12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής στο σύνολο Α Η παράσταση μέλος της ανίσωσης f λέγεται πρώτο μέλος και παράσταση Η μεταβλητή λέγεται άγνωστος της ανίσωσης g λέγεται δεύτερο Το σύνολο Α λέγεται σύνολο ( ή πεδίο ορισμού ) αναφοράς της ανίσωσης Ορισμός Μερική λύση μιας ανίσωσης λέγεται κάθε τιμή της μεταβλητής η οποία την επαληθεύει μιας ανίσωσης λέγεται το σύνολο που περιέχει όλες τις μερικές λύσεις της ανίσωσης Το να λύσουμε μία ανίσωση σημαίνει να βρούμε την λύση της Είναι φανερό ότι κάθε λύση πρέπει να ανήκει στο σύνολο ορισμού της ανίσωσης Το σύνολο των ριζών μιας ανίσωσης μπορεί να είναι πεπερασμένο, άπειρο, ή το κενό σύνολο ( όταν η ανίσωση δεν έχει καμία ρίζα ) Παραδείγματα Η ανίσωση έχει μόνο μία ρίζα την Η ανίσωση έχει άπειρο πλήθος ριζών και είναι κάθε, Η ανίσωση δεν έχει καμία ρίζα, αφού για κάθε Ορισμός Δύο ανισώσεις λέγονται ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις Αν και οι δύο ανισώσεις δεν έχουν λύσεις, τότε λέγονται επίσης ισοδύναμες f g p q είναι ισοδύναμες, τότε γράφουμε: Αν οι ανισώσεις και Σχόλιο f g f g Ισχύει: f g p q ή f g Για να λύσουμε μία ανίσωση προσπαθούμε με διάφορες μετατροπές να δημιουργήσουμε μια απλούστερη ισοδύναμη ανίσωση Επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ποιες είναι οι μετατροπές οι οποίες παράγουν ισοδύναμες ανισώσεις Αποδεικνύονται εύκολα τα επόμενα θεωρήματα: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 98

Θεώρημα Η ανίσωση f g είναι ισοδύναμη με την f φ g φ όπου φ, είναι ένας πραγματικός αριθμός ή μια παράσταση του το ίδιο σύνολο αναφοράς Α με την ανίσωση f g Για παράδειγμα ισχύει: Πόρισμα η οποία έχει Αν σε μια ανίσωση μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του παίρνουμε ισοδύναμη ανίσωση, δηλαδή f() φ() g() f() g() φ() Θεώρημα Η ανίσωση f fφ g φ όπου ίδιο σύνολο αναφοράς Α με την ανίσωση f A Πόρισμα g είναι ισοδύναμη με την ανίσωση φ είναι μια παράσταση του η οποία έχει το g και φ για κάθε Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό, τότε παίρνουμε ισοδύναμη ανισότητα με την ίδια φορά Θεώρημα Η ανίσωση f g είναι ισοδύναμη με την ανίσωση fφ g φ όπου ίδιο σύνολο αναφοράς Α με την ανίσωση f g και A Πόρισμα φ είναι μια παράσταση του η οποία έχει το φ για κάθε Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, τότε παίρνουμε ισοδύναμη ανισότητα με αντίθετη φορά Πόρισμα 4 Η ανίσωση f g είναι ισοδύναμη με την ανίσωση ν ν f g * ν και f, g για κάθε A της ανίσωσης f g αν, όπου Α είναι το σύνολο αναφοράς ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 99

