Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σχετικά έγγραφα
( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

( ) ( ) ( ) Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. ( x, y,z) καρτεσιανό. !!z = h x, y,z. !! y = q. x = f. !! z = h

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

4 η Εργασία F o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2.

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Μετεωρολογία. Ενότητα 7. Δρ. Πρόδρομος Ζάνης Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας, Α.Π.Θ.

Οι συνθήκες ισορροπίας του στερεού σώματος και η λανθασμένη ερώτηση Α.3 της Φυσικής των Πανελλαδικών εξετάσεων 2014.

( ) = T 1 ) (2) ) # T 3 ( ) + T 2 ) = T 3. Ισορροπία Παράδειγµα. ! F! = m! a = 0. ! F y. # F g = 0! T 3 ! T 2. sin( 53 0

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

) = 0 όπου: ω = κ µε m-εκφυλισµό

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.


Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Κλασική Μηχανική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Αρµονικοί ταλαντωτές

Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχες µάζες m 1 και m 2, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΦΥΣ Διαλ Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Κυκλική κίνηση. Βασικές έννοιες. x=rcosθ, y=rsinθ, z=0. x 2 +y 2 =R 2. Γωνιακή μετατόπιση. Γωνιακή ταχύτητα. Θέση

Εξισώσεις Κίνησης (Equations of Motion)

ΘΕΜΑ Β Β1. Ένας ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

Αρµονικοί ταλαντωτές

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Τυπολόγιο Κινήσεων 1. Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Τύπος Μας δίνει Παρατηρήσεις Ορισμοί βασικών μεγεθών. Ορισμός Μετατόπισης

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

H ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

Σώματα σε επαφή και Απλή Αρμονική Ταλάντωση

( ) Παράδειγµα. Τροχαλία. + ΔE δυν. = E κιν. + E δυν

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραµµης οµαλής και επιταχυνόµενης κίνησης. Σκοπός του πειράµατος

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

ΦΥΣ Διαλ.13. Παράδειγμα Τάσεων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. (αποστολή µέχρι ευτέρα 1/4/ βδοµάδα)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Στροφορµή στερεού στην επίπεδη κίνηση. u r G. r f ι. r i. ω r. r P G. r G/P r. r r r r α α β = α β ( )

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34. Ιούλιος 2008 KYMATIKH. ιάρκεια: 210 λεπτά

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης

Φυσική Γ Λυκείου - Α Φάση

Αρχές Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας (Διαλέξεις 7&8)

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2015

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

Transcript:

Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν τα µοναδιαία διανύσµατα για το Σ 2 ). Να σηµειωθεί πως τα εξαρτώνται από το χρόνο. Το ίδιο διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. z Ζ P Σ 2 y Υ Σ 1 Χ x 1

Η δράση του τελεστή παραγώγισης του διανύσµατος στο σύστηµα Σ 1 είναι Από τη σχέση αντιλαµβανόµαστε πως ο ορισµός της γωνιακής ταχύτητας που συναντάται στα σχολικά εγχειρίδια δεν είναι πλήρης εάν θεωρηθεί απλά σαν ρυθµός µεταβολής κάποιας γωνίας. Η γωνιακή ταχύτητα ορίζεται από τη διαφορά των χρονικών τελεστών παραγώγισης ενός κοινού διανύσµατος (εδώ το ) σε δυο συστήµατα αναφοράς, όπου το ένα περιστρέφεται ως προς το άλλο. 2

Όπως προσδιορίστηκε η «ταχύτητα» ενός κινούµενου σωµατιδίου ως προς τους δυο παρατηρητές µπορεί να προσδιοριστεί και η «επιτάχυνση» Πολλές φορές τα κέντρα των δυο συστηµάτων δεν ταυτίζονται z Ζ Σ 2 P y Q Ο Υ Σ 1 Χ x 3

To διάνυσµα στο σύστηµα Σ 1 γράφεται ως Εν συντοµία (και στη βιβλιογραφία) η παραπάνω σχέση γράφεται ως 4

Εξίσωση κίνησης σωµατιδίου ενός παρατηρητή που είναι πάνω στην επιφάνεια της γης Ζ Z παράλληλος Q φ Y Ο φ θ X Υ Ισηµερινός X µεσηµβρινός Ζ Z Y Υ X X 5

