ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ



Σχετικά έγγραφα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

x 2 = x x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

Transcript:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται από εσωτερικό γινόµενο. Υπενθυµίζουµε ότι Ορισµός 6.. Εστω Χ ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση (.,.): X X R καλείται εσωτερικό γινόµενο στο Χ, αν ισχύουν: (x +, z) = (x,) + (x, z) για κάθε x,,z X (λ x, ) = λ (x, ) για κάθε x, X, λ R (x, ) = (, x) για κάθε x, X (x, x) > 0 για κάθε x, X-{0}. Eνας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης, στον οποίο έχει ορισθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, καλείται ευκλείδειος χώρος. Αν ισχύει (x, ) = 0, θα λέµε ότι τα x, είναι κάθετα µεταξύ τους κάθετα, ή ορθογώνια. Η ποσότητα x = ( x, x ) καλείται νόρµα του στοιχείου x και η ποσότητα d( x, ) = x καλείται απόσταση µεταξύ των στοιχείων x και. Παραδείγµατα: () Στο διανυσµατικό χώρο Cab [, ] των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστηµα [α,b], η απεικόνιση: είναι ένα εσωτερικό γινόµενο. b ( f, g) = f( x) g( x) dx (2) Στο διανυσµατικό χώρο R = {x=(x,,x ): x R}, η απεικόνιση: a 85

( x, ) = = x είναι ένα εσωτερικό γινόµενο. Ορισµός 6..2 Εστω Χ ένας ευκλείδιος διανυσµατικός χώρος µε νόρµα., x X και έστω Υ ένα υποσύνολo του X. Ένα στοιχείο Y για το οποίο ισχύει: x- x-z, για κάθε z Y, καλείται βέλτιστη προσέγγιση του Χ από το Υ. Θεώρηµα 6.. Εστω Χ ένας ευκλείδιος διανυσµατικός χώρος µε νόρµα., x X και Υ ένας υπόχωρος του X. Ένα στοιχείο Y είναι βέλτιστη προσέγγιση του x από το, αν και µόνον αν ισχύει: για κάθε z Y, ( x z, ) = 0. (6.) Aν λοιπόν ο υπόχωρος Υ είναι πεπερασµένης διάστασης και {s,,s } είναι µία βάση του, τότε κάθε στοιχείο z του Υ µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης ως εξής: z = z s, = οπότε η σχέση (6.) ικανοποιείται αν και µόνον αν: ( x s, ) = 0, =,...,, Συνεπώς, αν = s, όπου είναι άγνωστοι συντελεστές, έχουµε: = ( x, s ) ( x, s ) ( s, s) ( s, s2) ( s, s) ( s2, s) ( s2, s2) ( s2, s) 2 = 2. (6.2) ( s, s ) ( s, s ) ( s, s ) ( x, s ) 86

Το παραπάνω είναι ένα γραµµικό σύστηµα ως προς,,, το οποίο λύνεται µονοσήµαντα, αφού το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη µηδενική λύση. Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων καλείται πίνακας του Gram. Eίναι σαφές από τα παραπάνω, ότι αν η βάση {s,,s } είναι ορθοκανονική, δηλαδή αν τα στοιχεία της βάσης είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία, τότε θα ισχύει, = ( s, s) =, δηλαδή ο πίνακας του Gram είναι ο µοναδιαίος, άρα 0, παίρνουµε άµεσα ότι: = ( x, s ), συνεπώς η βέλτιστη προσέγγιση του στοιχείου x είναι η: =. = ( x, s ) s Παράδειγµα 6. Να προσδιορισθεί το πολυώνυµο 2 ου βαθµού, το οποίο είναι η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης f(x) = ηµ(πx) στο διάστηµα [-,], στο χώρο των πολυωνύµων 2 ου βαθµού, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του χώρου (βλέπε σελ. 8 παράδειγµα ). Υπολογίστε το σφάλµα της βέλτιστης προσέγγισης. Λύση Θεωρούµε τη βάση {x, =0,,2} του χώρου των πολυωνύµων 2 ου βαθµού, τότε εφόσον για, = 0,,2 έχουµε: ++ x το σύστηµα (6.2) γίνεται: ( ) + + ( s, s) = x x dx= = + + + +, άρα = 0, 2 = 3/π, 3 = 0, oπότε: 2 0 2/3 0, 0 2/3 0 2 = 2/ π 2/3 0 2/5 3 0 3 = x. π 87

Για το σφάλµα έχουµε: 2 3 f = ηµ ( π x) x dx = 0.62657. π /2 6.2 Πολυώνυµα ελαχίστων τετραγώνων ίνονται τα σηµεία (x, f ), =,, και θέλουµε να προσδιορίσουµε ένα πολυώνυµο βαθµού της µορφής = αt + b, έτσι ώστε το άθροισµα των τετραγώνων: = ( ) 2 E( ab, ) = f ( at+ b) Αναγκαία συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι: δηλαδή: = ελάχιστο. Eab (, ) Eab (, ) = 0, = 0, a b a + t b = f = =. 2 t a + t b = tf = = = Η ορίζουσα των συντελεστών του παραπάνω συστήµατος είναι πάντα διάφορη του µηδενός, οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Το πολυώνυµο που προκύπτει καλείται πολυώνυµο ου βαθµού ελαχίστων τετραγώνων και χρησιµοποιείται ευρέως στη στατιστική για τη συσχέτιση µεταξύ δύο ποσοτήτων. Οµοίως, αν θέλουµε να προσδιορίσουµε ένα m πολυώνυµο a0 + a x+... + amx βαθµού m, ώστε το άθροισµα των τετραγώνων να είναι ελάχιστο, καλούµαστε να λύσουµε ένα σύστηµα ( m+ ) ( m+ ) της µορφής: 88

2 m a0 + t a + t a2 +...+ t am = f = = = = 2 3 m+ t a0 + t a + t a2...+ t am = t f = = = = = m m+ m+ 2 2m m t a0 + t a + t a2...+ t am = t f = = = = =. Παράδειγµα 6.2 Υπολογίστε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων που προσεγγίζει τα σηµεία: t -3.4-2.6 -.5-0.8-0.4 0.2 0.7.3.8 F -0.6-0.8-0.3 0 0.6 0..4..7 Λύση: Προφανώς έχουµε = σηµεία, 2 t = 26.83, = t f = =.02 t = 4.7, =, άρα λύνουµε το σύστηµα: f = 4.8, = a - 4.7 b = 4.8 4.7 a + 26.83 b =.02 και βρίσκουµε α = 0.8232, b = 0.55428. Αρα η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων έχει τη µορφή = 0.8232 t + 0.55428..5 0.5-3 -2 - -0.5 - Σχήµα 6: H ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων. 8

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Προσδιορίστε τη βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης f(x) = 2 e x + από ένα πολυώνυµο 3 ου βαθµού, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο διάστηµα [-,]. 2. Προσδιορίστε τη βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης f(x) = e x +συν(πx) από ένα πολυώνυµο 4 ου βαθµού, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο διάστηµα [,4]. 3. Υπολογίστε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων που προσεγγίζει τα σηµεία: t -3-2 0 4 6 F -.4 0.2 5.5 7 Aπάντ: = 2.37667 +.7333 x. 4. Υπολογίστε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων που προσεγγίζει τα σηµεία: t -4.2-3.6-2.3 -.8 -. -0.4 0.6.2 F 0 7 3 2 8 Aπάντ: = 0.344 +0.50 x. 0