1)Πώσ ορύζεται η Στατιςτικό επιςτόμη; Στατιςτικι είναι ζνα ςφνολο αρχϊν και μεκοδολογιϊν για: το ςχεδιαςμό τθσ διαδικαςίασ ςυλλογισ δεδομζνων τθ ςυνοπτικι και αποτελεςματικι παρουςίαςι τουσ τθν ανάλυςθ και εξαγωγι αντίςτοιχων ςυμπεραςμάτων. 2)Ποιοι εύναι οι κλϊδοι τησ Στατιςτικόσ επιςτόμησ; Με τι αςχολεύται ο κϊθε κλϊδοσ; ςχεδιαςμόσ πειραμάτων περιγραφικι ςτατιςτικι επαγωγικι ςτατιςτικι θ ςτατιςτικι ςυμπεραςματολογία Ο κλάδοσ τθσ Στατιςτικισ που αςχολείται με το ςχεδιαςμό τθσ διαδικαςίασ ςυλλογισ δεδομζνων λζγεται ςχεδιαςμόσ πειραμάτων. Με τθ ςυνοπτικι και αποτελεςματικι παρουςίαςι τουσ αςχολείται θ περιγραφικι ςτατιςτικι που αποτελεί και το αντικείμενο μελζτθσ μασ. Τζλοσ, με τθν ανάλυςθ και εξαγωγι ςυμπεραςμάτων αςχολείται θ επαγωγικι ςτατιςτικι 3)Τι ονομϊζουμε πληθυςμό ; Είναι ζνα ςφνολο του οποίου κζλουμε να εξετάςουμε τα ςτοιχεία του ωσ προσ ζνα ι περιςςότερα χαρακτθριςτικά τουσ. Τα ςτοιχεία του πλθκυςμοφ ςυχνά αναφζρονται και ωσ μονάδεσ ι άτομα του πλθκυςμοφ. 4)Τι ονομϊζουμε μεταβλητϋσ ; Τι εύναι οι τιμϋσ τησ μεταβλητόσ ; Τα χαρακτθριςτικά ωσ προσ τα οποία εξετάηουμε ζναν πλθκυςμό λζγονται μεταβλθτζσ και τισ ςυμβολίηουμε ςυνικωσ με τα κεφαλαία γράμματα Χ, Ψ, Ζ, Οι δυνατζσ τιμζσ ( διαφορετικζσ μεταξφ τουσ) που μπορεί να πάρει μια μεταβλθτι λζγονται τιμζσ τθσ μεταβλθτισ και ςυμβολίηονται ωσ x 1, x2,..., xκ, κ ν όπου ν το πλικοσ των ςτοιχείων του ςυνόλου. Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 1
5)Τι λϋμε ςτατιςτικϊ δεδομϋνα ό παρατηρόςεισ ; Από τθ μελζτθ των ατόμων του πλθκυςμοφ ωσ προσ ζνα χαρακτθριςτικό τουσ προκφπτει μια ςειρά από δεδομζνα, που λζγονται ςτατιςτικά δεδομζνα ι παρατθριςεισ και ςυμβολίηονται t t,..., t 1, 2 v 6)Σε τι διακρύνονται οι μεταβλητϋσ Τισ μεταβλθτζσ τισ διακρίνουμε: Σε ποιοτικζσ ι κατθγορικζσ μεταβλθτζσ, των οποίων οι τιμζσ τουσ δεν είναι αρικμοί. Σε ποςοτικζσ μεταβλθτζσ, των οποίων οι τιμζσ είναι αρικμοί 7)Σε τι διακρύνονται οι ποςοτικϋσ μεταβλητϋσ ; Σε διακριτζσ μεταβλθτζσ, που παίρνουν μόνο «μεμονωμζνεσ» τιμζσ. Σε ςυνεχείσ μεταβλθτζσ, που μποροφν να πάρουν οποιαδιποτε τιμι ενόσ διαςτιματοσ πραγματικϊν αρικμϊν (α, β). 8)Τι ονομϊζουμε απογραφό ; Ένασ τρόποσ για να πάρουμε τισ απαραίτθτεσ πλθροφορίεσ που χρειαηόμαςτε για κάποιο πλθκυςμό είναι να εξετάςουμε όλα τα άτομα του πλθκυςμοφ ωσ προσ το χαρακτθριςτικό που μασ ενδιαφζρει. Η μζκοδοσ αυτι ονομάηεται απογραφι 9)Τι ονομϊζουμε δεύγμα ;Τι ονομϊζουμε δημοςκόπηςη ; Σε πολλζσ περιπτϊςεισ θ απογραφι όλων των μονάδων του πλθκυςμοφ είναι Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 2
