Στατική Ανάλυση Ναυπηγικών Κατασκευών

Στατική Ανάλυση Ναυπηγικών Κατασκευών Ενότητα 2: Ελαστικός λυγισμός πρισματικών φορέων Αλέξανδρος Θεοδουλίδης

Η χρήση κολονών (υποστυλωμάτων) είναι πολύ διαδεδομένη στα πλοία καθ όσον χρησιμοποιούνται για την μείωση του ανυποστήρικτου μήκους δοκών και για τη μεταφορά/διανομή κατακόρυφων φορτίων. Τα υποστυλώματα δέχονται θλιπτικά φορτία και πρέπει να ελέγχονται για λυγισμό (ειδικά αυτά που έχουν μεγάλο μήκος) 1

Έντονα θλιπτικά φορτία δέχονται επίσης διάφορα ενισχυτικά του πλοίου κυρίως στο κατάστρωμα και στον πυθμένα, λόγω της κάμψης στο κατακόρυφο επίπεδο (hogging-sagging). 2

Αντικείμενο της παρούσας ενότητας είναι ο έλεγχος έναντι λυγισμού, πρισματικών φορέων που δέχονται θλιπτικά φορτία. Ο λυγισμός εξαρτάται κυρίως από τις γεωμετρικές ιδιότητες της διατομής του φορέα, παρά από τις μηχανικές ιδιότητες του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένος. 3

Λυγισμός ονομάζεται η ασταθής κατάρρευση ενός πρισματικού φορέα υπό την επίδραση θλιπτικών φορτίων που υπερβαίνουν κάποια τιμή. Ο λυγισμός μπορεί να ξεκινήσει λόγω μικρής εκκεντρότητας του φορτίου ή λόγω κατασκευαστικών ατελειών/ ανομοιομορφιών των πρισματικών φορέων. Η μαθηματική προσέγγιση στο πρόβλημα ξεκίνησε τον 18ο αιώνα από τον Euler, ο οποίος πρότεινε μια σχέση για τον προσδιορισμό του κρίσιμου φορτίου ελαστικού λυγισμού. Ως κρίσιμο φορτίο P cr λυγισμού ορίζεται το ελάχιστο θλιπτικό φορτίο το οποίο μπορεί να προκαλέσει λυγισμό του φορέα. Ασταθής ισοροπία 4

Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού κατά Euler δίδεται από τη σχέση: Όπου: Pcr το κρίσιμο φορτίο λυγισμού, Ε το μέτρο ελαστικότητας, P cr = k π 2 L 2 E I Ι η ροπή αδράνειας της εγκάρσιας διατομής περί τον άξονα κάμψης, L το μήκος του φορέα, K σταθερά εξαρτώμενη από τον τρόπο στήριξης του φορέα. Η ανωτέρω σχέση δίνει ορθότερα αποτελέσματα στην περίπτωση που έχουμε μεγάλο μήκος. Για μικρότερα μήκη η σχέση του Euler υπερεκτιμά το κρίσιμο φορτίο λυγισμού. 5

Έστω ότι ο φορέας του διπλανού σχήματος είναι τέλειος (perfect column) και ότι το ασκούμενο θλιπτικό φορτίο P είναι απόλυτα κεντραρισμένο. Αν το P συνεχώς αυξάνει το μήκος του φορέα θα μικραίνει χωρίς ο φορέας να κάμπτεται. Όταν η θλιπτικές τάσεις υπερβούν την τάση διαρροής θα επέλθει κατάρρευση του φορέα. Αν ταυτόχρονα με το φορτίο Ρ ασκηθεί και ένα οριζόντιο φορτίο F τότε θα συμβούν τα ακόλουθα: P<P cr P=P cr P>P cr Μετά την απομάκρυνση του φορτίου F ο φορέας θα επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. Μετά την απομάκρυνση του φορτίου F ο φορέας θα παραμείνει στη θέση που πήρε λόγω του F. Ο Φορέας θα καταρρεύσει λόγω λυγισμού. 6

