ΗΜΥ Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 11 13 Οκτωβρίου, 6 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Συστήµατα αρίθµησης υαδικό αριθµητικό σύστηµα Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστηµα και αντίστροφα υαδική αριθµητική 1
Συστήµατα αρίθµησης Υπάρχουν διάφορα συστήµατα αρίθµησης. Όλα τα συστήµατα έχουν µια βάση. Τα πιο κοινά συστήµατα είναι το δεκαδικό και αυτά που έχουν ως βάση δυνάµεις του δύο. Για κάθε σύστηµα υπάρχουν αριθµητικές πράξεις (π.χ. πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµός, διαίρεση). Μπορεί να γίνει µετατροπή από ένα σύστηµα στο άλλο (αλλαγή βάσης). Συστήµατα αρίθµησης εκαδικό σύστηµα Βάση:, Ψηφία:, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 υαδικό σύστηµα Βάση:, Ψηφία:, 1 Οκταδικό σύστηµα Βάση: 8, Ψηφία:, 1,, 3, 4, 5, 6, 7 εκαεξαδικό σύστηµα Βάση: 16, Ψηφία:, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
εκαδικό σύστηµα Βάση: Χρησιµοποιεί ψηφία:, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Για τον υπολογισµό της τιµής ενός αριθµού, πολλαπλασιάζουµε το κάθε ψηφίο µε τον αριθµό που αντιστοιχεί στη θέση που βρίσκεται το κάθε ψηφίο. : (35,36) = 3x 3 + x + 5x 1 + x + 3x -1 + 6x - Γενική µορφή αριθµητικών συστηµάτων Βάση: r Χρησιµοποιεί r ψηφία:,, r-1 : ( ) r = ( An 1 An... A1 A A 1 A... A m+ 1A m N ) r n 1 n 1 n 1 n 1 ( N) = A + A +... + A + A + 1 m+ 1 m 1 + +... + m+ 1 + m A A A A Most Significant Bit (MSB) Least Significant Bit (LSB) 3
υαδικό σύστηµα Βάση: Χρησιµοποιεί δύο ψηφία:, 1 Παραδείγµατα: (1,1) = 1x 3 + x + x 1 + 1x + 1x -1 = 8 + + + 1 +.5 = (9.5) (11,1) = 1x 5 + 1x 4 + x 3 + 1x + x 1 + 1x + x -1 + 1x - = 3 + 16 + + 4 + + 1 + +.5 = (53.5) Λόγοι χρήσης δυαδικού συστήµατος Υπάρχουν µόνο δύο επίπεδα ( και 1). -- Μπορούν να χρησιµοποιηθούν ηλεκτρονικά κυκλώµατα για να αναπαρασταθούν. Τα ηλεκτρονικά κυκλώµατα µπορούν να είναι σε µια από δύο καταστάσεις: Ανοικτό ή κλειστό (open or closed) Αληθές ή ψευδές (true or false) HIGH or LOW -- Είναι πιο εύκολη η αποθήκευση και επεξεργασία δεδοµένων σε ψηφιακή µορφή. 4
Αντιστοιχία επιπέδων Οι δύο δυαδικές τιµές ενός ψηφιακού σήµατος αναπαρίστανται από διαστήµατα τιµών τάσεως. HIGH (1) : Αν η τάση είναι µεγαλύτερη από ένα επίπεδο LOW () : Αν η τάση είναι µικρότερη από ένα επίπεδο Στα ψηφιακά κυκλώµατα, το HIGH αντιπροσωπεύεται από τάση +5 V, ενώ το LOW από τάση V. Επειδή όµως στα πραγµατικά κυκλώµατα δεν µπορείς ποτέ να είσαι απόλυτος/η στις τιµές τάσεως (π.χ. λόγω πτώσης τάσεως στο κύκλωµα), χρησιµοποιούνται τα ακόλουθα διαστήµατα τιµών τάσεως: Για κυκλώµατα CMOS: LOW: +1.5 V HIGH: +3.5 +5 V Για κυκλώµατα TTL: LOW: +.8 V HIGH: + +5 V Μετατροπή αριθµών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστηµα 1: (111,1) 7 = (11.5) 6 = 18 + 64 + + 16 + + + + 1+ +.5 5 4 3 = 1 + 1 + + 1 + + + 1 + 1 + + 1 1 1 : 1 11 9 8 7 6 (111) = 1 + 1 + + 1 + + + 1 5 4 3 1 + 1 + + 1 + 1 + + = 496 + 48 + + 51 + + + 64 + 3 + + 8 + 4 + + = (6764) 5
υνάµεις του δύο n 1 3 4 5 6 7 n 1 4 8 16 3 64 18 n 8 9 11 1 13 14 15 n 56 51 4 48 496 819 16 384 3 768 n 16 17 18 19 1 3 n 65 536 131 7 6 144 54 88 1 48 576 97 15 4 194 34 8 388 68 Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστηµα Μέθοδος 1 ιαδικασία (α) ιαίρεση του δεκαδικού αριθµού µε το δύο. (β) Καταγραφή του πηλίκου της διαίρεσης και του υπόλοιπου. (γ) ιαίρεση του πηλίκου µε το δύο. (δ) Επανάληψη των (β) και (γ) έως ότου το πηλίκο είναι. (ε) Σχηµατισµός του δυαδικού αριθµού καταγράφοντας τα υπόλοιπα από το τέλος προς την αρχή. ( 74) = (?) 74 = 37 και υπόλοιπο 37 = 18 18 = 9 και υπόλοιπο 9 = 4 4 = και υπόλοιπο = 1 και υπόλοιπο 1 = ( 74) = ( MSB LSB ) 6
Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστηµα Μέθοδος 1 354) = (?) ( 354 = 167 167 = 813 813 = 46 46 = 3 3 = 1 1 = 5 5 = 5 5 = 1 1 = 6 6 = 3 3 = 1 1 = και υπόλοιπο και υπόλοιπο και υπόλοιπο και υπόλοιπο και υπόλοιπο ( 354) = (111 ) Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστηµα Μέθοδος 1 Όταν ο αριθµός είναι µικρότερος από 1: (α) Πολλαπλασιασµός του αριθµού µε το δύο. (β) Καταγραφή του ακέραιου αριθµού ( ή 1) (γ) Πολλαπλασιασµός του κλασµατικού αριθµού µε το δύο. (δ) Επανάληψη των (β) και (γ) έως ότου το γινόµενο είναι 1. (ε) Σχηµατισµός του δυαδικού αριθµού καταγράφοντας τους ακεραίους αριθµούς σε κάθε στάδιο από την αρχή προς το τέλος. (.15) = (?) MSB.15 =.5 ακέραιος :.5 =.5.5 = 1. ακέραιος : ακέραιος : 1 (.15) = (.1 LSB ) Αν έχουµε ένα αριθµό µε ακέραιο και κλασµατικό µέρος, τότε κάνουµε την µετατροπή του αριθµού ξεχωριστά στα δύο µέρη. 7
(353.45) = (?) Ακέραιο µέρος 353 = 176 176 = 88 και υπόλοιπο 88 = 44 και υπόλοιπο 44 = και υπόλοιπο = 11 και υπόλοιπο 11 = 5 5 = = 1 και υπόλοιπο 1 = (353.45) = (11.1111) εκαδικό µέρος.45 =.9 ακέραιος:.9 = 1.8 ακέραιος:1.8 = 1.6 ακέραιος:1.6 = 1. ακέραιος:1. =.4 ακέραιος:.4 =.8 ακέραιος:.8 = 1.6 ακέραιος:1.6 = 1. ακέραιος:1 εν συγκλίνει! Σταµατούµε µέχρι εδώ. Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστηµα Μέθοδος ιαδικασία (α) Γράψε όλες τις δυνάµεις του που είναι ίσες ή µικρότερες από τον δεκαδικό αριθµό. (β) Μπορούµε να αφαιρέσουµε την µεγαλύτερη δύναµη του από τον αριθµό; Αν ναι, γράφουµε το αποτέλεσµα της αφαίρεσης και σηµειώνουµε 1 κάτω από τη δύναµη του δύο. Αν όχι σηµειώνουµε κάτω από τη δύναµη του δύο. (γ) Προχωρούµε στην επόµενη δύναµη του δύο και επαναλαµβάνουµε το (β) µε το αποτέλεσµα της αφαίρεσης έως ότου φτάσουµε στο. ( 7) = (?) 16 8 4 1 7-16 = 11 11-8 = 3 3 4 = 3 = 1 1-1 = 1 1 1 1 ( 7) = (111 ) 8
Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστηµα Μέθοδος 51 56 18 64 3 16 8 4 1 ( 618) = (?) 1 1 1 1 1 618-51 = 6 6-56 = 6-18 = 6-64 = 4 4-3 = - 16 = - 8 = - 4 = - = ( 618) = (1 ) (353) = (?) 353-48 = 5 5-4 = 181 181-51 = 181-56 = 181-18 = 53 53-64 = 53-3 = 1 1-16 = 5 5-8 = 5-4 = 1 1- = 1-1 = 48 4 51 56 18 64 3 16 8 4 1 1 1 1 1 1 1 1 (353) = (111) 9
υαδική αριθµητική Μπορούν να γίνουν αριθµητικές πράξεις όπως και στο δεκαδικό σύστηµα: Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασµός ιαίρεση υαδική αριθµητική: Πρόσθεση Κανόνες: + = + 1 = 1 1 + = 1 1 + 1 = (γράφουµε και µεταφέρουµε ένα στο επόµενο ψηφίο) 11 + 11
(β) (1.111) Ασκήσεις στην τάξη (1) Μετατρέψτε τους ακόλουθους δυαδικούς αριθµούς σε δεκαδικούς: 7 6 5 4 3 (α) () = 1 + + 1 + + 1 1 + + 1 + = 18 + + 3 + + 8 + + + = (17) 4 3 1 = 1 + + 1 + + 1 1 3 + 1 + 1 + 1 = 16 + + 4 + + 1+.5 +.5 +.15 = (1.875) Ασκήσεις στην τάξη () Μετατρέψτε τους ακόλουθους δεκαδικούς αριθµούς σε δυαδικούς : (α) 18 18 = 9 και υπόλοιπο 9 = 4 4 = και υπόλοιπο = 1 και υπόλοιπο 1 = (β) 3.15 3-18 = 4 4-64 = 4 4-3 = 8 8-16 = 8-8 = 18 64 3 16 8 4 1 1 1 1 1 (18) = ().5 =.5.5 = 1. (3.15) = (11.1).15 =.5 ακέραιος : ακέραιος : ακέραιος : 1 11
Ασκήσεις στην τάξη (3) Κάνετε τις ακόλουθες πράξεις: 11 1111 1 + 1 + 111 111 11 11 1111 + 1 1