1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι όµοια.. Κάθε καοικό πολύγωο εγγράφεται σε έα κύκλο και περιγράφεται σε έα άλλο. ι δύο αυτοί κύκλοι είαι οµόκετροι.. Σχέσεις τω στοιχείω κα. πολυγώου : λ i) α + ii) Ρ λ o 0 iii) ω iv) 1 Ρ α 5. ια δύο καοικά -γωα ισχύει λ λ α α. λ και α λ και α λ και α
ΣΚΗΣΙΣ 1. ίεται κύκλος (, ) και τα διαδοχικά σηµεία,, ώστε λ, και λ. η διάµεσος Μ του τριγώου τέµει το κύκλο στο, τότε συαρτήσει του, α βρείτε : i) το εµβαδό του τριγώου Μ ii) το µήκος του τµήµατος Μ iii) το εµβαδό του τριγώου Μ. i) πειδή λ και λ, θα είαι,, 10 ο, 0 ο πότε 180 ο, εποµέως η είαι διάµετρος του κύκλου. Στο τρίγωο η Μ είαι διάµεσος άρα (Μ) (Μ) 1 () (1) Όµως 90 ο σα εγγεγραµµέη σε ηµικύκλιο, εποµέως το τρίγωο είαι ορθογώιο. Άρα () 1 1 (1) (Μ) 1 ii) Θ. διαµέσω στο τρίγωο : Μ + ( ) + () + 8 1 Άρα Μ 1, τέµουσες του κύκλου : Μ Μ Μ Μ iii) Μ Μ 1 Μ Μ 1 ( Μ) ( Μ ) Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
( Μ ) 1 1 (Μ) 5. ίεται κύκλος (, ) και τυχαία ευθεία (ε) που διέρχεται από το κέτρο του. κατέρωθε του κέτρου και πάω στη (ε) παίρουµε σηµεία και έτσι ώστε α. Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου και οι ευθείες Μ, Μ τέµου το κύκλο στα, ατίστοιχα, δείξτε ότι : i) Μ Μ Μ Μ 10 ii) + i) πειδή α, θα είαι, οπότε. Μ, ΗΘ τέµουσες : Μ Η Θ (Η )( + Θ) + µοίως βρίσκουµε ότι Μ () πό τις (1) και () συµπεραίουµε Μ Μ ii) Μ +Μ Μ MA (i) + Μ ΜB + (MA + MB ) Μ MB () Θ. διαµέσω στο τρίγωο Μ : Μ +Μ Μ + Η () γίεται Μ +Μ 5 10 + Η AB Μ 5 (1) Θ ε
. ίεται καοικό εξάγωο Ζ εγγεγραµµέο σε κύκλο (, ). Κ, Μ είαι τα µέσα τω, ατίστοιχα, α βρείτε τα µήκη τω πλευρώ του τριγώου ΜΚ συαρτήσει του Φέρουµε τις διαµέτρους, και τις διαγώιες,. // τραπέζιο. ΚΜ διάµεσος του τραπεζίου + + ΚΜ Κ διάµεσος του τριγώου Κ + Άρα Κ 7 Μ διάµεσος του τριγώου Μ + ( ) + Άρα Μ 1 () + ( ) 7 Ζ 1 Κ Μ
5. ίεται ισόπλευρο τρίγωο εγγεγραµµέο σε κύκλο (, ). της και το µέσο του τόξου. η τέµει το κύκλο στο Η, i) α βρείτε το µήκος του Η συαρτήσει του ii) α βρείτε το εµβαδό του τετραπλεύρου i) λ 10 ο 0 ο 180 ο είαι διάµετρος του κύκλου ɵ 90 ο πό πυθαγόρειο στο έχουµε + Η ii) 7 λ + + Άρα 7 Η λ 7 Η 7 Έστω το µέσο πειδή η είαι διάµετρος και το είαι το µέσο του τόξου, θα είαι. ποµέως αφού το έχει κάθετες διαγώιες, το εµβαδό του θα είαι Η
