Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α

ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΦΔΒΡΟΤΑΡΙΟ 2010 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ, ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ & ΔΠΙΥΔΙΡΗΙΑΚΗ ΔΡΔΤΝΑ Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α ΘΔΜΑ 1 ο Ο Γηώξγνο θαη ν Κώζηαο ζπκπαίθηεο ζε κία ζπλνηθηαθή πνδνζθαηξηθή νκάδα πξνπνλνύληαη γηα ηνλ επόκελν αγώλα. πγθεθξηκέλα, ν Γηώξγνο πνπ είλαη επηζεηηθόο εθηειεί πέλαιηη θαη ν Κώζηαο πνπ είλαη ηεξκαηνθύιαθαο πξνζπαζεί λα ηα απνθξνύζεη. Ο Γηώξγνο κπνξεί λα ζηείιεη ηε κπάια αξηζηεξά (Α) ή δεμηά (Γ) θαη ν Κώζηαο λα θηλεζεί αξηζηεξά (Α), δεμηά (Γ) ή λα παξακείλεη ζην θέληξν ηνπ ηέξκαηνο (Κ). Οη πηζαλόηεηεο λα κελ απνθξνύζεη ηελ κπάια ν Κώζηαο πεξηέρνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Γηώξγνο Κώζηαο Α Γ Κ Α 1/3 1 1/2 Γ 1 1/3 2/3 1. Να εμεηαζζεί εάλ ζην παίγλην απηό ππάξρεη ζεκείν ηζνξξνπίαο, πνπ λα πξνζδηνξίδεηαη από ακηγείο ζηξαηεγηθέο. 2. Να εθαξκνζζεί ε θαηάιιειε κεζνδνινγία πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξηζζεί ε άξηζηε ζηξαηεγηθή γηα θάζε παίθηε. 3. Να ππνινγηζζεί ε «αμία» ηνπ παηγλίνπ θαη λα εξκελεπζεί. ΘΔΜΑ 2 ο Σξία εξγνζηάζηα παξαγσγήο ειεθηξηθνύ ξεύκαηνο κε εηήζηεο δπλαηόηεηεο, 40 θαη 30 εθαηνκκύξηα kwh πξνκεζεύνπλ κε ειεθηξηθό ξεύκα ηξεηο πόιεηο, ε κέγηζηε δήηεζε ησλ νπνίσλ εθηηκάηαη ζηα 30, 35 θαη εθαηνκκύξηα kwh αληίζηνηρα, ζε ηηκέο ($/εθαηνκκύξην kwh) πνπ δηακνξθώλνληαη σο αθνινύζσο: Πόλη 1 Πόλη 2 Πόλη 3 Δργοζηάζιο 1 600 700 400 Δργοζηάζιο 2 320 300 350 Δργοζηάζιο 3 500 480 450 Καηά ηε δηάξθεηα ηνπ Απγνύζηνπ, παξαηεξείηαη αύμεζε ζηε δήηεζε γηα ειεθηξηθό ξεύκα ηεο θάζε πόιεο θαηά 20%, ε νπνία κπνξεί λα θαιπθζεί, ζηελ ηηκή ησλ $1000 γηα θάζε εθαηνκκύξην kwh, από έλα αλεμάξηεην ζπλεξγαδόκελν δίθηπν, ην νπνίν όκσο δελ έρεη δπλαηόηεηα ζύλδεζεο κε ηελ πόιε 3. Αθνύ δηακνξθώζεηε ην πξόβιεκα σο κνληέιν ελόο πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο βξείηε ην άξηζην ζρέδην ηθαλνπνίεζεο ηεο δήηεζεο ηνπ ξεύκαηνο. Όηαλ νινθιεξώζεηε ηελ επίιπζε, λα δηαηππώζεηε κε αθξίβεηα ην ηειηθό άξηζην ζρέδην πνπ βξήθαηε θαζώο επίζεο θαη ην ζπλνιηθό ηνπ θόζηνο. ΘΔΜΑ 3 ο Έλα θαηλνύξην γήπεδν πνδνζθαίξνπ πξόθεηηαη λα θηηζηεί ζηα πεξίρσξα κηαο κεγαινύπνιεο θαη ν ππεύζπλνο κεραληθόο ηνπ δήκνπ πξνζπαζεί λα πξνζδηνξίζεη εάλ νη νδνί γύξσ από ην γήπεδν θαη κέρξη ηνλ παξαθείκελν πεξηθεξεηαθό δξόκν κπνξνύλ λα απνξξνθήζνπλ ην θόξην ησλ 21,000 απηνθηλήησλ πνπ αλακέλεηαη λα ππάξρεη κεηά ην θάζε καηο. ην δίθηπν πνπ αθνινπζεί θαίλνληαη νη νδνί επηθνηλσλίαο κεηαμύ ηνπ γεπέδνπ (θόκβνο 1) θαη ηεο εηζόδνπ ζηνλ πεξηθεξεηαθό (θόκβνο 8). Η ξνή ζε θάζε νδό θαζνξίδεηαη από πνηθίινπο παξάγνληεο, όπσο ν αξηζκόο ησλ δηαζέζηκσλ ισξίδσλ, ε δπλαηόηεηα αζηπλόκεπζεο, ηα θαλάξηα θπθινθνξίαο, θ.ιπ. θαηαγξάθεηαη ζην ίδην δηάγξακκα. Δθαξκόζηε θαηάιιειε ηερληθή δηθηπσηήο αλάιπζεο πξνθεηκέλνπ λα απνδείμεηε εάλ νη δξόκνη επαξθνύλ ή όρη γηα ην θόξην ησλ 21,000 απηνθηλήησλ. Η ηερληθή πνπ ζα επηιεγεί ζα πξέπεη λα αλαθεξζεί κε ζαθήλεηα θαη ε δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο λα πεξηγξαθεί επαξθώο.

