Λύσεις ασκήσεων 6. y + y, y() y( ) Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ λ k > y(x) As(kx) + Bsi(kx) y() A y() Bsi(k) B k,,,.. y (x) Bsi ( x ),,,.. ιδιοσυναρτήσεις Αν λ τετριμένη λύση. Οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ροβλήματος S είναι λήρες σύνολο ορθογωνίων συναρτήσεων. Κάθε συνάρτηση f(x) μορεί να ανατυχθεί σε σειρά τέτοιων συναρτήσεων. x x f ( x) e si Οι συντελεστές του ανατύγματος υολογίζονται ως εξής: I (y, f) (y, y ) si ( x ) ex dx si ( x ) dx si (x ) ex dx I si ( x ) s (x ex x dx [ e ) s (x ] ) e x dx -e s() + s (x ) ex dx x (-e s()) + {[si ( ) ( - e ( ) ) + - e I + e x ] (-e ( ) ) ( ) I ( ) si (x ) e x dx}
. x t x x, (, (, ομογενείς ΣΣ (x,)x μη ομογενής ΣΣ ( x, y) X ( x) T ( XT X T X T X T Αναζητούμε αρμονική λύση για Χ(x) λόγω ΣΣ. A) b) k X As(kx) + Bsi(kx) X -Aksi(kx) + Bks(kx) k (, X () Bk B x A (, X () -Ak si( k) k,,,.. x x X(x) s,,,.. X X Ax + B X A X B Συνδυάζοντας Α+Β x X(x) s,,,,.. T T k T ( e t T T Οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ( x, t x s e,,,,.. Και οι ιδιοτιμές Η γενική λύση με την αρχή της υέρθεσης είναι γραμμικός συνδυασμός όλων των ιδιοσυναρτήσεων. (x, s ( x ) e t ()
(x, ) s ( x ) x f(x) αρχική συνθήκη A Εάν >, (y,f) (y,y ) (s( x x (s( ),x) x xs( )dx ),s(x )) s ( x )dx {[xsi (x ) ] si (x ) (s ) (( ) ) Β Εάν (y,f) (y,y ) (,x) Άρα (x, 4 εριττός xdx (,) dx dx} [x] s ( x ) t e [s (x ) ( ) ] 3) - x f ( k t k t / ( / t H συνάρτηση είναι ορισμένη σε ημιδιάστημα της μορφής [,α]. Για να την ανατύξομε ως σειρά Frier συνημιτόνων, είναι ααραίτητο να την ροεκτείνομε ως άρτια συνάρτηση στο διάστημα [-/,/], όως στο Σχήμα. Οι συντελεστές του ανατύγματος είναι a k t a f ( dt / t + t k f ( dt t f ( s dt / k tdt + k + 8 / ( k + 8 t k f ( s dt / dt / t k t s dt + / t ( s dt
/ / t s ( t ) dt si (t [t ) / / si (t ] ) dt si ( ) + [s ( t ) / ( ] ) si ( ) + ( ) (s ( ) ) ( s ( t ) dt si (t [( ) ] si ( ) s (t [ ) ( ]/ ) / / ( ) si ( ) ( ) (s() s ( )) a 4k [ si ( ) + ( ) 4k ( ) ( ) (s() s ( ))] ( s ( (s ( ) ) si ( ) si (t ) dt 4k ) s() ) ( s () s() ) f( a + a s ( t ) k + 4k ( s () s() ) a a 3 a 5... a k 4k ( ) a 4 4k 4 ( ) a 6 6k 6 6k f( k 6k [ s (t ) + s (6t 6 ) +.... ] 4) x t (, (, t () ( x,) () ομογενείς ΣΣ
( x, ) f ( x) (3) μη ομογενής ΣΣ X T X T x t X x T t X T XT XT (, ) ( ) ( ) + X T X T Αναζητούμε αρμονική λύση για Χ(x) λόγω ΣΣ. k X As(kx) + Bsi(kx) () X() A B () X() Bsi(k) k,,,.. x X(x) Bsi,,,.. (4) Αν λ, και η λύση αό την (4) είναι τετριμένη T T α ( + k ) α ( + ) < T C s(ω + D si( ω όου ω α + t () T () T ( Cω si( ω + Dω s(ω T () Dω D T( s(ω s (α + Οι ιδιοσυναρτήσεις ενώνοντας τις λύσεις είναι x si s + t Η γενική λύση με την αρχή της υέρθεσης είναι ( x, x + t si s
(3) ( x,) ( y, f ) ( y, y ) x x si x si x si, f,si f ( x) x si f ( x) dx x si dx x si f ( x) dx 5) H συνάρτηση f ( x) si x στο διάστημα -<x<, μορεί όως κάθε συνάρτηση είναι άρτια μορεί να ανατυχθεί ως σειρά Frier. Εειδή είναι άρτια, θα είναι σειρά Frier συνημιτόνων. Το μήκος του διάστηματος είναι. Άρα f(x) si x a + a s ( x ) a + a s(x) a si x dx si x dx [ s x] a si x s (x ) dx si x s(x) dx s( + )x [ + [si( + ) x + si(( )x)]dx [ + + + + [ + s( )x ] s + + ( ) ( ) s( + ) + + ( ) ( ) εριττός 4 (-4κ ) κ άρτιος si x 4 4 s(x) Θεώρημα Parseval f ( x) a + ( a + b ) s( ) ] + s ] [ + ( ) ( + + ) ] Εφαρμόζομε για την f(x) six στο διάστημα [-,] si x dx 4 + (4 4 )
si x dx 4 + 8 ( 4 ) s x ( 4 ) dx 4 + 8 ( 4 ) ( 4 ) 8 6 6) + t x y (, y, (, y, ( x,, ( x,, () () ομογενείς ΣΣ x, y,) T (3) αρχική συνθήκη ( X ( x) T ( y) T ( XYT X YT + XY T X Y T + X Y T X T Y X T Y Αναζητούμε αρμονική λύση για Χ(x) λόγω ΣΣ. λ k < X As(k x) + Bsi(k x) () X() A () X() Bsi(k ) B k,,,.. X(x) si ( x ),,,.. (4) Αν λ, και η λύση αό την (4) είναι τετριμένη Y T + Y T k k (Αναζητούμε αρμονική λύση για Y(y) λόγω ΣΣ). Ομοίως Y(y) si ( my ), m,,.. k m/ T k T Άρα ( ) ( ) ( ) ( m + )t k k t + + k T t De De Ενώνουμε τις λύσεις. Οι ιδιοσυναρτήσεις είναι m x my si si e ( m + )t m,,,.. Η γενική λύση με την αρχή της υέρθεσης είναι
( x, y, m m x my si si e x ( m + )t my ( 3) ( x, y,) si si T f ( x y) m ( ym, f ) ( y, y ) m m my si dy m my my s si dy m m, x my x my si si T dxdy T si dx si dy x my x my si si dxdy si dx si dy x si dx / m ( s( m )) m m άρτιος m ό Ομοίως x si dx άρτιος εριττός Άρα m 6 T m T αν m, ί m 4 διαφορετικά 6T ( ) ( + m ) t / x, y, t si si e m, m x my