Σχόλιο Αν ο ν είναι περιττός τότε η συνθήκη f (), g() προηγούμενο πόρισμα μπορεί να παραληφθεί για κάθε A στο I ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ανίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο λέγεται μία ανίσωση που περιέχει τον άγνωστο (μεταβλητή) αυτό στην πρώτη δύναμη και δεν περιέχει άλλους αγνώστους Πολλές ανισώσεις με έναν άγνωστο μετά από πράξεις παίρνουν μορφή α β ή, όπου α, β είναι γνωστοί αριθμοί α β Οι ανισώσεις: α+β> και α+β< Έχουμε α β α β Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν α, τότε: α β ( Η λύση της ανίσωσης παρίσταται γεωμετρικά με το διπλανό σχήμα ) Αν α, τότε: α β ( Η λύση της ανίσωσης παρίσταται γεωμετρικά με το διπλανό σχήμα ) β α β α Αν α, τότε η ανίσωση γίνεται β, οπότε Αληθεύει για κάθε όταν β β και Είναι αδύνατη όταν β β Όμοια λύνεται και η ανίσωση α β Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση: 4 8 Έχουμε 4 8 4 4 8 4 8 4 5 Σχόλιο Η ανίσωση α β ή α β, όπου α λέγεται γραμμική εξίσωση Ο αριθμός α λέγεται συντελεστής του αγνώστου και αριθμός β λέγεται σταθερός όρος της ανίσωσης ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Λέγονται οι ανισώσεις οι οποίες εκτός από τον άγνωστο περιέχουν ένα ακόμη γράμμα συνήθως α ή β ή κ ή λ, το οποίο παριστάνει οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και λέγεται παράμετρος Για να λύσουμε μία παραμετρική ανίσωση για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου την μετασχηματίζουμε στη μορφή α β ή α β και διακρίνουμε περιπτώσεις όπως παραπάνω Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση: α α α α α α α α α Αν α α, η ανίσωση γίνεται: Αν α α, τότε έχουμε: α α α αα α α και είναι αδύνατη Αν α α, τότε έχουμε: α α α α α α α II ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Λέγονται οι ανισώσεις που περιέχουν τον άγνωστο στην απόλυτη τιμή μιας παράστασης Για την λύση των ανισώσεων με απόλυτα είναι χρήσιμες οι παρακάτω ιδιότητες : Αν θ τότε ισχύει : θ θ θ Αν θ τότε ισχύει : θ θ θ Αν θ τότε ισχύει : θ θ ή θ Αν θ τότε ισχύει : θ θ ή θ Σχόλιο Αν θ τότε οι ανισώσεις οι ανισώσεις θ και θ είναι αδύνατη θ και θ έχουν λύση κάθε Η εξίσωση έχει λύση την ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

Παραδείγματα Να λυθεί η ανίσωση: Έχουμε 9 9,9 Να λυθεί η ανίσωση: 5 Έχουμε 5 5 ή 5 4 ή 4,, Να λυθεί η ανίσωση: Έχουμε 4 ή 6 είναι αληθής, οπότε η Για κάθε η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την ανίσωση: 6 5 8 5,8 Ο γενικός τρόπος επίλυσης των ανισώσεων με απόλυτα είναι η απαλοιφή των απολύτων διακρίνοντας περιπτώσεις και η λύση των ανισώσεων που προκύπτουν Πρέπει να γνωρίζουμε τα πρόσημα των παραστάσεων εντός των απολύτων Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: 7 5 Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν, 7 ή ανίσωση γίνεται: 7 5 7 5, 7 Επομένως Αν 7, η ανίσωση γίνεται: 7 5 7 5 9 5 αληθής Επομένως 7, ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

Αν, ή εξίσωση γίνεται: 7 5 7 5 5 5 5 Επομένως,5 Τελικά οι λύσεις της ανίσωσης είναι:, 77,,5, δηλαδή,5 III ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΣΕΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ( ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ) Συναληθεύουσες ανισώσεις ή σύστημα ανισώσεων με έναν άγνωστο ονομάζουμε δύο ή περισσότερες ανισώσεις με έναν άγνωστο, όταν πρέπει να βρούμε τις τιμές του αγνώστου οι οποίες επαληθεύουν συγχρόνως όλες τις ανισώσεις Είναι φανερό ότι η λύση ενός συστήματος ανισοτήτων είναι η τομή των λύσεων των ανισοτήτων που περιέχει Επομένως για να λύσουμε ένα σύστημα ανισοτήτων, λύνουμε ξεχωριστά κάθε ανίσωση που περιέχει και παίρνουμε την τομή των λύσεων αυτών των ανισοτήτων Παράδειγμα 7 5 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4 8 4 4 Λύνουμε την πρώτη ανίσωση: 7 5 6 7 4, 4 8 4 4 4 Λύνουμε την δεύτερη ανίσωση: 4 4 8 4 4 5 7 4 7 7 5 7, 5 5 Άρα οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι 7, 5 4 Παρατήρηση Το σύστημα ανισοτήτων f () g() h() f () γράφεται συνήθως h() f () g() ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η ανίσωση: 4 5 5 5 5 8 5 Να λυθεί η ανίσωση: Να λυθεί η ανίσωση: 5 4 Να λυθεί η ανίσωση: 5 Να λυθεί η ανίσωση: 7 7 5 5 7 6 5 6 Να λυθεί η ανίσωση:, α α 4α Ανισώσεις με απόλυτα 7 Να λυθούν οι ανισώσεις : 9 (iii) 7 4 (iv) 4 8 Να λυθούν οι ανισώσεις : 5 8 (iii) 4 9 Να λυθεί η ανίσωση : 7 Συναληθεύουσες ανισώσεις 4 Να βρεθεί που συναληθεύουν οι ανισώσεις : 7 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 4