ΘΔΜΑ 4 ο Σα ζηνηρεία ηνπ θαησηέξσ πίλαθα απνδόζεσλ είλαη ζηνηρεία θέξδνπο γηα έλα πξόβιεκα απνθάζεσλ κε ηξεηο ελαιιαθηηθέο απνθάζεηο θαη δύν θαηαζηάζεηο ηεο θύζεηο. Καηαζηάζεηο Φύζεο Δλαιιαθηηθέο Απνθάζεηο s 1 s 2 d 1 10 60 d 2 70 20 d 3 80 0 Να ππνδεηρζνύλ νη ηηκέο πηζαλνηήησλ γηα ηελ θαηάζηαζε s 1 γηα ηηο νπνίεο, ε θάζε κία εθ ησλ ελαιιαθηηθώλ απνθάζεσλ αληηζηνηρεί ζε εθείλε κε ηε κεγαιύηεξε αλακελόκελε αμία. ΘΔΜΑ 5 ο Η FAA ρνξήγεζε πξόζθαηα άδεηα ιεηηνπξγίαο ζε κηα θαηλνύξηα αεξνπνξηθή εηαηξεία πνπ θαηάθεξε ελ ησ κεηαμύ λα ηηο παξαρσξεζνύλ δηάθνξεο δηαδξνκέο ζηε γξακκή Λνο Άληδειεο - ηθάγν. Σν δίθηπν πνπ αθνινπζεί θαηαγξάθεη ζρεκαηηθά όιεο απηέο ηηο δηαδξνκέο θαζώο επίζεο θαη ην εκεξήζην πιήζνο ησλ πηήζεσλ γηα θάζε κία εμ απηώλ. Να ρξεζηκνπνηήζεηε θαηάιιειε ηερληθή ηεο δηθηπσηήο αλάιπζεο πξνθεηκέλνπ λα εληνπίζεηε ηνλ κέγηζην αξηζκό πηήζεσλ ηηο νπνίεο ε εηαηξεία κπνξεί λα πξνγξακκαηίζεη θαζεκεξηλά κεηαμύ Λνο Άληδειεο ηθάγν θαζώο επίζεο θαη ηηο αθξηβείο δηαδξνκέο. Η ηερληθή πνπ ζα επηιεγεί ζα πξέπεη λα αλαθεξζεί κε ζαθήλεηα θαη ε δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο λα πεξηγξαθεί επαξθώο. ΘΔΜΑ 6 ο Έλαο πεηπρεκέλνο ζπγγξαθέαο δηαπξαγκαηεύεηαη κε ηνλ εθδόηε ηνπ ην ζπκβόιαην γηα έλα θαηλνύξγην κπζηζηόξεκα. Οη ζηξαηεγηθέο ηόζν ηνπ ζπγγξαθέα όζν θαη ηνπ εθδόηε πεξηιακβάλνπλ πνηθίιεο πξνηάζεηο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηα δηθαηώκαηα, κε ηα πνζνζηά από ηελ πηζαλή κεηαθνξά ηνπ κπζηζηνξήκαηνο ζηνλ θηλεκαηνγξάθν, πξνθαηαβνιέο πιεξσκώλ θιπ. ηνλ αθόινπζν πίλαθα, νη αξηζκνί παξηζηάλνπλ ηηο αλακελόκελεο ρξεκαηηθέο εηζξνέο (ακνηβή), ζε ρηιηάδεο επξώ, ηνπ ζπγγξαθέα (παίθηεο Α) από θάζε ζπλδπαζκό ζηξαηεγηθώλ κε εθείλεο ηνπ εθδόηε (παίθηεο Β). σγγραθέας (Α) Δκδόηης (Β) Β1 Β2 Β3 Α1 80 120 120 Α2 160 90 80 Α3 140 140 100 1. Υσξίο λα δηαγξάςεηε ηηο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο, εθαξκόζηε ην θξηηήξην minimax ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ, γηα λα δηαπηζηώζεηε ηελ ύπαξμε ή όρη ζεκείνπ ηζνξξνπίαο. 2. Να εθαξκόζεηε ηελ θαηάιιειε κεζνδνινγία πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζεηε ηελ άξηζηε ζηξαηεγηθή γηα θάζε παίθηε θαζώο θαη ηελ αλακελόκελε ακνηβή ηνπ ζπγγξαθέα. Να δηαηππώζεηε ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ζαθήλεηα, απνδίδνληαο θαη ην θαηάιιειν θπζηθό λόεκα. ΘΔΜΑ 7 ο Φαξκαθνβηνκεραλία παξάγεη γλσζηό παπζίπνλν ζηα ηξία εξγνζηάζηα πνπ έρεη ζε πεξηνρέο ησλ Chicago, Memphis θαη New Orleans. Σν θάξκαθν ζπζθεπάδεηαη ζε θνύηεο θαη κε ηνλ ηξόπν απηό δηαθηλείηαη ζηε ζπλέρεηα πξνο ηηο ηέζζεξηο θεληξηθέο απνζήθεο ηεο βηνκεραλίαο πνπ βξίζθνληαη ζηα πεξίρσξα ησλ Boston, Denver, Houston θαη Phoenix. ηνλ πίλαθα

