ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16)

-2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου

-3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ο - Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ (3) 1.GI_V_MATHP_4_18606 Δίνονται τα διανύσματα OA 4, 2 και OB 1, 2, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα OA και OB είναι κάθετα. (Μονάδες 4) β) Αν Γ (α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: AB 3, 4 AΓ α4,β 2 i) να αποδείξετε ότι: ii) να αποδείξετε ότι: 4α + 3β = 10 (Μονάδες 6) είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημεί- iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και ου Γ. και AB 2.GI_V_MATHP_4_18616 Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύουν: 0 α 2, β 1, α, κ β60 και γ.αβ, όπου κr 2 α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α.β β) Αν ισχύει β.γ κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ = 2 (Μονάδες 3) (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 α 2γ και β γ είναι κάθετα. 3.GI_V_MATHP_4_18618 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β α γ β) Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν: α βγ0 και. 3 4 7 i) Να αποδείξετε ότι: α β και β γ ii) Να αποδείξετε ότι: 7α 3γ 0

-4- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 Ο - Η Ε Υ Θ Ε Ι Α Σ Τ Ο Ε Π Ι Π Ε Δ Ο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ (1) 1.GI_V_MATHP_4_20147 Δίνονται τα σημεία Α(λ + 1,λ 1), Β(2,2) και Γ(4,6), λr. α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ,να βρείτε την τιμή του λ. γ) Για λ = 4,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος.

-5- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ (3) 1.GI_V_MATHP_4_18612 Δίνεται η εξίσωση: x 2 + 2xy + y 2 6x 6y + 8 = 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε 1 και ε 2 οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. β) Αν ε 1 : x + y 2 = 0 και ε 2 : x + y 4 = 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε 1 και ε 2 γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε 1 με τεταγμένη το 2 και Β σημείο της ευθείας ε 2 με τετμημένη το 1, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες 2) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. 2.GI_V_MATHP_4_18613 Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 2xy 3λx + 3λy + 2λ 2 = 0, με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με 1. (Μονάδες 12) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ε- ρωτήματος α) είναι ίσο με 2, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 13) 3.GI_V_MATHP_4_18617 Δίνονται τα διανύσματα α και β με μέτρα 2, 6 αντίστοιχα και φ[0,π] η μεταξύ τους γωνία. αβ 12 x αβ 12 y 5 0 (1) Επίσης δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε φ[0,π]. (Μονάδες 3) β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y, να αποδείξετε ότι β 3α γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x x, να αποδείξετε ότι β 3α δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι β α

-6- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ (9) 1.GI_V_MATHP_4_18609 AB λ,λ 1, AΓ 3λ,λ 1 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι της πλευράς ΒΓ α) Να αποδείξετε ότι AΜ 2λ, λ, όπου λ 0 και λ 2, και Μ είναι το μέσο β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα 2 α, λ λ γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 2.GI_V_MATHP_4_18610 Δίνονται οι ευθείες ε 1 :2x y 10λ + 16 = 0 και ε 2 :10x + y 2λ 4 = 0, όπου λr. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε 1 και ε 2 τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε : 8x + y 6 = 0 γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB 9 ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι. 4 (Μονάδες 6) 3.GI_V_MATHP_4_18611 Δίνεται η ευθεία ε : x 4y 7 = 0 και τα σημεία Α(2,4) και B(2,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x 2y 5 = 0 και x 2y + 25 = 0

-7- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου 4.GI_V_MATHP_4_18614 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : 3x + y + 3 = 0 και ε 2 : x + 2y 4 = 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε 1 και ε 2 β) Αν η ευθεία ε 1 τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β και η ευθεία ε 2 τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ ) = (ΑΒΓ ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. 5.GI_V_MATHP_4_18615 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε :y = x, με A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ) και x 1 < x 2 Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες 13) β) να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = 2(ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y 2 = 0 και x y + 6 = 0 6.GI_V_MATHP_4_18620 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (2λ 1)x + y 5 = 0, ε 2 : (λ 2 + 3)x y 15 = 0 με λr και το σημείο Α(2,1). α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λr οι ευθείες τέμνονται. β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του λr. γ) Έστω λ = 2 και Β, Γ τα σημεία που οι ε 1 και ε 2 τέμνουν τον άξονα y y. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 7.GI_V_MATHP_4_18621 Δίνονται οι ευθείες ε :2κx (1 + κ)y + 1 3κ = 0 και ζ : (1 + 3κ)x + (κ 1)y + 2 6κ = 0, όπου κr α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ ). (Μονάδες 15)

-8- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου 8.GI_V_MATHP_4_18622 3 μ 4 Δίνονται τα σημεία 1,, Β2, 1 και μ,, όπου μr 2 2 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΒΓ β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μr το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μβγ ΑΒ (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ) =1, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) 9.GI_V_MATHP_4_18623 Δίνονται τα σημεία Α(3,4), B(5,7) και Γ (2μ + 1, 3 μ 2), ό που μr α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; Copyright Φεργαδιώτης Αθανάσιος