Κύμαηα ζε Ελαζηικά Μέζα

KYMATIKH 1

Κύμαηα ζε Ελαζηικά Μέζα Μησανικά κύμαηα Έρνπκε αθνύζεη ή δεη: κύμαηα νεπού, ησηηικά κύμαηα, θωηεινά κύμαηα, παδιοθωνικά ή γεληθά: ηλεκηπομαγνηηικά.

Μησανικά κύμαηα: Κύκαηα κέζα ζε πιηθά πνπ παξακνξθώλνληαη (δει. ειαζηηθά κέζα), π.ρ. ερεηηθά ζηνλ αέξα. Πωρ; Πξνέξρνληαη από ηελ απνκάθξπλζε θάπνηνπ ηκήκαηνο ηνπ κέζνπ από ηελ θαλνληθή ζέζε ηνπ, ε ηαιάλησζε γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο δηαδίδεη ηε δηαηαξαρή ζε δηαδνρηθά ζηξώκαηα όπνπ ην θύκα πξνρσξεί ζην κέζν. Σεκείσζε: Δεν θηλείηαη ην ίδην ην κέζν σο ζύλνιν! Μόλν κέξε ηνπ ηαιαληώλνληαη ζε θαζνξηζκέλεο ηξνρηέο. (πεξηνξηζκέλεο ηξνρηέο). 3

Η ελέξγεηα, ε νπνία κπνξεί λα δηαδνζεί ζε κεγάιεο (ζρεηηθά) απνζηάζεηο, κεηαβηβάδεηαη από έλα κέξνο ηεο ύιεο ζην επόκελν θαη όσι ιόγσ θάπνηαο κεγάιεο θίλεζεο κέζα ζηελ ύιε. Γηα ηα κεραληθά θύκαηα είλαη απαξαίηεην λα ππάξρεη πιηθό κέζν (π.ρ. αέξαο, λεξό, κέηαιιν θ.ι.π.) (ξεπζηό, ζηεξεό γεληθά) Ηλεκηπομαγνηηικά κύμαηα: Γελ ρξεηάδνληαη πιηθό κέζν γηα λα δηαδνζνύλ (π.ρ. θσο ζην δηάζηεκα) Τύποι κςμάηων: Γηαθξίλνληαη κε βάζε ηε ζρέζε «θίλεζε ησλ ζσκαηίσλ ηεο ύιεο δηεύζπλζε δηάδνζεο θύκαηνο» 4

Εγκάπζιο κύμα: όηαλ ε θίλεζε ησλ πιηθώλ ζσκαηίσλ είλαη θάζεηε ζηε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. (Αλ θαη ηα θσηεηλά θύκαηα δελ είλαη κεραληθά, επεηδή ην νπνηνδήπνηε ειεθηξνκαγλεηηθό πεδίν είλαη θάζεην πξνο ηε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ, είλαη επίζεο εγθάξζηα θύκαηα). 5

6

Διάμηκερ κύμα: Όηαλ ε θίλεζε ησλ ζσκάησλ ηεο ύιεο είλαη παξάιιειε κε ηελ δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Τα ερεηηθά θύκαηα ζε αέξην είλαη δηακήθε θύκαηα. Υπάξρνπλ θύκαηα κίαο, δύν ή ηξηώλ δηαζηάζεσλ αλάινγα ζε πόζεο δηαζηάζεηο κεηαθέξνπλ ελέξγεηα. Παπαδείγμαηα: Μεηαθνξά ελέξγεηαο ζε δύν δηαζηάζεηο: Πεηξαδάθη ζε ήξεκα λεξά. Μεηαθνξά ελέξγεηαο ζε ηξεηο δηαζηάζεηο: Ηρεηηθά θαη θσηεηλά θύκαηα κε αθηηληθή δηάδνζε από ζεκεηαθή πεγή (δει. κηθξή). 7