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ανισώσεων α βαθμού Να λύσετε τις ανισώσεις 5 6 75 Να λύσετε τις ανισώσεις 8 6 5 4 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 α α 6 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 4 5 Να λύσετε τις ανισώσεις 7 5 9 8 6 4 6 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 4 5 (iii) 6 9 (iv) 5 4 5 7 Να βρείτε το μήκος του διαστήματος των λύσεων της ανίσωσης: 5 8 Για ποιες τιμές του λ οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες ετερόσημες: 7 κ 6 5κ 5 (iii) 5 κ 6 9 Για ποιες τιμές του α η εξίσωση 7 6 πραγματικές άνισες α,, Να λύσετε την εξίσωση α α α έχει ρίζες Αν είναι η μεγαλύτερη 9 α α ρίζα της εξίσωσης, να βρείτε τον α, ώστε να ισχύει: α α 4 Παραμετρικές ανισώσεις Για ποιες τιμές του α η εξίσωση α έχει μια ρίζα αρνητική ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

Να λύσετε την ανίσωση: α 4 α Να λύσετε και να διερευνήσετε τις παρακάτω ανισώσεις λ λ α α 6 4 Να λύσετε και να διερευνήσετε τις παρακάτω ανισώσεις α 8 4 5 κ κ κ κ Ανισώσεις με απόλυτα 5 Να λύσετε τις ανισώσεις: (iii) 5 (iv) 4 6 Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 7 6 (iii) 4 7 (iv) 5 7 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 (iii) 4 (iv) 54 8 Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 4 (iii) 8 (iv) 5 5 9 Να λύσετε τις ανισώσεις: (iii) Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 5 4 5 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 6 6 4 6 Να λύσετε τις ανισώσεις: 7 4 5 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 Ποιας από τις παρακάτω ανισότητες η λύση παριστάνεται από το σχήμα: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

Α Β Γ 4 Δ 4 Ε Συστήματα ανισώσεων (συναληθεύουσες ανισώσεις) 5 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: 7 8 5 9 6 5 8 6 Να λύσετε το σύστημα: 9 4 5 9 5 7 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: 8 4 4 7 5 4 8 4 8 Να λύσετε το σύστημα: 7 6 4 7 5 7 7 4 9 Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις των συστημάτων: 9 7 5 4 5 5 4 8 4 88 5 7 4 Να λύσετε τα συστήματα ανισώσεων : 5 5 8 Να βρείτε το άθροισμα όλων των ακεραίων που επαληθεύουν τις ανισώσεις 5 7 Δίνεται η παράσταση: A ψ ψ 4ψ Για ποιες τιμές του ψ η παράσταση Α είναι ίση με μηδέν ανεξάρτητα από τις τιμές του Αν ψ, ψ και Α, να απλοποιήσετε το κλάσμα: ψ 9 Κ, (iii) Αν ψ να βρείτε την τιμή της παράστασης A (iv) Αν ψ 4 να λύσετε την ανίσωση: Α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ - Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυμο λέγεται ένα πολυώνυμο της μορφής : f α β γ, όπου α, β, γ με α Διακρίνουσα και ρίζες του τριωνύμου f α β γ λέγεται η διακρίνουσα και οι ρίζες της εξίσωσης α α β γ Επομένως το τριώνυμο Δ β 4αγ, οπότε f α β γ, έχει διακρίνουσα Αν Δ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο: β Δ, α Αν Δ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες που δίνονται από τον τύπο: β, α Αν Δ το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες I ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Θεώρημα Θεωρούμε το τριώνυμο f α β γ, α Αν Δ, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες, και γράφεται στη μορφή: f α Αν Δ, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες μορφή: fα ρ Αν Δ, το τριώνυμο γράφεται στη μορφή: β Δ f α α 4α Απόδειξη ρ και γράφεται στη Αν Δ, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες, β και ισχύουν, α γ, επομένως α β γ f α β γ α α α α α α α Αν Δ, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες f ( ) α β γ α ρ ρ α ρ ρ και από την έχουμε ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

