ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. ) Δικρίνουμε τις εριτώσεις >e, <<e. Βρίσκουμε ( g() e ln f() )l n, e l n, > e (, e).γι την ερίτωση >e η g δεν έχει κρόττ, οότε ρέει <<e κι g()( -)ln. Αν (, ) τότε ln < κι η g έχει μέγιστο οότε (, ). Αν τότε g() κι η g έχει ελάχιστο το. Αν (,e) τότε ln> κι κι η g έχει ελάχιστο. Τελικά λοιόν [,e). ) Το ζητούμενο εμδό είνι Ε g ( ) d.εειδή g () ( )ln -, γι [-, ]. Έτσι Ε 4 ( ) d Ε.. ) Θέτουμε όου το 4- κι ό το σύστημ ου ροκύτει ρίσκουμε f()66-. ) Είνι g() Εειδή + 66, (, ) (,+ ). ln g ( ) κι (g()- ) - R, η C + f δεν έχει οριζόντιες ή λάγιες σύμτωτες.είνι + g() R κι + g() +, g() - οότε η C f έχει κτκόρυφη σύμτωτη την ευθεί. Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
γ) Είνι h() (66-) - +66, Rκι h ( ) d [h ()] - ( ) h ( ) d h ()- h ()-[h()] h ()- h ()-h()+h(). Γι ν ισχύει η ισότητ h ( ) d h()-h(),ρκεί h ()- h (), γι 6 κτάλληλες τιμές των,.έχουμε h () - +6 ή. 6 Ειλέγοντς κι ίρνουμε το ζητούμενο.. ) Πργωγίζοντς κι τ μέλη της δοθείσς σχέσης ίρνουμε f ()[(f()) +(f()) +e f() ], γι κάθε R. Η ράστση εντός της γκύλης είνι θετική, άρ f () γι κάθε R,συνεώς f()c. Η στθερά c είνι ρνητική, διότι ν c τότε στη δοθείσ σχέση το ο μέλος θ ήτν μη ρνητικό ενώ το ο ρνητικό (άτοο). c ) Είνι g(),.έχουμε : e g(), + g() -c, + g() -, g() +. Άρ η ευθεί y είνι οριζόντι σύμτωτη στο +, η ευθεί y -c είνι οριζόντι σύμτωτη στο - κι η κτκόρυφη σύμτωτη. 4. ) Έχουμε f ()+f() e (f ()+f()) e (e f()) ( e ) e f() e +c, c στθερά.γι : e f() e +c e++c ce. Άρ f()+e -, R. Είνι λοιόν y + ( f(y)) ( (+e -y )) y + (+e -y ) y + θ έ τουµε y t (+e t ) +. t ) f () - e -, f () e - >,άρ η f είνι κυρτή στο R. 5. ) f(g ())(f f f)(),άρ f ( g ( )) d [ ]. ) 6 66 +, άρ ( f f f )( t) dt f ( f ( )) d g ( ) d Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
g() g(). 6. ) Θέτουμε στη δοθείσ όου το +4 : f(+4)+f(+) () Θέτουμε στη δοθείσ όου το + : f(+)+f() () Αό () κι () : f(+4)f(). 5 5 ) f ( + 5 ) d f ( + + 4 ) d f ( + ) d 5 + u 6 f ( u) du. 7. ) Η δοθείσ ισότητ γράφετι (f()-4)(f ()+f()+), οότε f() 4. 4 ) I J K + + d 5 + + + 5 4 d d + + + 4 + + d + d + + 4 + d + + 47 ( ) d.. ) Θέτουμε -t u κι ίρνουμε f() g ( u) du, οότε f () g(-), f () 4g (-) κι με ρόσθεση των f (), f () ίρνουμε το ζητούμενο. ) Είνι g()> κι g (), οότε g(-) >, g (-).Λόγω του () θ είνι f ()+ f () > h ()> h γνησίως ύξουσ. 9. ) Είνι f ( ) d f ( ) d + f ( ) d. Γι το f ( ) d θέτουμε - u κι τότε υτό είνι ίσο με f ( ) d ν η f είνι άρτι, ενώ είνι ίσο με f ( ) d ν η f είνι εριττή. ) Η ρος ολοκλήρωση συνάρτηση είνι εριττή άρ Ι. Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
z. ) g () 5 ( f ( u ) du ) dz, g () f ( u 5 ) du, g () () f( 5 ), R. g( ) ( ) ( ) ( ) ) g g ( ) 6( ) g ( ) 6 () f ( 5 ) 6. γ) Εειδή η f είνι συνεχής κι γι κάθε Rείνι f (), θ είνι f() > γι κάθε R ή f() < γι κάθε R. Άρ g () () f( 5 ) > γι κάθε R ή g () () f( 5 ) < γι κάθε R. Εομένως η g είνι γνησίως μονότονη στο R. 5 γ) J συν d + d συν + d συν + d συν () + + + συν d ( εφ -εφ) 6.. ) f() g() γι κάθε [, ], εομένως ( ) όου ίρνουμε το ζητούμενο. ) - f () f() () ( f g( )) d, f γι κάθε [, ], οότε λόγω του () : - f ) ( d f ) d ( f ( ) d f ) d ( f ( ) d. γ) Λόγω των () κι () είνι : ( συν ( e + ) + ηµ ) d ( e + ) + ηµ d συν ( e + ) + [ + ] 5. ( συν ηµ ) d ( ) d + Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