8

Ταξινόμηζη κύμαηορ με βάζη ηη διάπκεια σπόνος διάδοζηρ ηος: Παλμόρ: Έλα κόλν θύκα πνπ παξάγεηαη ζηελ πεγή. Σςπμόρ κςμάηων: Παξαγσγή από ηελ πεγή δηαδνρηθώλ θπκάησλ Πεπιοδικόρ Σςπμόρ κςμάηων: Τα δηαδνρηθά θύκαηα παξάγνληαη κε ηελ ίδηα θαζνξηζκέλε ρξνληθή δηαθνξά. Έζηω ηπιζδιάζηαηορ παλμόρ: Η δηαηαξαρή ζε δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή επεξεάδεη έλα ζύλνιν ζεκείσλ ηα νπνία αλήθνπλ (νξίδνπλ) ζε επηθάλεηα. Άξα είλαη ζαλ λα θηλείηαη ε επηθάλεηα ζηε δηάδνζε ηνπ παικνύ. 9

Για ένα ηπιζδιάζηαηο κύμα: Έρνπκε επηθάλεηεο, ηα ζεκεία ησλ νπνίσλ βξίζθνληαη ζηελ ίδηα θάζε θίλεζεο νη νπνίεο νλνκάδνληαη ηζνθαζηθέο επηθάλεηεο. Αλ ην κέζν είλαη νκνηνγελέο θαη ηζόηξνπν ηόηε ε δηεύζπλζε δηάδνζεο είλαη θάζεηε ζηελ ηζνθαζηθή επηθάλεηα. Απηή ε γξακκή δηεύζπλζεο δηάδνζεο ιέγεηαη ακηίνα. Γηάθνξα ζρήκαηα γηα ηζνθαζηθέο επηθάλεηεο: Όηαλ έρνπκε δηάδνζε δηαηαξαρήο ζε κία κόλν δηεύζπλζε ηόηε έρνπκε επίπεδα κύμαηα: ίδηεο ζπλζήθεο πάλσ ζην επίπεδν, αθηίλεο είλαη παξάιιειεο επζείεο. 10

Ιζνθαζηθέο επηθάλεηεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο έλα κήθνο θύκαηνο. 11

Όηαλ έρνπκε δηάδνζε δηαηαξαρήο ζε όιεο ηηο δηεπζύλζεηο από ζεκεηαθή πεγή ηόηε έρνπκε ζθαιπικά κύμαηα. (Οη ηζνθαζηθέο επηθάλεηεο είλαη ζθαηξηθέο). 1

Σθαηξηθή επηθάλεηα κε αθηηληθέο γξακκέο ηηο αθηίλεο, κε θέληξν ηε πεγή. Η θακππιόηεηα κεηώλεηαη ζην επίπεδν, θαζώο απνκαθξπλόκαζηε από ηελ πεγή. 13

Πεπιγπαθή Κύμαηορ: Έζησ λήκα ζηε δηεύζπλζε x όπνπ θηλείηαη εγθάξζην θύκα κε εγθάξζηα απνκάθξπλζε y από ηε ζέζε x. Γηα t=0: y f (x) 14

Γηα t>0 ην θύκα θηλείηαη ρσξίο αιιαγή κνξθήο κε ζηαζεξή ηαρύηεηα u (πξνο ηα δεμηά): 15

Σην παξαπάλσ ζρήκα, δηαλύζεθε απόζηαζε = ut. Άξα γηα θάζε t=t ε εμίζσζε ηεο θακπύιεο: y=f(x-ut). Γειαδή ε ίδηα θπκαηνκνξθή ζην ζεκείν x=ut (ηε ρξνληθή ζηηγκή t) όπσο θαη ζην x=0 γηα t=0. y=f(x-ut): εμίζσζε θύκαηνο νπνηαζδήπνηε κνξθήο (ζρήκαηνο) πνπ θηλείηαη πξνο ηα δεμηά. Σεκείσζε: Η κεηαβιεηή ηεο y είλαη όιν ην όξηζκα (x-ut). 16

Δμεηάδνληαο κηα θάζε ηνπ θύκαηνο γηα κηα ηηκή ηνπ y (π.ρ. ηελ θνξπθή ηνπ παικνύ) γηα κεηαβνιή x σο πξνο t αθνύ (x-ut)= ζπγθεθξηκέλν Άξα (x-ut): x θαζώο t γηα θύκα πνπ θηλείηαη πξνο ηα δεμηά. t (x+ut): x θαζώο γηα θύκα πνπ θηλείηαη πξνο ηα αξηζηεξά. Καη ηειηθά dx u dt (αθνύ x-ut=ζηαζεξό) u= θαζηθή ηαρύηεηα 17