πνπ αθνινπζεί tableau ηνπ αληίζηνηρνπ πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο, θαηαγξάθνληαη νη εκεξήζηεο παξαγσγηθέο δπλαηόηεηεο ηνπ θάζε εξγνζηαζίνπ (ζε θνύηεο), ε εκεξήζηα δήηεζε εθάζηεο απνζήθεο, θαζώο επίζεο θαη ην θόζηνο κεηαθνξάο κηαο θνύηαο από ην θάζε εξγνζηάζην πξνο ηελ θάζε απνζήθε : Chicago Boston Denver Houston Phoenix 4 6 11 1,000 Memphis New Orleans 10 5 3 9 12 7 2 8 800 700 500 750 800 450 Λακβάλνληαο ππόςε όηη πξέπεη λα απνζηέιινληαη ηνπιάρηζηνλ 100 θνύηεο θαξκάθνπ από ην Chicago ζηε Boston, βξείηε ην βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο. ΘΔΜΑ 8 ο Οη Mr. and Mrs. Smith πξνεηνηκάδνπλ έλα πξόγξακκα κεηεθπαίδεπζεο ηνπ πξνζσπηθνύ ηεο εηαηξείαο παξνρήο ππεξεζηώλ αζθάιεηαο πνπ έρνπλ. Γηα ην ζθνπό απηό ζπληάζζνπλ ηνλ πην θάησ πίλαθα δξαζηεξηνηήησλ (ν ρξόλνο είλαη ζε εβδνκάδεο): ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΑΜΕΩ ΠΡΟΗΓ. ΑΙΙΟΔΟΞΟ ΠΙΘΑΝΟΣΕΡΟ ΑΠΑΙΙΟΔΟΞΟ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΣΤΠΙΚΗ ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΥΡΟΝΟ ΥΡΟΝΟ ΥΡΟΝΟ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΑΠΟΚΛΙΗ A -- 1.5 2.0 2.5 2.0 0.1667 B A 2.0 2.5 6.0 3.0 0.6667 C -- 1.0 2.0 3.0 2.0 0.3333 D C 1.5 2.0 2.5 2.0 0.1667 E B, D 0.5 1.0 1.5 1.0 0.1667 F E 1.0 2.0 3.0 2.0 0.3333 G B, D 3.0 3.5 7.0 4.0 0.6667 H G 3.0 4.0 5.0 4.0 0.3333 Ι F, H 1.5 2.0 2.5 2.0 0.1667 Δάλ νη Mr. and Mrs. Smith ζέινπλ λα είλαη 99% βέβαηνη όηη ν ζρεδηαζκόο ηεο κεηεθπαίδεπζε ζα νινθιεξσζεί εγθαίξσο, πξηλ πόζν ρξόλν από ηελ εκεξνκελία έλαξμήο ηεο πξέπεη λα μεθηλήζνπλ λα εξγάδνληαη; (Γίλεηαη P(0 Z 2.33) = 0.4901).

ΘΔΜΑ 1 ο 1. Πξόθεηηαη γηα παίγλην κεδεληθνύ αζξνίζκαηνο. Γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ Maximin/Minimax ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ηνπ πίλαθα. Α Γ Κ Δλάτιζηα γραμμών Α 1/3 1 1/2 1/3 * Γ 1 1/3 2/3 1/3 * Μέγιζηα ζηηλών 1 1 2/3 * Δπεηδή ην κέγηζην ηνπ ειάρηζηνπ (Maximin) ησλ γξακκώλ (1/3) είλαη δηαθνξεηηθό ηνπ ειάρηζηνπ ηνπ κέγηζηνπ (Minimax) ησλ ζηειώλ (2/3), ην παίγλην δελ έρεη ζεκείν ηζνξξνπίαο πνπ λα πξνζδηνξίδεηαη από ηελ εθαξκνγή ακηγώλ ζηξαηεγηθώλ. ii. Δπεηδή νη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ην παίγλην ζε ηζνξξνπία (όπσο είδακε θαη κε ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ Minimax/Maximin) πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνύλ νη κεηθηέο ζηξαηεγηθέο. Απηό γίλεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ γξαθήκαηνο ηνπ παηγλίνπ πνπ αθνινπζεί. 1 1 Κ 1/2 Ν 2/3 A 1/3 1/3 Γ 1-x x 0 0 A Γ Ο Γηώξγνο «θηλείηαη» ζηελ επηθάλεηα πνπ νξίδεηαη από ηελ έληνλε γξακκνζθίαζε. Άξα ζα επηιέμεη κε ηέηνην ηξόπν ηε ζηξαηεγηθή ηνπ (ηηκή ηεο κεηαβιεηήο x ) ώζηε λα επηηύρεη ην ζεκείν Ν (ζεκείν Maximin). Ωο εθ ηνύηνπ ε ζηξαηεγηθή Α (ηνπ παίθηε Κώζηα) απνθιείεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ ζεκείνπ Ν. Η δηάζηαζε ηνπ παηγλίνπ γίλεηαη 2 2 θαη απηό απεηθνλίδεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα

Γηα ηνλ παίθηε Γηώξγν έρνπκε y 1 y Γ Κ x Α 1 1/2 1 x Γ 1/3 2/3 V(Γηώξγνο,Γ)=1* x (1/ 3)*(1 x ) (1) V(Γηώξγνο,K)= (1/ 2)* x (2/3)*(1 x ) (2) Θέηνληαο V(Γηώξγνο,Γ)= V(Γηώξγνο,K), έρνπκε 1* x (1/3)*(1 x ) = (1/ 2)* x (2/3)*(1 x ) x 2 / 5, 1 x 3/ 5. Γηα ηνλ Κώζηα έρνπκε V(Κώζηα,Α)=1* y (1/ 2)*(1 y ) (3) V(Κώζηα,Γ)= (1/3)* y (2/3)*(1 y ) (4) Θέηνληαο V(Κώζηα,Α)= V(Κώζηα,Γ), έρνπκε 1* y (1/ 2)*(1 y ) = (1/3)* y (2/3)*(1 y ) Αλαθεθαιαηώλνληαο: Μεηθηή ζηξαηεγηθή Γηώξγνπ: (2/5,3/5) Μεηθηή ζηξαηεγηθή Κώζηα: (0,1/5,4/5) y 1/ 5, 1 y 4 / 5. iii. Η «αμία» ηνπ παηγλίνπ δίλεηαη κε απιή αληηθαηάζηαζε ηνπ x 2 / 5 είηε ζηελ (1) είηε ζηε (2) από όπνπ πξνθύπηεη όηη V(Γηώξγνο,Γ)= V(Γηώξγνο,K)=V=3/5. Η ίδηα ηηκή πξνθύπηεη αλ αληηθαηαζηήζνπκε ην y 1/5 είηε ζηελ (3) είηε ζηε (4) Άξα, ζηελ πξνπόλεζε, αλ ηα 2/5 ησλ θνξώλ πνπ ρηππάεη πέλαιηπ ν Γηώξγνο, ξίμεη ηε κπάια Αξηζηεξά ελώ ζηα ππόινηπα 3/5 Γεμηά, ηόηε ε πιθανόηηηα ηνπ λα κελ απνθξνύζεη ν Κώζηαο (δεδνκέλνπ όηη ν Κώζηαο ζα αθνινπζήζεη ηελ άξηζηε ζηξαηεγηθή ηνπ), είλαη ίζε κε ηελ αμία ηνπ παηγλίνπ δειαδή 3/5.

