3 cos x)dx 2 iv) ( 1 + x 3 )dx 2 v) (3e x 7 1 x 2 x + 4 1 + x 1 2 cos 2 x )dx. 4.3 Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλητής Ας είναι f(x)dx, το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) το οποίο ϑέλουµε να υπολογίσουµε. Υποθέτουµε ότι η µεταβλητή x είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση µιας άλλης µεταβλητής t, δηλαδή Τότε επειδή x = g(t). dx = d[g(t)] = g (t)dt, το αρχικό ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο ολοκλήρωµα f[g(t)]g (t)dt. Εστω ότι το ολοκλήρωµα αυτό είναι γνωστό, δηλαδή f[g(t)]g (t)dt = G(t) + c. Αν υποθέσουµε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιµη και η αντιστροφή της είναι η t = g 1 (x), τότε ϑα ισχύει f(x)dx = f[g(t)]g (t)dt = G(g 1 (x)) + c.

4.4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 47 Η µέθοδος υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος που περιγράψαµε παραπάνω λέγεται ολοκλήρωση µε αλλαγή µεταβλητής ή µε αντικατάσταση. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το προς υπολογισµό ολοκλήρωµα ανάγεται µε την αλλαγή µεταβλητής σε κάποιο από τα ϐασικά ολοκληρώµατα ή τουλάχιστον σε ολοκλήρωµα του οποίου ο υπολογισµός είναι ευκολότερος από τον υπολογισµού του αρχικού. Σε ολοκληρώµατα της µορφής f[g(x)]g (x)dx, η αλλαγή µεταβλητής g(x) = t είναι συχνά η κατάλληλη. Με την αντικατάσταση αυτή το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο f(t)dt. Παράδειγµα: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωµα f (x) I = f(x) dx. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = (2x + 3) 10 dx ii) I = 1 (3u + 1) 11 du iii) I = 1 3 1 3y dy iv) I = e 5x+2 dx v) I = sin(3x + 2)dx vi) I = tn xdx vii) I = 1 x ln x dx viii) I = 1 (1 + x 2 ) rctn x dx ix) I = 1 4 x 2 dx x) I = 1 1 16x 2 dx xi) I = 1 9 + x 2 dx. xii) I = 1 x 2 2x + 2 dx 4.4 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Εστω f(x) και g(x) δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Είναι γνωστό ότι [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x).

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Άρα η συνάρτηση f(x)g(x) είναι αρχική για τη συνάρτηση που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της παραπάνω εξίσωσης. Εποµένως ϑα έχουµε [f (x)g(x) + f(x)g (x)]dx = f(x)g(x) + c, ή f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. Η τελευταία σχέση εκφράζει ένα ολοκλήρωµα µ ένα άλλο, γι αυτό και δε χρειάζεται η σταθερά στο δεύτερο µέλος. Αν σ αυτή τη σχέση το ολοκλήρωµα του δεύτερου µέλους είναι γνωστό ή πιο απλό απ αυτό του πρώτου µέλους, τότε έχουµε κάνει ένα ϐήµα για τον υπολογισµού του ολοκληρώµατος του πρώτου µέλους. Αυτή η µέθοδος ολοκλήρωσης είναι γνωστή σαν ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = ln xdx ii) I = ln(x 2 + 1)dx iii) I = xe x dx iv) I = x sin xdx v) I = x cos(2x)dx vi) I = x 2 e x dx vii) I = sin 2 xdx viii) I = e x sin xdx ix) I = (x 2 3x + 1)e 2x dx x) I = x ln(1 + 1 x )dx 4.5 Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων Μία συνάρτηση της µορφής p(x) q(x), όπου p(x) και q(x) είναι πολυώνυµα του x µε ϐαθµός q(x) 1, λέγεται ϱητή συνάρτηση του x. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µιας ϱητής συνάρτησης, δηλαδή ενός ολοκληρώµατος της µορφής p(x) q(x) dx

