3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια μιγαδικών εκθετικών διαφόρων συχνοτήτων Ωστόσο, οι συχνότητες αυτές δεν είναι διακριτές αλλά συνεχείς Έτσι η συνάρτηση έχει ένα συνεχές φάσμα Από την αναπαράσταση μίας συνάρτησης με εκθετική σειρά Fourir γνωρίζουμε ότι T / T / T / j T T T / T / T / c f ( ) d f ( ) d c T f ( ) d T Εδώ j είναι η φανταστική μονάδα ( j συνηθισμένο συμβολισμό i ) τη χρησιμοποιούμε αντί τον Παίρνοντας το όριο T τότε c T f ( ) d Συμβολίζουμε με F( ) f ( ) d και με αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση f() σε μία συνάρτηση με μεταβλητή τη κυκλική συχνότητα ω Αυτό ισχύει διότι T / οπότε και το ολοκλήρωμα θα εξαρτάται από το ω Παρατήρηση: Πολλές φορές στη βιβλιογραφία η μεταβλητή του ολοκληρώματος είναι t ωστόσο για επιλέγουμε τη χρήση της μεταβλητής είμαστε σε αρμονία με το συμβολισμό που επιλέξαμε στις σειρές Fourir Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται μετασχηματισμός Fourir και συμβολίζεται { f ( )} F( ) f ( ) d Την αντίστροφη δουλειά κάνει ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir f ( ) { F( )} F( ) d Με το μετασχηματισμό Fourir μας δίνεται η δυνατότητα να περιγράψουμε μη περιοδικές συναρτήσεις με τη χρήση συναρτήσεων με συχνότητα Δηλαδή μπορούμε να μετασχηματίσουμε συναρτήσεις στο πεδίο του χρόνου σε συναρτήσεις στο πεδίο συχνοτήτων Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι γενικά μία μιγαδική συνάρτηση Αυτό το βλέπουμε εύκολα διότι:
j F( ) f ( ) d f ( )(cos j si ) d f ( )cos d j f ( )si d Συμπεραίνουμε επίσης ότι, εάν η f( ) είναι άρτια συνάρτηση το ολοκλήρωμα f ( )si d είναι ως ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης σε συμμετρικό διάστημα Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourir άρτιων συναρτήσεων είναι πραγματική συνάρτηση Όμως εάν η f( ) είναι περιττή συνάρτηση το ολοκλήρωμα f ( )cos d είναι ως ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης σε συμμετρικό διάστημα Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourir περιττών συναρτήσεων είναι συναρτήσεις με φανταστικό μέρος μόνο Συμβολίζουμε A( ) f ( )cos d, ( ) f ( )si d οπότε F( ) ( ) jb( ) Το μέτρο F( ) A ( ) B ( ) και η φάση ( ) arcta B( ) A ( ) Για τον παλμό με πλάτος τ έχουμε συνεχές φάσμα : 9 8 F( ) 7 6 5 4 3 - -5 - -5 5 5 3 Σχέση μετασχηματισμού Fourir με μετασχηματισμό Laplac Εάν ορίσουμε τη συνάρτηση g( ) f( ) s j L{ f ( )}( s) F( s) f ( ) d f ( ) d g( ) d { g( )}( ) G( ) όπου θεωρήσαμε ότι s j
33 Γραμμικότητα Από τον ορισμό του, εύκολα προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός Fourir και αντίστροφός του είναι γραμμικός Δηλαδή έστω { f ( )} F( ), { g( )} G( ) τότε ισχύει: { af ( ) bg( )} a { f ( )} b { g( )} F( ) G( ) { af( ) bg( )} a { F( )} b { G( )} f( ) g( ) 34 Παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμού Fourir α) Ο μετασχηματισμός Fourir τετραγωνικού παλμού με πλάτος και διάρκεια, δηλαδή f ( ) u( / ) u( / ) y / / / / F( ) f ( ) d d d j ' / / / / j j j j si sic Όπου χρησιμοποιήσαμε ότι j j cos cos jsi jsi j j j si β) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) u( ) 3
' ( a j ) ( a j ) F( ) f ( ) d d d d lim b b ( a j ) ( a j ) b ( a j ) ( a j ) lim ( a j ) b ( a j ) ( a j ) ( a j ) γ) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) u( ) ( a j ) ( a j ) F( ) f ( ) d d d d ( a j ) b lim ( a j ) ( a j ) ( a j ) b lim ( a j ) b ( a j ) ( a j ) ( a j ) b ε) Για τη συνάρτηση δ του Dirac ' ( ) lim f ( ) lim ( ) ο μετασχηματισμός Fourir είναι ο ακόλουθος: F( ) { ( )} ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d Αυτό ισχύει αφού η συγκεκριμένη συνάρτηση μηδενίζει όλες τις άλλες τιμές εκτός αυτής στο και η τιμή της εκθετικής συνάρτησης στο είναι Ωστόσο, το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα υπολογίζει το εμβαδό του χωρίου που περικλείει η συνάρτηση και ο άξονας των Αυτό το εμβαδό ισούται με διότι από τον ορισμό της η συνάρτηση είναι ένα όριο της συνάρτησης που βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα Το σκιασμένο εμβαδό είναι φανερά ίσο με 4