ΘΔΜΑ 2 ο Η απμεκέλε δήηεζε ηνπ Απγνύζηνπ έρεη σο απνηέιεζκα ε εηήζηα δήηεζε ησλ ηξηώλ πόιεσλ λα δηακνξθώλεηαη ηειηθά ζηηο 36, 42 θαη 30 εθαηνκκύξηα kwh αληίζηνηρα. Δπνκέλσο ε ζπλνιηθή δήηεζε είλαη ύςνπο 108 εθαηνκκπξίσλ kwh, ελώ ε ζπλνιηθή πξνζθνξά ησλ ηξηώλ εξγνζηαζίσλ αλέξρεηαη ζε 95 εθαηνκκύξηα kwh. Η δηαθνξά ησλ εθαηνκκπξίσλ kwh ζα δεηεζεί από ην αλεμάξηεην ειεθηξηθό δίθηπν. Γηακνξθώλεηαη ηόηε ην εμήο tableau ελόο πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο (όπνπ Μ>>>0, πξνθεηκέλνπ λα απαγνξεπηεί ε απνζηνιή ξεύκαηνο από ην αλεμάξηεην δίθηπν ζηελ Πόιε 3): Δξγ1 Δξγ2 Δξγ3 ΑλμΓ Πι1 Πι2 Πι3 600 700 400 320 300 350 500 480 450 1000 1000 Μ 40 30 36 42 30 108 ηε ζπλέρεηα εθαξκόδνπκε ηε κέζνδν ηνπ Vogel πξνθεηκέλνπ λα εληνπίζνπκε κηα αξρηθή εθηθηή ιύζε ηνπ πξνβιήκαηόο καο: Δξγ1 Δξγ2 Δξγ3 ΑλμΓ Πι1 Πι2 Πι3 600 700 400 320 300 350 40 36 4 500 480 450 30 5 1000 1000 Μ 36 42 30 108 Η ιύζε απηή έρεη 6 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά u i θαη v j θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δ ij = u i + v j c ij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο βιέπνπκε όηη ππάξρνπλ ζεηηθέο ηηκέο κεηαμύ ηνπο θαη ζπλεπώο ε ιύζε πνπ πεξηιακβάλεηαη ζην tableau δελ είλαη ε βέιηηζηε. Σν ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο αλέξρεηαη ζε 49970.

v 450 430 400 u -150 600-270 700 400 0 320 300-80 350-0 36 4 0 500 480 450 50 5 20 1000 1000 970-Μ Μ 570 36 42 30 40 30 ηε ζπλέρεηα, κε εηζεξρόκελν θειί ην (4, 1), θαηαζθεπάδνπκε ην κνλνπάηη αλαθαηαλνκήο ησλ εθρσξήζεσλ -150 600-270 700 400 320 300-80 350 36 4 0 500 480 450 5 20 1000 1000 970-Μ Μ 36 42 30 40 30 Η λέα ιύζε, ζηελ νπνία ην θειί (4, 1) είλαη βαζηθό θαη ην (4, 2) κε βαζηθό κηα θαη ζ = min{, 36} =, δίλεηαη ζην tableau πνπ αθνινπζεί. Ο έιεγρνο αξηζηόηεηαο απνδεηθλύεη όηη απηή ε ιύζε είλαη ε δεηνύκελε βέιηηζηε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο (δ ij 0 (i, j)), κε θόζηνο κεηαθνξάο 49710. v 450 430 400 u -150 600-270 700 400 0 320 300-80 350-0 23 17 0 500 480 450 50 5 1000-20 1000 950-Μ Μ 550 36 42 30 40 30

πλεπώο ε Πόιε 1 πξέπεη λα πξνκεζεύεηαη 24 εθαηνκκύξηα kwh από ην 2 ν Δξγνζηάζην θαη εθαηνκκύξηα από ην Αλεμάξηεην Γίθηπν, ε Πόιε 2 πξέπεη λα πξνκεζεύεηαη 17 εθαηνκκύξηα kwh από ην 2 ν Δξγνζηάζην θαη εθαηνκκύξηα από ην 3 ν Δξγνζηάζην, ε Πόιε 3 πξέπεη λα πξνκεζεύεηαη εθαηνκκύξηα kwh από ην 1 ν Δξγνζηάζην θαη 5 εθαηνκκύξηα από ην 3 ν Δξγνζηάζην. εκεηώζηε ηέινο ηελ ύπαξμε ελαιιαθηηθήο βέιηηζηεο ιύζεο (δ 31 = 0): Δξγ1 Δξγ2 Δξγ3 ΑλμΓ Πι1 Πι2 Πι3 600 700 400 320 300 350 40 40 500 480 450 30 23 2 5 1000 1000 Μ 36 42 30 108