4.5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49 αναλύουµε τη συνάρτηση σε αθροίσµα απλών κλασµάτων και εφαρµόζουµε τον κανόνα της ολοκλήρωσης αθροίσµατος. Για τη διαδικασία αυτή διακρίνουµε δύο περιπτώσεις : Περίπτωση Ι. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος ή ίσος από το ϐαθµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) ϐαθµός q(x)) τότε εκτελούµε τη διαίρεση p(x) : q(x). Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαίρεσης πολυωνύµων, υπάρχουν δύο πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και u(x) (υπόλοιπο) τέτοιο ώστε να είναι p(x) = π(x)q(x) + u(x) και ϐαθµός u(x) <ϐαθµός q(x). Τότε, έχουµε p(x) q(x) = π(x)q(x) + u(x) q(x) = π(x) + u(x) q(x) και p(x) q(x) dx = π(x)dx + u(x) q(x) dx. Η συνάρτηση π(x) είναι πολυωνυµική και το ολοκλήρωµά της υπολογίζεται κατά τα γνωστά. Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος ακολου- ϑούµε τα ϐήµατα που παρουσιάζονται στην περίπτωση ΙΙ. Περίπτωση ΙΙ. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µικρότερος από το ϐα- ϑµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) <ϐαθµός q(x)) τότε το κλάσµα p(x)/q(x) επιδέχεται ανάλυση σε άθροισµα απλών κλασµάτων, η οποία ανάλυση εξαρτάται από τις ϱίζες του παρονοµαστή q(x). 1. Αν το q(x) έχει k απλές ϱίζες 1, 2,..., k, τότε q(x) = (x 1 )(x 2 )... (x k ) και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται p(x) q(x) = A 1 + A 2 +... + A k, x 1 x 2 x k όπου A 1, A 2,..., A k σταθερές που µπορούν να προσδιοριστούν. Ετσι για το ολοκλήρωµα της ϱητής συνάρτησης ϑα έχουµε p(x) q(x) dx = A 1 dx + x 1 A 2 dx +... + x 2 A k x k dx.

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 2. Αν το q(x) έχει k ϱίζες 1, 2,..., k µε πολλαπλότητα r 1, r 2,..., r k αντίστοιχα, τότε q(x) = (x 1 ) r 1 (x 2 ) r 2... (x k ) r k και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται p(x) q(x) = A 1 + x 1 B 1 + x 2 A 2 (x 1 ) 2 +... + A r1 (x 1 ) r 1 + B 2 + (x 2 ) +... + B r2 2 (x 2 ) + r 2 +... + K 1 K 2 + x k (x k ) +... + K rk, 2 (x k ) r k όπου A 1, A 2,..., A r1, B 1, B 2,..., B r2,..., K 1, K 2,..., K rk σταθερές που µπορούν να προσδιοριστούν. 3. Αν το q(x) έχει µιγαδικές ϱίζες, τότε σε κάθε Ϲεύγος απλών συζυγών µιγαδικών ϱιζών x 1,2 = λ ± iµ του q(x) αντιστοιχούµε ένα απλό κλάσµα της µορφής Bx + Γ (x λ) 2 + µ 2, ενώ σε κάθε Ϲεύγος πολλαπλών συζυγών µιγαδικών ϱιζών x 1,2 = λ ± iµ του q(x) πολλαπλότητας r αντιστοιχούµε ένα άθροισµα απλών κλασ- µάτων της µορφής B 1 x + Γ 1 (x λ) 2 + µ + B 2 x + Γ 2 2 [(x λ) 2 + µ 2 ] +... + B r x + Γ r 2 [(x λ) 2 + µ 2 ]. r Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = x 2 x + 5 dx ii) I = x x 1 x 2 dx Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = 1 x 2 1 dx ii) I = 7x + 4 2x 2 3x 2 dx iii) I = 4x 2 3x + 5 (x + 2)(x 1) 2 dx iv) I = x + 1 x 3 + x 2 6x dx v) I = 1 x 3 + x 2 dx.

4.6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 51 4.6 Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Υπενθυµίζουµε ότι γνωστά ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων είναι τα 1. sin xdx = cos x + c 2. cos xdx = sin x + c 1 3. dx = tn x + c cos 2 x 1 4. sin 2 dx = cot x + c x Ολοκληρώµατα της µορφής i) sin(x + b)dx ii) cos(x + b)dx iii) 1 cos 2 (x + b) dx iv) 1 sin 2 (x + b) dx ανάγονται στα παραπάνω ϐασικά ολοκληρώµατα µε την αλλαγή µεταβλητής x + b = t. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = sin(2x + 5)dx ii) I = 1 cos 2 (3x 2) dx Ολοκληρώµατα της µορφής sin(x) sin(bx)dx, sin(x) cos(bx)dx, cos(x) cos(bx)dx, όπου, b R, b, υπολογίζονται αφού πρώτα µετατραπεί η ολοκληρωτέα συνάρτηση σε άθροισµα ή διαφορά ηµιτόνων ή συνιµητόνων σύµφωνα µε τους τύπους : 1. sin(x) sin(bx) = 1 [cos(x bx) cos(x + bx)], 2