δφςκολθ, ι αςφμφορθ, ι ακόμα και αδφνατθ. Μαηεφονται, τότε, πλθροφορίεσ από κάποια μικρι ομάδα, υποςφνολο του πλθκυςμοφ, το οποίο καλείται δείγμα. Γίνονται παρατθριςεισ ςτο δείγμα αυτό και μετά γενικεφονται τα ςυμπεράςματα για ολόκλθρο τον πλθκυςμό. Τα ςυμπεράςματα αυτά ιςχφουν με ικανοποιθτικι ακρίβεια για όλο τον πλθκυςμό, αν το δείγμα είναι, όπωσ λζμε, αντιπροςωπευτικό του πλθκυςμοφ. Όταν το δείγμα λαμβάνεται από ανκρϊπινο πλθκυςμό, τότε θ ςτατιςτικι μελζτθ και ζρευνα λζγεται δθμοςκόπθςθ 10)Πότε λϋμε ότι ϋνα δεύγμα εύναι αντιπροςωπευτικό ; Ένα δείγμα είναι αντιπροςωπευτικό ενόσ πληθυςμοφ, εάν ζχει επιλεγεί κατά τζτοιο τρόπο, ώςτε κάθε μονάδα του πληθυςμοφ να ζχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί. 11)Τι εύναι η Δειγματοληψύα ; Οι αρχζσ και οι μζκοδοι για τθ ςυλλογι και ανάλυςθ δεδομζνων από πεπεραςμζνουσ πλθκυςμοφσ είναι το αντικείμενο τθσ Δειγματολθψίασ, που αποτελεί τθ βάςθ τθσ Στατιςτικισ. 12)Τι εύναι οι ςτατιςτικού πύνακεσ Σε τι διακρύνονται ; Τι πρϋπει να περιϋχει ώςτε να εύναι πλόρησ ϋνασ ςτατιςτικόσ πύνακασ ; Μετά τθ ςυλλογι των ςτατιςτικϊν δεδομζνων είναι αναγκαία θ καταςκευι ςυνοπτικϊν πινάκων ι γραφικϊν παραςτάςεων, ϊςτε να είναι εφκολθ θ κατανόθςι τουσ και θ εξαγωγι ςωςτϊν ςυμπεραςμάτων Οι πίνακεσ διακρίνονται ςτουσ: γενικοφσ πίνακεσ, οι οποίοι περιζχουν όλεσ τισ πλθροφορίεσ που προκφπτουν από μία ςτατιςτικι ζρευνα. ειδικοφσ πίνακεσ, οι οποίοι περιζχουν ςυνοπτικά μερικά ςτοιχεία τθσ ζρευνασ που ζχουν Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 3
Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων) λθφκεί από τουσ γενικοφσ πίνακεσ. Κάκε πίνακασ περιζχει: α) τον τίτλο, που περιγράφει το περιεχόμενο του πίνακα, β) τισ επικεφαλίδεσ των ςτθλϊν, που δείχνουν τθ φφςθ και τισ μονάδεσ μζτρθςθσ των δεδομζνων, γ) το κφριο ςϊμα, που περιζχει τα ςτατιςτικά δεδομζνα, δ) τθν πθγι, που γράφεται ςτο κάτω μζροσ του πίνακα και δείχνει τθν προζλευςθ των ςτατιςτικϊν ςτοιχείων. 