ΘΔΜΑ 3 ο Καζώο ε αλάιπζε επηθεληξώλεηαη ζηνλ αξηζκό ησλ δξνκνινγίσλ κε αθεηεξία ην γήπεδν θαη πξννξηζκό ηελ είζνδν ηνπ πεξηθεξεηαθνύ, πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηεο κέγηζηεο ξνήο από έλα θόκβν πεγή (1), πξνο έλα θόκβν δέθηε (8). Ξεθηλάκε ινηπόλ επηιέγνληαο απζαίξεηα έλα κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Έλα ηέηνην κνλνπάηη είλαη γηα παξάδεηγκα ην κνλνπάηη 1-2-5-8. Η κέγηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 6 κνλάδεο όπσο θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή ηνπ κε ηελ κηθξόηεξε δπλακηθόηεηα ξνήο, δειαδή ηελ αθκή 2-5 (min{10, 6, 8} = 6). Έηζη, ζηέιλνπκε 6 ρηιηάδεο απηνθίλεηα κέζσ ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ από ηελ πεγή 1 πξνο ην δέθηε 8 θαη αλαπξνζαξκόδνπκε θαηάιιεια ηηο ξνέο ησλ αθκώλ πνπ ζπκκεηέρνπλ. ην ζρήκα 1 απεηθνλίδεηαη ε πξώηε επαλάιεςε. Μεηά ηνλ θόκβν 1 ζεκεηώλνπκε κνλνπάηη θαη ξνή. πλνιηθή ξνή: 6 κνλάδεο. τήμα 1 1 η επανάληυη πλερίδνπκε κε ην κνλνπάηη (απζαίξεηα) 1 3 6 7 8, πνπ έρεη ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 5 κνλάδεο πνπ θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή 3 6 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, ζηέιλνπκε 5 ρηιηάδεο απηνθίλεηα από ην κνλνπάηη απηό θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 2 απεηθνλίδεηαη ε δεύηεξε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη θαη ηελ πξώηε επαλάιεςε ρσξίο ηα βέιε αιιά κε έληνλεο αθκέο κόλν. πλνιηθή ξνή: 6 + 5 = 11 ρηιηάδεο απηνθίλεηα.

τήμα 2 2 η επανάληυη ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη 1 4 6 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε 4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη, ηηο 4 6 θαη 6 8. Έηζη, απνζηέιινπκε 4 ρηιηάδεο απηνθίλεηα από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 3 απεηθνλίδεηαη ε ηξίηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 6 + 5 + 4 = 15 ρηιηάδεο απηνθίλεηα. τήμα 3 3 η επανάληυη 4

πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ηώξα ην κνλνπάηη 1 4 7 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε 4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηηο δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη 1 4 θαη 7 8. Έηζη, κεηά ηελ απνζηνιή 4 ρηιηάδσλ απηνθηλήησλ κέζσ απηνύ ηνπ κνλνπαηηνύ από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 4 απεηθνλίδεηαη ε ηέηαξηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 6 + 5 + 4 + 4 = 19. τήμα 4 4 η επανάληυη πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ηώξα ην κνλνπάηη 1 2 3 5 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε 2 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή 5 8 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη 2 ρηιηάδεο απηνθίλεηα από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη ζηε ζπλέρεηα γίλεηαη αλαπξνζαξκνγή ζηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 5 απεηθνλίδεηαη ε πέκπηε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 6 + 5 + 4 + 4 + 2 = 21 ρηιηάδεο απηνθίλεηα τήμα 5 5 η επανάληυη

Η άριζηη λύζη Από ην ζρήκα 5 δηαπηζηώλνπκε όηη δελ ππάξρεη άιιν κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, νπόηε ε κέγηζηε ξνή ηζνύηαη κε 21 κνλάδεο. Γειαδή, νη δξόκνη επαξθνύλ γηα ηνλ θπθινθνξηαθό θόξην ησλ 21000 απηνθηλήησλ. Σα δξνκνιόγηα απεηθνλίδνληαη κε ηηο έληνλεο γξακκέο ζην ζρήκα 5. Σεκείφζε Από ηε θύζε ηοσ αιγορίζκοσ ηες κέγηζηες ροής, είλαη ποιύ πηζαλόλ λα κελ σπάρτεη κόλο κία ζσγθεθρηκέλε θαη κολαδηθή ζεηρά ζηε ροή ηφλ επαλαιήυεφλ θαη ζηε ζσιιογή ηφλ κολοπαηηώλ, αθού ζε θάζε επαλάιευε, ηο κολοπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δσλακηθόηεηα ροής από ηελ πεγή προς ηο δέθηε, προζδηορίδεηαη ασζαίρεηα. Μάιηζηα, σπάρτοσλ ελαιιαθηηθά κολοπάηηα ηα οποία επίζες επηησγτάλοσλ ηε κέγηζηε ροή θαη ασηό ζσκβαίλεη ζτεδόλ πάληα ζηα προβιήκαηα ασηού ηοσ ηύποσ. Σε θάζε περίπηφζε όκφς, ζηελ άρηζηε ιύζε ε κέγηζηε ροή πρέπεη λα είλαη 21 κολάδες θαη ασηή έπρεπε λα εληοπηζηεί, ηασηότρολα κε ηης θαηάιιειες ροές επάλφ ζηης αθκές.

ΘΔΜΑ 4 ο Έζησ p ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο ζπλζήθεο S1. Σόηε ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο S2 ζα είλαη (1 p), νπόηε: EV(d1) = 10p + 60(1 p) = 60 50p EV(d2) = 70p + 20(1 p) = 20 + 50p EV(d3) = 80p + (0)(1 p) = 80p EV(d 1 ) EV(d 2 ) EV(d 3 ) ην ζεκείν B είλαη EV(d1) = EV(d2), νπόηε 60 50p = 20 + 50p p = 0.40. Αλάινγα ζην ζεκείν Γ είλαη EV(d2) = EV(d3), νπόηε 20 + 50p = 80p p = 0.67. Κηλνύκελνη επνκέλσο πάλσ ζην ηεζιαζκέλν επζύγξακκν ηκήκα ΑΒΓΓ έρνπκε γηα p < 0.40, βέιηηζηε απόθαζε είλαη ε d 1, γηα p = 0.40, ηόζν ε d 1 όζν θαη ε d 2 είλαη βέιηηζηεο απνθάζεηο, γηα 0.40 < p < 0.67, βέιηηζηε απόθαζε είλαη ε d 2, γηα p = 0.67, ηόζν ε d 2 όζν θαη ε d 3 είλαη βέιηηζηεο απνθάζεηο, γηα p > 0.67, βέιηηζηε απόθαζε είλαη ε d 3.

