ΤΕΣΤ ❶ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών α) Να δείξετε ότι οι ευθείες έχουν εξισώσεις : : y x και ( ): y x 5 β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην στο σημείο Α γ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην και διέρχεται από το σημείο τομής της με τον άξονα χ χ δ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ( ) ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΕΖ,που σχηματίζεται από την ευθεία και τους άξονες x x,y y στ) Να βρεθεί η απόσταση των παραλλήλων ευθειών, ΘΕΜΑ ο (60 μονάδες) Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές 5,6,, και, Να βρείτε: α) την εξίσωση της διαμέσου που φέρνουμε από την κορυφή Α προς την πλευρά ΒΓ (0 μονάδες) β) την εξίσωση της μεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ (0 μονάδες) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Λύσεις α) Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων,οπότε είναι της μορφής y x Το σημείο Α(,) ανήκει στην ευθεία,άρα οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν : Επομένως : y x Η ευθεία ( ) διέρχεται από τα σημεία, και 0,5 άρα έχει συντελεστή 5 διεύθυνσης και εξίσωση: 0 y 5 x y x 5 β) Η εξίσωση είναι κάθετη στην,οπότε Διέρχεται από το σημείο Α άρα έχει εξίσωση : y x y x y x 5 γ) Η ευθεία ( ) είναι παράλληλη στην άρα Αν στην εξίσωση της θέσουμε όπου y 0, έχουμε 5 5 0 x x x 5,οπότε το σημείο τομής της 5,0 και η εξίσωση της το είναι : y x 5 y x 5 με τον x x είναι δ) Το σημείο τομής των ευθειών,( ) προκύπτει από το σύστημα των εξισώσεων τους : 5 y x 5 x x 5 x 5 6x 0 5x 5 x 5 y x 5 y 55 0 Άρα το σημείο τομής τους είναι το 5, 0 και ε) Από την εξίσωση της ευθείας : για x 0 έχουμε y 5 και για y 0 έχουμε 0 x 5 x 5 x 5 Άρα τα σημεία τομής της ( ) με τους άξονες είναι τα E0,5 και Z5,0 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το 5 5 7,5 ( )
στ) Η απόσταση των δύο ευθειών είναι ίση με την απόσταση του σημείου Ζ από την : 5 0 5 0 d, dz, 0 0 y x 5 x y 5 0 ΘΕΜΑ ο α) Έστω Μ το μέσο της ΒΓ,τότε : xb x 5 yb y x M,yM 5 Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες M, και η διάμεσος ΑΜ εξίσωση : y ya 5 6 5 5 5 y x y x y x x x 5 5 A 5 5 y x y x β) Αν ε μεσοκάθετος της ΑΒ,τότε y ya 6 7 x xa 5 7 Το μέσο Κ της ΑΒ έχει συντεταγμένες: x A x B 5 7 y y A B 6 5 7 5 x K, yk, δηλαδή K, 5 7 : y x y 5 6x 6x y 56 0 7
ΤΕΣΤ ❷ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών α) Να δείξετε ότι οι ευθείες έχουν εξισώσεις : : y x και ( ): y x 5 β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην στο σημείο Α γ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην και διέρχεται από το σημείο τομής της με τον άξονα χ χ δ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ( ) ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΕΖ,που σχηματίζεται από την ευθεία και τους άξονες x x,y y στ) Να βρεθεί η απόσταση των παραλλήλων ευθειών, ΘΕΜΑ ο (60 μονάδες) Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές,,,6 και, 5 Να βρείτε: α) την εξίσωση της διαμέσου που φέρνουμε από την κορυφή Α προς την πλευρά ΒΓ (0 μονάδες) β) την εξίσωση της μεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ (0 μονάδες) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Λύσεις α) Η ευθεία Το σημείο διέρχεται από την αρχή των αξόνων,οπότε είναι της μορφής y x A, Επομένως : y x Η ευθεία ανήκει στην ευθεία διέρχεται από τα σημεία και 5 διεύθυνσης και εξίσωση: 0 y 5 x y x 5 A,,άρα οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν : 0, 5 άρα έχει συντελεστή β) Η εξίσωση είναι κάθετη στην,οπότε Διέρχεται από το σημείο Α άρα έχει εξίσωση : y x y x y x 5 γ) Η ευθεία ( ) είναι παράλληλη στην άρα Αν στην εξίσωση της θέσουμε όπου y 0, έχουμε 5 5 0 x x x 5,οπότε το σημείο τομής της 5,0 και η εξίσωση της το είναι : y x 5 y x 5 με τον x x είναι δ) Το σημείο τομής των ευθειών,( ) προκύπτει από το σύστημα των εξισώσεων τους : 5 y x 5 x x 5 x 5 6x 0 5x 5 x 5 και y x 5 y 5 5 0 Άρα το σημείο τομής τους είναι το Z5,0 ε) Από την εξίσωση της ευθείας ( ) : για x 0 έχουμε y 5 και για y 0 έχουμε 0 x 5 x 5 x 5 Άρα τα σημεία τομής της ( ) με τους άξονες είναι τα E0, 5 και Z5,0 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το 5 5 7,5
στ) Η απόσταση των δύο ευθειών είναι ίση με την απόσταση του σημείου Ζ από την : 5 0 5 0 d, dz, 0 0 y x 5 x y 5 0 ΘΕΜΑ ο α) Έστω Μ το μέσο της ΒΓ,τότε : xb x yb y 6 5 xm,ym Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες M, και η διάμεσος ΑΜ εξίσωση : 9 y y x x A y x y x y x A y 9 x y 9 x 9 y 9 x 9 β) Αν ε μεσοκάθετος της ΑΒ,τότε y ya 6 5 x xa 5 Το μέσο Κ της ΑΒ έχει συντεταγμένες: xa xb ya yb 6 xk, yk, δηλαδή K, : y x 5y 5 x x 5y 0 5