3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παραδειγμα για το ΘΕΜΑ 1 Ο Οι μετρήσεις της μέγιστης ημερήσιας τιμής ενός συγκεκριμένου αέριου ρύπου (σε μικρογραμμάρια ανά κυβικό εκατοστό αέρα) σε 57 πόλεις μιας χώρας δίνονται στον Πίνακα Ι. Τα δεδομένα υπάρχουν επίσης στο αρχείο Excel, φύλλο Askisi-1. 17 17 17 84 79 74 73 70 68 62 21 29 26 27 33 33 32 54 28 30 28 29 56 51 49 48 47 43 47 37 28 33 55 50 48 43 41 36 35 36 27 32 32 32 56 48 47 41 37 35 24 30 30 33 54 54 52 a. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο, τη διάμεσο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των παρατηρήσεων κάνοντας χρήση των τύπων του τυπολογίου. Η απάντηση να δοθεί στο αρχείο Word.. Οι υπολογισμοί να γίνουν διατηρώντας τρία (3) δεκαδικά ψηφία. Πίνακας Ι Πίνακας ταξινόμησης των δεδομένων (Μεταφορά από αρχείο Excel ) Μη ομαδοποιημένα δεδομένα - a/a Xi Xi-41,719 (Xi-41,719) 2 (Xi-41,719) 3 1 17-24,719 611,029-15104,025 2 17-24,719 611,029-15104,025 3 17-24,719 611,029-15104,025 4 21-20,719 429,277-8894,189 5 24-17,719 313,963-5563,110 6 26-15,719 247,087-3883,960 7 27-14,719 216,649-3188,856 8 27-14,719 216,649-3188,856 9 28-13,719 188,211-2582,066 10 28-13,719 188,211-2582,066 11 28-13,719 188,211-2582,066 1
12 29-12,719 161,773-2057,590 13 29-12,719 161,773-2057,590 14 30-11,719 137,335-1609,428 15 30-11,719 137,335-1609,428 16 30-11,719 137,335-1609,428 17 32-9,719 94,459-918,047 18 32-9,719 94,459-918,047 19 32-9,719 94,459-918,047 20 32-9,719 94,459-918,047 21 33-8,719 76,021-662,827 22 33-8,719 76,021-662,827 23 33-8,719 76,021-662,827 24 33-8,719 76,021-662,827 25 35-6,719 45,145-303,329 26 35-6,719 45,145-303,329 27 36-5,719 32,707-187,051 28 36-5,719 32,707-187,051 29 37-4,719 22,269-105,087 30 37-4,719 22,269-105,087 31 41-0,719 0,517-0,372 32 41-0,719 0,517-0,372 33 43 1,281 1,641 2,102 34 43 1,281 1,641 2,102 35 47 5,281 27,889 147,282 36 47 5,281 27,889 147,282 37 47 5,281 27,889 147,282 2
38 48 6,281 39,451 247,791 39 48 6,281 39,451 247,791 40 48 6,281 39,451 247,791 41 49 7,281 53,013 385,987 42 50 8,281 68,575 567,869 43 51 9,281 86,137 799,437 44 52 10,281 105,699 1086,691 45 54 12,281 150,823 1852,257 46 54 12,281 150,823 1852,257 47 54 12,281 150,823 1852,257 48 55 13,281 176,385 2342,569 49 56 14,281 203,947 2912,567 50 56 14,281 203,947 2912,567 51 62 20,281 411,319 8341,960 52 68 26,281 690,691 18152,049 53 70 28,281 799,815 22619,567 54 73 31,281 978,501 30608,489 55 74 32,281 1042,063 33638,834 56 79 37,281 1389,873 51815,854 57 84 42,281 1787,683 75585,023 2378 0,017 14095,509 164279,775 1) Αριθμητικός Μέσoς = = 41,719 3