Αν Δ, έχουμε β γ β β β γ f α β γ α α α α α 4α 4α α β β γ β β 4α β Δ α α α α 4α α α 4α α 4α β Δ α α 4α, αφού Δ Παρατηρήσεις Από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι το τριώνυμο f α β γ, α μπορεί να πάρει την μορφή: β Δ f α, οπότε α 4α Για α, τότε το τριώνυμο παίρνει ελάχιστη τιμή Για α, τότε το τριώνυμο παίρνει μέγιστη τιμή Δ 4α Δ 4α, όταν, όταν β α β α Το προηγούμενο Θεώρημα χρησιμεύει για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο Είναι φανερό ότι αν το τριώνυμο f α β γ, α έχει διακρίνουσα αρνητική δεν παραγοντοποιείται Παράδειγμα Να γίνουν γινόμενα παραγόντων, όταν αυτό είναι δυνατό, τα τριώνυμα f 4 6 4 9 f (iii) f 4, Το τριώνυμο f 4 6 4 έχει Δ 6 64 και ρίζες Επομένως f 4 6 4 4 9 6 Το τριώνυμο f έχει Δ 4 και ρίζες 9 Επομένως f ( ) (iii) Το τριώνυμο f 4 έχει Δ 6 4 8 οπότε δεν παραγοντοποιείται ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

II ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Θεώρημα Το τριώνυμο f α β γ, α γίνεται: Ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ και για τις τιμές του που βρίσκονται μεταξύ των ριζών Μηδέν, όταν η τιμή του είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου Ομόσημο του α, σε κάθε άλλη περίπτωση Απόδειξη Διακρίνουμε περιπτώσεις: Έστω Δ, τότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες γράφεται f α f f Προφανώς τότε Αν και τριώνυμο είναι ομόσημο του α Αν τότε και τριώνυμο είναι ομόσημο του α τότε και Αν τριώνυμο είναι ετερόσημο του α, με, οπότε και Άρα το, οπότε Άρα το, οπότε Έστω Δ, τότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες fα ρ Άρα το ρ και γράφεται Προφανώς Ρ(ρ) και για κάθε ρ το τριώνυμο είναι ομόσημο του α (iii) Έστω Δ, τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες και γράφεται β Δ f α α 4α Επειδή β Δ, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε α 4α Με την μορφή πινάκων έχουμε Αν Δ και, οι ρίζες του τριωνύμου τότε: Ομόσημο του α Ετερόσημο του α Ομόσημο του α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

Αν Δ και ρ η διπλή ρίζα του τριωνύμου τότε: Ομόσημο του α Ομόσημο του α Αν Δ τότε: Ο μ ό σ η μ ο τ ο υ α Παραδείγματα Για ποιες τιμές του Θετικές Το τριώνυμο η συνάρτηση f παίρνει τιμές Αρνητικές έχει διακρίνουσα 5, Από τα προηγούμενα κατασκευάζουμε τον πίνακα: Δ 4 4 5 και ρίζες Άρα Η συνάρτηση f παίρνει θετικές τιμές όταν,, Η συνάρτηση f παίρνει αρνητικές τιμές όταν, ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