Δπίζεο ηζρύνπλ ηα εμήο γηα ηελ y=f(x ut): Γηα t=ζηαζεξό ηόηε y x Τόηε νξίδεηαη ε θακπύιε ε νπνία ηζνύηαη κε ην πξαγκαηηθό ζρήκα ηνπ θύκαηνο. Γηα x=ζηαζεξό ηόηε y t Τόηε πεξηγξάθεηαη ε κεηαβνιή ηεο εγθάξζηαο ζέζεο σο πξνο ην ρξόλν. Τα πάλσ ηζρύνπλ θαη γηα δηακήθε θαη γηα εγθάξζηα θύκαηα. Μηα ρξήζηκε θπκαηνκνξθή είλαη ε y=y m sin x (εκηηνλνεηδήο θπκαηνκνξθή) όπνπ y m =πιάηνο (κέγηζηε απνκάθξπλζε) πνπ είλαη ην ίδην γηα x όηαλ γίλεηαη x+κι, ι= κήθνο θύκαηνο (απόζηαζε δηαδνρηθώλ ζεκείσλ κε ηελ ίδηα θάζε). Έζησ όηη θηλείηαη πξνο ηα δεμηά κε θαζηθή ηαρύηεηα=u. 18

Τόηε γηα t=t: y ym sin ( x ut) 19

Γειαδή έρεη ηε κνξθή y=f(x-ut). Πεξίνδνο (Τ)= Φξόλνο γηα λα δηαλύζεη ην θύκα απόζηαζε ίζε κε ι. Άξα ι=ut όπνπ ε εμίζσζε ηνπ εκηηνλνεηδνύο γίλεηαη y=y m sinπ x t T. Σπκπεξαίλνπκε όηη: -ην y γηα δεδνκέλν t (ρξόλν) ζηα x+κι, είλαη ίζν κε ην y (γηα ην ίδην t) ζην x. -Τν y γηα δεδνκέλν x (ζέζε) ζηνπο t+κτ είλαη ίζν κε ην y (γηα ην ίδην x) ζηνλ t. 0

Οξίδνπκε θπκαηαξηζκό, θπθιηθή ζπρλόηεηα νπόηε ην εκηηνλνεηδέο θύκα γξάθεηαη: y=y m sin(θx σt) θαη u H γεληθή εμίζσζε ηνπ εκηηνλνεηδνύο: y = ym sin(θx-σt-θ), όπνπ θ=ζηαζεξά θάζεσο θαη όπνπ γεληθά. y 0 γηα t=0 θαη x=0. 1

Γειαδή ε ζπλεκηηνλνεδήο θπκαηνκνξθή εκπεξηέρεηαη ζηελ πάλσ. (γηα θ=-90º). Απηά ηα θύκαηα (sin, cos) αθνξνύλ αξκνληθή θίλεζε. Αξρή ηεο επαιιειίαο: Γηα πνιιέο θαηεγνξίεο θπκάησλ ηζρύνπλ όηη: Γύν ή πεξηζζόηεξα κπνξνύλ λα δηαδνζνύλ ζηνλ ίδην ρώξν αλεμάξηεηα ην έλα από ην άιιν όπνπ ε κεηαθίλεζε ζσκαηίνπ πξνθύπηεη αζξνηζηηθά από ηελ κεηαθίλεζε πνπ πξνθαιεί ην θάζε θύκα μερσξηζηά θαη νλνκάδεηαη «επαιιειία».

Παξάδεηγκα: Μία θεξαία δέρεηαη ξαδηνθύκαηα πνιιώλ ζπρλνηήησλ, αιιά ππάξρεη ε δπλαηόηεηα ζπληνληζκνύ ζε κία κόλν ζαλ λα ππάξρεη δηαθνπή εθπνκπήο ησλ άιισλ Παξάδεηγκα: Γηαρσξηζκόο κνπζηθώλ νξγάλσλ από ην ζύλνιν νξρήζηξαο. 3

Η επαιιειία ηζρύεη: -Γηα θύκαηα ζε παξακνξθώζηκα κέζα, όηαλ ε ζρέζε κεηαμύ παξακόξθσζεο θαη δύλακεο επαλαθνξάο είλαη γξακκηθή. -Γει. όηαλ δελ ηζρύεη F=-kx (π.ρ. κεγάιεο δηαηαξαρέο ζηε θύζε) ηόηε δελ ηζρύεη ε αξρή ηεο επαιιειίαο. (Γεληθά, όηαλ νη γξακκηθνί λόκνη κεραληθήο δελ ηζρύνπλ) 4