/ Οπότε έχουμε ότι F( ) { ( )} και επίσης ισχύει {} ( ) στ) Ο μετασχηματισμός Fourir της σταθερής συνάρτησης f ( ) Δεν υπολογίζεται άμεσα με τη χρήση του ορισμού διότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα d δεν συγκλίνει Όμως μπορούμε να γράψουμε: f ( ) lim u( ) lim u( ) lim a a a u( ) u( ) Οπότε από τα γραμμικότητα και τα παραπάνω παραδείγματα έχουμε ότι: F( ) { f ( )} lim { u( )} { u( )} a a lim lim a ( a j ) ( a j ) a a Tο παραπάνω όριο όταν είναι άπειρο που σημαίνει ότι η συνάρτηση F ( ) για τη σταθερή συνάρτηση f ( ) είναι ένας στιγμιαίος παλμός (ρεύμα εκτόνωσης) ως προς Η ισχύς ενός στιγμιαίου παλμού ισούται με το εμβαδό της περιοχής που βρίσκεται ανάμεσα στην F ( ) και τον άξονα Το εμβαδό αυτό υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα: ά a a d d 4a d 4a lim d a a a a b 4a b lim arcta arcta 4 a b b 5
Οπότε έχουμε ότι {} είναι ένας στιγμιαίος παλμός με ισχύ δηλαδή {} ( ) και από τη γραμμικότητα { A} A ( ) 35 Άλλες ιδιότητες Όταν { f ( )} F ( ) αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: { f( )} { f( )} F( ) j a { f ( a)} F( ) { f ( )} F( ) a a {cos( ) f ( )} ( F( a) F( a)) Αν οι συναρτήσεις f ( ), g( ), είναι συνεχείς ή κατά τμήματα συνεχείς σε όλο το σύνολο των πραγματικών ορίζουμε ως συνέλιξη f ( )* g( ) των δύο συναρτήσεων ( f * g)( ) f( ) * g( ) f( u) g( u) du Για τη συνέλιξη ισχύουν τα εξής: { f * g ( )} { f( )} { g( )} F( ) G( ) { F( ) G( )} { F( )} * { G( )} f( ) * g( ) όταν { f ( )} F( ), { g( )} G ( ) Παραδείγματα υπολογισμών μετασχηματισμών Fourir με τη χρήση των παραπάνω ιδιοτήτων: α) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) υπολογίζεται ως εξής: { } { } {} ( ) β) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) cos( ) υπολογίζεται ως εξής: j j j j {cos( )} { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) γ) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) si( ) υπολογίζεται ως εξής: 6
j j j j {si( )} { } { } { } j j ( ) ( ) ( ) ( ) j j j ( ) ( ) Αφού ισχύει: ja cos a j si a () ja cos a j si a () ja ja ()+() cos a ja ja ()-() j si a ε) Ο μετασχηματισμός Fourir τετραγωνικού παλμού με πλάτος και διάρκεια ο οποίος έχει μετατοπιστεί δεξιά κατά α y / a / j a Από την ιδιότητα { f ( a)} F ( ) και χρησιμοποιώντας ότι συμπεραίνουμε ότι si { u( / ) u( / )} j a si F ( ) στ) Ορίζουμε της συνάρτηση πρόσημο γραμμικότητας έχουμε:, sg( ), με τη χρήση της, {sg( )} { u( ) u( )} { u( )} { u( )} { u( )} { u( )} ( ) ( ) j j( ) j Αφού ( ) είναι άρτια και ισχύει ( ) ( ) 7
36 Τυπολόγιο χαρακτηριστικών μετασχηματισμών Fourir: f() { f ( )} δ() A u() sg()=u()-u(-) Παλμός u(-τ/)- u(+τ/) - u() u(-) jφ cos(φ) si(φ) παδ(ω) πδ(ω)+/(jω) /(jω) si(ω τ/)/ω /(a+jω) /(a-jω) πδ(ω-φ) π[δ(ω+φ)+ δ(ω-φ)] jπ[δ(ω+φ)- δ(ω-φ)] Όλες τις παραπάνω ιδιότητες τις έχουμε αποδείξει εκτός από την { u ( )} ( ) j 37 παραγώγου συνάρτησης: όταν όπως είπαμε F( ) { f ( )} ( ) { f ( )} j F( ) Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Fourir της συνάρτησης f ( ) Παραγωγίζουμε και έχουμε f '( ) af ( ) Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέλη: { f '( )} { af ( )} j { f ( )} { } a { f ( )} ( j ) { f ( )} { } ( j ) { f ( )} { f( )} ( j ) ( j ) Δηλαδή από τη σχέση { } ( j ) συμπεραίνουμε ότι { } ( j ) 8