13)Τι ονομϊζουμε απόλυτη ςυχνότητα Ασ υποκζςουμε ότι x1, x2,..., xκ είναι οι τιμζσ μιασ μεταβλθτισ Χ, που αφορά τα άτομα ενόσ δείγματοσ μεγζκουσ v, κ ν. Στθν τιμι x i αντιςτοιχίηεται θ (απόλυτθ) ςυχνότθτα νi i 1,2,..., κ, δθλαδι, ο φυςικόσ αρικμόσ που δείχνει πόςεσ φορζσ εμφανίηεται θ τιμι x i τθσ εξεταηόμενθσ μεταβλθτισ Χ ςτο ςφνολο των παρατθριςεων. Είναι φανερό ότι το άκροιςμα όλων των ςυχνοτιτων είναι ίςο με το μζγεκοσ ν του δείγματοσ, δθλαδι: ν1 ν2... νκ v ι 14)Τι ονομϊζουμε ςχετικό ςυχνότητα f i ; Τι ονομϊζουμε ςχετικό ςυχνότητα επύ τοισ εκατό f i % ; k i i 1 Αν διαιρζςουμε τθ ςυχνότθτα ν i με το μζγεκοσ ν του δείγματοσ, προκφπτει θ ςχετικι ςυχνότθτα f i τθσ τιμισ x i, δθλαδι νi, i 1,2,..., κ. ν Όταν τισ ςχετικζσ ςυχνότθτεσ f i τισ εκφράηουμε επί τοισ εκατό, τότε ςυμβολίηονται με δθλαδι fi %, f i % 100 f i. fi Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 4
15)Να αποδεύξετε ότι για την ςχετικό ςυχνότητα ιςχύουν : (i) 0 f 1 για i 1,2,..., κ. i (ii) f f... f 1 1 2 κ νi ι ) αφοφ 0 ν i ν είναι 0 1 ν ι 0 f i 1 ιι ) Είναι : 1 2 f1 f2... f... 1 2... 1 16)Τι λϋμε πύνακα κατανομόσ ςυχνοτότων ; Οι ποςότθτεσ x i, νi, fi για ζνα δείγμα ςυγκεντρϊνονται ςε ζνα ςυνοπτικό πίνακα, που ονομάηεται πίνακασ κατανομισ ςυχνοτιτων ι απλά πίνακασ ςυχνοτιτων 17)Τι εύναι η κατανομό ςυχνοτότων ό η κατανομό ςχετικών ςυχνοτότων Για μια μεταβλθτι, το ςφνολο των ηευγϊν ( x i, νi ) λζμε ότι αποτελεί τθν κατανομι ςυχνοτιτων και το ςφνολο των ηευγϊν ( x i, fi ), ι των ηευγϊν ( x i, fi %), τθν κατανομι των ςχετικϊν ςυχνοτιτων. 18)Τι εύναι η αθροιςτικό ςυχνότητα, η ςχετικό αθροιςτικό ςυχνότητα, ςε ποιο εύδοσ μεταβλητόσ χρηςιμοποιούνται ; Οι ακροιςτικζσ ςυχνότθτεσ N i εκφράηουν το πλικοσ των παρατθριςεων που είναι μικρότερεσ ι ίςεσ τθσ τιμισ x, i 1,2,..., κ. Οι ακροιςτικζσ ςχετικζσ ςυχνότθτεσ F i, εκφράηουν το ποςοςτό των παρατθριςεων που είναι μικρότερεσ ι ίςεσ τθσ τιμισ x i, i 1,2,...,κ. Συχνά οι F i πολλαπλαςιάηονται επί 100 εκφραηόμενεσ ζτςι επί τοισ εκατό, δθλαδι F % 100. i F i Χρθςιμοποιοφνται για ποςοτικζσ i Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 5
Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων) μεταβλθτζσ Ιςχφει: N i ν1 ν2... νi i 1,2,...,κ Και Fi f1 f 2... f i, για i 1,2,...,κ μόνο όταν οι τιμζσ x1, x2,...,xκ μιασ ποςοτικισ μεταβλθτισ είναι ςε αφξουςα ςειρά. Προφανϊσ ιςχφει : ν1 N1, ν2 N 2 N1,...,νκ N κ N κ 1, Νκ = ν Και f1 F1, f 2 F2 F1,..., f κ Fκ Fκ 1, Fκ = 1 19)Τι εύναι το ραβδόγραμμα ςυχνοτότων ; Το ραβδόγραμμα ςυχνοτιτων χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ των τιμϊν μιασ ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορκογϊνιεσ ςτιλεσ που οι βάςεισ τουσ βρίςκονται πάνω ςτον οριηόντιο ι τον κατακόρυφο άξονα και το μικοσ των βάςεων ι των ορκογωνίων ςτθλϊν είναι αυκαίρετο. Σε κάκε τιμι τθσ μεταβλθτισ Χ αντιςτοιχεί μια ορκογϊνια ςτιλθ τθσ οποίασ το φψοσ είναι ίςο με τθν αντίςτοιχθ ςυχνότθτα. Έτςι ζχουμε το ραβδόγραμμα ςυχνοτιτων. Αντίςτοιχα ορίηεται και το ραβδόγραμμα ςχετικϊν ςυχνοτιτων. 