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 2. sin(x) cos(bx) = 1 [sin(x bx) + sin(x + bx)], 2 3. cos(x) cos(bx) = 1 [cos(x bx) + cos(x + bx)]. 2 Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = sin(x) cos(7x)dx ii) I = sin(x) sin(4x)dx iii) I = cos(2x) cos(3x)dx iv) I = 1 sin x dx v) I = 1 cos x dx. Οταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι ϱητή συνάρτηση των sin x και cos x και το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογιστεί µε κάποια από τις µεθόδους που αναφέραµε µέχρι τώρα, τότε κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής Με την αντικατάσταση αυτή έχουµε tn( x 2 ) = t. x = 2 rctn t, dx = 2 1 + t 2 dt sin x = 2 tn( x) 2 1 + tn 2 ( x) = 2t 1 + t, cos x = 1 tn2 ( x) 2 2 2 1 + tn 2 ( x) = 1 t2 1 + t 2 2 και το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται σε ολοκλήρωµα ϱητής συνάρτησης του t, το οποίο υπολογίζεται κατά τα γνωστά. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = 1 1 + sin x dx ii) I = 1 sin x + cos x + 1 dx 4.7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Εστω η συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [, b]. ιαµερίζουµε (χωρίζουµε) το [, b] σε n υποδιαστήµατα µε τα σηµεία διαίρεσης x 0, x 1, x 2,..., x n όπου = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b.

4.7. ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 53 Παίρνουµε τυχαία κάποιο σηµείο ξ k σε κάθε υποδιάστηµα [x k 1, x k ] και υπολογίζουµε στη συνέχεια το εµβαδό του ορθογωνίου µε ϐάση το υποδιάστηµα αυτό και ύψος την τιµή της συνάρτησης στο ξ k (σχήµα 4.1). Σχηµατίζουµε το άθροισµα n S n = f(ξ k )(x k x k 1 ), (4.2) k=1 το οποίο εκφράζει το συνολικό εµβαδό των n ορθογωνίων που σχηµατίζονται. Σχήµα 4.1: Εστω τώρα ότι το πλήθος των υποδιαιρέσεων n αυξάνει απεριόριστα έτσι ώστε η µεγαλύτερη από τις διαφορές x k = x k x k 1 να τείνει στο µηδέν. Τότε το άθροισµα (4.2) τείνει σ ένα όριο, που είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο της υποδιαίρεσης και το συµβολίζουµε µε b f(x)dx, ονοµάζεται δε, ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) από εώς b. Τα όρια και b ονοµάζονται όρια ολοκλήρωσης, κάτω και άνω αντίστοιχα.

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ετσι γράφουµε lim x k 0 n f(ξ k )( x k ) = k=1 b f(x)dx. Το όριο αυτό υπάρχει όταν η f(x) είναι συνεχής ή τµηµατικά συνεχής στο [, b]. Οταν το όριο αυτό υπάρχει, λέµε ότι η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Η τιµή του ολοκληρώµατος εκφράζει γεωµετρικά, το εµβαδό του χωρίου που περιορίζεται από τη καµπύλη y = f(x), τον άξονα x και τις κάθετες ευθείες x = και x = b. Από τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος προκύπτουν οι επόµενες ιδιότητες. 1. b kf(x)dx = k b f(x)dx, k R 2. b [f(x) ± g(x)]dx = b f(x)dx ± b g(x)dx 3. Αν < b < c c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx 4. Αν b < b f(x)dx = b f(x)dx 5. f(x)dx = 0 6. Αν f(x) g(x), x [, b] b f(x)dx b g(x)dx Θεώρηµα 4.7.1. (Θεµελιώδες ϑεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού). Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b], και η συνάρτηση F (x) είναι µία αρχική της f στο διάστηµα αυτό, δηλαδή είναι F (x) = f(x), x [, b], τότε ισχύει Συµβολικά γράφουµε b b f(x)dx = F (b) F (). f(x)dx = [F (x)] b = F (b) F (). Εποµένως, για να υπολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης σ ένα διάστηµα στο οποίο η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη, αρκεί να είναι