-Γηα ηα ειεθηξνκαγλεηηθά θύκαηα επεηδή νη ζρέζεηο κεηαμύ ειεθηξηθνύ θαη καγλεηηθνύ πεδίνπ είλαη γξακκηθέο. Η επαιιειία δελ ηζρύεη: -Ηρεηηθά θύκαηα (θξνπζηηθά) πνπ πξνέξρνληαη από βίαηεο εθξήμεηο, αλ θαη δηακήθε ειαζηηθά θύκαηα, ε εμίζσζε δηάδνζεο ηνπο είλαη ηεηξαγσληθά. -Κύκαηα λεξνύ: ηα κηθξά θύκαηα δελ κπνξνύλ λα θηλεζνύλ αλεμάξηεηα κέζα από κεγάια θνπζθσηά θύκαηα. Σπκπεξαζκαηηθά ε θπζηθή ζεκαζία ηεο αξρήο ηεο επαιιειίαο είλαη (όηαλ ηζρύεη): κηα ζύλζεηε θπκαηηθή θίλεζε αλαιύεηαη ζε άζξνηζκα απιώλ θπκάησλ. Fourier: Οπνηαδήπνηε πεξηνδηθή θίλεζε εθθξάδεηαη σο 5 ζύλζεζε απιώλ αξκνληθώλ θηλήζεσλ.

Έζησ y(t) ε θίλεζε ηεο πεγήο θπκάησλ κε πεξίνδν T, ηόηε: y(t)= A 0 +A 1 cosσt+a cosσt+a 3 cos3σt+.. +B 1 sinσt+b sinσt+ Όπνπ σ=π/τ θαη νη ζπληειεζηέο Fourier ππνινγίδνληαη σο εμήο: T / 1 A 0 y( t) dt, Ai y( t)cos( it) dt, Bi y( t)sin( it) dt T T T T / T / T / T / T / 6

i= 1,,3,... Αλ T=π ηόηε σ=1 θαη αληίζηνηρα κεηαβάιινληαη ηα νξίζκαηα. 7

8

9 1 t 3, t,... 4 t y(t)= γηα 0<η< γηα Α 0 = / 0 0 0... 1 1 1 t t dt t, )] [sin( 1 / 0 dt t i t 1 t u...... v dv Β i = let dv=sin(iσt)dt B i = i dt t i t i t 1.. ) )( cos 1 ( ) cos( 1 1 / 0 / 0 B i = Γηα η=1,,3...

Οκνίσο, απνδεηθλύεηαη ε A i =0 γηα i=1,,3.. Δπνκέλσο, ε y(t) πξνζεγγίδεη ( κε πεπεξαζκέλνπο όξνπο) από ηε ζεηξά. y(t)=- 1 sin t 1 sin t 1 sin t 3 i i... Γεληθά y(t) = A 0 + ( A cos t B sin t). i1 i i 30

Σςμβολή κςμάηων: Φπζηθό θαηλόκελν επαιιειίαο θπκαηνζπξκώλ. Έζησ δύν θύκαηα y1, y κε δηαθνξά θάζεσο θ, ηα άιια ίδηα: y 1 =y m (kx-σt-θ), y =y m sin(kx-σt) y 1 =y m sin k x k t y 1 =y m sin kx t 31

Οη παξαθάησ επεμεγήζεηο, δίλνπλ ηελ έλλνηα ηεο δηαθνξάο θάζεο. Σύγθξηζε κε y ζε ρξνληθή ζηηγκή t: Μεηαηνπηζκέλα κεηαμύ ηνπο θαηά κήθνο ηνπ x θαηά ζηαζεξή απόζηαζε θ/k. Σύγθξηζε κε y ζε ζέζε ρ: δύν απιέο αξκνληθέο θηλήζεηο κε ζηαζεξή ρξνληθή δηαθνξά θ/σ κεηαμύ ηνπο. 3

