«Στάσιμ Κύμα» (Μρφές της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς) Η μεέτη υ ακυθεί, εριέχει χρήσιμες ηρφρίες για τις μρφές της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς και αευθύνεται στυς μαθητές της Γ Λυκείυ θετικύ ρσανατισμύ. Για τ «στάσιμ κύμα» υ ανατύσσεται κατά μήκς γραμμικύ εαστικύ μέσυ, η εξίσωση υ συνήθως αρυσιάζεται είναι της μρφής = Aσυν ημ t ή = Aσυν ημωt (1) Όυ Α: τ άτς των κυμάτων αό όυ ρέκυψε τ στάσιμ, : η συντεταγμένη τυ σημείυ εί τυ γραμμικύ μέσυ, : τ μήκς κύματς, : η ερίδς τυ κύματς. Η ειγή στη μρφή της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς, ρέει να γίνεται αφύ αρχικά είναι γνωστές ρισμένες ηρφρίες. Έτσι για την αραάνω μρφή είναι γνωστά τα εξής: άτς ταάντωσης τυ σημείυ Σ() είναι αρχή = 0 έχει Α = συν0 ή Α = δηαδή η αρχή είναι κιία. A =A συν αό όυ φαίνεται ότι η Αό την εξίσωση αμάκρυνσης (1) για = 0 γίνεται = Aημωt () και η εξίσωση ταχύτητας ταάντωσης για τ ίδι σημεί ρκύτει υ = ωασυνωt (3), ότε την t = 0 αό την () είναι = 0 και αό την (3) έχυμε υ = υ ma= ωα > 0. Συμέρασμα Η μρφή = Aσυν ημ t της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς σημαίνει ότι η αρχή = 0 είναι κιία, δηαδή έχει Α =, η ία τη στιγμή t = 0 διέρχεται αό τη θέση ισρρίας της με θετική ταχύτητα δηαδή υ = υ ma> 0. Για αράδειγμα στ σχήμα φαίνεται τ στιγμιότυ με τα διανύσματα των ταχυτήτων την t o = 0, ενός τέτιυ στάσιμυ με εξίσωση = Aσυν ημ t υ έχει ανατυχθεί κατά μήκς μιας χρδής, με την αρχή της εεύθερη, άρα κιία, ενώ τ ά άκρ της Δ 3 να είναι ακόνητ άρα δεσμός. Κ 1 Δ Δ 3 Κ
Γενικά η εξίσωση τυ στάσιμυ κύματς μρεί να άρει και άες μρφές αρκεί ι μεταβητές και t να μη βρίσκνται στν ίδι τριγωνμετρικό αριθμό. Η γενική μρφή της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς μρεί να γραφεί ως εξής: = Aσυν +θ ημ t+φ όυ η θ καθρίζεται αό τις αρχικές χωρικές συνθήκες, δηαδή αό την A = Aσυν +θ αν δθεί τ Α στ =0 ότε μρύμε να ρσδιρίσυμε την θ. η φ καθρίζεται αό τις αρχικές χρνικές συνθήκες δηαδή αν δίνεται η θέση τυ = 0 τη στιγμή t = 0 και τότε αό την = Α ημ(ωt + φ o) ρκύτει η φ. για αράδειγμα η μρφή = Aσυν ημ t έχει θ = 0 διότι στ = 0 είναι A = A (κιία) και φ = 0 διότι την t = 0 τ = 0 έχει = 0 και υ ma> 0. Εφαρμγή 1 η Στ σχήμα φαίνεται τ στιγμιότυ τη στιγμή t = 0 στάσιμυ κύματς, υ έχει δημιυργηθεί σε χρδή μήκυς L όυ όα τα μόρια τυ εαστικύ t=0 0 - μέσυ έχυν τη μέγιστη αμάκρυνση αό τη θέση ισρρίας τυς. α. Να γράψετε την εξίσωση τυ στάσιμυ κύματς κατά μήκς της χρδής. β. Να σχεδιάσετε τ στιγμιότυ τυ στάσιμυ στη χρδή τη στιγμή t 1 = L Δίννται :, Α,. Λύση: α. Αρχικά θα βρεθεί η αρχική φάση θ με τις αρχικές χωρικές συνθήκες. Στ στιγμιότυ υ δόθηκε φαίνεται ότι στ = 0 είναι Α =, έτσι με τη γενική μρφή τυ στάσιμυ κύματς = Aσυν + θημ t + φ αό όυ τ A = Aσυν + θ θ = 0 ότε για τ σημεί Σ() είναι, με = 0 είναι Α = συνθ ότε = συνθ ή συνθ = 1 ή Α = συν.