δ) Αν υάρχει τότε φ ( ) d 4d φ() φ(-) 4 (άτοο). ) ) Εειδή f() θ είνι f() f() άρ το f() είνι ελάχιστο της f. ) Αό το θεώρημ Fermat : f (). Μετά ό ράξεις ίρνουμε το ζητούμενο. ) ) Η εξίσωση γράφετι ( + +) +( + +) 7 + + + ( +) +( +) 7 + + Θεωρούμε τη φ() + 7 +, η οοί είνι γνησίως ύξουσ στο R, άρ κι, εομένως η εξίσωση τώρ γράφετι φ( + +) φ( +) + + + ή. Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
+ + 9 ) Η νίσωση γράφετι ln + 5[( + + 9) ( + 4 + 7)] < + 4 + 7 ln( + + 9) +5( + + 9) < ln( + 4 + 7) + 5( + 4 + 7). Θεωρούμε την g() ln +5, η οοί είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) κι τώρ η νίσωση γράφετι g( + + 9) < g( + 4 + 7) + + 9 < + 4 + 7 + < (, ). z ) ) g () 5 ( f ( u ) du ) dz, g () f ( u 5 ) du, g () () f( 5 ), R. g( ) ( ) ( ) ( ) ) g g ( ) 6( ) g ( ) 6 () f ( 5 ) 6. γ) Εειδή η f είνι συνεχής κι γι κάθε Rείνι f (), θ είνι f() > γι κάθε R ή f() < γι κάθε R. Άρ g () () f( 5 ) > γι κάθε R ή g () () f( 5 ) < γι κάθε R. Εομένως η g είνι γνησίως μονότονη στο R. ) ) f() g() γι κάθε [, ], εομένως ( ) όου ίρνουμε το ζητούμενο. ) - f () f() () ( f g( )) d, f γι κάθε [, ], οότε λόγω του () : - f ) ( d f ) d ( f ( ) d f ) d ( f ( ) d. γ) Λόγω των () κι () είνι : ( συν ( e + ) + ηµ ) d ( e + ) + ηµ d συν ( e + ) + [ + ] 5. ( συν ηµ ) d ( ) d + Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
δ) Αν υάρχει τότε φ ( ) d 4d φ() φ(-) 4 (άτοο). +. ) Εφρμόζουμε το θεώρημ μέσης τιμής γι την f στ διστήμτ [, ], + + + [, ] οότε υάρχουν ξ (, ), ξ (, ) τέτοι ώστε + + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (ξ ) κι f (ξ ). Αν η f είνι κυρτή (κοίλη) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ (γνησίως φθίνουσ) οότε ξ < ξ f (ξ ) < f (ξ ) (f (ξ ) > f (ξ )) κι μετά τις ράξεις ίρνουμε το ζητούμενο. ) Η συνάρτηση f() e + στρέφει τ κοίλ άνω στο R, οότε ν εφρμόσουμε το () γι την f στο [, +], ίρνουμε το ζητούμενο.. ) Θέτουμε f () () g().τότε g () + g() ημ + συν e (g () + g()) e (ημ + συν) (e g()) (e ημ) e g() e ημ +c. Εειδή g() f () (), ροκύτει c, οότε g() ημ ή f () () ημ.αό την τελευτί ισότητ χρησιμοοιώντς κι τις ρχικές συνθήκες ίρνουμε διδοχικά f () - συν, f () - ημ, f() συν. ) ( f ) d συν d d ηµ ( ) ηµ ( ) συν ( 4 4 ) d ( εφ ( )) (διιρούμε ριθμητή κι ρονομστή με συν ( ) 4 ) - 4 εφ ( ) 4 d Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου
4. ) Αν είνι τυχίο σημείο του Rρκεί ν δειχθεί ότι a f() f(). Ότν ισχύει, +. Είνι a f() + t t f(t + ) t [5f(t)f( )] 5f( ) t f(t) 5f( )f() f( +) f(). ) Εειδή η f είνι συνεχής στο R η g είνι ργωγίσιμη στο R. Ισχύει g() g() g() g(). Εφρμόζουμε γι την g το θεώρημ Rolle στ διστήμτ [, ], [, ], [, 4],, [99, ] κι ίρνουμε το ζητούμενο. a 5. ) Εφρμόζουμε το θεώρημ Rolle γι την F() - συν + ημ - στο [, ], γι την οοί ισχύει F () f() κι F() F() -. ) Θ δείξουμε ότι η εξίσωση f() συν, έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, ). Εφρμόζουμε το θεώρημ Rolle γι την G() f ( t) dt - ημ στο [, ], γι την οοί ισχύει G () f() συν κι G() G(). Κργιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Δωδεκνήσου