Θεωρία του Euler Αμφιέρειστη δοκός 7

Θεωρία του Euler Διάφορες περιπτώσεις στήριξης Πάκτωση -πάκτωση P cr = 2 4π EI 2 L Πάκτωση ελεύθερο άκρο P cr = 2 π EI 2 4L 10

Θεωρία του Euler Διάφορες περιπτώσεις στήριξης Πάκτωση -άρθρωση P cr = 2 2 05π EI 2 L 11

Θεωρία του Euler Διάφορες περιπτώσεις στήριξης Γενικά το κρίσιμο φορτίο λυγισμού μπορεί να γραφεί στη μορφή: Όπου L e είναι το ισοδύναμο μήκος το οποίο εξαρτάται από τον τρόπο στήριξης του φορέα στα άκρα και δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις ανάλογα με την περίπτωση: Αρθρώσεις και στα δύο άκρα Πακτώσεις και στα δύο άκρα Ένα άκρο πακτωμένο και ένα ελεύθερο Ένα άκρο πακτωμένο και ένα αρθρωμένο L e = 1.0 * L L e = 0.5 * L L e = 2.0 * L L e = 0.7 * L 12

Θεωρία του Euler Διάφορες περιπτώσεις στήριξης Buckledmodel, από Saint Martin με άδεια CC BY-SA 3.0 13

Ακτίνα αδράνειας (radius of gyration): Ferdinand P. Beer, E Russell Johnston, John T. Dewolf, David F. Mazurek, Mechanics of Materials, Mc Graw Hill 14

Σχεδιασμός υποστυλωμάτων (Ferdinand P. Beer, E Russell Johnston, John T. Dewolf, David F. Mazurek, Mechanics of Materials, Mc Graw Hill) 15

Επίδραση της μορφολογίας της διατομής Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού εξαρτάται έντονα από το λόγο λυγηρότητας, και κατά συνέπεια από το μήκος του φορέα και τη μορφολογία της διατομής. Ένας φορέας θα λυγίσει σε μία κατεύθυνση που είναι κάθετη στον άξονα ως προς τον οποίο ελαχιστοποιείται η ακαμψία ΕΙ. Π.χ μια δοκός τύπου Ι θα λυγίσει κατά τον άξονα G y. 16

Κοντοί/ενδιάμεσοι φορείς SR C = π 2 E σ y Είναι η κρίσιμη τιμή του λόγου λυγηρότητας. Συνήθως λαμβάνεται σ pl =σ y /2 Η θεωρία του Euler ισχύει για φορείς με μεγάλο λόγο λυγηρότητας. 17

Πραγματική συμπεριφορά Περιοχή Α Η μέγιστη τάση ελέγχεται από το όριο διαρροής και αφορά βραχύκορμους φορείς Περιοχή Β Η μέγιστη τάση αποκλίνει από την τάση Euler και όριο διαρροής και αφορά μεσαίου μεγέθους φορείς Περιοχή Γ Η μέγιστη τάση ελέγχεται από το από την τάση Euler και αφορά υψίκορμους φορείς

Κοντοί/ενδιάμεσοι φορείς Johnson Formula Όταν: L r < SR C = π 2 E σ Για τον υπολογισμό της κρίσιμης τάσης λυγισμού χρησιμοποιείται η σχέση του Johnson: y σ cr = P cr A = σ y 1 (L e / r) 2 (SR cr 2 ) 2 Όπου Α η επιφάνεια της διατομής, L e το ισοδύναμο μήκος του φορέα και P cr το κρίσιμο φορτίο λυγισμού. 19

Κοντοί/ενδιάμεσοι φορείς Συνιστώμενοι υντελεστές ασφάλειας Α) Κοντά υποστυλώματα Β) Ψηλά υποστυλώματα 20

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Στις περισσότερες των περιπτώσεων το θλιπτικό φορτίο Ρ ασκείται με κάποια εκκεντρότητα, έστω e. Στην περίπτωση αυτή η έκκεντρη δύναμη μπορεί να προσομείωθεί με μιά κεντρική θλιπτική δύναμη ίσου μεγέθους Ρ αλλά και μια ταυτόχρονη καμπτική ροπή Μ Α =Ρ e. 21