ΘΔΜΑ 5 ο Καζώο ε αλάιπζε επηθεληξώλεηαη ζηνλ αξηζκό ησλ πηήζεσλ κε αθεηεξία ην Los Angeles θαη πξννξηζκό ην Chicago, πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηεο κέγηζηεο ξνήο από έλα θόκβν πεγή (1), πξνο έλα θόκβν δέθηε (8). Ξεθηλάκε ινηπόλ επηιέγνληαο απζαίξεηα έλα κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Έλα ηέηνην κνλνπάηη είλαη γηα παξάδεηγκα ην κνλνπάηη 1-2-4-7-8. Η κέγηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 7 κνλάδεο όπσο θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή ηνπ κε ηελ κηθξόηεξε δπλακηθόηεηα ξνήο, δειαδή ηηο αθκέο 2-4 θαη 4-7 (min{10, 7, 7, 8} = 7). Έηζη, ζηέιλνπκε 7 πηήζεηο κέζσ ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ από ηελ πεγή 1 πξνο ην δέθηε 8 θαη αλαπξνζαξκόδνπκε θαηάιιεια ηηο ξνέο ησλ αθκώλ πνπ ζπκκεηέρνπλ. ην ζρήκα 1 απεηθνλίδεηαη ε πξώηε επαλάιεςε. Μεηά ηνλ θόκβν 1 ζεκεηώλνπκε κνλνπάηη θαη ξνή. πλνιηθή ξνή: 7 κνλάδεο. τήμα 1 1 η επανάληυη πλερίδνπκε κε ην κνλνπάηη (απζαίξεηα) 1 4 2 6 8, πνπ έρεη ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 6 κνλάδεο πνπ θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή 6 8 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, ζηέιλνπκε 6 πηήζεηο από ην κνλνπάηη απηό θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 2 απεηθνλίδεηαη ε δεύηεξε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη θαη ηελ πξώηε επαλάιεςε ρσξίο ηα βέιε αιιά κε έληνλεο αθκέο κόλν. πλνιηθή ξνή: 7 + 6 = πηήζεηο.

τήμα 2 2 η επανάληυη ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη 1 3 4 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε 4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη, ηηο 3 4 θαη 4 8. Έηζη, απνζηέιινπκε 4 πηήζεηο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 3 απεηθνλίδεηαη ε ηξίηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 7 + 6 + 4 = 17 πηήζεηο. τήμα 3 3 η επανάληυη

πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ηώξα ην κνλνπάηη 1 3 5 7 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε 1 κνλάδα θαη θαζνξίδεηαη δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη, ηηο 1 3 θαη 7 8. Έηζη, απνζηέιιεηαη 1 πηήζε από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη ζηε ζπλέρεηα γίλεηαη αλαπξνζαξκνγή ζηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 4 απεηθνλίδεηαη ε ηέηαξηε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο. πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 7 + 6 + 4 + 1 = 18 πηήζεηο. τήμα 4 4 η επανάληυη Η άριζηη λύζη Από ην ζρήκα 4 δηαπηζηώλνπκε όηη δελ ππάξρεη άιιν κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, νπόηε ε κέγηζηε ξνή ηζνύηαη κε 18 κνλάδεο. Γειαδή: 7 πηήζεηο ζηε γξακκή Los Angeles Salt Lake City Denver St. Louis Chicago, 6 πηήζεηο ζηε γξακκή Los Angeles Denver Salt Lake City Kansas City Chicago, 4 πηήζεηο ζηε γξακκή Los Angeles Phoenix Denver Chicago, θαη 1 πηήζε ζηε γξακκή Los Angeles Phoenix Dallas - St. Louis Chicago. Σα δξνκνιόγηα απεηθνλίδνληαη κε ηηο έληνλεο γξακκέο ζην ζρήκα 4. Από ηε θύζε ηοσ αιγορίζκοσ ηες κέγηζηες ροής, είλαη ποιύ πηζαλόλ λα κελ σπάρτεη κόλο κία ζσγθεθρηκέλε θαη κολαδηθή ζεηρά ζηε ροή ηφλ επαλαιήυεφλ θαη ζηε ζσιιογή ηφλ κολοπαηηώλ, αθού ζε θάζε επαλάιευε, ηο κολοπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δσλακηθόηεηα ροής από ηελ πεγή προς ηο δέθηε, προζδηορίδεηαη ασζαίρεηα. Μάιηζηα, σπάρτοσλ ελαιιαθηηθά κολοπάηηα ηα οποία επίζες επηησγτάλοσλ ηε κέγηζηε ροή θαη ασηό ζσκβαίλεη ζτεδόλ πάληα ζηα προβιήκαηα ασηού ηοσ ηύποσ. Σε θάζε περίπηφζε όκφς, ζηελ άρηζηε ιύζε ε κέγηζηε ροή πρέπεη λα είλαη 18 κολάδες θαη ασηή έπρεπε λα εληοπηζηεί, ηασηότρολα κε ηης θαηάιιειες ροές επάλφ ζηης αθκές.