Παράδειγμα Θα γενικεύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα και θα δείξουμε ότι όταν f ( ) ισχύει { }! ( j ) Η απόδειξη θα βασιστεί στην μαθηματική επαγωγή Για = ισχύει { } ( j ) όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα Δέχομαι ότι ισχύει για, δηλαδή { }! ( j ) () και με βάση αυτό θα δείξω ότι ισχύει για + Δηλαδή ισχύει, Θέτουμε g( ) ( )! { } ( )! ( j ) Παραγωγίζουμε και έχουμε g'( ) ( ) a ag( ) ( )! ( )!! Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέλη: {g'( )} { ag( )} j { g( )} { } a { g( )}!! j { g( )} a { g( )} ( j ) ( j ) { g( )} { g( )} ( j ) ( j ) { } ( )! ( j ) Οπότε ισχύει για + και η απόδειξη ολοκληρώθηκε () Παράδειγμα 3 Θα υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir f ( ) { } 5j 6 Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή 5j 6 ( 3 j)( j) j ( 3 j)( j) j( 3 j) j( j) ( j 3 j )( j j ) (3 j )( j ) Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: οπότε οι ρίζες του είναι: 5 j 4( )6 5 4 j, 9
5 j j 5j j 5 5, j j j j j 3 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (3 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους α) με ανάλυση σε κλάσματα A B (A 3 B) j( A B) (3 j)( j) (3 j) ( j) (3 j)( j) Από όπου έχουμε A B B A B A B A A 3B A 3B A 3A A Οπότε { } { } { } { } (3 j )( j ) (3 j ) ( j ) (3 j ) ( j ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 u u u Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι { u( )} ( j ) β) Εναλλακτικά, με τη χρήση της συνέλιξης έχουμε: { } { } { }* { } (3 j)( j) ( j) (3 j) ( j) (3 j) 3 t 3( t) 3 t u( ) * u( ) u( t) u( t) dt u( t) u( t) dt 3 t 3 3 dt ( ) u( ) u( ) Στους παραπάνω υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τις σχέσεις u( t) u( t) t 38 Εφαρμογές: ά και 38 Εφαρμογές στα συστήματα Έστω ότι έχουμε το σύστημα: t dt ( ) u( ) ά f( ) y ( ) στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται από τη διαφορική εξίσωση:
d y dy a a a y bf ( ) d d Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d y dy a a a y bf ( ) d d d y dy a a a y b f ( ) d d j a y j a y a y b f ( ) j a ( ) j a ( ) a ( ) bf( ) Όπου ( y ( )) Υ(ω), ( ( )) αντίστοιχα Λύνουμε και έχουμε ( ( )) ( ) b b y F( ) F( ) H( ) F( ) j a j a a a j a a b όπου η H( ) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς ή a j a a f F(ω) οι μετασχηματισμοί των y(),f() απόκριση του συστήματος και συνδέει τους μετασχηματισμούς Fourir της εισόδου και της εξόδου του συστήματος Παίρνοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς έχουμε τη λύση y( ) { H( ) F( )} { H( )} * { F( )} Παράδειγμα: Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: dy d y ( ) Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) οπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε dy y ( ) d dy y ( ) d j ( y) ( y) ( ( )) j ( ) ( ) ( ( )) ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) j j j
Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ) : H( ) j Οπότε η y( ) { Y( )} { H( )} { } u( ) j Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι { u( )} ( j ) Παράδειγμα: Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: d y dy 5 6 y ( ) d d Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) οπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d d y dy 5 6 y ( ) d d y dy d y 5 6 d j y j y y 5 6 ( ) 5 j ( ) 6 ( ) ( 5 j 6) ( ) όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) 5j 6 Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς H( ) απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ): Οπότε η 5j 6 3 y( ) { Y( )} { H( )} { } ( ) u( ) 5j 6 Εδώ χρησιμοποιήσαμε τα αποτελέσματα του παραδείγματος που είχαμε λύσει πιο πάνω 38 Εφαρμογές στα ηλεκτρικά κυκλώματα Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Volt), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το χρόνο δηλαδή Ε=Ε(t), πυκνωτή χωρητικότητας C (Farad), πηνίο αυτεπαγωγής l (Hry), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακόπτη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά
E ir di l dt Q C C R l Θεωρούμε το κύκλωμα ως ένα σύστημα με είσοδο την εφαρμοζόμενη τάση και έξοδο την ένταση του ρεύματος Δεχόμαστε ότι i()= Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff ο οποίος μας δίνει: di Q l R i E( t) dt C Παραγωγίζοντας τη διαφορική εξίσωση που προκύπτει από τον πρώτο νόμο του Kirchhoff οδηγούμαστε στη δευτέρας τάξης διαφορική εξίσωση d i di de dt dt C dt l R i Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d i di de l R i dt dt C dt d i di de dt dt C dt l R i j l I( ) j R I ( ) I( ) j ( E( t)) C όπου ( i( t)) I( ) Λύνω και έχω j I( ) ( E( t)) ( E( t)) j l j R j l R C C j Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς ή απόκριση του συστήματος είναι οπότε jc H ( ) j l R C j lc jrc I( ) H( ) ( E( t)) από όπου εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε i( t) H ( ) * E( t) Παρόμοια, για το φορτίο, όπως έχουμε δει ισχύει dq() t di d Q it () dt dt dt 3
di Q d Q dq Q d Q dq Q l R i E l R E l R E dt C dt dt C dt dt C d Q dq l R Q E dt dt C j l Q j R Q Q E C Q ( E( t)) H( ) ( E( t)) j l j R C Όπου C H( ) lc j RC j l j R C Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε Παράδειγμα Q( t) H ( ) * E( t) Έστω ένα κύκλωμα RLC το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Volt σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C= Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l= Hry, ωμική αντίσταση R=6 Ohm και διακόπτη Δ Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t= είναι Με τη χρήση του Μετασχηματισμού Fourir, βρείτε το φορτίο του πυκνωτή και στη συνέχεια υπολογίστε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή t> Σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει ο νόμος του Kirchhoff δίνει d Q R dq E d Q 6 dq 3 Q Q u () t dt lc l dt l dt dt d Q dq d Q dq 5Q 8 5 u( t) { } 5 { Q} 8 { } {5 u( t)} dt dt dt dt ( j) { Q} 8 j { Q} 5 { Q} {5 u( t)} ( j) 8 j 5 { Q} {5 u( t)} { Q} ( j ) 8 j {5 u( t)} Q { {5 u( t)}} 5 ( j) 8 j5 Q { }* {5 u( t)} Q { }* 5 u( t) ( j) 8 j 5 8 j 5 Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή j 8 j 5 ( 3 4 j)( 3 4 j) j ( 3 4 j)( 3 4 j) j( 3 4 j) j( 3 4 j) ( j 3 j 4 j )( j 3 j 4 j ) 3 4 3 j 4 Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 64 j 4( )5 64 36, 4
οπότε οι ρίζες του είναι 8 j 36 8 j 6 8 j 36 8 j 36 3 4 j, 3 4 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } 3 4 3 j 4 j A B 3 j 4 3 j 4 3 j 4 3 j 4 4 A B j A B 3( A B) j (3 j)( j) Από όπου έχουμε 4 A B 3( A B) j 3( A B) j 3( A ( A)) j A B j B A B A A 6Aj 6 j B A B A 6 j Οπότε { } { } 3 j 4 3 j 4 6 j 3 j 4 6 j 3 j 4 { } { } 6 j 3 j 4 6 j 3 j 4 { } { } 6 j j 4 6 j j 4 3 3 6 j j 4 6 j j 4 3 jt 3 jt { } { } 6 j 6 j j 4 3 jt 3 jt { } 3jt 3jt 4t jsi 3t 4t 4t u( t) u( t) si 3 t u( t) 6 j 6 j 3 Αφού ισχύουν: j { f ( )} { f ( )} F( ) { u( )} ( j) ja cos a jsi a () ja cos a jsi a () ja ja ()-() jsi a Συνοψίζοντας έχουμε 5