III Β ΒΑΘΜΟΥ Ανισώσεις της μορφής α β γ και α β γ, Για να λύσουμε μία ανίσωση που έχει η μπορεί να πάρει την μορφή ή α β γ με α α β γ Σχόλιο Ανάλογα λύνονται και οι ανισώσεις α α β γ, είναι αρκετό να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου α β γ και α β γ με α Παραδείγματα Να λυθούν οι ανισώσεις 5 6 (iii) 4 4 (vi) 4 8 (v) 4 5 Το τριώνυμο 5 6 έχει διακρίνουσα Δ 5 4 και ρίζες 5, Πρέπει να είναι ομόσημο του συντελεστή του,, είναι:, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ 8 9 και ρίζες, 4 Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του ή μηδέν, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι:, (iii) Το τριώνυμο 4, 8 Πρέπει να είναι ομόσημο του συντελεστή του είναι: 4 4 έχει διακρίνουσα Δ 6 6 και μια ρίζα διπλή την, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης (iv) Το τριώνυμο 4 8 έχει διακρίνουσα Δ 6 6 και μια ρίζα διπλή 4 την, 4 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του ή μηδέν, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι: 4 (v) Το τριώνυμο 4 5 έχει διακρίνουσα Δ 6 6 44 και δεν έχει ρίζες Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι: Παρατήρηση!!! Θεωρούμε το τριώνυμο Η ανισότητα Η ανισότητα (iii) Η ανισότητα (iv) Η ανισότητα α β γ με α α β γ αληθεύει για κάθε α β γ αληθεύει για κάθε, όταν α και Δ, όταν α α β γ αληθεύει για κάθε, όταν α α β γ αληθεύει για κάθε, όταν α και Δ και Δ και Δ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να απλοποιηθούν τα παρακάτω κλάσματα: 5 α 8α 9 4 α 6α 5 (iii) μ μν ν μν μ ν Να γίνουν γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις: α 7αβ β 4 β αβ α Για ποιες τιμές του α το τριώνυμο f() α α α είναι τέλειο τετράγωνο διωνύμου 4 Να βρεθούν οι τιμές του β για τις οποίες η εξίσωση β β β έχει πραγματικές ρίζες α α 4 α 7 5 Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του α 6 Για ποιες τιμές του α κάθε η ανισότητα α α α αληθεύει για α α αληθεύει 7 Για ποιες τιμές του α η ανισότητα για κάθε 8 Να αποδειχθεί ότι το κλάσμα κάθε πραγματική τιμή K(), μπορεί να πάρει ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 4

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μορφές τριωνύμου Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα 8 7 6 Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω πολυώνυμα 4 4 9 8 7 6 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις α α 6α, α β α α αβ 4 Να γίνουν γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις: ψ 4 ψ ψ 7 ψ 5 Να απλοποιήσετε τα κλάσματα α α α α 8 6 Να απλοποιήσετε τα κλάσματα α 5αβ 8β α αβ β 5 5 89 4 α 9α 4 α α Πρόσημο τριωνύμου Ανισώσεις β βαθμού 7 Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων για τις διάφορες πραγματικές τιμές του 5 (iii) 4 (iv) 5 (v) 4 4 (vi) 5 8 Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων για τις διάφορες πραγματικές τιμές του κ κ, κ λ λ, λ 9 Δίνεται το τριώνυμο β γ Να λύσετε τις ανισώσεις 9 f () 8 β γ Αν f () 7, να αποδείξετε ότι: 4 (iii) Να λύσετε τις ανισώσεις 5 4 4 5 (iii) Να λύσετε τις ανισώσεις 5 6 (iii) 4 6 9 4 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

Να λύσετε τις ανισώσεις 7 4 7 6 (iii) 7 6 4 Να λύσετε τις ανισώσεις 7 4 5 Να λύσετε τις ανισώσεις 6 4 6 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 6 7 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 6 5 5 ( ) (6 ) 7 7 5 5 8 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία το τριώνυμο f 5 παίρνει τιμές μεγαλύτερες από το τριώνυμο 9 Για ποιες τιμές του α α α 6 g() 4 4 οι παρακάτω ανισότητες αληθεύουν για κάθε α 4 α α 6 Για ποιες τιμές του α οι παρακάτω ανισότητες αληθεύουν για κάθε α α α α 8 α 4 Για ποιες τιμές του α οι παρακάτω ανισότητες αληθεύουν για κάθε 4α 5α α 7 α α α 6 Για ποιες τιμές του λ το τριώνυμο φ 4 λ γίνετε θετικό για κάθε Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το τριώνυμο f β β γ α γ είναι θετικό για κάθε 4 Για ποιες τιμές του β, η ανίσωση f β 5 4 β αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων f κ κ 5κ 9 5 Για ποιες τιμές του κ το τριώνυμο αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων 6 Για ποιες τιμές του κ το τριώνυμο τέλειο τετράγωνο ενός διωνύμου 7 Να δείξετε ότι η εξίσωση τις τιμές του λ δεν f κ 7 κ γίνεται λ λ έχει πραγματικές ρίζες για όλες ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