Η αρχική φάση φ ρσδιρίζεται με τις αρχικές χρνικές συνθήκες. Για τ = 0, η αμάκρυνση δίνεται = Aημ(ω.t + φ ), η ία τη στιγμή t o=0 δόθηκε στ σχήμα = +A άρα + = ημφ αό όυ ρκύτει ημφ = 1 ή γενική εξίσωση γίνεται Συμέρασμα Η μρφή φ = συν ημ ωt + ή = συν.συν t ότε η = Aσυν συν t της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς σημαίνει ότι η αρχή = 0 είναι κιία, δηαδή έχει Α =, η ία τη στιγμή t = 0 βρίσκεται στ = +A με (υ = 0) άρα τότε είναι θ =0 και φ. β. στιγμιότυ τη στιγμή t 1 = τα σημεία της χρδής θα βρεθύν στις συμμετρικές θέσεις ως ρς τν άξνα ( O), είτε με την εφαρμγή της εξίσωσης ρκύτει είτε με τ συγισμό ότι μετά αό χρόν 0 - t 1= L δηαδή = συν.συν. ή = - συν, τεικά έχυμε τ στιγμιότυ της χρδής όως φαίνεται στ σχήμα. Εφαρμγή η Σε μια εαστική χρδή μήκυς L υ έχει ακόνητα άκρα, έχει δημιυργηθεί στάσιμ κύμα. Αν θεωρηθεί άξνας κατά μήκς της χρδής, με αρχή στ ένα της άκρ άρα δεσμός, να γράψετε την εξίσωση τυ στάσιμυ κύματς στις εριτώσεις όυ τη στιγμή t o= 0 η ρώτη κιία μετά την αρχή να βρίσκεται: α. στην αρχή των αμακρύνσεών της με υ ma> 0 β. στη μέγιστη θετική αμάκρυνσής της (υ = 0) Δίννται :, Α,. Λύση: α. Αό τη γενική μρφή τυ στάσιμυ κύματς = Aσυν + θημ t + φ η αρχική φάση θ ρκύτει αό τις αρχικές χωρικές συνθήκες. Με τ A = Aσυν + θ, στ ρόβημά μας στ = 0 ως ακόνητ άκρ είναι δεσμός
άρα Α = 0 ή συνθ = 0 ότε θ και εξίσωση αίρνει μρφή = - Aημ ημ(ωt + φ ) (1) Α = συν + ή Α = - ημ, η δε Η αρχική φάση φ ρσδιρίζεται με τις αρχικές χρνικές συνθήκες της ρώτης μετά την αρχή κιίας Κ 1 για την ία είναι = 4 έτσι για την Κ 1 4 η εξίσωση αμάκρυνσης είναι = - Aημ. ημ ωt + φ ή = - A ημ(ωt + φ ) και με την εξίσωση ταχύτητας ταάντωσης υ = -ωα συν(ωt + φ ) ή υ = -υ ma συν(ωt + φ ), αό τις ίες με t = 0 είναι = - A ημφ () και υ = - υ maσυνφ (3). α. Αν η κιία Κ 1 τη στιγμή t = 0 βρίσκεται στην αρχή των αμακρύνσεων είναι = 0 με υ = υ ma> 0 τότε αό την (3) έχυμε υ ma = - υ maσυνφ ή συνφ = - 1 έτσι φ = rad και αό την () είναι = 0. Έτσι η εξίσωση = - Aημ ημ(ωt + φ ) γίνεται τεικά = Aημ ημ t = - Aημ ημ(ωt + ) Για αράδειγμα στ σχήμα φαίνεται τ στιγμιότυ με τα διανύσματα των ταχυτήτων την t o = 0, ενός τέτιυ στάσιμυ με εξίσωση = Aημ ημ t υ έχει ανατυχθεί κατά μήκς μιας χρδής, με ακόνητα άκρα άρα δεσμί. β. Αν η κιία Κ 1 τη στιγμή t = 0 βρίσκεται στ = +A τότε αό την () έχυμε 3 A = - Aημφ ή ημφ = -1 άρα φ /4 Κ 1 και Κ Δ Δ 3. Έτσι η εξίσωση = - Aημ ημ(ωt + φ ) Κ3 γίνεται 3 = - Aημ ημωt + ή = Aημ συν t Για αράδειγμα στ σχήμα φαίνεται τ στιγμιότυ τη t o = 0, ενός τέτιυ στάσιμυ με εξίσωση = Aημ συν t υ έχει ανατυχθεί κατά μήκς μιας χρδής, με ακόνητα άκρα άρα δεσμί. - /4 Κ 1 Κ Κ 3 Δ 3 Δ
Ανακεφααίωση Η γενική μρφή της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς είναι = Aσυν +θ ημ t+φ θ : αό τις αρχικές χωρικές συνθήκες, φ αό τις αρχικές χρνικές συνθήκες. Χαρακτηριστικές μρφές της εξίσωσης Α. Όταν η αρχή = 0 είναι κιία. α. Συνήθης μρφή = Aσυν ημ t η αρχή = 0 είναι κιία και την t = 0 διέρχεται αό τη θέση ισρρίας με υ = υ ma> 0. ότε είναι θ = 0 και φ =0. β. Μρφή = Aσυν συν t η αρχή = 0 είναι κιία και την t = 0 βρίσκεται στ Β. Όταν η αρχή = 0 είναι δεσμός. α. Μρφή = +A, όυ βέβαια είναι υ = 0. ότε είναι θ = 0 και φ. = Aημ ημ t η αρχή = 0 είναι δεσμός και την t = 0 η ρώτη κιία μετά την αρχή, βρίσκεται στην αρχή των αμακρύνσεων με υ = υ ma> 0 ότε θ και φ = rad. β. Μρφή = Aημ συν t η αρχή = 0 είναι δεσμός και την t = 0 η ρώτη κιία μετά την αρχή, βρίσκεται στη μέγιστη θετική αμάκρυνση = +A, όυ βέβαια είναι υ = 0. 3 ότε θ και φ Συμέρασμα Πρέει να ρσέχυμε την ειγή της εξίσωσης τυ στάσιμυ κύματς εκτός αν δίνεται αό την εκφώνηση διότι αυτή εξαρτάται αό τις αρχικές χωρικές και χρνικές συνθήκες, ι ίες βέβαια θα αρέχνται αό την εκφώνηση τυ θέματς. Κεφαάς Ευθύμις Φυσικός συγγραφέας. mail: barkefala@ahoo.gr