2)Διάμεσος Επειδή το n είναι περιττός αριθμός έχουμε Μ = Μ = = = 37 3) Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος Πρέπει να βρούμε το 1 ο και 3 ο Τεταρτημόριο για να αντικαταστήσουμε στον τύπο IR = 1 ο Τεταρτημόριο είναι η τιμή που βρίσκεται στη = = 14,5 όπου το ακέραιο μέρος του πηλίκου είναι = = όπου =30+0,5(30-30) =30 3 ο Τεταρτημόριο είναι η τιμή που βρίσκεται στη = = = =51,5 Αντικαθιστούμε τις τιμές στον τύπο IR = IR = 51,5-30 = 21,5 Υπολογισμοί από το αρχείο Excel 4
c. Ομαδοποιήστε τα δεδομένα του Πίνακα Ι, λαμβάνοντας ως κάτω όριο της πρώτης ομάδας το 14,5 και ως πλάτος των ομάδων το 10. Υπολογίστε στη συνέχεια τις συχνότητες των ομάδων, τις σχετικές συχνότητες, τις αθροιστικές συχνότητες και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες.. d. Να υπολογιστεί ο αριθμητικός μέσος, η δειγματική διακύμανση και ο συντελεστής μεταβλητότητας των ομαδοποιημένων Ομαδοποιημένα δεδομένα Tάξεις Συχν. fi Κέντρο mi fimi mi-41,605 (mi-41,605) 2 fi(mi-41,605) 2 14,5 24,5 5 19,5 97,5-22,105 488,631 2443,155 24,5 34,5 19 29,5 560,5-12,105 146,531 2784,089 34,5 44,5 10 39,5 395-2,105 4,431 44,310 44,5 54,5 13 49,5 643,5 7,895 62,331 810,303 54,5 64,5 4 59,5 238 17,895 320,231 1280,924 64,5 74,5 4 69,5 278 27,895 778,131 3112,524 74,5 84,5 2 79,5 159 37,895 1436,031 2872,062 Αριθμητικός μέσος 57 2371,5 13347,368 = = = 41,605 Διακύμανση S 2 = = = 238,346 Συντελεστής μεταβλητότητας CV = = = = 0,371 δηλαδή 37,1% (S 2 =238,346 S ) e 5
f. Έστω ότι μία άλλη ημέρα είχε παρατηρηθεί μια αύξηση κατά 25% σε όλες, μία προς μία, τις μετρήσεις του συγκεκριμένου αέριου ρύπου για τις 57 πόλεις του πίνακα Ι. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο, τη διακύμανση, τον συντελεστή μεταβλητότητας και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος για τα νέα δεδομένα. Τα ζητούμενα στατιστικά μέτρα να υπολογιστούν με τη βοήθεια αυτών που έχουν ήδη υπολογιστεί για τις αρχικές τιμές του πίνακα Ι. Από την άσκηση 1a έχουμε = 41,719 Variance S 2 = 251,706 CV = = = 0,38 IR = 21,5 Όταν η μεταβλητή X i αυξάνεται κατά 25% τότε η νέα τιμή Y i = X i * 1,25 Νέος αριθμητικός μέσος 1,25* 1,25*41,719 Νέα Διακύμανση = 1,25 2 * = 1,5625*251,7 = 393,281 Νέος Συντελεστής μεταβλητότητας Υπολογίζω πρώτα το S Y = = CV = = = 0,38 δηλαδή 38% Νέο Ενδοτεταρτημοριακό εύρος IR Y = IR X * 1,25 = 21,5*1,25 = 26.875 6
Παραδειγμα για το ΘΕΜΑ 5 Ο α) Τιμή Χ του Αγαθού Ποσότητες Πώλησης Αγαθού Υ σε κιλά. 23 198,0 24,5 181,0 24 170,0 27,2 179,0 27 163,0 24,4 145,0 24,7 167,0 22,1 203,0 21 251,0 25 147,0 Από το διάγραμμα διασποράς φαίνεται ότι υπάρχει μέτρια γραμμική συσχέτιση. β) Υπολογισμοί σύμφωνα με τους τύπους που χρησιμοποιούν τις αποκλίσεις των μεταβλητών από τη μέση τιμή 7