ΘΔΜΑ 6 ο Δρώηημα 1 Πξόθεηηαη γηα έλα παίγλην δύν παηθηώλ μηδενικού αθροίζμαηος. Όπσο βιέπνπκε ζηoλ παξαθάησ πίλαθα, ε εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minimax απεπζείαο ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ ηνπ παίθηε Α ρσξίο δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ, αδπλαηεί λα καο δώζεη ακηγείο ζηξαηεγηθέο θαη ππνδεηθλύεη ηελ αλππαξμία ζεκείνπ ηζνξξνπίαο. Πξάγκαηη, ε Maximin ηηκή ηνπ παίθηε Α (πγγξαθέαο) είλαη ίζε κε 100 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α3 θαη Β3) θαη ε Minimax ηηκή ηνπ παίθηε Β (Δθδόηεο) είλαη ίζε κε 120 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α1 θαη Β3). Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α1 80 120 120 80 Α2 160 90 80 80 Α3 140 140 100 100 100 Col Max 160 140 120 Minimax 120 120 100 Δρώηημα 2 Αθνύ δελ ππάξρεη θνηλό ζεκείν ηζνξξνπίαο (δειαδή δελ ππάξρνπλ αληίζηνηρεο ακηγείο ζηξαηεγηθέο πνπ ζα κπνξνύζαλ λα ηζνξξνπήζνπλ νη δύν παίθηεο) ζα πξνρσξήζνπκε ζηνλ εληνπηζκό κεηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. πλερίδνπκε κε ηε δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ. Γελ ππάξρεη ππνδεέζηεξε ζηξαηεγηθή από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε Α. Από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε Β ε ζηξαηεγηθή Β2 είλαη ππνδεέζηεξε ηεο Β3. Έηζη, κεηώλεηαη ε δηάζηαζε ηνπ πίλαθα πιεξσκώλ ν νπνίνο δίλεη ηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 3 2, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο. Β1 y 1 Β3 y 3 Α1 80 120 Α2 160 80 Α3 140 100 ηε ζπλέρεηα εθαξκόδνπκε ηε γξαθηθή δηαδηθαζία επίιπζεο. Ολνκάδνπκε y 1 ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Β λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β1 θαη y 3 ηελ πηζαλόηεηα λα εθαξκόζεη ηε ζηξαηεγηθή Β3 κε y 1 + y 3 = 1. Γηα ηνλ παίθηε Β πνπ έρεη δύν ζηξαηεγηθέο δηαηππώλνπκε ηηο αθόινπζεο ζρέζεηο: V(B, A1) = 80y 1 + 120y 3 V(B, A2) = 160y 1 + 80y 3 V(B, A3) = 140y 1 + 100y 3 Φέξνπκε δύν παξάιιεινπο θαηαθόξπθνπο άμνλεο κε ίδηα θιίκαθα κέηξεζεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο κία κνλάδα θαη νη νπνίνη αληηπξνζσπεύνπλ ηηο δύν ζηξαηεγηθέο ηνπ παίθηε B. Ο νξηδόληηνο άμνλαο παξηζηάλεη ηηο ηηκέο ηεο πηζαλόηεηαο y. ηε ζπλέρεηα θέξνπκε ηα επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ παξηζηάλνπλ ηηο πιεξσκέο ζηνλ παίθηε Α, δειαδή ηα V(B, Ai), i=1,2,3 πνπ βξήθακε παξαπάλσ. Γηα λα ραξάμνπκε ηα ηξία απηά επζύγξακκα ηκήκαηα αξθεί λα ζπλδέζνπκε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο από ηνλ πίλαθα πιεξσκώλ ζηνπο δύν άμνλεο θαη πην ζπγθεθξηκέλα, γηα λα ραξάμνπκε ηελ επζεία πνπ αληηζηνηρεί ζην V(B, A1) ζπλδένπκε ην 80 κε ην 120, γηα ην V(B, A2) ζπλδένπκε ην 160 κε ην 80 θαη γηα ηελ επζεία V(B, A3) ζπλδένπκε ην 140 κε ην 100. Γελ έρεη ζεκαζία αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε πξώηα ηνλ αξηζηεξό ή ην δεμηό θαηαθόξπθν άμνλα γηα ηε δηαδηθαζία ηεο ράξαμεο. ην ζρήκα καο, νη ηηκέο ηεο ζηήιεο ηεο Β3 είλαη ζηνλ δεμηό θαηαθόξπθν άμνλα θαη ηεο Β1 ζηνλ αξηζηεξό αιιά απηό ζα κπνξνύζε λα ήηαλ θαη αληίζηξνθα ρσξίο πξόβιεκα. Απιώο, ζηελ πεξίπησζε απηή ζα είρακε έλα ζπκκεηξηθό (σο πξνο απηό πνπ απεηθνλίδεηαη εδώ) ζρήκα, κε ηα ίδηα απνηειέζκαηα.

Δπεηδή ν παίθηεο Β επηιέγεη minimax ζηξαηεγηθή, απηό ζεκαίλεη όηη επηιέγεη ην ειάρηζην από ηα κέγηζηα. Άξα ζα αθνινπζήζεη ηελ ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζηελ αλώηεξε πεξηνρή ηνπ ζρήκαηνο θαη ε νπνία παξνπζηάδεηαη κε έληνλε θόθθηλε γξακκή. Δπάλσ ζ απηήλ, ζα επηιέμεη ην ρακειόηεξν (minimax) ζεκείν, δειαδή όπσο ζεκεηώλεηαη, ην ζεκείν Κ. πλεπώο, ε ζηξαηεγηθή A2 ηνπ παίθηε A απνξξίπηεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ minimax ζεκείνπ (Κ) θαη ε δηάζηαζε ηνπ πξνβιήκαηνο γίλεηαη 2x2 κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα πιεξσκώλ ζηνλ νπνίν αληηθαηαζηήζακε ηηο πηζαλόηεηεο y1 θαη y3 κε y θαη 1-y. Δπίζεο πξνζζέζακε ηηο πηζαλόηεηεο x θαη 1-x γηα ηνλ παίθηε Α. Β1 y Β3 1-y Α1 x 80 120 Α3 1-x 140 100 ην ζρήκα, κε ηα πξάζηλα βέιε ζεκεηώλεηαη ην ζεκείν ζην νπνίν βξίζθεηαη ε βέιηηζηε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο y 3 πνπ είλαη 0,75 θαη ε αληίζηνηρε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ζηνλ θάζεην άμνλα (V=110). Γηα λα εληνπίζνπκε όκσο κε αθξίβεηα ηηο ηηκέο ζπλερίδνπκε αιγεβξηθά. Δπηιύνπκε ινηπόλ ην παίγλην σο πξόβιεκα δηάζηαζεο 2 2. Γηα ηνλ παίθηε B έρνπκε όηη V(B, A1)=V(B, A3) από όπνπ πξνθύπηεη όηη: 80y + 120(1-y) = 140y +100(1-y) πνπ δίλεη -40y + 120 = 40y + 100 πνπ δίλεη 80y = 20. Άξα y = 1/4 θαη 1-y = 3/4. ην ζρήκα, ππνδεηθλύεηαη κε βέινο, ην ζεκείν ηεο πηζαλόηεηαο 1-y = 0,75 (ηεο ζηξαηεγηθήο Β3) θαη ε y είλαη θπζηθά ίζε κε 0,. Η ηηκή ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ησλ πηζαλνηήησλ απηώλ ζε νπνηνδήπνηε από ηα V(Β, Α1) ή V(Β, Α3) δειαδή είλαη V = 80 (1/4) + 120 (3/4) = 110 (όπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα). Γηα ηνλ παίθηε Α, έρνπκε όηη: V(A, B1) = 80x + 140(1-x) = -60x + 140 V(A, B3) = 120x + 100(1-x) = 20x + 100 Θέηνληαο V(A, B1) = V(A, B3) παίξλνπκε 80x = 40, άξα x = 1/2 νπόηε 1-x = 1/2.