8 Για ποιες τιμές του α πραγματικές άνισες 9 Για ποιες τιμές του λ Για ποιες τιμές του κ Δύο ρίζες πραγματικές άνισες Δύο ρίζες ίσες (iii) Δεν έχει πραγματικές ρίζες Για τις διάφορες τιμές του λ λ λ α α α έχει ρίζες η εξίσωση η εξίσωση λ δεν έχει πραγματικές ρίζες 5κ 7κ κ έχει:, η εξίσωση:, να λύσετε τις εξισώσεις: λ λ λ Η εξίσωση α α 6 α 4α, α έχει μία ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε α της εξίσωσης συναρτήσει του α Να βρείτε την ρίζα (iii) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες ισχύει (iv) Να βρείτε τις τιμές του α Έστω, για τις οποίες ισχύει οι ρίζες της εξίσωσης του λ για τις οποίες ισχύει 4 Αποδείξτε ότι η παράσταση, ψ 4 α α 4 9 λ 4λ Να βρείτε τις τιμές 6 8λ 6ψ 5ψ 8ψ 4 είναι θετική για κάθε 5 Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης κ να βρείτε τις τιμές του κ έτσι ώστε να ισχύει: 8 6 Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης λ λ, λ και ισχύει η σχέση, να βρείτε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές ο λ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 4 ΡΗΤΕΣ Μέχρι τώρα ξέρουμε να βρίσκουμε το πρόσημο ενός πολυωνύμου βαθμού ή δεύτερου βαθμού Για να βρούμε το πρόσημο ενός πολυωνύμου f πρώτου f βαθμού μεγαλύτερου του δεύτερου το μετασχηματίζουμε σε γινόμενο πρωτοβαθμίων και δευτεροβαθμίων παραγόντων f p q r w, όπου,, είναι πολυώνυμα Αν p πρώτου ή δευτέρου βαθμού τότε κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε τα πρόσημα των πολυωνύμων γνωρίζουμε αν βρούμε τις ρίζες τους p, q q, w w Στον ίδιο πίνακα παριστάνουμε τα πρόσημα των πολυωνύμων w και εύκολα βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου Παράδειγμα, τα οποία p, Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου: P 4 4 Το διώνυμο έχει ρίζα το Το διώνυμο 4 έχει ρίζα το 4 Το τριώνυμο έχει ρίζες τους και Το τριώνυμο έχει ρίζες τους και Το τριώνυμο 4 δεν έχει ρίζες Έχουμε τον πίνακα q, ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

Β ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ f Λέγονται οι ανισώσεις της μορφής βαθμού μεγαλύτερου του δεύτερου f ή, όπου Για να λύσουμε τις ανισώσεις αυτές μετατρέπουμε το πολυώνυμο f πολυώνυμο f σε γινόμενο πρωτοβαθμίων και δευτεροβαθμίων παραγόντων και βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου f f Όμοια λύνονται και οι ανίσωσης της μορφής ή Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση: 4 4 Από τον πίνακα του προηγούμενου παραδείγματος συμπεραίνουμε ότι η λύση της,,,4 ανίσωσης είναι: Γ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ Λέγονται οι ανισώσεις της μορφής όπου f, g πολυώνυμα f g ή f g ή f g ή f Για να λύσουμε τις ανισώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τις ισοδυναμίες: f f g g 4 f f g g f f g και g g f f g και g g g, Παραδείγματα Να λυθεί η ανίσωση: Έχουμε,, είναι τριώνυμο με συντελεστή του το και ρίζες, ) ( Το ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

Να λυθεί η ανίσωση: Έχουμε και Να λυθεί η ανίσωση: 7 Έχουμε 7, 7 και 7 4 Το τριώνυμο 7 έχει Δ 49 48 και ρίζες, 4 Το τριώνυμο έχει Δ 4 6 και ρίζες,4 4 Στο διπλανό πίνακα παριστάνουμε το πρόσημο του γινομένου Η διπλή γραμμή δηλώνει ότι στα σημεία δεν ορίζεται η ανίσωση και Είναι φανερό ότι η λύση της ανίσωσης είναι, 4, 4 Να λυθεί η ανίσωση: 9 5 6 Έχουμε 9 9 9 5 6 5 6 5 6 5 6 9 7 5 6 5 6 5 6 5 6 και 5 6 Το διώνυμο έχει ρίζα την 5 9 Το τριώνυμο 5 6 έχει Δ 5 44 69 και ρίζες, 4 4 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

