Κύκλος Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 9 / 1 2 / 2 0 1 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 48 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τον κύκλο Κύκλος 1110. Να βρεις το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων : 2 y 1, y 16, y 4 1111. Να εξετάσεις αν οι εξισώσεις παριστάνουν κύκλο : y y y y 4 2 0, 2 1 0 17 1 1 1 K 2,, r & K,, r 2 2 2 6 1112. Ν.δ.ο. παριστάνει κύκλο που διέρχεται από το (0,0) η εξίσωση : a ay b cy 0, a 0, b 0, c 0 b c K, 2a 2a 111. Να βρεις τον κύκλο που διέρχεται από αρχή αξόνων και έχει κέντρο Κ(1,-) 10 1114. Να βρεις κύκλο με διάμετρο ΑΒ, Α(,0), Β(,4) Κύκλος Μορφή κύκλου με κέντρο ακτίνα : Εφαπτομένη πάρε τη μορφή της ευθείας και χρησιμοποίησε την ιδιότητα ότι το κέντρο απέχει από εφαπτομένη απόσταση ρ δηλ. (το νου σου η εφαπτομένη είναι κάθετη σε ακτίνα στο σημείο επαφής και υπάρχει πιθανότητα η εφαπτόμενη να είναι κατακόρυφη της μορφής : ) 111. Να βρεις κύκλο με κέντρο Κ(,2) και να εφάπτεται σε ευθεία -4y+7=0 8 1116. Να βρεις το α ώστε να παριστάνει κύκλο η εξίσωση : 1 2 y 6 2a 1
1, 2 1117. Δίνεται εξίσωση y a ay a ( 1) 2 4 1 0. Σχετική θέση Κύκλου με ευθεία Να βρεις το α ώστε να παριστάνει κύκλο Πότε ο κύκλος διέρχεται από αρχή αξόνων και να βρεις το γ.τ. των κέντρων των κύκλων. 1 1 a,,, a, y 2 1 4 1118. Να βρεις το κύκλο που έχει κέντρο το Κ(1,2), αποκόπτει από την ευθεία 2+y-1=0 τμήμα μήκους 1 1 η : Εφάπτονται: 2 η : Τέμνονται : η : Κανένα κοινό σημείο : 209 2 1119. Να βρεις τη σχετική θέση του κύκλου 2 y 0, y 12 0, 4y 14 0 έ, ί, ά y y 2 4 20 0 με τις ευθείες : 2 y a 2 0, y 2.Ποιο 2 1120. Να βρεις το α ώστε η ευθεία να εφάπτεται του κύκλου : 2 το σημείο επαφής ; 1,9, 2, 1121. Να βρεις τις ευθείες που διέρχονται από το (0,0) και τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία, y y 4 6 2 0 12 88 14 1122. Ν.δ.ο. οι κύκλοι είναι συμμετρικοί ως προς τη διχοτόμο 1 ου, ου τεταρτημορίου : y y y y 2 1 0, 2 1 0 Κύκλος εφάπτεται 1 η : σε : 2 η : σε yy : η : σε,yy : 112. Να βρεις τα κοινά σημεία των κύκλων : 2 2 y y a a 4, 4, 0 2
1124. Ποιος ο περιγεγραμμένος κύκλος των σημείων Α(1,7),Β(8,6),Γ(7,1) 112. Να βρεις τον περιγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓ με εξισώσεις πλευρών 1 y 2 1, y 2, y 1 1126. Να βρεις τον κύκλο που διέρχεται από τα Α(4,0),Β(4,4),Γ(1/2,7/2) 1127. Να βρεις τον κύκλο που διέρχεται από Α(1,2) και τα κοινά σημεία των κύκλων : y y 1 1 2, 6 80 1128. Να βρεις κύκλο που διέρχεται από Α(-2,),Β(1,1) και έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία y=+2 1129. Να βρεις τον κύκλο ακτίνας 4 ο οποίος διέρχεται από σημεία τομής της y-=6 με τους άξονες 110. Να βρεις τον κύκλο ακτίνας 1 που εφάπτεται της -4y=2 σε σημείο με τεταγμένη 1 111. Να βρεις κύκλο που διέρχεται από Α(1,2) και εφάπτεται στους άξονες 1, 112. Να βρεις κύκλο που διέρχεται από Α(1,2) και εφάπτεται σε ευθείες : 4y 2 0, 4 y 0 11. Να βρεις κύκλο με κέντρο σε ευθεία 7-y-20=0 και εφάπτεται σε άξονες 2, 114. Να βρεις κύκλο που εφάπτεται σε άξονες και ευθεία -2y+6=0 11. Να βρεις κύκλο εγγεγραμμένο σε άξονες και ευθεία -2y+6=0 6 1 1 116. Να βρεις το συμμετρικό του κύκλου y 2 1 16 ως προς το σημείο Α(,) ' 12,9 117. Να βρεις το συμμετρικό του κύκλου y 2 1 16 ως προς την ευθεία +2y-=0 Σχετική θέση κύκλων Αρχικά υπολόγισε τη διάκεντρο δ (δ=απόσταση κέντρων) και σύγκρινέ τη με άθροισμα και διαφορά ακτίνων των κύκλων 1 η : εφάπτονται εξωτερικά : 2 η : εφάπτονται εσωτερικά : η : τέμνονται : 4 η : κανένα κοινό σημείο και ο ένας μέσα στον άλλο : η : κανένα κοινό σημείο και ο ένας εκτός του άλλου : 4 17 ', 118. Να βρεις κύκλο που διέρχεται από Α(4,2) και εφάπτεται του στο Α(,0)