Η ηηκή ηνπ παηγλίνπ επαιεζεύεηαη μαλά κε αληηθαηάζηαζε ησλ πηζαλνηήησλ απηώλ ζε νπνηνδήπνηε από ηα V(A, B1) ή V(A, B4) δειαδή είλαη γηα παξάδεηγκα: V = V(A, B1) = -60 (1/2) + 140 = 110 (ε ηηκή απηή θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα). πλνςίδνληαο, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο : Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Α: (1/2, 0, 1/2) Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Β: (1/4, 0, 3/4) Σηκή ηνπ παηγλίνπ V = 110. Δπνκέλσο, καθξνπξόζεζκα, αλακέλεηαη όηη ε ακνηβή ηνπ ζπγγξαθέα αλέξρεηαη θαηά κέζν όξν ζηα 110.000 επξώ. Απηό ζεκαίλεη όηη εάλ πνιιά ηέηνηα ζπκβόιαηα ππνγξαθνύλ θαζώο εμειίζζεηαη ν ρξόλνο, ην παξαπάλσ κνληέιν δίλεη ηελ κέζε απόδνζε θαη ηε βέιηηζηε ζηξαηεγηθή γηα ηνπο δύν παίθηεο.

ΘΔΜΑ 7 ο Αξρηθά, ζα πξέπεη λα δηακνξθώζνπκε ην tableau πνπ δόζεθε ζε ηξόπν ώζηε λα ελζσκαηώλεηαη ε απαίηεζε απνζηνιήο γηα ηνπιάρηζηνλ 100 θνύηεο θαξκάθνπ από Chicago ζε Boston. Γηα ην ζθνπό απηό ρσξίδνπκε ζηα δύν ηε γξακκή πνπ αληηζηνηρεί ζην Chicago : κία γξακκή πνπ εμαθνινπζεί λα επηγξάθεηαη Chicago θαη κία δεύηεξε γξακκή κε ηελ επηγξαθή (έζησ) C2. H δηαζεζηκόηεηα ηεο θαηλνύξηαο γξακκήο είλαη 100, θαη ην κόλν θειί ζην νπνίν κπνξεί λα ζηείιεη πξντόληα είλαη ην Boston. ε όια ηα άιια θειηά απαγνξεύνπκε ηελ απνζηνιή πξντόλησλ ζέηνληαο απιά ην θόζηνο κεηαθνξάο ίζν κε Μ (Μ ). Φπζηθά, από ηε δηαζεζηκόηεηα ησλ 1,000 ηεκαρίσλ ηεο γξακκήο Chicago, πξέπεη λα αθαηξεζνύλ 100 κνλάδεο. Chicago C2 Memphis New Orleans Boston Denver Houston Phoenix 4 6 11 Μ Μ Μ 10 5 3 9 12 7 2 8 900 100 800 700 500 750 800 450 Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ : 7 2 2 2 2 Μ- 4 2 2 2 2 Ζήτηση 5 5 1 2 1 3 2 3 1 3 2 2 1 1 1 2 1 1 1 Προσφορά 4 6 11 900 900 900 900 900 150 750 150 Μ Μ Μ 100 0 100 10 5 3 9 800 800 800 400 300 300 400 100 300 12 7 2 8 700 700 0 700 500 750 800 450 400 750 800 450 400 0 750 750 100 100 450 450 750 0 450 0 450

Η ιύζε απηή έρεη 7 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά u i, v j θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δ ij = u i + v j - c ij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο δηαπηζηώλνπκε όηη ε ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δ ij 0 i, j) θαη ζπλεπάγεηαη ζπλνιηθό θέξδνο ηεο ηάμεο ησλ 14,350 ρξεκαηηθώλ κνλάδσλ. u 0 1-2 -3 v 12 4 5 11-1 4-1 6 11 750 150 5-Μ Μ 6-Μ Μ 12-Μ Μ 100 10-2 5 3 9 400 100 300-3 12-6 7 2-6 8 700 900 100 800 700 500 750 800 450 Οπόηε, επαλαθέξνληαο ζην tableau ηε δνζείζα πξαγκαηηθή κνξθή έρνπκε σο βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο ην : Chicago Memphis New Orleans Boston Denver Houston Phoenix 4 6 11 1,000 100 750 150 10 5 3 9 800 400 100 300 12 7 2 8 700 700 500 750 800 450 00

ΘΔΜΑ 8 ο A 0 2 B 2 5 2 0 2 3 2 5 START E 5 6 F 6 8 1 10 11 2 11 I 15 2 15 G 5 9 H 9 4 5 9 4 9 FINISH C 0 2 D 2 4 2 1 3 2 3 5 ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΥΡΟΝΙΚΟ ΠΔΡΙΘΩΡΙΟ A 0 B 0 C 1 D 1 E 5 F 5 G 0 H 0 I 0 Αλακελόκελε Κξίζηκε Γηαδξνκή: A B G H I Αλακελόκελνο ρξόλνο νινθιήξσζεο ηνπ έξγνπ: 15 εβδομάδες. Η αλακελόκελε θξίζηκε δηαδξνκή έρεη κέζε ηηκή κ = 15 θαη δηαζπνξά ζ 2 (1.028) 2. Σόηε 15 15 Prob Z 0.99 2.33 17.39 1.028 1.028 θη άξα ζα πξέπεη λα μεθηλήζνπλ λα εξγάδνληαη 17.4 εβδνκάδεο πξηλ ηελ εκεξνκελία έλαξμεο ηεο κεηεθπαίδεπζεο