20)Τι εύναι το διϊγραμμα ςυχνοτότων; Στθν περίπτωςθ που ζχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματοσ χρθςιμοποιείται το διάγραμμα ςυχνοτιτων. Αυτό μοιάηει με το ραβδόγραμμα με μόνθ διαφορά ότι αντί να χρθςιμοποιοφμε ςυμπαγι ορκογϊνια υψϊνουμε ςε κάκε x i μία κάκετθ γραμμι με μικοσ ίςο προσ τθν αντίςτοιχθ ςυχνότθτα. Αν αντί των ςυχνοτιτων ν i ςτον κάκετο άξονα να βάλουμε τισ ςχετικζσ ςυχνότθτεσ f i, ζχουμε το διάγραμμα ςχετικϊν ςυχνοτιτων. Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 6
Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων) 21)Τι εύναι το διϊγραμμα αθροιςτικών ςυχνοτότων Ν i και τι το διϊγραμμα ςχετικών αθροιςτικών ςυχνοτότων F i ; Τοποκετοφμε τα xi με ςειρά μεγζκουσ ςτον οριηόντιο άξονα Χ και υψϊνουμε ςε κάκε x i μία κάκετθ γραμμι με μικοσ ίςο προσ τθν αντίςτοιχθ ακροιςτικι ςυχνότθτα Νi Αντίςτοιχα υψϊνουμε ςε κάκε x i μία κάκετθ γραμμι με μικοσ ίςο προσ τθν αντίςτοιχθ ςχετικι ακροιςτικι ςυχνότθτα Fi 22)Τι εύναι το πολύγωνο ςυχνοτότων ; Ενϊνοντασ τα ςθμεία ( xi, νi ) ι ( xi, f i ) ζχουμε το λεγόμενο πολφγωνο ςυχνοτιτων ι πολφγωνο ςχετικϊν ςυχνοτιτων, αντίςτοιχα, που μασ δίνουν μια γενικι ιδζα για τθ μεταβολι τθσ ςυχνότθτασ ι τθσ ςχετικισ ςυχνότθτασ όςο μεγαλϊνει θ τιμι τθσ μεταβλθτισ που εξετάηουμε. 23)Τι είναι το κυκλικό διάγραμμα ; Το κυκλικό διάγραμμα χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ τόςο των ποιοτικϊν όςο και των ποςοτικϊν δεδομζνων ςυνικωσ όταν οι τιμζσ είναι λίγεσ. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ζνασ κυκλικόσ δίςκοσ χωριςμζνοσ ςε κυκλικοφσ τομείσ, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προσ τισ αντίςτοιχεσ ςυχνότθτεσ νi ι τισ ςχετικζσ f i των τιμϊν xi τθσ ςυχνότθτεσ μεταβλθτισ. 24)Με ποιο τύπο υπολογύζω το μϋτρο τησ επύκεντρησ γωνύασ ό του αντύςτοιχου τόξου ςτο κυκλικό διϊγραμμα ; Αν ςυμβολίςουμε με α i το αντίςτοιχο τόξο ενόσ κυκλικοφ τμιματοσ ςτο κυκλικό διάγραμμα ςυχνοτιτων, τότε 360o α i νi 360o f i για i 1,2,...,κ. ν Γ Λυκειου μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Στατιςτική. Σελίδα 7