4 119. Να βρεις κύκλο που διέρχεται από Α(4,2) και εφάπτεται του yy στο Α(,0) 1140. Να βρεις τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται σε άξονες και εσωτερικά σε κύκλο με Κ(2,-2),ρ=1 1141. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου : 1142. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου y y 4 6 1 0 στα σημεία του με τεταγμένη 2 y 1 a 2, 1, οι οποίες είναι // 2 114. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου y που είναι 2 y 7 0 2 1144. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου y 9 που άγονται από το Α(-6,0). Ποια η γωνία των εφαπτόμενων 114. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου y 1 9 οι οποίες είναι / / 2y1 0 11 1 1146. Να βρεις τις εφαπτόμενες του y 4, οι οποίες απέχουν από Α(,-) απόσταση 2 1147. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου 4 4y 8y 0, οι οποίες διέρχονται από (0,0). Ποια η γωνία των εφαπτόμενων 1148. Να βρεις τις εφαπτόμενες του κύκλου y 4 που σχηματίζουν 4 με την ευθεία 2-y+=0 1149. Ν.δ.ο. οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά : y y τους εσωτερική εφαπτομένη 8 6, 4, 4 9.Να βρεις την κοινή 110. Να βρεις τη σχετική θέση των κύκλων : y y y 6 0, 6 0. Ποιες οι κοινές εφαπτόμενες τους; 4
111. Ν.δ.ο. η ευθεία 4y-+10=0 είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένη των κύκλων : y y 4, 11 12 2 112. Να βρεις τη σχετική θέση των κύκλων καθώς και τις εξωτερικές εφαπτομένες τους : y y y y 2 4 4 0, 6 2 6 0 11. Να βρεις τους κύκλους με κέντρα στον και εφάπτεται στην ευθεία y= 114. Να βρεις τον κύκλο που εφάπτεται σε yy στο σημείο Α(0,-2) και αποκόπτει από την ευθεία +y+1=0 τμήμα 2 εκ. 11. Να βρεις για τις διάφορες τιμές του α τι παριστάνει η εξίσωση : y a ( a 1) y a 0 4 116. Δίνονται τα σημεία Α(-2,2), Β(2,4), να βρεις το γ.τ. των σημείων Μ ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. 117. ή Πως δημιουργώ την εξίσωση του κύκλου από δεδομένη εξίσωση : Κύκλος διέρχεται από το Α(1,2) : Πως βρίσκω το αντιδιαμετρικό σημείο κύκλου : Πως βρίσκω σχετική θέση κύκλου και σημείου : Πως βρίσκω σχετική θέση κύκλου και ευθείας : Πως βρίσκω κοινά σημεία κύκλου και ευθείας : Πως βρίσκω σχετική θέση κύκλου με κύκλο : Πως βρίσκω τα κοινά σημεία κύκλου με κύκλο : Πως βρίσκω τον περιγεγραμμένο κύκλο σε σημεία :
Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην ευθεία 2y : Κύκλος εφάπτεται στην ευθεία 2y : Να βρεις τον συμμετρικό κύκλο ως προς ευθεία 2y : Κύκλος εφάπτεται : Κύκλος εφάπτεται yy : Κύκλος εφάπτεται,yy : Κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά : Κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά : Κοινή χορδή τεμνόμενων κύκλων : Δευτεροβάθμια εξίσωση είναι πάντα κύκλος ; Εφαπτομένη κύκλου : Τρίγωνο ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο : Εφαπτόμενες κύκλου άγονται από σημείο εκτός κύκλου : 6
Κοινή εσωτερική εφαπτομένη : Κοινή εξωτερική εφαπτομένη : 7