5. Το εµβαδό εός καοικού -γώου περιγεγραµµέου σε κύκλο (, ) είαι διπλάσιο από το εµβαδό του εγγεγραµµέου καοικού -γώου στο ίδιο κύκλο. Να βρείτε το πλήθος τω πλευρώ καθεός πολυγώου. Έστω... πολύγωο και ΚΛΜ... Φέρουµε τα αποστήµατα Ζ το περιγεγραµµέο καοικό το εγγεγραµµέο. α και Μ α. πειδή τα καοικά πολύγωα έχου το ίδιο πλήθος πλευρώ, είαι όµοια, µε λόγο οµοιότητας λ Κ Μ α Ζ α Λ Ζ Μ και λ α α α α πότε α α, συεπώς
7. Στις προεκτάσεις τω πλευρώ,,, εός τετραγώου, που είαι εγγεγραµµέο σε κύκλο (, ), θεωρούµε τµήµατα Κ Λ Μ Ν λ, όπου λ η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραµµέου στο κύκλο. είξτε ότι το ΚΛΜΝ είαι τετράγωο, του οποίου α υπολογίσετε τη ακτία του περιγεγραµµέου του κύκλου συαρτήσει του. Τα τέσσερα τρίγωα ΜΛ, ΛΚ, ΚΝ, ΜΝ είαι ίσα διότι είαι ορθογώια και οι κάθετες πλευρές τους είαι αφεός λ, αφετέρου λ + λ. Άρα ΜΛ ΛΚ ΚΝ ΜΝ. πότε το ΚΛΜΝ είαι ρόµβος Μ Λ ω σ φ Κ κόµα ω ɵ ϕ και επειδή ɵ ϕ + ɵ σ 90 ο, Ν θα είαι ω+ ɵ σ 90 ο δηλαδή Λ 90 ο πότε το ΚΛΜΝ είαι τετράγωο. Πυθαγόρειο στο τρίγωο ΜΛ : ΜΛ Μ + Λ ΜΛ (λ + λ ) + λ ( + ) + ( ) 8 + Άρα ΜΛ 8+ Έστω η ακτία του περιγεγραµµέου στο ΚΛΜΝ κύκλου. Τότε ΜΛ 8+ +
8 7. ύο χορδές εός κύκλου (, ) έχου µήκη AB λ και λ. Να βρείτε συαρτήσει του τη περίµετρο και το εµβαδό του τριγώου. ( περιπτώσεις) 1 η περίπτωση Το κέτρο του κύκλου περιέχεται στη γωία τω χορδώ φού λ και λ, θα είαι 10 ο και 90 ο, οπότε 150 ο πό το όµο τω συηµιτόω στο τρίγωο έχουµε + συ + συ150 ο +, άρα + 10o 90 o 150 o Περίµετρος του τριγώου : Ρ + + + + + µβαδό του τριγώου : () () + ( ) + () 1 ηµ10 ο + 1 ηµ90 ο + 1 ηµ150 ο 1 + 1 + 1 1 + η περίπτωση Το κέτρο του κύκλου είαι έξω από τη γωία τω χορδώ 10 ο και 90 ο, άρα 0 ο πότε οµοίως βρίσκουµε ότι ποµέως Ρ + + () () + () () 10 o 1 ηµ90ο + 1 ηµ0ο 1 ηµ10ο 1 1 + 1 1 1
9 8. Ισόπλευρο τρίγωο είαι εγγεγραµµέο σε κύκλο (, ). Στη προέκταση της παίρουµε τµήµα Σ και από το Σ φέρουµε το εφαπτόµεο τµήµα ΣΜ. i) είξτε ότι ΣΜ λ. ii) ρείτε το εµβαδό του τριγώου Σ συαρτήσει του. i) λ και Σ ΣΜ Σ Σ ( ) ( ) 18 Άρα ΣΜ λ ii) Μ Σ (AΣ) 1 Σ ηµ ˆεξ. 1 ( )( ) ηµ10ο 1
10 9. Σ είαι το µέσο της πλευράς εός καοικού εξαγώου Ζ εγγεγραµµέου σε κύκλο (, ), α βρείτε το εµβαδό κάθε εός από τα µέρη στα οποία χωρίζεται το εξάγωο από τη Σ, συαρτήσει του. (Σ) 1 Σ ηµ0ο 1 οπότε 0 (ΖΣ) (Ζ) (Σ) Σ 1 (Ζ) (Σ) Ζ 1 1 λ α 1 πότε (Σ) 1 (Ζ) + (Σ)