Αλ ιάβνπκε ππόςε καο όηη: sin a + sin b= sin 1 1 Τόηε ην ζπλνιηθό καο θύκα γίλεηαη: y=y 1 +y =y m [sin(kx-σt-θ)+sin(kx-σt)] y=(y m cos )sin(kx-σt - ). a bcos b a Τν λέν θύκα κε ίδηα ζπρλόηεηα θαη πιάηνο ην νπνίν ηζνύηαη κε: y m cos 33

Αλ θ 0º ηόηε πιάηνο = y m : Τα θύκαηα ζπκβάιινπλ εληζρπηηθά. Αλ θ 180º ηόηε πιάηνο = 0: Τα θύκαηα ζπκβάιινπλ απνζβεζηηθά. Γεληθά ην άζξνηζκα θπκάησλ, έρεη δηαθνξεηηθέο ηηκέο αλάινγα κε ηηο ζρέζεηο ησλ θάζεσλ ηνπο. Άζρεηα κε ηνλ αξηζκό θπκάησλ πνπ ζπκβάιινπλ, ην ζπληζηάκελν θύκα είλαη εκηηνλνεηδέο. Σηελ πξάμε, θαηλόκελα ζπκβνιήο παξαηεξνύληαη ζε θπκαηνζπξκνύο από ηελ ίδηα πεγή πνπ αθνινπζνύλ δηαθνξεηηθνύο δξόκνπο πξνο ην ζεκείν ζπκβνιήο. Δπίζεο θαη από δηαθνξεηηθέο πεγέο κε ζηαζεξή ζρέζε θάζεο κεηαμύ ηνπο. 34

35

36

37

38

39

40

41

Διαμόρυωση Πλάτοσς (Amplitude Modulation) Κύματος Π.τ. ραδιοθωνικό ζήμα ποσ εκπέμπεηαι από 535 Khz έως 1605 Khz τρηζιμοποιεί ΑΜ. (μεζαία ραδιοκύμαηα) Έζηω ζήμα με πληροθορία f(t) ποσ μεηαθέρεηαι πάνω ζε ημιηονοειδές κύμα Α 0 cos(ω 0 t+θ 0 ) 4

43

Διαμόπθωζη Σςσνόηηηαρ (Frequency Modulation) Κύμαηορ π.ρ. ρξεζηκνπνηεί FM: - ξαδηνθσληθό ζήκα πνπ εθπέκπεηαη από 88 MHz εώο 108 ΜΗz ξάδην - ηειενπηηθό ζήκα πνπ ζπλήζσο εθπέκπεηαη από 1,5 MHz έσο 300 MHz (βξαρέα ξαδηνθύκαηα). VHF: 30 300 ΜΗz, UHF: 300MHz 30GHz Τα πιενλεθηήκαηα ηεο ρξήζεο FM αληί ΑΜ είλαη ε κείσζε ηεο επίδξαζεο ειεθηξνκαγλεηηθνύ ζνξύβνπ θαη άιισλ παξεκβνιώλ θαηά ηε δηάξθεηα κεηάδνζεο ζήκαηνο. 44

45

Μπορούμε να ορίζοσμε ένα ημιηονοειδές ζήμα ηο οποίο έτει ζηαθερό πλάηος Α και ζηιγμιαία ή γενικεσμένη γωνία θ(t) ως s(t)= Acos[θ, t]. Η ζηιγμιαία ή γενικεσμένη ζστνόηηηα είναι η παραγωγός ηης ζηιγμιαίας θάζης ω(t)=dθ/dt. Για ένα ζσνηθιζμένο ημιηονοειδές Αcos(ω 0 t+θ 0 ), η γωνία είναι θ(t)=ω 0 t+θ 0, άρα η ζηιγμιαία ζστνόηηηα είναι ω(t)= d () t dt 0 Λέμε όηι ένα ημιηονοειδές είναι διαμορθωμένο καηά ζστνόηηηα αν η ζηιγμιαία ζστνόηηηα είναι γραμμική ζσνάρηηζη ηοσ ζήμαηος πληροθορίας f(t). Δηλ. ω FM (t)=ω 0 +κf(t), κ= ζηαθερή. 46

Η ζηιγμιαία γωνία ηοσ FM ζήμαηος γίνεηαι: ( t ) t f FM 0 0 ( t ) dt Ενώ ηο ίδιο ζήμα ηο FM είναι: s ( t) Acos[ t f ( t) dt]. FM 0 0 Όποσ θ 0 =ασθαίρεηη θαζική γωνία. 47