Στο διπλανό πίνακα παριστάνουμε το πρόσημο του γινομένου Η διπλή γραμμή δηλώνει ότι στα σημεία δεν ορίζεται η ανίσωση και Είναι φανερό ότι η λύση της ανίσωσης είναι, 4, 5 Να λυθεί η ανίσωση: Έχουμε 5 6 6 4 9 και Με την βοήθεια του διπλανού πίνακα συμπεραίνουμε ότι η λύση της ανίσωσης είναι:,, 6 Να λυθεί η ανίσωση: Έχουμε 4 9 4 4 4 9 4 4 9 4 9 4 4 5 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

4 4 5 4 6 6 5 4, και 4 4 4 4 5 και η γίνεται: 6 4 5 6 Θέτουμε ψ ψ ψ 5ψ 6 ψ ψ ψ Με την καμπύλη προσήμων Βρίσκουμε ότι: ψ,, και επειδή ψ, έχουμε ψ,, δηλαδή,, Επομένως,, ή ή,, Τελικά η λύση της ανίσωσης είναι:,,,, Δ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 64 4 7 Να λυθεί το σύστημα: Λύνουμε την πρώτη ανίσωση 64 64 8 8 8,8 Λύνουμε την δεύτερη ανίσωση 4 4 4 4,, Τελικά η λύση του συστήματος είναι: 8,, α 8 Για ποιες τιμές του α ισχύει:, για κάθε Έχουμε α α και α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

α α α 4 α 4 α ( για κάθε ) 4 α έχει Δ α 6 α 4 α 4 Το τριώνυμο α 7α, οπότε η ανισότητα είναι αληθής για κάθε όταν Δ α 7α α,7 α α α 4 α α 4 α 4 α 4 έχει Δ α 6 α 4 α 4 Το τριώνυμο α α 6, οπότε η ανισότητα είναι αληθής για κάθε όταν Δ α α 6 α 6, Άρα, όταν α,, τότε για κάθε ισχύει: α 9 Αν α, β, και α β, να υπολογίσετε τον ώστε να ισχύει: Έχουμε: α β Αν α β α β η γίνεται Αν από την α β και είναι αδύνατη παίρνουμε αβ, οπότε αβ Πρέπει: α β Επομένως ή,, και που είναι αληθής για κάθε Τελικά η ανισότητα α β ισχύει όταν,, ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

Να βρείτε το πρόσημο των γινομένων: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ P() 4 4 4 Q() 5 4 8 5 (iii) R 7 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 7 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 8 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 7 7 6 4 5 4 5 Να λύσετε τις ανισώσεις: 64 5 4 (iii) 5 6 (iv) 4 7 Να λύσετε τις ανισώσεις 4 8 Να λύσετε τις ανισώσεις: 9 4 9 Να λύσετε τις ανισώσεις: 9 5 Να λύσετε τις ανισώσεις 6 9 (iii) Να λύσετε τις ανισώσεις 4 8 (iii) (iv) 4 (iii) 5 (iii) 4 8 (iv) 4 4 6 5 (iii) 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: 7 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 (iii) (iii) 5 8 4 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 4

4 Να λύσετε τις ανισώσεις: 7 9 5 6 5 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 4 6 Να λύσετε τις ανισώσεις: Συστήματα ανισώσεων 7 Να λύσετε τα συστήματα ανισώσεων: 5 5 4 5 7 4 5 4 5 8 Να λύσετε τo σύστημα ανισώσεων: 8 9 8 9 Να λύσετε τα συστήματα ανισώσεων: Ανισώσεις με απόλυτα Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 Γενικές 6 Για ποιες τιμές του α οι ρίζες της εξίσωσης 6 α ικανοποιούν την συνθήκη Για ποιες τιμές του α η ανισότητα α 4 Για ποιες τιμές του α το σύστημα ανισοτήτων αληθεύει για κάθε αληθεύει για κάθε α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5