4t Q { }* 5 u( t) si 3 t u( t) * 5 u( t) 8 j 5 3 4t 4 4 5 si 3 t u( t) * u( t) 5 si 3 u( ) u ( t ) d 5 si 3 d Στους παραπάνω υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τη σχέση t u( ) u( t ) ά Για διευκόλυνση υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: I si bd cos( b) a d b cosb cos bd b b a cos b (si b) d b b a cosb si b a si bd b b a a I cosb si b I b b b t I bcos b a si b C a b Λύνοντας ως προς Ι έχουμε και τελικά t 4 t 4 t si 3 d 4 3 Οπότε 3cos 3 4si 3 ά t 4 t 4 ( ) 5 si 3 5 3cos 3 4si 3 ( ) 4 3 Q t d u t 4t 4t 4t t t u t t t 3cos 3 4si 3 3 ( ) 6 6 cos 3 8 si 3, όταν t Παραγωγίζοντας παίρνουμε dq() t 4t 4t 4t 4t i( t) i( t) 4 cos 3t 8 si 3t 3 si 3t 4 cos 3t dt 4t 5 si 3 t 37 Συμπληρωματικές Ασκήσεις Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir f ( ) { } 7j Λύση Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή 7j ( 5 j)( j) j ( 5 j)( j) j( 5 j) j( j) ( j 4 j )( j j ) (5 j )( j ) 6
Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 49 j 4( ) 49 4 9 3 j, οπότε οι ρίζες του είναι: 7 j 9 j 7 j 3 j 7 9 7 3, j j j j j 5 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (5 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με ανάλυση σε κλάσματα A B A 5B j A B (5 j )( j ) (5 j ) ( j ) (5 j )( j ) Από όπου έχουμε B A A B B A B A 3 A 5B A 5B A 5A A 3 Οπότε { } { } (5 j )( j ) 3 (5 j ) 3 ( j ) { } { } 3 (5 j ) 3 ( j ) 5 5 u( ) u( ) ( ) u( ) 3 3 3 Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: d y dy 7 y ( ) d d Υπολογίστε την έξοδο του συστήματος Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) οπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d d y dy 7 y ( ) d d y dy d y 7 d j y j y y 7 7
( ) 7 j( ) ( ) ( 7 j ) ( ) όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) 7j Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς H( ) απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ): Οπότε η 7j 5 y( ) { Y( )} { H( )} { } ( ) u( ) 7j 3 Για τον υπολογισμό του παρονομαστή ( j 5 j )( j j ) (5 j )( j ) { } 7j Παραγοντοποιούμε τον 7j ( 5 j)( j) j ( 5 j)( j) j( 5 j) j( j) Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: οπότε οι ρίζες του είναι: 49 j 4( ) 49 4 9 3 j, 7 j 9 j 7 j 3 j 7 9 7 3, j j j j j 5 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (5 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με ανάλυση σε κλάσματα A B A 5B j A B (5 j )( j ) (5 j ) ( j ) (5 j )( j ) Από όπου έχουμε B A A B B A B A 3 A 5B A 5B A 5A A 3 Οπότε 8
{ } { } (5 j )( j ) 3 (5 j ) 3 ( j ) 5 5 { } { } u( ) u( ) ( ) u( ) 3 (5 j ) 3 ( j ) 3 3 3 3 Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: dy y ( ) d Υπολογίστε την έξοδο του συστήματος Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) oπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d y d y y ( ) y d d j y y ( ) ( ) ( ) ( ) όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ): H ( ) Οπότε η y( ) { Y( )} { H( )} { } u( ) u( ) { } ( j ) ( j ) Αφού ( j ) ( j ) και ισχύει ( j )( j ) επίσης A B ( A B) ( A - B) jw ( j ) ( j ) από όπου A B A-B 4 Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: dy d 5 y u( ) και 9
Υπολογίστε την έξοδο του συστήματος Λύση Ξέρουμε ότι ισχύει { u( )} (5 j) μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: 5 οπότε εφαρμόζουμε το dy 5 dy 5 y u( ) y u( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) (5 j) (5 j) j y y j ( ) (5 j)( j) όπου Y( ) ( y( )), οπότε θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (5 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με ανάλυση σε κλάσματα A B A 5B j A B (5 j )( j ) (5 j ) ( j ) (5 j )( j ) Από όπου έχουμε B A A B B A B A 3 A 5B A 5B A 5A A 3 Οπότε y (5 j )( j ) 3 (5 j ) 3 ( j ) 5 5 { } { } u( ) u( ) ( ) u( ) 3 (5 j ) 3 ( j ) 3 3 3 ( ) { } { } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα : Fourir Sris, W Bolto Σήματα και συστήματα, Καραμπόγιας, Θεοδωρίδης ΕΑΠ