4.8. ΕΜΒΑ Α ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 55 γνωστό το αόριστο ολοκλήρωµα της ολοκληρωτέας συνάρτησης. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα : i) I = 4 1 1 xdx ii) I = 1 dy iii) I = 0 1 1+y 2 1 e1 5x dx Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα : i) I = 3 0 1 dx x 2 +3 ii) I = 4 1 1 8+2x x 2 dx iii) I = 1 0 Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα 1 0 x µ (1 x) ν dx = 1 4.8 Εµβαδά επίπεδων χωρίων 0 (1 x) µ x ν dx. 1 3 2x dx Με τη ϐοήθεια του ορισµένου ολοκληρώµατος µπορούµε να υπολογίσουµε εµβαδά επίπεδων χωρίων. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε τις παρακάτω προτάσεις. Πρόταση 4.8.1. Αν y = f(x) είναι µία συνάρτηση ολοκληρώσιµη και µη αρνητική (f(x) 0) στο διάστηµα [, b] (σχήµα 4.2), τότε το εµβαδόν E(D) του επίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από την καµπύλη c : y = f(x), τον άξονα x και τις κατακόρυφες ευθείες x = και x = b ισούται µε το ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) στο [, b], δηλαδή ισχύει E(D) = b f(x)dx. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την καµπύλη c : y = x 3, τον άξονα x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. Αν στον υπολογισµό ενός εµβαδού επίπεδου χωρίου D, έχουµε µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση µε αρνητικές τιµές, δηλαδή f(x) 0, x [, b] (σχήµα 4.2), τότε E(D) = b [ f(x)]dx = b [f(x)]dx.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Σχήµα 4.2: Σχήµα 4.3: Γενικά, αν έχουµε µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση y = f(x) για την οποία υπάρχει c [, b], τέτοιο ώστε f(x) < 0, x [, c] και f(x) > 0, x [c, b] (σχήµα 4.3), τότε E(D) = b f(x) dx = c [ f(x)]dx + b c [f(x)]dx.

4.8. ΕΜΒΑ Α ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 57 Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την καµπύλη c : y = x 3 4x 2 + 3x και τον άξονα x. Παρατήρηση: Στην παραπάνω πρόταση, µε αναλλαγή των ϱόλων των x και y (η καµπύλη είναι c : x = g(y), ορισµένη στο [c, d]), ϑα έχουµε E(D) = d c g(y)dy. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την καµπύλη c : y 2 = 2x, τον άξονα y και την ευθεία y = 2. Σχήµα 4.4: Πρόταση 4.8.2. Αν έχουµε δύο συναρτήσεις y = f(x), y = g(x) ολοκληρώσιµες στο [, b] µε f(x) g(x), x [, b] (σχήµα 4.4), τότε το εµβαδόν E(D) του επίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από τις καµπύλες c 1 : y = f(x) και c 2 : y = g(x) και τις ευθείες x =, x = b δίνεται από τον τύπο E(D) = b [f(x) g(x)]dx. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από τις καµπύλες c 1 : y 2 = 4x και c 2 : x 2 = 4y.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.9 Ασκήσεις Ασκηση 4.1. Να ϐρεθούν οι συναρτήσεις g(y) και h(s) για τις οποίες γνωρί- Ϲουµε ότι i) g (y) = 2 y 6y, g(1) = 2 ii) h (s) = 3s 2 1, h( 1) = 2. s2 Ασκηση 4.2. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα i) I = 1 x ln 2 (3x) dx ii) I = 2x + 1 x 2 + x 1 dx iv) I = x 3 1 x 8 dx v) I = xe 1 x2 dx. iii) I = cos x + sin x cos x sin x dx Ασκηση 4.3. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα i) I = 3 3 1 x 2 + 9 dx ii) I = 5 2 1 6 + 3x dx iii) I = π/4 0 iv) I = π/2 sin x cos 2 xdx v) I = π/4 x sin xdx. 0 π/4 Ασκηση 4.4. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα i) I = 5 3 1 x 2 3x + 2 dx ii) I = 1 0 xe 2x dx sin x cos x dx iii) I = π/2 0 (3 sin(2x) + 5 cos(3x))dx iv) I = π/2 0 e x sin xdx v) I = π/2 0 cos 2 xdx. Ασκηση 4.5. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται µεταξύ της καµπύλης c : y = x 2 7x + 10 και τον άξονα x. Ασκηση 4.6. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται µεταξύ των καµπυλών c 1 : y = x 2 1 και c 2 : 2x + y = 2. Ασκηση 4.7. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από την παραβολή y 2 = x και την ευθεία y = x 6.

4.9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 59 Ασκηση 4.8. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικλείεται από α) την καµπύλη c : y = x 2, την ευθεία x = 3 και τον άξονα x, ϐ) την καµπύλη c : y = x 2 και την ευθεία y = x.

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