11 10. είαι το εµβαδό ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραµµέου σε κύκλο, είαι το εµβαδό του περιγεγραµµέου ισοπλεύρου τριγώου στο ίδιο κύκλο και είαι το εµβαδό του καοικού εξαγώου του εγγεγραµµέου στο ίδιο κύκλο, δείξτε ότι και Έστω το εγγεγραµµέο στο κύκλο ισόπλευρο τρίγωο, ΚΛΡ το περιγεγραµµέο και Ζ το εγγεγραµµέο καοικό εξάγωο. Τα, ΚΛΡ είαι όµοια µε λόγο οµοιότητας α λ α 1, οπότε E E 1 ίαι 1 λ α 1 λ α 1 Ρ Ζ Η α α Κ Λ Άρα ποµέως και πό τις (1) και () έχουµε 7 7 () (1)
1 11. ίεται καοικό εξάγωο Ζ εγγεγραµµέο σε κύκλο (, ). Μ είαι το µέσο της και η Μ τέµει το κύκλο στο Ρ, δείξτε ότι Μ 7ΜΡ. ωρίζουµε ότι Μ ΜΡ Μ Μ (1) Η Μ είαι διάµεσος στο τρίγωο, οπότε Μ AB + A B Ζ Μ Ρ + ( ) 7 άρα Μ 7 Η (1) δίει 7 ΜΡ ΜΡ 7 1 Συεπώς 7ΜΡ 7 7 1 7 Μ
1 1. Έστω καοικό πετάγωο µε λ 5 α. Η τέµει τις και στα Ζ και Η ατίστοιχα. είξτε ότι i) Το Ζ είαι ρόµβος α ii) Ζ Η ( 5 1) α iii) ΖΗ ( 5) α A i) (1 + 5) i) EA // και οµοίως // Άρα το Ζ είαι παραλληλόγραµµο. Και επειδή λ 5 α, αυτό είαι ρόµβος ii) 1 Ζ 1 Η Τα τρίγωα Ζ και είαι όµοια, αφού 1 1 ɵ 1 σα εγγεγραµµέες σε Ζ ίσα τόξα. Άρα Ζ α α Ζ+Ζ Ζ α α Ζ+α Ζ + α Ζ α 0 α Λύοτας τη εξίσωση αυτή βρίσκουµε ότι Ζ ( 5 1) προφαώς Ζ Η iii) α α ΖΗ Ζ Η α ( 5 1) ( 5) i) α α Ζ + Ζ ( 5 1) + α (1 + 5) 1 B
1 1. Η διαφορά τω εµβαδώ εός καοικού εξαγώου και εός τετραγώου που είαι εγγεγραµµέα σε κύκλο (O, ) είαι 5,5 cm. i) Να βρεθεί η ακτία του κύκλου. ii) Ποιος είαι ο λόγος τω εµβαδώ τω δύο καοικώ πολυγώω ; i) Το εµβαδό του καοικού εξαγώου είαι 1 λ α Και του τετραγώου ( ) πότε 5,5 ii) + 5,5 E E
15 1. Έστω ηµικύκλιο διαµέτρου και ακτίας. Χορδή αυτού ισούται µε λ. και Μ το µέσο του τόξου, η δε Μ τέµει τις, στα και Ζ ατίστοιχα, i) α βρείτε τη περίµετρο του τριγώου Μ συαρτήσει του ii) α δείξτε ότι Μ και ότι iii) α δείξτε ότι το τρίγωο Ζ είαι ισόπλευρο, του οποίου α βρείτε το εµβαδό συαρτήσει του i) α δείξτε ότι () () i) φού λ και Μ µέσο του τόξου A, θα είαι AΜ Μ 0 ο. Άρα Μ λ και Μ λ ποµέως η περίµετρος του τριγώου Μ θα είαι Ρ + Μ + Μ + + + ii) 0 ο 0 ο 0 ο 0 ο 0 ο 0 ο ίαι Μ 90 ο σα εγγεγραµµέες σε ηµικύκλιο. Στο τετράπλευρο Μ έχουµε + Μ 180 ο, εποµέως είαι εγγράψιµο, άρα Μ Στο ορθογώιο τρίγωο έχουµε Συεπώς Μ. κόµα Μ BE iii) Στα ορθογώια τρίγωα και Ζ είαι 0 ο Ζ. πότε οι γωίες του τριγώου Ζ είαι 0 ο η κάθε µία, άρα είαι ισόπλευρο, µε πλευρά και εµβαδό 1 i) ( ) ( ) 1 1 (1) Στο ορθογώιο τρίγωο είαι 0 ο, άρα Ζ Μ Η (1) γίεται ( ) ( ) () ()