Z Y X Θα αναλύσουµε τη γωνιακή ταχύτητα της γης στο Χ Υ Ζ. Από το παραπάνω σχήµα παρατηρούµε ότι Σύµφωνα µε όσα έχουµε δει, ο νόµος του Νεύτωνα που συνδέει τις παρατηρήσεις ενός αδρανειακού και µη παρατηρητή στην περίπτωση όπου τα δυο συστήµατα δεν έχουν κοινή αρχή, δίνεται από τη σχέση: 6

Εφόσον στο πρόβληµα που µελετάµε ο αδρανειακός παρατηρητής βρίσκεται στο Σ 1, θα µπορεί να γράψει τον 2 ο νόµο του Νεύτωνα µε τη γνωστή µας σχέση Κοντά στην επιφάνεια της γης το µέτρο της φυγόκεντρου δύναµης έχει µέγιστη τιµή (έχοντας θεωρήσει πως µελετάµε ένα σωµάτιο που βρίσκεται σε ύψος 100m) η οποία είναι προφανώς αµελητέα σε σχέση µε την επιτάχυνση της βαρύτητας και µπορεί να αγνοηθεί. Επίσης κοντά στην επιφάνεια της γης η βαρυτική επιτάχυνση αλλάζει είναι το ρ), οπότε προκύπτει η εξίσωση έχει πρακτικά σταθερό µέτρο (το µόνο που 7

Η επιτάχυνση λόγω της δύναµης Coriolis αναλύεται ως εξής Οπότε Εάν εξισώσουµε τους αντίστοιχους συντελεστές προκύπτουν οι 8

Το εκκρεµές του Foucault Ζ Z παράλληλος Q Y Ο φ θ X Υ Ισηµερινός X µεσηµβρινός X 9

Οι δυνάµεις που ασκούνται στη µάζα, παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήµα. Λεπτοµέρεια µηχανισµού στήριξης α z Τ y d x mg 10

Στη συνέχεια θα κάνουµε κάποιες υποθέσεις. Αρχικά θεωρούµε πως η εκτροπή του εκκρεµούς είναι πολύ µικρή οπότε µπορούµε να θεωρήσουµε πως η κίνηση του γίνεται πάνω στο επίπεδο Χ Υ. Αυτό µας οδηγεί να θεωρήσουµε πως κατά τον άξονα των Ζ δεν παρουσιάζεται κίνηση (άρα ). Η µικρή εκτροπή µας επιτρέπει να θεωρήσουµε πως το ύψος από την κατακόρυφο z είναι τόσο µικρό.. Αντικαθιστώντας την τιµή της τάσης του νήµατος στην x συνιστώσα Αντικαθιστώντας την τιµή της τάσης του νήµατος στην y συνιστώσα 11

Και επειδή έχουµε θεωρήσει πως δεν υπάρχει κίνηση κατά τον άξονα των Ζ Το µικρό πλάτος ταλάντωσης καθιστά σε συνδυασµό µε µικρή γωνιακή ταχύτητα αλλά και το µεγάλο µήκος του νήµατος που κατασκευάζεται ένα εκκρεµές Foucault καθιστούν αµελητέες τις ποσότητες και. Οπότε το σύστηµα των γραµµικών εξισώσεων που προκύπτει είναι Σχόλιο: Από τις παραπάνω διαφορικές παρατηρούµε την ύπαρξη δυο γωνιακών ταχυτήτων ω, Ω. Η µια σχετίζεται µε κίνηση του εκκρεµούς και άλλη µε την κίνηση της γης. 12

Η λύση αυτού του προβλήµατος υποδεικνύει την τροχιά της προβολής στο επίπεδο Χ Υ και προσδιορίζεται θέτοντας Η τελική λύση είναι της µορφής Εάν εκφράσουµε τις λύσεις σε ένα διάνυσµα στο επίπεδο Χ Υ, θα έχουµε Η περίοδος του εκκρεµούς εάν θεωρήσουµε ότι το µήκος του νήµατος είναι 10m, είναι ενώ η περίοδος της στροφής του επίπεδου ταλάντωσης είναι. Αυτό σηµαίνει ότι το διάνυσµα περιστρέφεται πολύ αργά. 13

Το ίχνος ενός εκκρεµούς Foucault Τι ισχύει στην Πάτρα. Το γεωγραφικό πλάτος της Πάτρας είναι 38 ο. Άρα ένα εκκρεµές Foucault θα χρειαστεί Που είναι 38 ώρες 58 λεπτά και 8 δευτερόλεπτα. 14

15