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Στις περισσότερες των περιπτώσεων το θλιπτικό φορτίο Ρ ασκείται με κάποια εκκεντρότητα, έστω e. Στην περίπτωση αυτή η έκκεντρη δύναμη μπορεί να προσομείωθεί με μιά κεντρική δύναμη ίσου μεγέθους Ρ αλλά και μια ταυτόχρονη καμπτική ροπή Μ Α =Ρ e Η καμπτική ροπή κατά μήκος της δοκού δίδεται άπό τη σχέση: και η εξίσωση της ελαστικής γραμμής παίρνει τη μορφή: ή όπου: 22

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Η γενική λύση της τελευταίας διαφορικής εξίσωσης γράφεται: Από την εφαρμογή της οριακής συνθήκης στο Α προκύπτει ότι Β=e. Από την οριακή συνθήκη στο Β προκύπτει: Με αντικατάσταση των σταθερών Α και Β η λύση της διαφορικής γράφεται: 23

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Η μέγιστή τιμη του βέλους κάμψης στη θέση L/2 υπολογίζεται από τη σχέση: Ή με αντικατάσταση της παραμέτρου p: Το μέγιστο βέλος κάμψης απειρίζεται όταν: Εναλλακτικά το μέγιστο βέλος κάμψης γράφεται: 24

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Η τάση μεγιστοποιείται στο κέντρο της δοκού, όπου έχουμε και τη μεγιστοποίηση της καμπτικής ροπής και η τιμή της δίδεται από τη σχέση: Από το διάγραμα καμπτικών ροπών της δοκού προκύπτει: Κατά συνέπεια: Εναλλακτικά η τελευταία σχέση γράφεται: Η τελευταία σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιαδήποτε στήριξη, αρκεί κάθε φορά να λαμβάνεται υπόψη το αντίστοιχο κρίσιμο φορτίο. 25

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Αν στην τελευταία σχέση αντικαταστήσουμε τη ροπή αδράνειας Ι μέσω της σχέσης Ι=r 2 A, τελικά καταλήγουμε στη σχέση: Η οποία είναι γνωστή ως η «σχέση της τέμνουσας» ( secant formula ). Στη σχέση αυτή το ισοδύναμο μήκος λυγισμού L e θα πρέπει να λαμβάνεται ανάλογα με τις εφαρμοζόμενες οριακές συνθήκες στα άκρα της δοκού. Η ανωτέρω σχέση μας δίνει τη θλιπτική δύναμη ανά μονάδα επιφανείας, για δεδομένο υποστύλωμα και δεδομένη εκκεντρότητα, η οποία προκαλεί συγκεκριμένη μέγιστη τάση. Εφόσον η «σχέση της τέμνουσας» είναι μια υπερβατική εξίσωση, για τον υπολογισμό του (Ρ/Α) θα πρέπει να καταφύγουμε σε αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης. 26

Έκκεντρη αξονική φόρτιση Από τη σχέση της τέμνουσας μπορεί να προκύψουν διαγράμματα σαν τα ακόλουθα, τα οποία για δεδομένο υποστύλωμα και δεδομένη εκκεντρότητα μας δίνουν την τιμή Ρ/Α η οποία προκαλεί τάσεις ίσες με το όριο διαροής. Παρατηρούμε ότι για υψίκορμα υποστυλώματα η εκκεντρότητα του θλιπτικού φορτίου επηρεάζει ελάχιστα την αστοχία του υποστυλώματος και τα αποτελεσματα συγκλίνουν στη σχέση του Euler. 27

Βιβλιογραφία 1. Mohamed Shama: Buckling of Ship Structures, Springer, 2013 2. C. M. Wang, C. Y. Wang, J. N. Reddy: Exact solutions for buckling of structural members, CRC Series in COMPUTATIONAL MECHANICS and APPLIED ANALYSIS, 2005. 3. Timoshenko, S.: Strength of Materials Part II-Advanced Theory and Problems, D. Van Nostrand Inc., 1947. 4. Megson, T.H.G: Structural and Stress Analysis, Butterworth- Heinmann 1996

Τέλος Ενότητας