Αριθμός Καταστήματο ς Τιμή Χ του Αγαθο ύ Ποσότητε ς Πώλησης Αγαθού Υ σε κιλά. Xi-xm Yi-ym (Xi-xm) 2 (Yi-ym) 2 (Xi-xm)(Yi-ym) 1 23 198,0-1,29 17,6 1,6641 309,8-22,704 2 24,5 181,0 0,21 0,6 0,0441 0,4 0,126 3 24 170,0-0,29-10,4 0,0841 108,2 3,016 4 27,2 179,0 2,91-1,4 8,4681 2,0-4,074 5 27 163,0 2,71-17,4 7,3441 302,8-47,154 6 24,4 145,0 0,11-35,4 0,0121 1253,2-3,894 7 24,7 167,0 0,41-13,4 0,1681 179,6-5,494 8 22,1 203,0-2,19 22,6 4,7961 510,8-49,494 9 21 251,0-3,29 70,6 10,8241 4984,4-232,274 10 25 147,0 0,71-33,4 0,5041 1115,6-23,714 ΣΥΝΟΛΟ 242,9 1804 0 0 33,909 8766,4-385,66 xmeso 24,29 ymeso 180,4 Οι συντελεστές της ευθείας παλινδρόμησης είναι: i Y X i X 385,66 i) 11,37 και X 2 33,909 i a Y X 180, 4 11,37 24, 29 456,66 Ο συντελεστής β δείχνει ότι εάν η τιμή του αγαθού αυξηθεί κατά μία μονάδα τότε αναμένεται οι πωλήσεις να μειωθούν κατά 11,37 κιλά Ο συντελεστής α δείχνει ότι εάν η τιμή του αγαθού μηδενισθεί (δηλαδή όταν το προιόν διανεμηθεί δωρεάν ) τότε οι πωλήσεις αναμένεται να είναι 456,66 κιλά 8
ii) υπολογισμοί σύμφωνα με τους τύπους που δεν χρησιμοποιούν τις αποκλίσεις των μεταβλητών από τη μέση τιμή Αριθμός Καταστήματος Τιμή Χi του Αγαθού Ποσότητες Πώλησης Αγαθού Υi σε κιλά. Χi 2 Yi 2 XiYi 1 23 198,0 529 39204,0 4554 2 24,5 181,0 600,25 32761,0 4434,5 3 24 170,0 576 28900,0 4080 4 27,2 179,0 739,84 32041,0 4868,8 5 27 163,0 729 26569,0 4401 6 24,4 145,0 595,36 21025,0 3538 7 24,7 167,0 610,09 27889,0 4124,9 8 22,1 203,0 488,41 41209,0 4486,3 9 21 251,0 441 63001,0 5271 10 25 147,0 625 21609,0 3675 ΣΥΝΟΛΟ 242,9 1804 5933,95 334208 43433,5 Οι συντελεστές στο πρότυπο παλινδρόμησης είναι: X i i 242,9 1.804 XY i i 43433,5 n 10 2 242,9 2 2 X i 5933,95 i n 10 43435,5 43819,16 385,6 11,37 5933,95 5900,04 33,909 & a Y X 180,4 11,37 24,29 456,66 Το πρότυπο (γραμμικό μοντέλο) είναι: Y 456,66 11,37 X +u γ) Για X 24, 29ό Y 456,66 11,37 24, 29 180,48 Για X 21ό 456,66 11,37 21 217,89 Για 0ό 456,66 9
δ) Όταν η τιμή του προϊόντος είναι ίση με τη μέση τιμή τότε προκύπτει ότι οι πωλήσεις αναμένετα να ισούται με το μέσο όρο των πωλήσεων δηλ με 180,48 Όταν διατίθεται στην τιμή των 21 οι αναμενόμενες πωλήσεις θα είναι στην ποσότητα των 217,89 Όταν διατεθεί δωρεάν οι πωλήσεις αποκτούν τη μεγαλύτερη τιμή που αναμένεται να είναι 456,66 ε) Ο συντελεστής συσχέτισης είναι: i Y X i X Yi Y X i X 385,66 2 2 33,909 8766, 4 0,7073 ο οποίος φανερώνει μέτρια αρνητική γραμμική συσχέτιση και ο συντελεστής προσδιορισμού R r 0,5003 ο οποίος φανερώνει ότι το 50,03% της μεταβλητότητας των πωλήσεων σε 2 2 σχέση με την τιμή ερμηνεύεται από το πρότυπο (μοντέλο) της γραμμικής παλινδρόμησης που βρήκαμε. 10